2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一年级

学科

数学

教师

课题

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

教学目标

数学抽象

从无人机配送的飞行高度问题中抽象出二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系，形成对三个“二次”内在联系的整体认识。

逻辑推理

经历“令函数值等于零得到方程、由图象的上下位置关系得到不等式解集”的推理过程，归纳出一元二次不等式解法的一般步骤。

直观想象

借助二次函数图象与x轴的三种位置关系，直观理解判别式的符号、方程根的个数与不等式解集之间的对应关系。

数学运算

能熟练求解判别式与一元二次方程的根，准确求出一元二次不等式的解集，并能解决简单的含参与实际情境问题。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课

教师：2026年，低空经济蓬勃发展，某市开通了无人机配送航线。一架配送无人机从起飞平台垂直升空，其离地高度h（单位：米）与升空时间t（单位：秒）近似满足关系式。

教师：空管规定，无人机在此升空阶段离地高度必须高于60米。请结合图1思考：无人机升空后，在哪一段时间内其高度高于60米？要回答这个问题，需要解不等式。这样的不等式有什么特点？如何求它的解集？这就是本节课要研究的内容。（板书课题）

观察图象，发现高度h随时间t先增大后减小；高度高于60米对应图象位于直线h=60上方的部分。尝试把实际条件转化为数学不等式，带着问题进入新课学习。

图1　无人机飞行高度随时间变化的图象

新课讲授（一）二次函数与一元二次方程的关系

教师：请思考下面的问题链。

问题1：对于二次函数，当函数值y=0时，得到的是一个什么方程？

问题2：此时方程的根与抛物线有什么联系？

学生：（预设）令y=0，得到一元二次方程；方程的根就是抛物线与x轴公共点的横坐标。

师生归纳1：一元二次方程的根，就是二次函数的图象与x轴公共点的横坐标。

师生归纳2：抛物线与x轴公共点的个数由判别式的符号决定，如图2所示：

①当Δ>0时，抛物线与x轴有两个不同的公共点，方程有两个不相等的实数根；

②当Δ=0时，抛物线与x轴只有一个公共点，方程有两个相等的实数根；

③当Δ<0时，抛物线与x轴没有公共点，方程没有实数根。

图2　二次函数图象与x轴的三种位置关系

例1　不解方程，判断方程的实数根的情况。

经历“令函数值等于零得到方程”的思考过程；观察图2，用自己的语言概括三种位置关系。

独立完成例1，动手计算判别式并判断根的情况，同桌互查。

新课讲授（二）一元二次不等式的概念与解法

教师：像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式。一般地，

结合图3理解“图象在x轴下方”与“函数值小于零”的对应关

形如（或<0，≥0，≤0，其中a≠0）的不等式都叫做一元二次不等式。

教师：如何求一元二次不等式的解集？我们借助函数图象来研究。

考察不等式。设，其图象如图3，抛物线与x轴交于点(3,0)和(4,0)。图象位于x轴下方的部分，对应的纵坐标y<0，其横坐标满足3<x<4，因此不等式的解集是{x|3<x<4}。

图3　例2（1）中解集的图象表示

师生归纳：求一元二次不等式解集的一般步骤：

第一步，化标准形：将不等式化为二次项系数为正的标准形式；

第二步，求根：求出对应一元二次方程的实数根；

第三步，写解集：结合图象写出解集。当二次项系数为正时，可概括为“大于取两边，小于取中间”。

例2　解下列不等式：

（1）；

（2）；

（3）。

答案　（1）{x|3<x<4}；（2）{x|1≤x≤2}；（3）R。

解析　（1）方程的两个根为，抛物线开口向上，在两根之间函数值小于零，故解集为{x|3<x<4}，即图3中阴影部分对应的横坐标范围。

（2）不等式两边同乘-1并改变不等号方向，得，即，解得，故解集为{x|1≤x≤2}。

（3）因为，且抛物线开口向上，图象恒在x轴上方，所以不等式对任意实数都成立，解集

系。

独立完成例2的三个小题，规范书写；归纳解法三步骤，并在小组内交流“系数化正”时如何处理不等号方向。