29.1.1 圆的有关概念 教学课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）· 九年级上册 圆的有关概念 从圆规的一次旋转，认全圆里的每一个名字 第 29 章　29.1.1　第 1 课时 授课教师：＿＿＿＿＿＿　　班级：九（　　）班 2026—2027 学年　第一学期 目录 CONTENTS 01 看 · 生活里的圆 02 画 · 圆规下的圆 03 认 · 圆里的名字 04 用 · 点与圆的位置 一、看 · 生活里的圆 先看三样东西——它们为什么都长成圆的 03 / 21 车轮 轮心到轮圈，一直是同一个数 所以骑起来才不颠 井盖 做成圆的，就掉不进井里去 换成方的试试？ 水波 一颗石子落下去，圆一圈圈长出来 三个地方，同一个形状——那么，圆，到底特别在哪里？ 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 为什么井盖是圆的？ 如果把它做成正方形，第一天就会出事 04 / 21 对角线 比 边长 长 一斜，整块顺着对角线滑下去 直径 处处相等 怎么转，宽度都不超过井口 ① 方形井盖有一根比边长更长的对角线，立起来就能掉进井里。 ② 圆形不管怎么转，两头一样宽，永远卡在井口上。 ③ 而且圆的能滚——一个人就推得动。 圆的第一个本事：从圆心到圆上任何一点，距离都一样。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 二、画 · 圆规下的圆 把圆规拿起来，先画一个，再说话 05 / 21 针尖不动，笔尖转满一周 01 针尖扎住，一动不动 这个固定的点，就叫圆心 O。 02 两脚张开，宽度锁死 这个不变的距离，就叫半径 r。 03 笔尖绕一圈，回到原处 笔尖走过的所有位置，连成一条封闭的曲线。 转的时候，笔尖到针尖的距离一直没变——这一句，就是圆。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 圆的两个定义 一个说它怎么画出来，一个说它由哪些点组成 06 / 21 定义 ① 描述定义 · 圆是怎么画出来的 在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形，叫做圆。记作 ⊙O，读作“圆 O”。 定义 ② 集合定义 · 圆由哪些点组成 圆心为 O、半径为 r 的圆，可以看成是平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 想一想：要是只转半圈，得到的还叫圆吗？到 O 的距离都小于 r 的点，又组成什么？ 两句话说的是同一个圆。但第一句里 “在同一平面内” 这几个字，一个都不能省。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 圆心定位置，半径定大小 只动一个，圆会变成什么样 07 / 21 圆心不动，半径变长 位置一样，大小不同——它们叫同心圆 半径不动，圆心挪开 大小一样，位置不同——叠得起来，叫等圆 圆心说：我定位置。半径说：我定大小。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 三、认 · 弦与直径 圆上有无数条弦，最长的那一条有名字 08 / 21 弦一点点挪过去，正好穿过圆心 弦 连接圆上任意两点的线段，都叫弦。 两端都在圆上——这一条最容易漏 直径 经过圆心的弦，叫直径。 它一定过圆心，也一定是圆里最长的一条 所以，直径是弦，但弦不一定是直径。 想一想：半径是弦吗？为什么？ 既然直径就是两条半径接起来——直径 = 2 × 半径。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 弧、半圆、优弧、劣弧 圆被两点切开，切出来的每一段都有名字 09 / 21 A B 弧 圆上任意两点间的部分，简称弧 半圆 一条直径的两个端点，把圆分成两条弧，每条都是半圆 优弧 大于半圆的弧，用三个字母表示，如弧 ACB 劣弧 小于半圆的弧，用两个字母表示，如弧 AB 橙为劣弧，蓝为优弧，绿线切出的两半是半圆。半圆不算优弧，也不算劣弧。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 等圆与等弧 “一样长”和“能重合”，不是一回事 10 / 21 等圆 能够完全重合的两个圆。半径相等，这两个圆就是等圆。 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧。注意前提：必须先同圆，或等圆。 ! 右边两段橙色的弧一样长，可大圆的弧平缓、小圆的弧弯得厉害，怎么也翻不重合。所以：长度相等的弧，不一定是等弧。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 四、用 · 点与圆的位置 不用画图，量一量 d 和 r 就知道了 11 / 21 点 P 在圆外 → d > r 点 P 在圆上 → d = r 点 P 在圆内 → d < r 反过来也成立：知道 d 和 r 谁大，就知道点在哪。所以判断位置，只要比一比 d 和 r。 判断的时候，先算 d（点到圆心的距离），再和 r 比大小——别凭眼睛看。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 例 1 · 它们在哪一圈？ 先算距离，再比大小，最后下结论 12 / 21 例 1 ⊙O 的圆心在原点，半径 r = 2。判断下面四个点在圆内、圆上还是圆外。 点的坐标 到原点的距离 d 位置 ① 在圆内 ② 在圆上 ③ 在圆上 ④ 在圆外 A B C D 三步走：算 d → 比 r → 下结论。图上绿点在内、橙点在上、红点在外。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 A(1, 1) d = √2 ≈ 1.41 B(−1, √3) d = √4 = 2 C(√2, √2) d = √4 = 2 D(√2, 2) d = √6 ≈ 2.45 例 2 · 四个顶点，一个圆 矩形的四个顶点，真的落在同一个圆上吗 13 / 21 例 2 已知矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O。求证：A、B、C、D 四点在同一个圆上。 ① 矩形的对角线互相平分 所以 OA = OC，OB = OD ② 矩形的对角线相等 所以 AC = BD，四条半对角线全相等 ③ 四点到 O 的距离都等于 OA 圆心 O，半径 OA——四点都落在圆上 A B C D O 四个顶点共圆，圆心就是对角线的交点 O，半径就是半条对角线。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 把名字连起来看 一个圆，四类名字，其实都在说同一件事 14 / 21 圆　⊙O 到定点的距离等于定长 线段 弦：连接圆上任意两点的线段 直径：过圆心的弦，圆里最长的一条 曲线 弧：圆上两点之间的部分 半圆 · 优弧（大）· 劣弧（小） 关系 等圆：半径相等，叠得起来 等弧：同圆或等圆里，能重合的弧 位置 d > r 在圆外　d = r 在圆上　d < r 在圆内 先量到圆心的距离，再和半径比 所有名字，都是从“到圆心一样远”这一句话里长出来的。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 课堂练习 · 火眼金睛 三小题，各踩一个坑 15 / 21 01 在 ⊙O 中，OA = 3，点 B 也在 ⊙O 上，那么 OB = ？ 答：OB = 3 同圆里，所有半径都相等 02 点 P 到圆心 O 的距离 d = 4，⊙O 的半径 r = 4，点 P 在哪？ 答：在圆上 d = r，不多不少刚好在圆上 03 判断：长度相等的两条弧，一定是等弧。（　） 答：错 得先同圆，或等圆 三题一个套路：半径都相等 · d 与 r 比大小 · 等弧得有前提 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 四个坑，别踩 红笔圈出来的，都是考试丢分的地方 16 / 21 ① 把“圆”说成“圆面” 圆是一条封闭的曲线，不是它围起来的那块地方。 ② 把“过圆心的线段”叫直径 直径的两个端点，必须都落在圆上。 ③ 长度相等就当等弧 少了“同圆或等圆”这个前提，弯度不同，合不上。 ④ 凭眼睛判断点的位置 图是画给你看的，答案得算出来：先 d，再比 r。 这四句话抄进改错本，比刷十道题更值。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 两千三百年前，中国人这样写圆 《墨子》里的一句话，和你今天记的定义是同一句 17 / 21 《墨子》竹简 · 现存最早的“圆”的定义 圆，一中同长也。 ——《墨子 · 经上》 一个中心，到边上处处一样长。这九个字，就是今天那句“到定点的距离等于定长”。 同一本书里还有一句：“圆，规写交也。”——用圆规画，两脚一交，圆就出来了。 数学定义从来不是凭空掉下来的，它就是从画圆的那只手开始的。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 折叠与旋转，都不变形 圆为什么“怎么看都一样”——两种对称 18 / 21 轴对称 沿任何一条直径所在的直线对折，两半完全重合。这样的直线有无数条。 中心对称 绕圆心转任意一个角度，都能和自己重合。转多少度都看不出变化。 圆上每一点到圆心都一样远，圆心是它唯一的“主心骨”。 顺便想一想：车轮做成圆的，是不是也和“绕圆心转不变形”有关？ 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 这节课，就四句话 会画、会说、会判断、会记名字，圆就通了 19 / 21 01 它怎么来 线段 OP 绕固定的端点 O 转一周，另一个端点 P 画出的那条封闭曲线。 02 它是什么 平面内所有到定点 O 的距离都等于定长 r 的点，凑成的一个集合。 03 它怎么用 算点到圆心的距离 d，和半径 r 比一比，就知道点在里、在上、还是在外。 04 怎么记名 弦是直的、弧是弯的；直径一定过圆心；半圆不算优弧，也不算劣弧。 一个圆，一辈子只守着一句话：到圆心，一样远。 弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧——全是从这句话里分出来的。 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 今天的作业 基础必做，提高选做，最后一题留给想不通的人 20 / 21 基础 · 必做 1. 教材本节课后练习第 1、2 题。 2. 画 ⊙O，使半径等于 2 cm，再画出它的一条弦和一条直径，标出优劣弧。 提高 · 选做 3. 矩形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8。求证四点在同一个圆上，并求这个圆的半径。 思考 · 挑战 4. 井盖直径 60 cm，井口是边长 60 cm 的正方形，斜着放会掉吗？ 九年级数学 · 29.1.1 圆的有关概念 这节课的最后一句 圆，从不偏心 因为它到每一个点的距离，都一样远。 谢谢大家，请多指教 29.1.1 圆的有关概念 · 第 1 课时 $