2.2 基本不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修 第一册- 教学设计 2.2 基本不等式-2026-2027学年

一、教材分析

本节内容选自《普通高中教科书·数学（人教A版）必修第一册》（人民教育出版社）第二章“一元二次函数、方程和不等式”，是继2.1节“等式性质与不等式性质”之后安排的第2节。本节的主要内容是：借助赵爽弦图与完全平方公式得到重要不等式，进而推导基本不等式，探究基本不等式的代数特征与几何解释，并运用基本不等式解决简单的最值问题。基本不等式刻画了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一基本事实，它既是上一节不等式性质的直接应用，又是解决最大值、最小值问题的重要工具，也是比较大小、求最值等问题中的常用方法，其中运用基本不等式求最值并规范说明等号成立的条件是考查的热点。本节安排约2课时，本设计为第1课时，重点呈现基本不等式的推导、几何解释与简单应用。

二、学情分析

学生在上一节已经系统学习了等式性质与不等式性质，掌握了作差法比较大小，具备了一定的推理论证经验；初中阶段学习过完全平方公式、勾股定理、圆的有关性质和相似三角形，知识储备足以支撑本节课的探究活动。但学生初次接触“算术平均数”与“几何平均数”两个名词，对基本不等式“一正、二定、三相等”的使用条件，特别是“当且仅当时等号成立”的双重含义理解不深，运用时常常漏掉等号成立条件的说明，教学中需要通过推导、辨析和纠错活动反复强化。

三、教学目标

1.知识与技能

（1）经历基本不等式的推导过程，掌握基本不等式，理解“当且仅当时等号成立”的含义；

（2）了解基本不等式的几何解释，能借助图形直观理解两个正数的算术平均数与几何平均数的大小关系；

（3）能运用基本不等式解决简单的最值问题，并会规范说明等号成立的条件。

2.过程与方法

（1）通过“观察—猜想—推导—辨析—应用”的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法；

（2）在代数证明与几何解释的对照中，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算与直观想象的核心素养。

3.情感、态度与价值观

借助2002年北京国际数学家大会会标（取材于赵爽弦图）创设情境，感受中华优秀传统数学文化，激发学习兴趣，培养严谨求实的科学态度。

四、教学重难点

1.教学重点：基本不等式的推导及其简单应用。

2.教学难点：基本不等式成立条件的理解，特别是运用基本不等式求最值时等号成立条件的说明。

五、教学方法

讲授法、启发引导法、小组讨论法、多媒体辅助演示法。

六、教学过程

教学环节	教学内容	师生互动	设计意图
情境导入	2002年在北京召开的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的弦图，会标图案由4个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形（如图1）。问题1：设直角三角形的两条直角边长分别为、，你能从这幅图案中得到怎样的相等关系与不等关系？ 图1　赵爽弦图 观察图形：大正方形的边长为直角三角形的斜边，由勾股定理，大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加	教师展示会标图片并提出问题1；学生观察图形、小组讨论，尝试用面积关系表述图中的相等关系与不等关系；教师引导学生把“形”的面积关系转化为“数”的等式与不等式，并借助完全平方公式完成推导，规范书写“当且仅当时等号成立”。	以赵爽弦图创设情境，弘扬中华优秀传统数学文化；让学生经历由形到数的转化，直观感知重要不等式，培养直观想象与数学抽象素养。

	上中间小正方形的面积，即，展开整理得。 因为，所以，当且仅当时，中间小正方形的面积减小为0，等号成立。由此得到重要不等式：对任意实数，都有，当且仅当时等号成立。
新知探究	问题2：当、均为正数时，与的算术平均数与几何平均数之间有怎样的大小关系？ 探究：因为，所以，即。 基本不等式：若，则，当且仅当时等号成立。其中叫做、的算术平均数，叫做、的几何平均数。 语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。常用变形：；。 辨析：若、不都是正数，上式还一定成立吗？例如取时，，而，此时，不等式不成立。所以“均为正数”是运用基本不等式的前提。	教师提出问题2，引导学生类比重要不等式的证明思路，尝试用配方法推导；学生板演，师生共同规范书写，并解读“当且仅当时等号成立”的两层含义：一是时不等式取等号，二是不等式取等号时必有；组织学生举反例，辨析“均为正数”这一条件的必要性。	让学生经历“猜想—推导—辨析”的完整过程，突破对使用条件的理解难点，发展逻辑推理素养。
公式深化	问题3：基本不等式能否用图形给出直观解释？如图2，是圆的直径，点在上，设，（、均为正数）。过点作，交圆于点，连接。	教师用几何画板动态演示：点在直径上移动时，半弦与半径的长度随之变化，但始终有；学生小组讨论证明思路，教师点拨“直径所对的圆周角是直角”与相似三角形这两个初中结论	借助动态演示与图形直观，让学生从“形”的角度再认识基本不等式，渗透数形结合思想，培养直观想象素养。