专题5.3.3 实际问题与一元一次方程—方案选择与阶段收费（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册
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精品
内容正文：
专题5.3.3 实际问题与一元一次方程—方案选择与阶段收费
教学目标
1.能读懂方案选择、分段收费问题的实际情境，理清不同方案、不同收费段的数量关系，找准等量关系，列出一元一次方程，规范解题步骤，会检验结果是否符合实际意义。
2.经历分析多种方案、划分收费区间、把实际问题转化为方程模型的过程，体会分类讨论思想、模型思想，提升对比分析和阅读理解能力，辨析分段分界点、方案比较中的常见错误。
3.养成仔细审题、分类梳理、对比验证的习惯，感受方程在决策类问题中的应用价值，增强运用数学解决生活决策问题的信心。
教学重难点
1.重点
读懂分段收费的计费规则与多种方案的条件；找准等量关系列一元一次方程，会利用方程找到不同方案费用相等的临界点，对比选择最优方案。
2.难点
（1）准确识别分段收费的分界点，区分不同区间对应的计费方式，避免跨段计费直接套用单一单价；
（2）方案选择问题中，先求出费用相等的临界值，再分范围讨论判断哪个方案更划算； （3）复杂情境下梳理多个条件，结合实际取值范围检验结果，合理做出方案决策。
知识点01 方案选择问题
1. 解决方案选择问题的具体步骤：
（1） 设：设未知数；
（2） 列式：列出各个方案的表达式；
（3） 比较：带入数值计算出结果比较或者式子之间作差比较；
（4） 选择：根据比较的结果选择合适的方案。
【即学即练】
1．国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元．
(1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？
(2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？
【答案】(1)运动鞋单价为元，书包单价为元．
(2)甲、乙两家商场都可以选择，乙商场更省钱．
【详解】（1）解：设书包的单价为元，则运动鞋的单价为元．
由题意得 ，
解得 ，
∴运动鞋单价为 （元）．
（2）解：计算甲商场最低花费：
∵甲商场每满元返元购物券，
∴优先购买单价高的运动鞋以获取更多购物券．
∵运动鞋单价元，包含个元，可返购物券 （元）．
用90元购物券购买书包，需额外支付 （元）．
∴甲商场总花费为 （元）．
∵ ，
∴ 甲商场可选择；
计算乙商场花费：
∵乙商场全场八折，
∴乙商场总花费为 （元）．
∵ ，
∴ 乙商场可选择；
∵ ，
∴ 乙商场更省钱．
综上所述，甲、乙两家商场都可以选，乙商场更省钱．
知识点02 阶段收费问题
阶段收费问题：
分段计费问题主要解决的时电费分段，水费分段，网费分段，车费分段，电话费分段等。
总费用＝各分段费用之和。在解决问题时一定要注意各分段中未知数的取值范围，在相应的范围内验证答案是否符合题意。
【即学即练】
1．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实行“阶梯水价”，收费标准如下表：
每户每月用水量
单价
不超过吨的部分
元/吨
超过吨的部分
元/吨
(1)小明家9月份用水12吨，应缴水费多少元？
(2)小明家月份缴水费63元，求小明家月份的用水量．
【答案】(1)应缴水费元
(2)月份用水吨
【详解】（1）解：因为小明家9月份用水12吨，不超过15吨，故按每吨元计费：（元）．
答：应缴水费元．
（2）解：用水吨时水费为（元）．因为，所以月份用水超过吨．
设月份用水吨（），则．
解得．
答：月份用水吨．
知识点03 其他实际问题
其他实际问题：
在实际问题与一元一次方程中，还存在一些其他的问题，如年龄问题，数字问题，储蓄问题，面积问题等，基本核心都是找道题目中的等量关系然后列出问题然后解决问题。
年龄问题中注意年龄增加的一致性；
数字问题中注意每一位上数字需成上该位上的倍率；
面积问题中注意基本的面积计算公式。
【即学即练】
1．下图是某月的月历表，从表的竖列任取三个数相加，不可能得到的是（ ）
A．30 B．42 C．36 D．20
【答案】D
【详解】解：设取的最小数为x，则其他两个数分别为，
∴这三个数的和为，
当时，解得，符合月历表，故A不符合题意；
当时，解得，符合月历表，故B不符合题意；
当时，解得，符合月历表，故C不符合题意；
当时，解得，不符合月历表，故D符合题意；
题型01 列方程解决方案选择问题
【典例1】某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下：
A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元；
B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费．
(1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明；
(2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？
【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少，
理由：（元），
（元），
（元），
，
所以在A票务中心购票实际付款更少；
(2)这张飞机票原价是700元．
【详解】（1）略
（2）解：设飞机票原价是元，
根据题意，得，
解得，
答：这张飞机票原价是700元．
1.方案选择问题：先找临界值（两种方案费用相等时的数量），再分范围对比费用，选出最优方案。
等量关系：方案A费用 = 方案B费用
2.四步解题技巧
（1）读题，写出每个方案的费用表达式 先明确自变量（如人数、购买数量、通话时长），设为x； 根据规则，分别用含x的代数式表示方案一、方案二的总费用。
注意：看清方案有没有固定费用、起步价、优惠门槛。
（2）求临界点：令两个方案费用相等，列方程 解方程，算出当x等于多少时，两个方案花费一样。这个值就是分界点。
（3）分类讨论，判断优劣
当x小于临界值：比较哪个方案便宜
当x等于临界值：两个方案费用相同
当x大于临界值：另一个方案更划算
（4）结合实际取值检验作答 自变量一般是非负数（人数、数量不能为负），按题目要求给出选择建议。
【变式1】为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下：
购物款不超过200元不享受优惠；
购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
购物款超过600元一律享受八折优惠，
某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元
【答案】80.6
【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元．
（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为，那么依题意有，
解得：．
②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为，那么依题意有，
解得：（舍去）
即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元．
综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元．
因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元）
综上所述，他可以节省80.6元．
【变式2】商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台．
(1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元
(2)10台
【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元，
当时，
方案一：，
方案二：，
∵，
当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元；
（2）解：①若时：
方案一：；方案二：；
此时不相等；
②若时：
方案一：；方案二：
令 解得
答：该公司买了10台．
【变式3】某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案：
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球．
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款．
该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）．
(1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元．
(2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？
【答案】(1)2550；2565
(2)当时，两种方案购买所需费用一样
【详解】（1）解：方案一：需付款元；
方案二：需付款元；
（2）解：方案一需付款：元．
方案二需付款：元．
根据题意可列方程，
解得．
答：当时，两种方案购买所需费用一样．
【变式4】我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下：
运输工具
途中平均费用
（元/千米）
途中平均速度
（千米/时）
装卸时间
（时）
装卸费用（元）
汽车
10
80
2
1000
火车
8
100
4
2000
假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时．
(1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？
(2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？
【答案】(1)选用汽车运输比较好
(2)550千米
【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可；
（2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可．
【详解】（1）解：汽车：（元）
火车：（元）
因为6120元元，所以选汽车．
（2）解：设运输路程为千米，由题意得，
解得
即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同．
题型02 列方程解决阶段收费问题
【典例1】年，南充全市新增注册登记新能源汽车2万辆以上，新增充电桩不低于5千个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费2元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费元．
(1)若小王在该充电桩充电小时，需支付费用 元．
(2)若小王在该充电桩充电（）小时，需支付费用 元（用含有的代数式表示）．
(3)小王每周在该充电桩充电一次，某月，小王第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用18元，则小王第一周和第二周各充电多少小时？
【答案】(1)
(2)
(3)小王第一周充电小时，第二周充电小时.
【详解】（1）解：∵ ，
∴按照每小时 2 元收费．
∴ 费用：（元）．
（2）解：∵ ，前 4 小时每小时 2 元，超过 4 小时的部分小时每小时 1.5 元．
∴ 费用：
．
（3）解：设第一周充电小时，则第二周充电小时，
由题意得 ，所以，第一周费用使用．
分情况讨论第二周充电时长：
情况一：，即第二周按 2 元每小时收费．
第二周：，，符合条件．
情况二：，第二周也用，
，
，等式不成立，此情况舍去．
答：第一周充电 8 小时，第二周充电 2 小时．
1.核心思路
分段收费：一段一段单独算费用，再相加；不同区间计费标准不一样
总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + 第三段费用 + ……
关键点：分清分界点，不跨段直接用同一个单价
2.四步解题技巧
（1）划区间，标出分界点 先圈出收费标准里的分段节点（如：用水量不超过 10 吨、超过 10 吨部分），确定自变量落在哪个区间。
（2）巧设未知数 一般设总量（用水量、用电量、通话时长等）为x；先预判x在哪一段。
（3）分段列式，表示总费用
未超过分界数：总费用 = 单价 × 总量
超过分界数：总费用 = 分界基数 × 低价 + 超出部分 × 高价
（4）列方程求解，检验区间 算出结果后，一定要检验：解是否落在自己预判的区间内，不在区间说明预判错误，需要重新列式。
【变式1】为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价：
峰时段（）电价为元/千瓦时；
谷时段（—次日）电价为元/千瓦时．
(1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元；
(2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简；
(3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时．
【答案】(1)57
(2)元
(3)峰时段80千瓦时，谷时段130千瓦时
【详解】（1）解：（元），
答：应付电费57元．
（2）解：峰时段用电x千瓦时，则谷时段用电千瓦时，
所以7月份应付电费为（元）．
（3）解：由（2）可得，解得．
谷时段用电（千瓦时）．
答：7月份峰时段用电80千瓦时，谷时段用电130千瓦时．
【变式2】为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）：
收费方式
年用水量/
单价（元/）
第一阶梯
0~180
4.5
第二阶梯
181~240
6
第三阶梯
240以上
8
(1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元；
(2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量．
【答案】(1)810；1170
(2)
【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元），
乙户居民的水费为（元）．
（2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元．
由于810元元元，
所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足．
设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得
，
解得，
答：丙户居民2025年的用水量为．
【变式3】我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过220度的部分
a
第2档
超过220度但不超过300度的部分
0.55
第3档
超过300度的部分
已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元．
(1)填空：表中a的值为 ；
(2)求小明家10月份的用电量；
(3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量．
【答案】(1)0.5
(2)260度
(3)430度
【详解】（1）解：，
答：a的值为0.5．
（2）解：设小明家10月份的用电量为x度，
∵（元），，
∴，
依题意得：，
解得：，
答：小明家10月份的用电量为260度．
（3）解：设小明家8月份的用电量为y度，
依题意得：，
解得：，
答：小明家8月份的用电量为430度．
【变式4】某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下．
每户居民用电量的范围
电费价格（单位：元/度）
不超过150度的部分
0.6
超过150度，但不超过300度的部分
超过300度的部分
5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元．
(1)表中 ； ．
(2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？
【答案】(1)；
(2)李老师家5月份用电度
【详解】（1）解：根据题意得
（元），
；
（元/度），
；
（2）解：设李老师家5月份用电度，
（元/度），
，
，
列方程得，
解得，
答：李老师家5月份用电度．
题型03 列方程解决日历问题
【典例1】如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏．
(1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________
(2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________；
(3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由．
【答案】(1)20
(2)10，16，22
(3)解：这4个数的和不可能是68，理由如下：
设图3中左上角的数为t，则其他三个数分别为，
当时，
解得，不是整数，
∴这4个数的和不可能是68．
【详解】（1）解：设中间的数为x，则其他两个数分别为，
由题意得，
解得，
∴中间的数为20；
（2）解：设图2中中间的数为y，则其他两个数分别为，
由题意得，
解得，
∴
∴这三个数分别为10，16，22；
（3）略
【变式1】某月的月历表如图所示，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（ ）
A．90 B．60 C．36 D．24
【答案】A
【详解】解：设横行相邻三个数分别为，，，则和为；
设竖列相邻三个数中间数为，，，则和为，
对于 A，若和为，则，
解得：，
则中间数为，横行需，图中无，竖列需，图中无，∴不可能
对于 B，若和为，则，
解得：，
则中间数为，横行，存在
对于 C，若和为，则，
解得：，
则中间数为，竖列，存在
对于 D，若和为，则，
解得：，
则中间数为，竖列，存在
∴只有选项A不可能．
【变式2】如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，．
(1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____．
(2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)22
(2)不能，理由如下：
解：设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，
∵这五个数的和为93，
∴，
解得
是整数
此情况不成立，即这五个数的和不可能是93．
【详解】（1）解：由月历表可知，表示的数比所表示的数大8，
∵所表示的数为14，
∴表示的数为；
（2）略．
【变式3】生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数．
(1)在图1中用正方形框出和最大的九个数；
(2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数；
(3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)解：不能，理由如下：
设框中最中间的数为x，
通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为
，
∴一个框内所有数字之和为，
令，解得，
∵x为整数，故不符合题意，
故按以上方式框出九个数，其和不能为2010．
【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列，
设最中间的数为x，
通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为
，
∴一个框内所有数字之和为，
又∵（x为整数），
∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22，
图略；
（2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12．
（3）略.
【变式4】如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________．
【答案】504
【详解】解：观察数表，可知：，，，
根据题意得：，
解得：．
题型04 列方程解决数字问题
【典例1】三阶幻方的游戏规则：将数字填入个小正方形格子中，使每行、每列及两条斜对角线上的数字和都相等．如图中的三阶幻方填写了部分数字，按照游戏规则，那么其中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设第一行第三列的数为a，第二行第二列的数为b，第三行第三列的数为c，如图，
因为每行、每列及两条斜对角线上的数字和都相等，
根据第一行和第三列得，
∴，
根据右对角线和第三列得，
∴，
根据第一行和左对角线得，
∴，
∴
解得，
根据第二列可得，幻方的和为，
根据左对角线可得，，
∴
．
【变式1】定义一种新运算：对于任意有理数，，都有．
(1)计算：；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：由题意得
（2）解：由题意得
∵
∴
解得
（3）解：由题意得
∵
∴
解得
【变式2】幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是__________．
【答案】或
【详解】解：个数字之和为
横、竖，以及内、外圈上的个数字之和都相等
每组个数字之和为
设内圈左侧数字为
横线上个数字之和为
，
解得
∵内圈上个数字之和为
，
解得
此时已填入的数字为，
剩余数字为
外圈上个数字之和为
外圈下方数字，
即外圈下方数字
剩余数字
的值为或
当时，
当时，
综上所述，的值是或．
【变式3】对幻方的研究体现了中国古人的智慧．左图是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．右图是一个没有填完整的幻方，若处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，则正中间的方格中的数字为__________．
【答案】1
【详解】解：如下表，
∵处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，
∴，
∴，
∴，
∴正中间的方格中的数字为1．
【变式4】如图，将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，分别表示其中的一个数，则的值为_______．
4
2
1
3
0
5
【答案】
【详解】解：∵第二行的三个数为，，，
∴每行、每列、每条对角线上的三个数之和为．
∵第一行的三个数为，，，其和等于公共和，
∴，
解得．
∵第三行的三个数为，，，其和等于公共和，
∴，
解得．
∴．
1．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，三阶幻方是最简单的幻方．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．如图1，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．则在图2的这个“幻方”中的的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：如图，设另外三个圆圈中的数分别为x，y，z，
∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，
∴，
解得；
∴，
把代入得，，解得．
2．周末整理书桌时，小莫翻出一本旧月历．他随意挑了一个月份，发现这个月所有星期天对应的日期相加，总和是85．这个月最后一个星期天是几号？（ ）
A．24 B．28 C．30 D．31
【答案】D
【详解】解：设这个月第一个星期天的日期为，由于相邻两个星期天的日期相差7，
所以①当这个月有四个星期天时，则这四个星期天的日期依次为、、、，
由题意得，解得，
不是正整数，该情况不符合题意舍去，
②当这个月有五个星期天时，则这五个星期天的日期依次为、、、、，
由题意得，解得，
所以最后一个星期天的日期为，符合一个月的天数范围，
故D选项符合题意．
3．如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（ ）
A．63 B．84 C．98 D．106
【答案】D
【详解】解：设“H字框”中间的数为，则框出的七个数分别为、，、、、，，
∴七个数的和为，
当和时，解得：(在日历中存在，合理)；
当和时，解得：(在日历中存在，合理)；
当和时，解得：(在日历中存在，合理)；
当和时，解得：(日历中的数必须是整数，不合理)；
所以，只有对应的方程解不符合实际，因此和不可能是．
4．某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（ ）
A．36元 B．30元 C．24元 D．22元
【答案】B
【详解】解：设小明家六月用水吨，
∵，
∴
由题意得
去括号得，
移项合并得
解得
应缴水费为元．
5．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设该旅游团人数为人，
，
解得．
故选：C．
6．某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（ ）
团购优惠方案
①全体打折
②全场打九折，可以送10个道具
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：方案①：全体打折，每个道具原价元，人共需个道具，因此费用为；
方案②：全场打九折(即原价的倍)，且赠送个道具，因此只需购买个道具，费用为．
因为两种方案费用一样，所以可得方程：．
故选：C．
7．2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准：
购买新车类型
补贴标准
最高补贴
新能源乘用车
新车售价的12%
20000元
2.0L及以下排量燃油乘用车
新车售价的10%
15000元
(1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由；
①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车
(2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？
【答案】(1)①；理由见解析
(2)A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元
【详解】（1）解：①；
理由如下：
∵（万元），1.92万元2万元，
（万元），1.6万元1.5万元，
∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）,
售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元），
∵14.08万元14.5万元，
∴购买①车价格更低；
（2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元．
根据题意可列方程为，
解得，
∴（万元），
答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元．
8．洛邑古城以98.48万春节游客量登顶夜游榜首，免费入园策略撬动文旅新玩法，河南用细节与文化将一次打卡变成深度种草．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为4万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案：
甲厂家
每台可享受九五折优惠
乙厂家
不超过5台需按原价购买，超过部分每台减0.3万元
若该影楼计划购进x（）台相机，请解答下列问
(1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元；
(2)当购买多少台时，在两个厂家购买的费用相同？
【答案】(1)，
(2)当购买15台时，在两个厂家购买的费用相同
【详解】（1）解：甲厂家应付费用：（万元），
乙厂家应付费用：（万元）；
（2）解：由题意，得，
解得．
答：当购买15台时，在两个厂家购买的费用相同．
9．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过240度的部分
a
第2档
超过240度但不超过400度的部分
0.65
第3档
超过400度的部分
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；
(1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元；
(2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量．
【答案】(1)；
(2)老李家11月份的用电量为300度
【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档，
∴，解得，
用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元），
第2档费用：（元），
第3档费用：（元），
总电费：（元）；
（2）解：用电240度时，电费为（元），
用电400度时，电费为（元），
∵，
∴11月份用电量在第2档，
设11月份用电量为度，
则，
解得，
答：老李家11月份的用电量为300度．
10．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
【主题】探究月历与幻方的奥秘
【活动一】
图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．
(1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______；
(2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．）
【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．
(3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______；
(4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）．
【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究．
(5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______．
(6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【详解】（1）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7，
；
（2）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7，
；
（3）解：图5中第二列三个数之和为，
幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于30，
由图5可知，第一行，
解得，
主对角线，
解得；
（4）解：这9个数分别为，
它们的和为，
幻和为，
由图6可知，第二行，
解得；
（5）解：设中心数为，
，
，
；
（6）解：设中心数为，则幻和为，设右上角的数为，
第三行的和等于第三列的和，
，
解得，
副对角线上的三个数之和等于幻和，
，
解得，
幻和为，
，解得，
主对角线上的三个数之和等于幻和，
，解得，
．
1．如图是2026年7月的月历，用“十”字型框(阴影部分)覆盖任意五个数，并求它们的和，则这五个数的和可能是（ ）
A．35 B．80 C．93 D．140
【答案】B
【详解】解：设“十”字形框框出5个数的中间的数为x，则另外4个数分别为、、、，
∴这5个数的和为，
A．根据题意得：，
解得，
∵没有7月0日，
∴框出的这五个数的和不可能是35，
选项A不符合题意；
B．根据题意得：，
解得，
此时这五个数分别是9，15，16，17，23，
∴框出的这五个数的和可能是80，
选项B符合题意；
C．根据题意得：，
解得，
∵x是整数，
∴框出的这五个数的和不可能是93，
选项C不符合题意；
D．根据题意得：，
解得，
∵没有7月35日，
∴框出的这五个数的和不可能是140，
选项D不符合题意．
2．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则（ ）
2
7
8
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】解：幻和为．
∵第三列三个数之和等于幻和，
∴，
∴．
∵左上到右下的对角线上三个数之和等于幻和，
∴，
∴．
∴．
3．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，小明在数表上圈出了a，b，c，d四个数，并求出了它们的和为230．这4个数在数表中的排列位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设各选项图形中最小一个数为x，
当这四个数是A的排列时，则有：
解得，不符合题意；
当这四个数是B的排列时，则有：
解得，符合题意；
当这四个数是C的排列时，则有：
解得，不符合题意；
当这四个数是D的排列时，则有：
解得，不符合题意．
4．今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩，其中给七年级（1）班全体学生配备了一定数量的口罩，若给每个学生发3个口罩，则多30个口罩，若给每个学生发5个口罩，则少50个口罩，请问该班有多少名学生？设该班有为x名学生，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设该班有x名学生，
根据题意可列方程：，
故选B．
5．收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（ ）．
A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元
【答案】A
【详解】，
该用户这个月用水量超过，
设该用户这个月用水量为，根据总水费相等列方程：
，
化简得 ，
移项合并得 ，
解得 ，
这个月应交水费为 元．
6．节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____．
【答案】
【详解】解：∵小明家上月用水未超过，
∴水费仅涉及第一档和第二档计价：
第一档用水量为，
第二档用水量为，
结合总水费列一元一次方程：，
整理得：，
解得．
7．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨
【答案】22
【详解】解：∵，
∴该居民这个月实际用水超过15吨，
设实际用水量为x吨，
依题意，得，
即，
整理得，
解得，
因此．
故答案为：22．
8．我国拥有全世界最大的电动汽车市场，新能源充电桩覆盖范围广，场景适配足．电动汽车在某次充电时，充电桩显示电价为0.5元，服务费为0.4元，该电动汽车开始充电时显示剩余电量为．若本次充电支付费用为45元，求充电完成后电动汽车显示的剩余电量．
【答案】
【详解】解：设充电完成后电动汽车显示的剩余电量为．
根据题意，得．
解得．
答：充电完成后电动汽车显示的剩余电量为．
9．刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
【答案】(1)使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元.
(2)累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元，
使用方案二，单次电费为元；
（2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多，
根据题意可得：，
解得：，
答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
10．根据表格素材，完成表中的任务．
探究优惠购物问题
素材1
九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多．
素材2
该商店给学校提供以下两种优惠方案：
方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款；
方案②：买一个足球送一条跳绳．
现学校要购买足球个，跳绳（）根．
问题解决
(1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？
(2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案．
【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元
(2)当时，两种方案购买总费用相同
(3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱
【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元．
根据题意列方程：
化简得
解得
则足球单价为 （元）．
答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元．
（2）由题意得，， 方案①总费用： （元）
方案②总费用： （元）
令总费用相等，得：
解得．
答：当时，两种方案购买总费用相同．
（3）当时，分别计算不同方案的费用：
①全部使用方案①：总费用为 （元）
②全部使用方案②：总费用为 （元）
③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元）
混合方案费用更低．
答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱．
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专题5.3.3 实际问题与一元一次方程—方案选择与阶段收费
教学目标
1.能读懂方案选择、分段收费问题的实际情境，理清不同方案、不同收费段的数量关系，找准等量关系，列出一元一次方程，规范解题步骤，会检验结果是否符合实际意义。
2.经历分析多种方案、划分收费区间、把实际问题转化为方程模型的过程，体会分类讨论思想、模型思想，提升对比分析和阅读理解能力，辨析分段分界点、方案比较中的常见错误。
3.养成仔细审题、分类梳理、对比验证的习惯，感受方程在决策类问题中的应用价值，增强运用数学解决生活决策问题的信心。
教学重难点
1.重点
读懂分段收费的计费规则与多种方案的条件；找准等量关系列一元一次方程，会利用方程找到不同方案费用相等的临界点，对比选择最优方案。
2.难点
（1）准确识别分段收费的分界点，区分不同区间对应的计费方式，避免跨段计费直接套用单一单价；
（2）方案选择问题中，先求出费用相等的临界值，再分范围讨论判断哪个方案更划算； （3）复杂情境下梳理多个条件，结合实际取值范围检验结果，合理做出方案决策。
知识点01 方案选择问题
1. 解决方案选择问题的具体步骤：
（1） 设：设未知数；
（2） 列式：列出各个方案的表达式；
（3） 比较：带入数值计算出结果比较或者式子之间作差比较；
（4） 选择：根据比较的结果选择合适的方案。
【即学即练】
1．国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元．
(1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？
(2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？
知识点02 阶段收费问题
阶段收费问题：
分段计费问题主要解决的时电费分段，水费分段，网费分段，车费分段，电话费分段等。
总费用＝各分段费用之和。在解决问题时一定要注意各分段中未知数的取值范围，在相应的范围内验证答案是否符合题意。
【即学即练】
1．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实行“阶梯水价”，收费标准如下表：
每户每月用水量
单价
不超过吨的部分
元/吨
超过吨的部分
元/吨
(1)小明家9月份用水12吨，应缴水费多少元？
(2)小明家月份缴水费63元，求小明家月份的用水量．
知识点03 其他实际问题
其他实际问题：
在实际问题与一元一次方程中，还存在一些其他的问题，如年龄问题，数字问题，储蓄问题，面积问题等，基本核心都是找道题目中的等量关系然后列出问题然后解决问题。
年龄问题中注意年龄增加的一致性；
数字问题中注意每一位上数字需成上该位上的倍率；
面积问题中注意基本的面积计算公式。
【即学即练】
1．下图是某月的月历表，从表的竖列任取三个数相加，不可能得到的是（ ）
A．30 B．42 C．36 D．20
题型01 列方程解决方案选择问题
【典例1】某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下：
A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元；
B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费．
(1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明；
(2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？
1.方案选择问题：先找临界值（两种方案费用相等时的数量），再分范围对比费用，选出最优方案。
等量关系：方案A费用 = 方案B费用
2.四步解题技巧
（1）读题，写出每个方案的费用表达式 先明确自变量（如人数、购买数量、通话时长），设为x； 根据规则，分别用含x的代数式表示方案一、方案二的总费用。
注意：看清方案有没有固定费用、起步价、优惠门槛。
（2）求临界点：令两个方案费用相等，列方程 解方程，算出当x等于多少时，两个方案花费一样。这个值就是分界点。
（3）分类讨论，判断优劣
当x小于临界值：比较哪个方案便宜
当x等于临界值：两个方案费用相同
当x大于临界值：另一个方案更划算
（4）结合实际取值检验作答 自变量一般是非负数（人数、数量不能为负），按题目要求给出选择建议。
【变式1】为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下：
购物款不超过200元不享受优惠；
购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
购物款超过600元一律享受八折优惠，
某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元
【变式2】商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台．
(1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
【变式3】某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案：
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球．
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款．
该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）．
(1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元．
(2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？
【变式4】我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下：
运输工具
途中平均费用
（元/千米）
途中平均速度
（千米/时）
装卸时间
（时）
装卸费用（元）
汽车
10
80
2
1000
火车
8
100
4
2000
假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时．
(1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？
(2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？
题型02 列方程解决阶段收费问题
【典例1】年，南充全市新增注册登记新能源汽车2万辆以上，新增充电桩不低于5千个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费2元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费元．
(1)若小王在该充电桩充电小时，需支付费用 元．
(2)若小王在该充电桩充电（）小时，需支付费用 元（用含有的代数式表示）．
(3)小王每周在该充电桩充电一次，某月，小王第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用18元，则小王第一周和第二周各充电多少小时？
1.核心思路
分段收费：一段一段单独算费用，再相加；不同区间计费标准不一样
总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + 第三段费用 + ……
关键点：分清分界点，不跨段直接用同一个单价
2.四步解题技巧
（1）划区间，标出分界点 先圈出收费标准里的分段节点（如：用水量不超过 10 吨、超过 10 吨部分），确定自变量落在哪个区间。
（2）巧设未知数 一般设总量（用水量、用电量、通话时长等）为x；先预判x在哪一段。
（3）分段列式，表示总费用
未超过分界数：总费用 = 单价 × 总量
超过分界数：总费用 = 分界基数 × 低价 + 超出部分 × 高价
（4）列方程求解，检验区间 算出结果后，一定要检验：解是否落在自己预判的区间内，不在区间说明预判错误，需要重新列式。
【变式1】为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价：
峰时段（）电价为元/千瓦时；
谷时段（—次日）电价为元/千瓦时．
(1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元；
(2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简；
(3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时．
【变式2】为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）：
收费方式
年用水量/
单价（元/）
第一阶梯
0~180
4.5
第二阶梯
181~240
6
第三阶梯
240以上
8
(1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元；
(2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量．
【变式3】我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过220度的部分
a
第2档
超过220度但不超过300度的部分
0.55
第3档
超过300度的部分
已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元．
(1)填空：表中a的值为 ；
(2)求小明家10月份的用电量；
(3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量．
【变式4】某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下．
每户居民用电量的范围
电费价格（单位：元/度）
不超过150度的部分
0.6
超过150度，但不超过300度的部分
超过300度的部分
5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元．
(1)表中 ； ．
(2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？
题型03 列方程解决日历问题
【典例1】如图1是2025年12月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏．
(1)任意框出图1某一列中相邻的3个数和为60，则中间的数为____________
(2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为48，则这3个数分别是______________；
(3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数：若不可能，请说明理由．
【变式1】某月的月历表如图所示，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（ ）
A．90 B．60 C．36 D．24
【变式2】如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，．
(1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____．
(2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由．
【变式3】生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数．
(1)在图1中用正方形框出和最大的九个数；
(2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数；
(3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由．
【变式4】如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________．
题型04 列方程解决数字问题
【典例1】三阶幻方的游戏规则：将数字填入个小正方形格子中，使每行、每列及两条斜对角线上的数字和都相等．如图中的三阶幻方填写了部分数字，按照游戏规则，那么其中的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】定义一种新运算：对于任意有理数，，都有．
(1)计算：；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【变式2】幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是__________．
【变式3】对幻方的研究体现了中国古人的智慧．左图是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．右图是一个没有填完整的幻方，若处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，则正中间的方格中的数字为__________．
【变式4】如图，将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，分别表示其中的一个数，则的值为_______．
4
2
1
3
0
5
1．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，三阶幻方是最简单的幻方．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．如图1，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．则在图2的这个“幻方”中的的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．周末整理书桌时，小莫翻出一本旧月历．他随意挑了一个月份，发现这个月所有星期天对应的日期相加，总和是85．这个月最后一个星期天是几号？（ ）
A．24 B．28 C．30 D．31
3．如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（ ）
A．63 B．84 C．98 D．106
4．某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（ ）
A．36元 B．30元 C．24元 D．22元
5．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（ ）
A． B． C． D．
6．某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（ ）
团购优惠方案
①全体打折
②全场打九折，可以送10个道具
A．
B．
C．
D．
7．2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准：
购买新车类型
补贴标准
最高补贴
新能源乘用车
新车售价的12%
20000元
2.0L及以下排量燃油乘用车
新车售价的10%
15000元
(1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由；
①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车
(2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？
8．洛邑古城以98.48万春节游客量登顶夜游榜首，免费入园策略撬动文旅新玩法，河南用细节与文化将一次打卡变成深度种草．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为4万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案：
甲厂家
每台可享受九五折优惠
乙厂家
不超过5台需按原价购买，超过部分每台减0.3万元
若该影楼计划购进x（）台相机，请解答下列问
(1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元；
(2)当购买多少台时，在两个厂家购买的费用相同？
9．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过240度的部分
a
第2档
超过240度但不超过400度的部分
0.65
第3档
超过400度的部分
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；
(1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元；
(2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量．
10．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
【主题】探究月历与幻方的奥秘
【活动一】
图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．
(1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______；
(2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．）
【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．
(3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______；
(4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）．
【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究．
(5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______．
(6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______．
1．如图是2026年7月的月历，用“十”字型框(阴影部分)覆盖任意五个数，并求它们的和，则这五个数的和可能是（ ）
A．35 B．80 C．93 D．140
2．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则（ ）
2
7
8
A． B． C．2 D．4
3．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，小明在数表上圈出了a，b，c，d四个数，并求出了它们的和为230．这4个数在数表中的排列位置可能是（ ）
A． B． C． D．
4．今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩，其中给七年级（1）班全体学生配备了一定数量的口罩，若给每个学生发3个口罩，则多30个口罩，若给每个学生发5个口罩，则少50个口罩，请问该班有多少名学生？设该班有为x名学生，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5．收费标准如下：每月用水不超过，按0.8元/收费，如果超过，超过部分按1.2元/收费．已知某用户某月的水费平均0.88元/，那么这个用户这个月应交水费为（ ）．
A．6.6元 B．7.5元 C．7.8元 D．7.2元
6．节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____．
7．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨
8．我国拥有全世界最大的电动汽车市场，新能源充电桩覆盖范围广，场景适配足．电动汽车在某次充电时，充电桩显示电价为0.5元，服务费为0.4元，该电动汽车开始充电时显示剩余电量为．若本次充电支付费用为45元，求充电完成后电动汽车显示的剩余电量．
9．刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
10．根据表格素材，完成表中的任务．
探究优惠购物问题
素材1
九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多．
素材2
该商店给学校提供以下两种优惠方案：
方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款；
方案②：买一个足球送一条跳绳．
现学校要购买足球个，跳绳（）根．
问题解决
(1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？
(2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案．
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学科网（北京）股份有限公司
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