5.3(二) 销售盈亏与方案选择 讲义 2026-2027学年人教版七年级上册数学

七年级数学（上）第五章 第9课时讲义

人教版2024新教材 · 5.3 一元一次方程的应用（二）销售盈亏与方案选择 · 原创同步学案

 一、本课时思维导图

 

课时思维导图（表格版·文字可直接编辑）

▎本课时学习目标

1．记住销售问题的四个基本关系：利润＝售价－进价、利润率＝利润÷进价×100%、售价＝标价×折扣÷10、售价＝进价×(1＋利润率)。

2．会设未知数列方程解决“打折销售求进价、求标价”两类问题，能按“先分清已知与未知、再把一句话翻译成等式”的顺序动笔。

3．理解分段计费“先定段、再算账”的思路，会比较两种方案的费用，用“费用相等”求临界值并分类作答。

 二、知识梳理

▎知识点1  销售问题中的四个基本关系

商品买卖中只有四个量：进价（成本）、标价、售价、利润。认准这四个量，销售题就变成普通的列方程题。

① 利润＝售价－进价（大于 0 盈利、小于 0 亏损、等于 0 保本）；② 利润率＝利润÷进价×100%，即 ，分母是进价。

③ 打折：打 折就是按标价的 出售，即 售价＝标价×折扣÷10。例如打八折，售价 =。

④ 由②变形得 售价＝进价×(1＋利润率)，即 。把它与③联立，就是打折销售两类基本题型的方程来源。

 

▎知识点2  打折销售的两类基本题型

求进价：题目给出标价、折扣和利润率，设进价为 。例：礼盒茶标价 300 元，打八折仍获利 20%，先算售价 （元），由 解得 （元）。

求标价：题目给出进价、利润率和折扣，设标价为 。例：茶叶进价 150 元，打九折出售利润率 20%，先算售价 （元），由 解得 （元）。

两类题的解方程步骤与前面相同（去括号、移项、合并、系数化为 1），新内容只有一句：把哪句话翻译成等式。

通用思路：先把能算的量算出来（给了标价和折扣，售价就定了），再让“售价的两种表示”相等，方程自然出现。

▎知识点3  分段计费：先定段，再算账

分段计费是同一种消费“不同区间单价不同”：快递的首重与续重、水费的限额内外、出租车的起步价与里程价。关键是先判断总量落在哪一段。

快递：首重 2 千克（不足 2 千克按 2 千克计）12 元，超过 2 千克的部分每千克 5 元，寄 千克（）的费用为 元——首段的钱先付足，再按超出重量加钱。

水费：不超过 20 吨每吨 2.5 元，超过部分每吨 4 元，用水 吨（）应交 元。出租车：起步价 6 元含 2 千米，超出每千米 1.8 元，行驶 千米（）应付 元。

已知费用求用量要先“探段”：用临界点算出分界处的费用，与已知费用比一比，判断落在哪一段再列方程；若恰好等于分界费用，答案就是临界点本身。

 

▎知识点4  方案比较：求临界值，再分类讨论

两种收费方式（两家店、两种寄法、办卡与不办卡）比较优劣，通法是把两种方案的“总费用”都用含同一个未知数的式子表示出来，再令它们相等。

解出的未知数值就是临界值（分界点）：在这一点上两种方案花的钱一样多。在临界值左右各取一个具体数值试算，看哪边便宜。

作答写成三段式：“当 小于临界值时，选甲方案；当 等于临界值时，两种方案费用相同；当 大于临界值时，选乙方案。”

还要看实际意义：盒数、千克数、晚数一般取正整数。若临界值不是整数（如 ），就按整数落在临界值哪一侧分类，不能写出“买 2.25 盒”这样的答案。