2.2 基本不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式教学设计

教材分析：

本节课是人教A版《普通高中教科书·数学·必修 第一册》第二章第二节“2.2 基本不等式”的第1课时。学生在此前的学习中已经得到重要不等式，本节课要做的事情是：借助第24届国际数学家大会会标（赵爽弦图）这一直观素材，从面积关系出发再次引出不等关系；再把重要不等式中的字母作替换，推导出基本不等式；接着用“执果索因”的分析法给出规范证明，并从代数和几何两个角度解释它，使学生理解这个不等式凭什么被冠以“基本”二字。几何解释教材只呈现了“半圆的半径长不小于它的半弦长”这一种。随后教材安排了两个例题：例1是当x>0时求的最小值；例2以证明的形式给出“积定和最小、和定积最大”两个结论，其中积的最大值需要把基本不等式两边平方后得到。教学中要让学生真正理解“一正、二定、三相等”的含义，并强调规范表达的重要性。

课标分析：

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对本节提出的“内容与要求”是：掌握基本不等式；结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。这里的“掌握”，要求学生知道不等式的来历、能够证明，还要能熟练应用。据此，本节课确定四条教学线索：一是通过对已知不

等式的代数变换得到基本不等式，提高学生代数变换的能力；二是通过证明基本不等式，渗透分析法“执果索因”与综合法“由因导果”的基本方法，培育逻辑推理素养；三是通过基本不等式几何解释的探究，培育直观想象素养；四是通过例1、例2初步感知最值的意义，明确使用条件“一正、二定、三相等”，并结合辨析思考加深对基本不等式以及最值含义的理解，为今后函数最值概念的学习做铺垫。

学情分析：

一方面，学生在上一节已经得到重要不等式，并且经历了用比较法（作差）证明不等式的过程，具备推导基本不等式的知识基础，对数形结合也有了初步体验。另一方面，分析法对高一学生来说还比较陌生，“要证……只要证……”的书写格式需要教师示范并逐步跟进；在运用基本不等式求最值时，学生往往只顾代入公式而忽视等号能否取到，这一习惯的落实是本节课要重点突破的地方。本节知识渗透数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，学生学习起来是有兴趣的，但要防止“看得懂、证不清、用不对”的现象出现。

教学目标：

1. 借助会标情境和字母替换，经历从重要不等式到基本不等式的推导过程，会用分析法证明基本不等式，发展逻辑推理素养；

2. 能说出算术平均数、几何平均数的含义，能借助半圆模型对基本不等式作出几何解释，发展直观想象素养；

3. 能结合具体例题明确基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，会用基本不等式求简单的最值，发展数学运算素养。

教学重难点：

重点：基本不等式的推导与证明；运用基本不等式解决简单的最值问题。

难点：分析法的证明格式；对“一正、二定、三相等”的理解与运用。

教学方法：

采用“情境—问题”教学模式，以问题为导向设计教学情境，引导学生自主探究与合作交流。针对高一学生对分析法不熟悉的情况，采取“具体数值先行、抽象证明随后”的顺序，先让学生用具体数值检验，获得感性认识后再进入严谨证明；针对运用基本不等式时容易忽视使用前提的问题，采用正反例对比的教学方式，让学生在辨析中理解三个条件缺一不可。

教学过程：

一、情境导入

师：上一节课我们研究两个实数的大小关系，得到了一个重要结论——重要不等式：对任意实数a、b，都有，当且仅当a=b时等号成立。它是怎样得到的？

生：作差可得，展开整理即得。