四川省合江县马街中学校2026-2027学年高二上学期11月期中质量监测数学试题

高2025级2026年秋期高二期中质量监测 数 学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分。考试时间共120分钟。 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号。考试结束，将试卷和答题卡一并交回。 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效。 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级有25人，高三年级有15人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总人数为 A．1440 B．1600 C．1800 D．2400 2．直线的斜率为 A． B． C． D． 3．已知复数z满足，其中为虚数单位，则的虚部为 A． B． C． D． 4．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则    A． B． C． D． 5．已知一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为 A．4 B．6 C．18 D．20 6．已知直线，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知三棱锥的六条棱长分别为，，，，，，则三棱锥的外接球半径为 A． B． C． D． 8．已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有 A．直线的斜率越大，倾斜角越大 B．直线在轴上的截距为 C．直线的斜率为 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 10．设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立， 11．如图，已知正方体的棱长为2，为的中点，点满足，下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则存在点使得，，，四点共面 C．若，则四面体的体积为定值 D．若，，则直线与平面所成角的正弦值为 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数据:1，2，3，5，6，10，9，8，7的分位数是_____. 13．已知点，，，则点到直线的距离是______. 14．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16．（15分） 一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； (2)全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用上述数据计算全班学生的平均分，总方差. 17．（15分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 18．（17分） 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 19．（17分） 如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. (1)若平面，求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积的最小值. 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $高2025级2026年秋期高二期中质量监测 数学参考答案 一.单选题 题号 2 3 4 5 6 个 8 答案 c c A A C A B 二.多选题 题号 0 10 11 答案 BD ACD BCD 三.填空题 6 8 12.7 13.3 14.243 四.解答题 3= -2+xc 2 15.解：(1)因为 ,点 为边 的中点，所以有 1+yc 可得 …3分 A(-2,1) M(3,1) 1= AC 2 C(8,1) 1-31 又因为B(4,3),所以kc=8-42 4分 因为AD是BC边上的高， 所以有ko·kC=-1,即2X水01，解得kD=25分 所以高4D所在直线的方程为'-1=2(x+2）,即2-y+5=0. …6分 (2)由(1)知 (8,1) ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为y=, 1 因为该直线过点C,所以有1=8，解得k=g,则所求直线方程为y=g；…9分 ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为。+Q+0 .…10分 为直线过点C,所有8+。解得。=9，则所武直线方程为x+y一90卫 1 综上，过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为少=8或x+y-9=0.…13分 16解：(1)各组小矩形的面积之和为1， 第1页（共2页） 0.01+0.01+0.02+a+0.02+0.01)×10=1 所以 解得a=0.03 …3分 由频率分布直方图可知：众数为75…4分 平均数为=45x01+55×01+65×0.2+75x0.3+85x0.2+95×01=72 …6分 「40,80) (0.01+0.01+0.02+0.03)×10=0.7<0.8 设第80百分位数为x,成绩在 的频率为 40,90) 0.01+0.01+0.02+0.03+0.02)×10=0.9>0.8 成绩在 的频率为 所以*∈80,90) …7分 0.7+0.02×(x-80)=0.8 解得x=85 .9分 故估计样本成绩的众数为75，平均数为72，第80百分位数为85. -32×72+16×75 (2)依题意，得两组成绩合并后的总平均数为2= =73 32+16 .…12分 ®方差°-24i6226+(2-为j]+16[20+(5-7为j]}-26 故全班学生的平均分73，总方差26… …15分 17。Q①拟4为原点，B为轴。1C为y轴，从为轴缝立空间直角坐标系 A B …1分 AB=AC=AA=2 由题意可知 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,2,2) …3分 M是AC中点，M(Q1.0),N是4G中点 N(0,1,2) …4分 第2页（共2页） CW=0-1-2,=0L,2,所以CW=-.得CM1W …5分 又MWNc平面 ABN CM￠ ABN 平面 …6分 CM//ABN 由线面平行判定定理得 平面 …7分 (2.8=2,02).AN=(01,2)BM=(-2,1-2) …8分 i4B =2x+22=0 设平面ABN的法向量为n=(化，y,2),则i·AN=y+2z=0’ B,M·n=(-2)×(-1)+1×(-2)+(-2)x1=-2|BM·n=2 B,M卡V-22+1P+(-22=31nV-2+(-2)2+12=V6 …10分 sin=- BM.n 2 6 设直线B,M与平面AB,N所成角为B, B,M-川n3v69.…12分 (3)点M到平面 ABN 的距离， AM=(0,1,0) .…13分 d-AM.nl2v6 AM·n=0x(-)+1x(-2)+0x1=-2,故4=1m6=3… …15分 18.(1)①记事件4为“至少收到-次0，则P(A)=2x×名+×{-5 33339,…3分 ②证明：记事件B为“第三次收到的信号为1心，则P(8)=1-3 44· …4分 记事件C为“三次收到的数字之和为2”， 223.211.1214 则P(C)-号行×4+号×3x4**49 6分 2111211 因为P(BC)3*3*433×4gPB)P(C) …8分 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.…9分 (②记事件M为“采用三次传输方案时译码为0，则P(M)=3p-)+内 …10分 记事件N为“采用单次传输方案时译码为心，则PW)=P? …11分 第3页（共2页） 根据题意可 P(M）>P(N）,则3n-p)+p时>h13分 因为0<B<1,所以3.(1-P)+p>,2p-3n+1<0 …15分 解得2hs1 ，故P2的取值范围为 …17分 19.解：(1)设ACOBD=H,如图， 因为AM∩PO=G,所以G∈AM,G∈PO, 因为AMC平面EAC,POC平面EBD,所以G∈平面EAC,G∈平面EBD…1分 因为平面EAC∩平面EBD=EH,所以G∈EH,所以点G也是AM与EH的交点， 即点G是AEAC的重心，所以 EG=2.… …2分 因为BD/平面A0MP,平面EBD∩平面AMP=P吧…3分 所以BD∥PQ,所以QBGH 0EG24分 (2)分别以HA,HB,HE所在直线为x,y,2轴建立空间直角坐标系，如图所示.…5分 因为4B=22,EA=25,所以4(20,0），B(0,20),E(00,4.C(-20,0) …6分 因为4W=+号Ec=(-20,4)+（-2.0-4)=(-30,2), 0=店+西-(2a4到+2-(2g别 -3x+2z=0 设平面40n的法向量为m=k小则2+号管：=0。 文A 2 …8分 又平面ABCD的一个法向量为 =(0,0,1) …9分 第4页（共2页） cos(m,）= m:i=3=9 所以 m阿x, 3 9 即平面AgMP与平面ABCD的夹角的余弦值为i……11分 (3)四棱锥E-AQMP的体积 1 V-V--xx=Sre. 3 12分 由(1)知，P吧恒过点G,点G为AEBD的重心设E匝=ED,面=E(2,ue[0,) 因为c号历+兮D:印+立0，pG:Q点共酸 3 3 3u 1+1=1+L=3 所以3234，即元4 …14分 11=322 1 4 由基本不等式可得2"“ √，所以u≥)，当且仅当=u= 3时取等号.…15分 oS∠BED= 20+20-163 因为 =2×2V5×255,所以 ZBED子…l6分 所以S△EPO= EP EQxm/BED25x25 5 9 32 所以四棱锥E-AQMP的体积的最小值为g.…17分 第5页（共2页）