四川省成都市第七中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试卷

2026一2027学年度上期高2028届期中考试 数学试卷 考试时间:120分钟 满分:150分 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑:作答非选择题时, 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将答题卡交回。 第I卷(选择题,共58分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.直线x-√3y+1=0的倾斜角为() A.150 B.120 C.60 D.30 2.已知空间向量a=(20.0),6=( -是,,0),则口+1等于() A.√7 B.√13 C.√1g D.5 3.已知动点P到两个定点(0,-2)、(0,2)的距离之和等于6,则点P的轨迹方程为() A.若+若=1B.号+￥=1 c.+苦-1 D.詈+号=1 4.在三棱锥O-ABC中,设OA=a,OB=b,OC=c.点M为棱AB的中点,点N为线段CM 的中点,则O=() A.a++ic B.a++e C.a++c D.a+b+gc 5.设R,R是椭圆C:号+苦=1的两个焦点,点P在C上,且PR1PR,则P:P=() A.2 B.4 C.6 D.8 6.己知空间四点A(1,1,0),B(0,1,1),C(1,0,1),D(2,2,t),若A、B、C、D四点共面, 则t=() A.2 B.0 C.-2 D.-4 7.已知圆C:x2+y2-2x-3=0,直线1:mc-y+1=0(m∈R),则直线1被圆C截得的弦长的最 小值为() A.2 B.22 C.23 D.4 8.已知椭圆E:军+=1,点M(a,N()是E上两点,且要+=0,则+-4+ 4 x2十y2-4④的最大值为() A.8+2√/10 B.8+W10 C.8+2w5 D.4+√10 第1页,共4页 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.某校随机抽取100名学生的数学成绩(单位:分),频/距+ 分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,绘 制成频率分布直方图如图所示.则下列说法中正确的是 0.030 () 0.020 A.a=0.045 0.005 B.估计样本的平均数为76分 70 90 100 成练 C.估计样本的中位数为76.25分 D.估计样本的第80百分位数为85分 10.在正方体ABCD一ABCD1中,点E、F分别为棱BB、DD,的中点,则下列说法中正确的是 () A.直线AC与平面ABCD所成角的正弦值为号 B.异面直线AB与AD,所成的角为晋 C.平面A,BD与平面A,EF的夹角余弦值为2y2 3 D.平面A,EF截该正方体所得截面的形状为正方形 11.已知两点A(-2,0),B(2,0),记方程 (x+2)(x-2)+mxy+ny2=0(其中m∈R,n>0) 所表示的曲线为m.m,则下列说法中正确的是() A.曲线「.1表示以AB为直径的圆 B.曲线T.4上异于A、B的点P与A、B连线的斜率之积为-4 C.曲线「m.n关于直线y=x对称的充要条件是n=1 D.对任意n>0、m2<4n,曲线厂m.m中所有斜率为1的平行弦的中点都在直线(2+m)x+ (m+2m)y=0上 第 卷(非选择题,共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知事件A,B相互独立,且P(A)=3,P(B)=7,则P(AB)= 第2页,共4页 3,.已知椭圆C:+{=1@>b>0)的左右焦点分别为,乃,过?且垂直于x轴的直线与 交于A、B两点.若 ABE为正三角形,则C的离心率为 14.己知线段AB的长为6,端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,R为线段AB的中点,则点R的轨 迹方程为 :已知点P(0,9),点Q为直线L:x+y-10=0上的动点,则RQ+号P风的最小 值为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)某校高二年级有男生600人、女生400人,现按性别进行分层随机抽样,从中抽取容量为 50的样本.对这50名学生的一次体能测试成绩(单位:分)进行统计,得到男生样本的平均数为220、方差为 70,女生样本的平均数为210、方差为40 (1)求样本中男生、女生的人数: (2)求这50名学生成绩的平均数: (3)分层随机抽样的样本方差可按下式计算: 9=兴[好+(国-明+兴[+(国- 其中n为样本容量,n、n2分别为两层的样本量,①、s?与2、s号分别为两层的样本平均数与样本方 差,元为总样本平均数,求这50名学生成绩的样本方差,并据此估计该校高二年级全体学生体能测试成绩 的方差 16.(15分)己知圆O:x2+y2=4,点A(2,4),过点A作圆O的两条切线,切点分别为M、N. (1)求这两条切线的方程,并求{MN的长; (2)过点A的直线l与圆O交于D、E两点,求 ODE面积的最大值. 第3页,共4页 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的四个项点分别为O(0,0),A(4,0),B(4,2), C(0,2),点D为边BC的中点 (1)求 OBD的外接圆的方程: (2)将 ABD沿直线AD 翻折到 AED的位置(点B的对应点为E),使得平面 EAD⊥平面OADC ①证明:OD⊥平面EAD: ②求点C到直线AE的距离. 18.7分)已知椭圆:器+兰=1a>6>0)经过两点(3,0),(5,2)】 (1)求T的方程: (2)己知点A(0,1),B(0,-1),设点C(x0,0)(x0≠0)在T上,直线AC、BC分别与T交于另一点 D、B ①求直线DE的方程(用,yo表示): ②过点C作DE的垂线,交直线DE于点T,试问 TAB的周长是否为定值?若是,请求出该定值: 若不是,请说明理由. 19.(17分)在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=2W3,AC=2.点B在平面ABC内运 动(不与A、C共线),在运动过程中始终保持∠APB=30 .记平面ABC为 . (1)求直线PA与平面ABC所成角的大小; (2)以C为原点、CA为x轴正方向、 为xOy坐标平面建立空间直角坐标系,求点B在《内的轨迹 的方程,并求三棱锥P-ABC体积的最大值; (3)求点C到平面PAB距离的最大值, 第4页,共4页 参考答案与评分细则 一、单项选择题(每小题5分,共40分) 题号 y 2 3 4 6 7 8 答案 D A D B D C B B 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 题号 9 10 11 答案 BCD AC ACD 三、填空题(每小题5分,共15分。第14题第一空2分,第二空3分) 题号 12 13 14 答案 3 3 x2+2=9:92 2 四、解答题(共77分) 15.(13分) (@)该校高二年级共60+400=10人,抽样比为80=六 故样本中男生人数为600 易=30(人),女生人数为400 品=20(人).4分) (2)这50名学生成绩的平均数为 x=30x 220+20 210=6600+4200=216 50 50 即这50名学生成绩的平均数为216分.(7分) (3)由(1)(2)知n1=30,2=20,n=50,x=216,x1=220,x2=210,s7=70,s号=40,于是 =0[70+(220-216]+8[40+(210-216] =0.6 (70+16)+0.4 (40+36)=51.6+30.4=82 故这50名学生成绩的样本方差为82: 用样本方差估计总体方差,可估计该校高 二年级全体学生体能测试成绩的方差约为82.(13分) 16.(15分) (1)圆O的圆心为O(0,0),半径r=2. ①当切线斜率不存在时,过点A(2,4)的直线为x=2,圆心O到该直线的距离为2=T, 故x=2是一条切线。 第1页,共5页 ②当切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x一2),即kx-y+4-2k=0。由圆 心到切线的距离等于半径,得 4-2N=2 W2+1 即(4-2k)2=4(+1),整理得-16k+12=0,解得k= 4 故另一条切线为y-4=(c-2),即3x-4划+10=0. 所以两条切线的方程为x=2与3x一4y十10=0.(4分) 设切点为N(x,y),则x2+y2=4,且ON⊥AN,故x(2-x)+y(4-y)=0,即2x+ 4=4,化简得x+2y=2. 由x=2-2y代入x2+y2=4,得5y2-8y=0,解得y=0或y=号,对应切点为 M2,0)与N(-号,号).于是 M=V9)+(T=8Y5 5 即N=85.(8分) (2)设圆心O到直线1的距离为d.因为1与圆O交于两个不同的点,所以0≤d<2, (10分) 由勾股定理得DE=2√(4-).于是 S=2lD8d=dW4-平≤e+4-=2 2 (13分) 当且仅当d2=4-dP,即d=√2时取等号.此时直线1的方程可为x一y+2=0(该直 线过A(2,4),圆心O到它的距离为√2<2,与圆交于两个不同的点) 故 ODE面积的最大值为2.(15分) 17.(15分) (1)因为B(4,2),C(0,2),D为BC的中点,所以D(2,2) 设 OBD的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则 F=0 [D=-6 8+2D+2E+F=0 解得{E=2 20+4D+2E+F=0 F=0 所以 OBD的外接圆方程为x2+y2-6x+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=10.(5分) (2)在 ABD中,|ABI=1BD|=2,|AD|=2W2,故|AB+|BDP=|AD2,即AB⊥ BD. 设H为点B在AD上的射影,则H为AD的中点,H(3,1),且 第2页,共5页 IBHI IAB-BDL =V2. BDI 翻折后EH⊥AD,且|EH川=|BH川=√2:又平面EAD⊥平面OADC,交线为AD, EHC平面EAD且EH⊥AD,故EH⊥平面OADC. 以O为原点,OA、OC所在直线分别为x轴、y轴,过O且垂直于平面OADC向上的直 线为z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(4,0,0),C(0,2,0),D(2,2,0),H(3,1,0),(3,1, √2). ①由上述坐标得OD=(2,2,0),AD=(-2,2,0),A2=(-1,1,√2). 于是ODAD=-4+4=0,ODAE=-2+2+0=0,即OD⊥AD,OD⊥AE. 又AD∩AE=A,AD、AEC平面EAD,故OD⊥平面EAD.(10分) ②由A(4,0,0)、C(0,2,0)、E(3,1,W2)得AC=(-4,2,0),AE=(-1,1,√2),于是1AC2 =20,ACA尼=4+2+0=6,|A=2. 设点C在直线BA上的射影为K,则1A=AC延 =3,由勾 股定理得点C到直线 |A面 AE的距离 d=√AC-AT=V20-g=Vm 即点C到直线AE的距离为√I.(15分) 18.(17分) (1)由下过点3,0)得9=1,故a2=9: (232 由r过点(6,2)得多 3 9 62 =1,即嘉=号故=2 所以T的方程为号+号=1.4分剂 (2)①由C(xo,0)在T上得2x6+9y6=18. 直线AC的方程为y=6-1x+1,记k=,代入22+9y=18得2+9)r+ To 18kx-9=0. -9 达定理D三2+93而2+9=2+9%-1=93-20成 呢 x 一品 20=903-20=26-3 2%-3+1-3-4 进而yo=kxp+1=%-1 20-3 同理,由直线BC:g=x-1可得6=一 To To g加=激将于是 第3页,共5页 k=D-妮=3(6-2)=_2 ED一TE 3yo (其中用到6-2=-2).代入点D可得直线DB的方程为2x+36y+6=0. 所以直线DE的方程为2oc+3y则+6=0.(9分) ②因为CT⊥DE且过点C,而DE的法向量为(2xo,3yo),故CT的方向向量为 (2x,3y0),其方程为 3y0(x-x0)-2x(y-0)=0,即3yox-2x0y-xoyo=0(12分) 点T为直线DE与CT的交点,联立2xox+3yy=-6与3yox-2xoy=xoy0 两式分别乘2、30后相加,并利用26+96=18及始=2-2,得 -2 r=(36-12=-号(9+) 46+9y62(9+x) 两式分别乘3如、2后相减,同理得y=一%,故点T的坐标为T(-号,一0) (14分) 于是( 号广+-普+要-1,即点公恒在椭圆2+号=1上 该椭圆的长半轴a=√2,短半轴b=1,故半焦距c=√(2-1)=1,其焦点恰为点A(0,1) 与B(0,-1).由椭圆的定义得1TA+TB=2a=2√2. 又|AB=2,且由xo≠0知点T不在直线AB上, TAB存在.故 TAB的周长为2W2 +2,是定值.(17分) 19.(17分) (1)因为PC⊥平面ABC,故点P在平面ABC内的射影为C,从而PA在平面ABC内 的射影为AC,∠PAC就是直线PA与平面ABC所成的角 在Rt PAC中,tan∠PAC= 1PC=25=V3,故∠PAC=60 ,即直线PA与平面 AC 2 ABC所成角为60 .(4分) (2)由条件得C(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,2√5),设B(x,y,0)(y≠0,且B不与A、C共线). PA=(2,0,-2W5),PB=(x,,-2W3),lPA=4,由∠APB=30 得 2x+12=3 4Vx2+y2+122 即x+6=√5x2+y2+12,两边平方并整理,得2x2+3y2-12x=0,即 c-3y+买=1 9 6 所以锁迹r为椭圆色。3+号=1,去掉Q0)与6.0)两点.(8分) 9 第4页,共5页 又V=号SawPO=号 分 2 d 25=25,而由轨迹方程得=6-号z- 3)2≤6,故y≤6,于是 v≤256=22 当B(3, √6,0)时取到,故三棱锥体积的最大值为2W2.(10分) (3)作CH⊥平面PAB,交平面PAB于点H,AH、PHC平面PAB,所以CH⊥AH,CH ⊥PH.取M为PC的中点,N为AC的中点,则M(0,0,√3),N(1,0,0)在Rt PHC中,MH 为斜边PC上的中线,故MHl=PC=V3:在t AHC中,NHl=AC=1. 2 2 所以点H恒在以M为球心、√为半径的球面上, 也在以N为球心、1为半径 的球面上,即H在两定球的交圆上. 又IMN1=2,设交圆圆心为O'、半径为r、lMO川=h,则3-h2=1-(2-h)2,解得h= 多=3-号=是,即r=罗:且MG=3,C=1,故点C也在此圆上 于是1C刚≤2r=3.当x=2,B(2, 4,0)时,点C在该平面PAB上的射影为H (号,0,),等号成立. 故点C到平面PAB距离的最大值为√.(17分) 第5页,共5页