专题6.2 二次函数的图像与性质 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 6.2 二次函数的图像和性质 （新教材苏科版） 知识点一、二次函数的图像与性质 2 知识点二、二次函数的图象变换 3 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 4 【题型1 的图像和性质】 5 【题型2 的图像和性质】 6 【题型3 的图像和性质】 7 【题型4 的图像和性质】 7 【题型5 把化为顶点式】 8 【题型6 画的图像】 8 【题型7 的图像和性质】 11 【题型8 的最值】 11 【题型9 二次函数图像与各项系数符号的关系】 12 【题型10 根据二次函数图像判断式子符号】 13 【题型11 一次函数、二次函数综合判断】 14 【题型12 反比例函数、二次函数综合判断】 15 【题型13 二次函数图像的平移】 16 【题型14 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 17 【题型15 根据二次函数的对称性求函数值】 18 【题型16 根据二次函数的对称性求最短路径】 19 【探究式学习】 20 【课后检测】 25 【复盘笔记】 32 知识点一、二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为顶点式中的k或一般式中的. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 知识点二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，仅改变对称轴的位置，不改变函数的增减性规律，仅增减区间的位置随对称轴平移。 2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 【题型1 的图像和性质】 【例1】函数与的图象在同一坐标系中可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列说法错误的是（     ） A．二次函数中，当时，y随x的增大而增大； B．二次函数中，当时，y有最大值0； C．二次函数中，a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大； D．不论a是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点． 【题型2 的图像和性质】 【例2】已知点在抛物线上，则点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，将抛物线绕着原点旋转，得到的抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】上有三个点，，，则、、的大小关系是（） A． B． C． D． 【变式2-3】关于的二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【题型3 的图像和性质】 【例3】已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，是二次函数图象上不同的两点，则当时，二次函数的值为（     ） A． B．0 C．2026 D．无法确定 【变式3-2】若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】关于二次函数，以下说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．可以由抛物线向右平移2个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而增大． 【题型4 的图像和性质】 【例4】已知二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．图象的开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为5 【变式4-1】下列关于抛物线的叙述，正确的是（     ） A．开口向上 B．抛物线的对称轴在y轴左侧 C．与y轴正半轴可以相交 D．当时，y随x的增大而减小 【变式4-2】抛物线过，，三点，则，，的大小关系是(     ) A． B． C． D． 【变式4-3】已知在抛物线上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型5 把化为顶点式】 【例5】已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】二次函数向上平移2个单位长度，向右平移2个单位长度后得到的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】将二次函数的图象向右平移2个单位后，再作关于轴的轴对称变换得到二次函数．则的解析式，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】将二次函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【题型6 画的图像】 【例6】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【变式6-1】已知二次函数，下表是的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 ．．． (1)补全表格，并写出该函数图象的对称轴和顶点． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？的值为多少时，有最大值（或最小值）？ 【变式6-2】已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … __①__ 2 __②__ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而______； ②当______时，y有最大值为______； ③当时，y的取值范围是______． 【变式6-3】平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … (1)的值为__________； (2)画出该函数图象； (3)点，都在二次函数的图象上． ①若，则__________； ②若，则__________（填写“>”“<”或“=”）． 【题型7 的图像和性质】 【例7】已知二次函数经过点，点，点，那么的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】二次函数，当时，y的最大值是（     ） A． B． C．3 D．4 【变式7-3】已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中： ①；②；③；④ 其中，正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【题型8 的最值】 【例8】二次函数有最大值为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】二次函数在上的最大值与最小值的差为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-2】下列关于二次函数的图象和性质说法正确的是（   ） A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的对称轴为直线 C．该函数的最大值为 D．当时，随的增大而减小 【变式8-3】已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型9 二次函数图像与各项系数符号的关系】 【例9】已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式9-1】二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【变式9-3】如图是二次函数的图像，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型10 根据二次函数图像判断式子符号】 【例10】如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 【变式10-1】如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 【变式10-2】如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 【变式10-3】二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型11 一次函数、二次函数综合判断】 【例11】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】在同一坐标系内，函数 和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【题型12 反比例函数、二次函数综合判断】 【例12】在同一坐标系中，二次函数与的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【题型13 二次函数图像的平移】 【例13】下列抛物线只通过平移能与抛物线重合的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】将二次函数图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到新图象的函数表达式为，则原表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】如果将抛物线向左平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点M在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（     ） A．持续上升 B．持续下降 C．先上升再下降 D．先下降再上升 【变式13-3】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线为（     ） A． B． C． D． 【题型14 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例14】抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法正确的是（     ） x ．．． 0 1 ．．． y ．．． ．．． A．对称轴是直线 B．抛物线开口向上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【变式14-1】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】若拋物线经过，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式14-3】我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【题型15 根据二次函数的对称性求函数值】 【例15】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式15-1】若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，二次函数的图象（未画出）与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（      ） A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【变式15-3】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【题型16 根据二次函数的对称性求最短路径】 【例16】已知关于x的二次函数的图象，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作点B关于对称轴对称的点P； (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使的周长最短． 【变式16-1】如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【探究式学习】 1．在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； (3)根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． 2．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解： ∴当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 填空：①代数式，则A的最小值为________； ②代数式，则B的最大值为________． (2)【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由． (3)【创新应用】如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 3．【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．例如，求的解． 思路：在二次函数中，若取x的值为，使得相应的函数值，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间． (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程的一个解，过程如表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． (2)【迁移应用】 若关于x的方程有两个不同的解，恰有一个解落在与之间，求m的取值范围． 4．下面是探究函数的图象和性质的过程，请阅读并回答相关问题： 【绘制图象】 (1)列表，得： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 m 1 … 表格中m的值为______； (2)在平面直角坐标系画出该函数图象（部分点已描出）； 【探究性质】 (3)下列关于该函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①该函数图象关于y轴对称；②当时，y有最小值为：③方程的解是，；④当时，y的值随x值的增大而减小． 【解决问题】 (4)若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______． 【课后检测】 1．将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（     ）． A． B． C． D． 2．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（     ） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 3．将抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 6．已知抛物线，则当时，函数的最小值为（     ） A． B． C．0 D．2 7．小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，画出了以下表格： x … 0 1 2 3 … y … a b c … 遗憾的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小明只记得遗忘的三个数中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是（   ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致如图（     ） A． B． C． D． 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②若，是抛物线上的两点，则；③④；⑤（其中）；其中正确的结论是（      ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 10．如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且．有下列结论： ①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；⑤若且，则；其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．点都在抛物线上，则的大小关系是______ 12．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 13．已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，随的增大而增大．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式：______． 14．已知抛物线先左移2个单位长度，再关于轴对称后，得到的新抛物线为，则________． 15．如图，抛物线与x轴交于，，交轴负半轴于点，点为抛物线顶点，则下列结论：①；②；③(为任意实数）④直线与轴交点坐标为，其中正确的是____．（填序号） 16．已知二次函数 (1)求出该函数的顶点坐标； (2)当x______时，y随着x的增大而增大． 17．已知二次函数的解析式． (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，x的取值范围是_________． 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若，求点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过、两点，点在轴上，连接．、分别是、上的一点，且，若，， (1)求证：； (2)求点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．已知点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点． (1)求，的值； (2)若，求的面积的最大值． 21．如图1，边长为4的正方形中，点E在边上（不与点A，B重合），点F在边上（不与点B，C重合）． 第一次操作：将线段绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G； 第二次操作：将线段绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H； 依次操作下去 (1)图2中的是经过两次操作后得到的，其形状为______，求此时线段的长； (2)若经过三次操作可得到四边形． ①请判断四边形的形状为______，并证明． ②以①中的结论为前提，设的长为x，四边形的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围； (3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由． 22．某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（已知是的一次函数）： 第天 …… 每件进价（单位：元） …… (1)直接写出与的函数关系式； (2)统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元； ①求该店每天利润的最大值； ②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围． 23．如图，在平面直角坐标系中，，．已知抛物线． (1)若该抛物线经过点A，且对称轴在y轴右侧． ①求a的取值范围； ②若该抛物线顶点的纵坐标为4，求抛物线的表达式． (2)若该抛物线经过点B，且与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 77 页 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 6.2 二次函数的图像和性质 （新教材苏科版） 知识点一、二次函数的图像与性质 2 知识点二、二次函数的图象变换 3 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 4 【题型1 的图像和性质】 5 【题型2 的图像和性质】 7 【题型3 的图像和性质】 9 【题型4 的图像和性质】 11 【题型5 把化为顶点式】 13 【题型6 画的图像】 14 【题型7 的图像和性质】 19 【题型8 的最值】 21 【题型9 二次函数图像与各项系数符号的关系】 23 【题型10 根据二次函数图像判断式子符号】 26 【题型11 一次函数、二次函数综合判断】 30 【题型12 反比例函数、二次函数综合判断】 32 【题型13 二次函数图像的平移】 35 【题型14 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 37 【题型15 根据二次函数的对称性求函数值】 40 【题型16 根据二次函数的对称性求最短路径】 43 【探究式学习】 45 【课后检测】 55 【复盘笔记】 77 知识点一、二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为顶点式中的k或一般式中的. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 知识点二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，仅改变对称轴的位置，不改变函数的增减性规律，仅增减区间的位置随对称轴平移。 2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 【题型1 的图像和性质】 【例1】函数与的图象在同一坐标系中可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况，结合抛物线开口方向、直线倾斜方向与截距，逐一排除错误选项． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 当时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故A选项正确；B、C、D选项均不正确． 【变式1-1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求； D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求； 故选：C． 【变式1-2】在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的正负确定抛物线开口方向及直线经过的象限，结合直线与轴交点坐标进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，直线与轴交点为 ∵选项D中直线与轴交于负半轴， 排除选项D； 当时，二次函数图象开口向上，一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴选项A中直线经过第二、四象限，的符号矛盾，选项B符合； 当时，二次函数 图象开口向下，一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴选项C中直线经过第一、三象限，的符号矛盾． 【变式1-3】下列说法错误的是（     ） A．二次函数中，当时，y随x的增大而增大； B．二次函数中，当时，y有最大值0； C．二次函数中，a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大； D．不论a是正数还是负数，抛物线的顶点一定是坐标原点． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵二次函数中，对称轴为轴． ∴当时，随的增大而增大，A正确． ∵二次函数中，开口向下，顶点为原点． ∴当时，有最大值，B正确． ∵抛物线开口大小由决定，越大开口越小，越小开口越大． ∴当时，越大开口越大，与C中描述不符，C错误． ∵抛物线的顶点坐标为． ∴不论是正数还是负数，顶点都是坐标原点，D正确． 【题型2 的图像和性质】 【例2】已知点在抛物线上，则点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数图象上点的坐标特征与轴对称性质求解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入解析式得，即点的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点的纵坐标不变，横坐标为，即坐标为． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，将抛物线绕着原点旋转，得到的抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绕原点旋转的点的中心对称性质，代入原抛物线表达式推导新表达式． 【详解】解：设旋转后抛物线上任意一点的坐标为， ∵ 抛物线绕原点旋转， ∴ 点关于原点的对称点在原抛物线上， 将代入原表达式，得， 整理得． 【变式2-2】上有三个点，，，则、、的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ，，． ∵， ∴，即． 【变式2-3】关于的二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：当时，抛物线的开口向上，顶点在轴上方，没有符合题意的选项当时，抛物线的开口向下，顶点在轴下方，对照各选项，选B． 【详解】解：A选项：抛物线开口向上，，抛物线的顶点应在轴上方，故A选项不符合题意； B选项：抛物线开口向下，，抛物线的顶点应在轴下方，故B选项符合题意； C选项：抛物线开口向上，，抛物线的顶点应在轴上方，故C选项不符合题意； D选项：抛物线开口向下，，抛物线的顶点应在轴下方，故D选项不符合题意． 【题型3 的图像和性质】 【例3】已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时， ． 当时，． 当时，， ∵， ∴． 【变式3-1】已知，是二次函数图象上不同的两点，则当时，二次函数的值为（     ） A． B．0 C．2026 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用二次函数的对称性，由A、B纵坐标相同确定为抛物线对称轴，代入解析式求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，是抛物线上纵坐标相同的两点， ，关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为直线， ， 将代入解析式， 得． 【变式3-2】若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在上得到，依次把四个选项中点的横坐标代入计算函数值，验证得到横坐标为时函数值等于，确定在抛物线上． 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ ． ∵抛物线可以看作是抛物线向右平移 1 个单位得到，函数平移规律为左加右减． 将各选项坐标代入验证： 选项：把代入右边：， ∵ ， ∴ ， ∴ 点满足解析式． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 故选：． 【变式3-3】关于二次函数，以下说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．可以由抛物线向右平移2个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而增大． 【答案】D 【详解】解：二次函数为顶点式，对应，，. 对称轴为直线，顶点坐标为，故A、B错误. 将抛物线向右平移2个单位长度，得，与题中函数不符，故C错误. ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D正确. 【题型4 的图像和性质】 【例4】已知二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．图象的开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为5 【答案】C 【分析】该函数为二次函数顶点式，可直接确定开口方向、对称轴与顶点坐标，据此判断各选项． 【详解】解：由二次函数得，，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴图象开口向下，函数有最大值，A、D错误；对称轴为直线，B错误， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，C正确． 【变式4-1】下列关于抛物线的叙述，正确的是（     ） A．开口向上 B．抛物线的对称轴在y轴左侧 C．与y轴正半轴可以相交 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】通过配方得到抛物线顶点式，结合开口方向、对称轴、与轴交点及增减性判断各选项． 【详解】解：对抛物线配方得． ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向下，A错误． 抛物线对称轴为直线，在轴右侧，B错误． 当时，， ∴抛物线与轴交于负半轴，C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，D正确． 【变式4-2】抛物线过，，三点，则，，的大小关系是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】无需计算参数，利用二次函数性质，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上． ，，， ∵， ∴． 【变式4-3】已知在抛物线上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【题型5 把化为顶点式】 【例5】已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】无需计算参数，利用二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小. 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴. 【变式5-1】二次函数向上平移2个单位长度，向右平移2个单位长度后得到的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将二次函数化为顶点式，可得二次函数的顶点坐标为，再根据点的平移，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数向上平移2个单位长度，向右平移2个单位长度， ∴平移后顶点坐标为． 【变式5-2】将二次函数的图象向右平移2个单位后，再作关于轴的轴对称变换得到二次函数．则的解析式，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左加右减，关于ｘ轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，解答即可． 【详解】解：向右平移2个单位得.关于轴对称后得． 【变式5-3】将二次函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据抛物线平移的规则写出平移后的关系式即可． 【详解】解：， 向上平移2个单位长度，得， 向左平移3个单位长度，得 ，． 【题型6 画的图像】 【例6】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x＝2， 又∵当x≤1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0， ∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4， ∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4， 解得a＝﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 【变式6-1】已知二次函数，下表是的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 ．．． (1)补全表格，并写出该函数图象的对称轴和顶点． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？的值为多少时，有最大值（或最小值）？ 【答案】(1)补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 对称轴直线为，顶点坐标为 (2) (3)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 【分析】（1）分别求出，，时对应的y值，然后补全表格，最后再写出对称轴直线以及顶点坐标即可； （2）描点，连线即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 补全表格略； 二次函数的对称轴直线为，顶点坐标为． （2）略； （3）解：结合函数图象可知：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 【变式6-2】已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … __①__ 2 __②__ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而______； ②当______时，y有最大值为______； ③当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)①；②3 (2) (3)①减小；②1，3；③ 【分析】（1）将对应的x值代入解析式进行计算，补全表格． （2）利用描点法，根据表格中的坐标点在平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线连接． （3）结合画出的图象，观察函数的增减性、最值以及特定区间内的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，； ②当时，． （2）解：根据表格中的点，，，，，在坐标系中描出这些点，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象；图象是一条开口向下的抛物线，顶点为． （3）解：①增减性：观察图象可知，抛物线的对称轴为直线，当时，图象从左向右呈下降趋势，即y随x的增大而减小． ②最值：由图象可知，抛物线开口向下，顶点坐标为，因此，当时，y有最大值，最大值为3． ③取值范围：观察图象，当时，图象的最高点是顶点，此时y取最大值3；图象的最低点趋近于时的点，但x取不到3，所以y取不到．因此，y的取值范围是． 【变式6-3】平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … (1)的值为__________； (2)画出该函数图象； (3)点，都在二次函数的图象上． ①若，则__________； ②若，则__________（填写“>”“<”或“=”）． 【答案】(1)0 (2) (3)①1；②< 【分析】本题考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）当时，，即； （2）根据表格中的数据描点、连线即可； （3）①根据纵坐标相等时两点关于对称轴对称解答；②根据二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴； （2）略； （3）①∵点，都在二次函数的图象上，， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 解得； ②∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即两点都在对称轴右侧的抛物线上， ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴． 【题型7 的图像和性质】 【例7】已知二次函数经过点，点，点，那么的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出，，的值，再比较即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 【变式7-2】二次函数，当时，y的最大值是（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】二次函数顶点不在给定的x范围内，需结合开口方向与单调性确定区间内的最大值点． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入解析式得． 【变式7-3】已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中： ①；②；③；④ 其中，正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定的符号及关系；利用时的函数值判断的符号；利用顶点纵坐标大于判断与的大小关系． 【详解】解：由抛物线开口向下可知， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线，即， ∴， ∴，故①错误， ∵，∴，故②正确， 由图象可知，当时， 即， 将代入得， 即，故③错误， 由图象可知抛物线顶点纵坐标大于， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论是②④． 【题型8 的最值】 【例8】二次函数有最大值为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数最大值条件，通过配方得到顶点纵坐标表达式，列方程求解． 【详解】解：∵，且二次项系数， ∴二次函数开口向下，最大值为， ∴，解得． 【变式8-1】二次函数在上的最大值与最小值的差为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】通过配方确定二次函数的开口方向与对称轴，判断给定区间内的函数增减性，代入端点计算最值后作差． 【详解】解：将配方得， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵在对称轴左侧， ∴当时，有最大值，， 当时，有最小值，， ∴最大值与最小值的差为． 【变式8-2】下列关于二次函数的图象和性质说法正确的是（   ） A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的对称轴为直线 C．该函数的最大值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，结合图象性质逐一判断选项． 【详解】解：A选项：对于二次函数（）， 二次项系数为，且， ，函数图象开口向下，故A选项错误； B选项：二次函数的对称轴为直线，故B选项错误； C选项：函数图象开口向下，函数有最大值，且在对称轴处取得最大值. 将代入解析式，得，即最大值为，故C选项正确； D选项：函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故D选项错误． 【变式8-3】已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，确定对称轴与顶点坐标，结合开口方向和给定的取值区间，分别计算顶点和区间端点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解：将二次函数配方得， ∵ 二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵ 在范围内， ∴ 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 【题型9 二次函数图像与各项系数符号的关系】 【例9】已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向可得，与轴交点在负半轴可得，其对称轴在正半轴可得，再判断点所在的象限． 【详解】解：根据图象开口向上，可知，与轴交点在负半轴可得， 其对称轴在正半轴，即，可得， 所以， 所以点在第三象限． 【变式9-1】二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与其系数的关系判断出的符号，再判断反比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴只有C选项中的函数图象符合题意． 【变式9-2】二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与轴交点位置可判断A错误；根据当时，和可判断C正确；根据可判断B错误；由得，进而可判断D错误． 【详解】解：观察图象，抛物线开口向下， ． ∵对称轴为直线， ，即． ∵抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故A错误． 由图象可知，当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∴， ∴ ∵不一定小于0， 不一定成立，故B错误． 由得， ． 又∵， ，故D错误． 【变式9-3】如图是二次函数的图像，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项． 【详解】解：抛物线开口向下，则，故A错误； 由图可知抛物线对称轴为直线，根据对称轴公式，可得； ∵， ∴，故B正确； 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，当时函数值，因此，故C错误； 把代入函数解析式得，由图可知对应抛物线上的顶点在第一象限，函数值为正，即，故D错误． 【题型10 根据二次函数图像判断式子符号】 【例10】如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．若，在图象上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点情况，结合二次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵，抛物线的对称轴位于轴左侧， ∴， ，故A错误，该选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，即， ， ∴，故B正确，该选项符合题意； C、抛物线对称轴为，且过点，根据对称性，抛物线与轴的另一个交点为， 当 时，，故C错误，该选项不符合题意； D、，， 点与关于对称轴对称， ，故D错误，该选项不符合题意． 【变式10-1】如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 【答案】C 【详解】解：根据二次函数(a，b是常数)的图象知，， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， 观察四个选项，只有选项C符合题意． 【变式10-2】如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 【答案】B 【分析】根据图象获取顶点坐标及与轴交点范围，利用二次函数性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则． 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为． 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为． 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为， ∴对任意实数，， ，当时取等号，故C错误； 对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 抛物线开口向下，， 点离对称轴更远，即， 解得，故D错误． 【变式10-3】二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 【题型11 一次函数、二次函数综合判断】 【例11】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用假设法，结合图象的开口方向和直线经过的象限，即可判断是大于0还是小于0，若出现矛盾则错误，两个图象的结果一致即是正确答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，图象开口方向向上，，由直线可知，直线经过二、四象限，，出现矛盾，错误． B、由抛物线可知，图象开口方向向下，，由直线可知，直线经过一、三象限，，出现矛盾，错误． C、由抛物线可知，图象开口方向向上，，由直线可知，直线经过一、二、三象限，，，对称轴，与图中对称轴在轴左侧相符合，正确． D、由抛物线可知，图象开口方向向下，，由直线可知，直线经过一、二、四象限，，对称轴，与图中对称轴在轴左侧相矛盾，错误． 【变式11-1】一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，解题的关键是抓住、在两函数中的几何意义：同时决定直线的倾斜方向与抛物线的开口方向，决定两图象与轴的交点位置，两图象必过同一点．再结合抛物线对称轴的位置，逐一判断各选项中各量的符号是否矛盾． 【详解】解：一次函数的图象是一条直线，决定直线的倾斜方向，是直线与轴交点的纵坐标， 二次函数的图象是一条抛物线，决定抛物线的开口方向，也是抛物线与轴交点的纵坐标， ∴两图象必与轴交于同一点，且时直线从左到右上升、抛物线开口向上，时直线从左到右下降、抛物线开口向下． A项：直线从左到右上升，则；抛物线开口向上，则，二者一致，但直线与轴的交点在抛物线与轴交点的上方，两图象没有在轴上相交，即的取值不同，故A错误； B项：直线从左到右下降，则；抛物线开口向下，则，二者一致；两图象在轴的正半轴上相交于同一点，则；又抛物线的顶点在轴右侧，即对称轴，由得，各量的符号不矛盾，故B正确； C项：直线从左到右上升，则，而抛物线开口向下，则，同一个的符号矛盾，故C错误； D项：直线从左到右下降，则，而抛物线开口向上，则，同一个的符号矛盾，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，解题的关键是把、的几何意义与图象特征对应起来：决定直线的倾斜方向与抛物线的开口方向，决定两图象与轴的交点；两条曲线必过同一点，判断时先看的符号是否一致，再看与轴的交点是否重合，体现了数形结合的思想． 【变式11-2】函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据函数的图象和函数的图象判断a的符号是否一致即可得解． 【详解】解：A、由函数的图象知，由函数的图象与y轴交于正半轴知，即，矛盾，不相符； B、由函数的图象知，由函数的图象知，矛盾，不相符； C、由函数的图象知，由函数的图象知，相符； D、由函数的图象知，由函数的图象与y轴交于负半轴知，即，矛盾，不相符． 【变式11-3】在同一坐标系内，函数 和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的正负，分别判断二次函数开口方向和一次函数经过的象限及与轴交点位置； 【详解】解：当时， ∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，顶点在原点， ∵一次函数中，常数项为， ∴直线从左向右上升，且与轴交于点，即交点在轴正半轴，观察选项，D 选项符合题意； 当时， ∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，顶点在原点， ∵一次函数中，常数项为，直线从左向右下降，且与轴交于点，即交点在轴正半轴， 观察选项，A 选项中直线与轴交于负半轴，B 选项中直线与轴交于负半轴，C选项中抛物线开口向上，均不符合题意，分析选项可得，只有 D 选项符合题意． 【题型12 反比例函数、二次函数综合判断】 【例12】在同一坐标系中，二次函数与的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象开口方向及对称轴位置确定 的符号，计算 的符号，判断反比例函数图象所在的象限是否一致． 【详解】解： A、由二次函数图象可知 ，对称轴 ，则 ， ，反比例函数图象应在第二、四象限，图中在第一、三象限，矛盾，故A不可能，符合题意； B、由二次函数图象可知 ，对称轴 ，则 ， ，反比例函数图象在第一、三象限，故B可能，不符合题意； C、由二次函数图象可知 ，对称轴 ，则 ， ，反比例函数图象在第一、三象限，故C可能，不符合题意； D、由二次函数图象可知 ，对称轴 ，则 ， ，反比例函数图象在第二、四象限，故D可能，不符合题意． 【变式12-1】反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可分：当时，则，反比例函数的图象在第一、三象限，而二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，所以A、B选项不符合； 当时，则，反比例函数的图象在第二、四象限，而二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，所以C选项不符合，D选项符合题意． 【变式12-2】在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符合题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符合题意； D选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符合题意． 【变式12-3】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 【题型13 二次函数图像的平移】 【例13】下列抛物线只通过平移能与抛物线重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线平移不改变二次项系数的大小与符号， 原抛物线的二次项系数为， 只有选项C的二次项系数为，符合要求． 【变式13-1】将二次函数图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到新图象的函数表达式为，则原表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将配方为，然后反向平移即可求得原函数表达式． 【详解】解：将配方得 . 将该函数图象向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到原函数图象， 则原函数表达式为． 【变式13-2】如果将抛物线向左平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点M在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（     ） A．持续上升 B．持续下降 C．先上升再下降 D．先下降再上升 【答案】D 【分析】将轴交点的纵坐标表示为平移距离的函数，利用二次函数增减性判断位置变化． 【详解】解：设向左平移个单位（）， 平移后抛物线的解析式为， 令，得抛物线与轴交点的纵坐标， ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，点下降， 当时，随的增大而增大，点上升． 即点的位置先下降再上升． 【变式13-3】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【详解】向上平移个单位得，再向右平移个单位得． 【题型14 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例14】抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法正确的是（     ） x ．．． 0 1 ．．． y ．．． ．．． A．对称轴是直线 B．抛物线开口向上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】利用表格中纵坐标相同的点确定抛物线对称轴，结合二次函数性质判断各选项． 【详解】解：∵和时，的值均为， ∴抛物线的对称轴为直线，故A错误； ∵顶点坐标为，且时，， ∴抛物线开口向下，故B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故C错误； ∵抛物线对称轴为直线，∴与关于对称轴对称，函数值相等， ∵时，， ∴时，，故D正确． 【变式14-1】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数交点式确定对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小. 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大， ∵点，，都在抛物线上， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，且， ∴. 【变式14-2】若拋物线经过，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 根据题意可知抛物线对称轴为直线，则有点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：，然后根据二次函数性质：当抛物线开口向下时，离对称轴越远，对应点的函数值越小，进行分析判断即可． 【详解】解： 抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：， 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， A、若， ，∴，故选项A结论不正确，不符合题意； 、若，，∴，故选项B结论正确，符合题意； 、若， ，∴，故选项C结论不正确，不符合题意； 、若， ，∴，故选项D结论不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式14-3】我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解． 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 【题型15 根据二次函数的对称性求函数值】 【例15】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点式确定对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式15-1】若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小 【详解】解： ∴该二次函数开口向上，对称轴为直线 点到对称轴的距离为 点到对称轴的距离为 点到对称轴的距离为 ∵， ∴ 【变式15-2】如图，二次函数的图象（未画出）与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（      ） A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴和顶点，结合图象开口方向及对称性逐一判断即可． 【详解】解：由二次函数解析式可知，图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项B说法正确； 顶点在轴上方，且图象与轴交于、两点， 抛物线开口向下，即，故选项A说法正确； 抛物线对称轴为直线，点坐标为， 点与点关于直线对称， 设点坐标为，则， 解得， 点的坐标为，故选项C说法正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，m 选项D说法错误，符合题意． 【变式15-3】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，根据对称轴可得，则可得①错误；将点代入函数的解析式即可得②正确；根据二次函数的对称性可得③错误；根据二次函数的最值可得④正确；根据二次函数的对称性可得抛物线经过点，据此可得⑤正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，则说法①错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则说法②正确； ∵，是抛物线上的两点，且， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ∴，则说法③错误； 当时，， 由二次函数的图象可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴，则说法④正确； ∵抛物线经过点，且其对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴，则说法⑤正确； 综上，正确的结论是②④⑤． 【题型16 根据二次函数的对称性求最短路径】 【例16】已知关于x的二次函数的图象，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作点B关于对称轴对称的点P； (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使的周长最短． 【答案】(1)如图中，点P即为所求 (2)如图中，点Q即为所求 【分析】（1）根据对称性，连接交对称轴于点，连接并延长交抛物线于点即可； （2）根据对称性，的周长为，当三点共线时，的周长最短，故连接交对称轴于点，即可. 【详解】（1）略 （2）略 【变式16-1】如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 【探究式学习】 1．在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； (3)根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． 【答案】(1) 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 ０ 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 ０ 3 4 3 0 5 12 ．．． (2) 连线如图： (3)（i）或（ii）①直线的解析式为；② 【分析】（1）把分别代入和，求出和的值，再填表即可； （2）根据表格中的数据描点，连线可得函数的图象； （3）（i）根据函数图象可得出不等式的解集； （ii）①运用待定系数法求出的解析式即可； ②画出函数图象，当直线平移时发现，直线与二次函数有三个交点时，直线与相切时可得结论． 【详解】（1）解：当时，； 所以，． 当时， 所以，． （2）略 （3）解：（i）由图象得： 不等式的解集为：或； （ii）①根据题意得，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， 所以，直线的解析式为； ②当时，函数解析式为， 当直线沿轴平移个单位后与函数图象相切时，与函数的图象恰好有3个交点， 平移后的直线解析式为， 联立方程得， 整理得， ∵平移后的直线与函数图象相切， ∴方程有相等的实数根， ∴， 解得：． 2．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解： ∴当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 填空：①代数式，则A的最小值为________； ②代数式，则B的最大值为________． (2)【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由． (3)【创新应用】如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】(1)①A的最小值为5， ②B的最大值为6． (2)，理由如下： ，， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）①将代数式A通过配方转化为完全平方的形式，再根据完全平方的非负性求最小值； ②先提出一个负号，再对括号内的式子进行配方，最后根据完全平方的非负性求最大值． （2）分别表示出甲、乙两块种植园的面积，然后通过作差法比较大小，同样需要利用完全平方公式进行变形． （3）首先需通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立边a与b的等量关系：然后将该关系代入目标式，转化为关于b的二次函数，最后利用配方法求最值，得到此时b的值． 【详解】（1）解：① ∴当时，， 有最小值，最小值为5，即的最小值为5． ② ∴当时，， 有最大值，最大值为6，即B的最大值为6． （2）略 （3）由题意，作于点D， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，． ∴ ∴ 化简，得 设，将代入得： ∴当时，y取得最大值， ∴当最大时，b的值为8． 3．【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．例如，求的解． 思路：在二次函数中，若取x的值为，使得相应的函数值，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间． (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程的一个解，过程如表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． (2)【迁移应用】 若关于x的方程有两个不同的解，恰有一个解落在与之间，求m的取值范围． 【答案】(1)方程的解落在1和2之间 (2) 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； （2）将和分别代入得到、，根据，结合判别式大于0求出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得，；当时，， ∴， ∴方程的解落在1和2之间； （2）解：方程有两个不同的解， ， ， 将代入抛物线得，， 将代入得，， 恰有一个解落在与之间， ， ∴， 综上，． 4．下面是探究函数的图象和性质的过程，请阅读并回答相关问题： 【绘制图象】 (1)列表，得： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 m 1 … 表格中m的值为______； (2)在平面直角坐标系画出该函数图象（部分点已描出）； 【探究性质】 (3)下列关于该函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①该函数图象关于y轴对称；②当时，y有最小值为：③方程的解是，；④当时，y的值随x值的增大而减小． 【解决问题】 (4)若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______． 【答案】(1) (2)该函数的图象如图： (3)①③④ (4) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）描点、连线即可画出该函数的图象； （3）根据函数图象即可求解； （4）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 即； （2）解：略 （3）解：①该函数图象关于y轴对称，说法正确； ②当或时，y有最小值为，原说法错误： ③方程的解是，，说法正确； ④当时，y的值随x值的增大而减小，说法正确． 综上，正确的有①③④； （4）解：由函数图象知，若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是． 【课后检测】 1．将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得抛物线的顶点坐标，再根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为，即． 2．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（     ） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由表格数据可知，和时，的值均为0.53， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴一元二次方程的两个根关于直线对称，较大根在对称轴右侧， ∵时，时， ∴较大根的范围是． 3．将抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，平移后的解析式为． 4．将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，得，再向下平移1个单位，得． 5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴，抛物线开口向上，A正确； ∴抛物线的对称轴为直线，B正确； ∴抛物线的顶点坐标为，C正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，D错误． 6．已知抛物线，则当时，函数的最小值为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】确定二次函数对称轴的位置，结合开口方向与自变量的取值范围求最小值． 【详解】解：， 由二次项系数，得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数的最小值为. 7．小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，画出了以下表格： x … 0 1 2 3 … y … a b c … 遗憾的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小明只记得遗忘的三个数中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中有两个相等，结合二次函数的对称性确定可能的对称轴，再代入已知点验证选项． 【详解】解：已知中有两个数相等，由二次函数的对称性，分三种情况讨论对称轴： ①若，则对称轴为直线； ②若，则对称轴为直线； ③若，则对称轴为直线． 计算各选项解析式的对称轴： 选项A：的对称轴为直线，不符合上述三种情况，排除； 选项B：的对称轴为直线，符合情况①， 将代入，得，与表格数据不一致，舍去； 选项C：的对称轴为直线，符合情况②； 将代入，得，与表格数据一致， 将代入，得，与表格数据一致； 选项D：的对称轴为直线，符合情况③； 将代入，得，与表格数据不符，舍去． 故小明探究的二次函数表达式可能是． 8．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致如图（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； B、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； C、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； D、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，该选项符合题意． 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②若，是抛物线上的两点，则；③④；⑤（其中）；其中正确的结论是（      ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与轴的交点位置可得，，，得出，可判定①正确；根据开口向下得出抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越小，计算两点到对称轴的距离，可判定②错误；根据对称轴得图象与轴的另一个交点为，得出，可判定③错误；把代入得出，把代入可得，可判定④正确；根据对称轴求出的最大值为，由可得，根据，得出，可判定⑤正确；综上，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下，图象与轴交于正半轴，对称轴为， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵，，， ∴，故②错误； ∵图象经过点，对称轴为， ∴图象与轴的另一个交点为， ∴当时，，故③错误； ∵图象经过点， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故④正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，取最大值，最大值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 10．如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且．有下列结论： ①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；⑤若且，则；其中正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】利用对称轴和交点坐标确定，，之间的数量关系，并结合的取值范围判断代数式的符号或取值范围． 【详解】解：由二次函数的图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 由函数图象可得，当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，抛物线有最大值，为， ∵， ∴，故③正确； ∵关于的一元二次方程为， ∴， 由可得， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确； 将变形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共个． 11．点都在抛物线上，则的大小关系是______ 【答案】 【分析】分别求出各点的函数值，比较三个函数值的大小即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 12．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的对称轴为直线，该对称轴在给定区间内，再根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，分情况确定区间内最小值的位置，代入计算求解符合条件的值. 【详解】解：该二次函数为顶点式，对称轴为直线，且在区间内，分两种情况讨论： ① 当时，抛物线开口向上，顶点为区间内的最低点，此时函数的最小值为顶点的纵坐标， 根据题意得，与矛盾，该情况舍去； ② 当时，抛物线开口向下，顶点为区间内的最高点，此时函数的最小值出现在离对称轴更远的区间端点， 计算两个端点到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ∵ ， ∴ 处的函数值更小，为区间内的最小值， 将代入函数得， 根据题意得， 解得，符合的条件， 综上，的值为. 13．已知二次函数满足条件：①图象过点；②当时，随的增大而增大．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合二次函数的增减性、图象过定点的特征，构造同时满足两个约束条件的解析式，写出符合要求的一个解析式即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴该二次函数开口向下，即二次项系数，且对称轴位于直线或其右侧， 不妨取对称轴为直线，设二次函数的解析式为， ∵函数图象经过点， ∴将代入解析式，得， 取满足的一个值，如， ∴可得到一个符合条件的解析式为． 14．已知抛物线先左移2个单位长度，再关于轴对称后，得到的新抛物线为，则________． 【答案】 【分析】利用抛物线平移与关于轴对称的变换规则，从最终抛物线逆向推导原抛物线解析式，再计算的值即可． 【详解】解：∵抛物线先左移2个单位长度，再关于轴对称后，得到的新抛物线为， ∴先把关于轴对称，即把换为， 得， 将该抛物线右移2个单位即可得到原抛物线：， 展开并整理：， ∴，，， ∴ ． 15．如图，抛物线与x轴交于，，交轴负半轴于点，点为抛物线顶点，则下列结论：①；②；③(为任意实数）④直线与轴交点坐标为，其中正确的是____．（填序号） 【答案】 ②③④ 【分析】根据抛物线与轴交点坐标确定对称轴及，，的符号，判断①；利用对称轴公式判断②；利用函数最小值性质判断③；求出，坐标及直线解析式，求其与轴交点判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴． ∵抛物线与轴交于，， ∴对称轴为直线． ∴，即． ∵， ∴． ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误． ∵， ∴，故②正确． ∵当时，函数取得最小值， ∴对于任意实数，都有， ∴． ∴，即，故③正确． 设抛物线解析式为． ∴， ∵ 顶点的横坐标为， ∴． ∴． 设直线的解析式为． 将，代入得： ，解得． ∴直线的解析式为． 令，即，则， ∵， ∴． ∴直线与轴交点坐标为，故④正确． 综上所述，正确的结论是②③④． 16．已知二次函数 (1)求出该函数的顶点坐标； (2)当x______时，y随着x的增大而增大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将表达式配方成顶点式即可求解； （2）求出抛物线开口向下，对称轴为直线，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴该函数的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随着x的增大而增大． 17．已知二次函数的解析式． (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，x的取值范围是_________． 【答案】(1)如图， (2) 【分析】（1）根据函数的解析式列表，描点，连线； （2）根据函数图象得出的取值范围． 【详解】（1）解：已知， 列表如下： 画图略； （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是． 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若，求点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，抛物线的对称轴为直线 (2)的取值范围是或 【分析】（1）由题意得，进而可得点M的坐标和对称轴； （2）先得到抛物线的对称轴为直线，分和两种情况，根据二次函数的图象与性质，结合不等式的解法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴点M的坐标为，抛物线的对称轴为直线； （2）解：由题意可得抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上，，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线上的两点，，满足时，都有， ∴； 当时，抛物线的开口向下，，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点关于直线的对称点为， ∵抛物线上的两点，，满足时，都有， ∴，解得， 综上， 满足条件的a的取值范围是或． 19．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过、两点，点在轴上，连接．、分别是、上的一点，且，若，， (1)求证：； (2)求点的坐标． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵抛物线经过、两点， 令，则；令，解得：，， ，， ，， ， ， 又，， ， ，， ，， ， 又，， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，先证明，得到，，进而证明，得到，即可得证； （2）利用勾股定理得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， ， ． 20．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点．已知点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点． (1)求，的值； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为 【分析】（1）先把代入求出，再将点的坐标代入求解即可； （2）先表示出，然后根据求出函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：双曲线与直线交于点， 将代入，得， ， 将点的坐标代入，得； （2）解：，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点， ，， ， ， ，， 当时，有最大值，最大值为． 21．如图1，边长为4的正方形中，点E在边上（不与点A，B重合），点F在边上（不与点B，C重合）． 第一次操作：将线段绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G； 第二次操作：将线段绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H； 依次操作下去 (1)图2中的是经过两次操作后得到的，其形状为______，求此时线段的长； (2)若经过三次操作可得到四边形． ①请判断四边形的形状为______，并证明． ②以①中的结论为前提，设的长为x，四边形的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围； (3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)等边三角形； (2)①四边形为正方形 证明：如图1，连接，，相交于点O，过点H作交于点M，过点G作交于点N，则，， 由旋转操作可知，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中，， ， ， 四边形为菱形， 四边形为正方形． ②y的取值范围是 (3)最大边数是8；可能是正多边形；边长为 【分析】（1）根据旋转的性质，得到的形状，利用等腰直角三角形确定和的关系，利用勾股定理建立方程，解方程即可； （2）对角线相等的菱形是正方形，用三角形全等得到即可；用勾股定理解直角三角形，正方形的面积等于边长的平方，得到，用二次函数的图象和性质求解； （3）由旋转性质可得多边形最多为八边形，结合多角形内角和平角可以得到和的关系和，利用勾股定理和线段之间的关系进行求解． 【详解】（1）解：在图2中，由于旋转操作，可以得到， 是等边三角形； 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 设，则，， ， 在中，， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ； （2）①略 ②， ，， 在中，， ， 当时，y取得最小值8， 当或时，y取得最大值为， y的取值范围是； （3）经过多次操作，可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，可能是正多边形，边长为，如下图所示， 当八边形是正八边形时， 正八边形的内角， ，， ，， 由勾股定理得：，， ， ， 设，则， ， 解得：． 22．某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（已知是的一次函数）： 第天 …… 每件进价（单位：元） …… (1)直接写出与的函数关系式； (2)统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元； ①求该店每天利润的最大值； ②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①当时，该店每天利润的最大值元；② 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式，二次函数性质是解题关键． （1）利用待定系数法代入与的对应值得，解方程组即可； （2）①求出该店每天的利润函数配方得即可； ②该店每天的捐款后利润为，整理得，由，函数图像的开口方向向下，由该店若想在第天获得最大利润，满足不等式组，整理得，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵已知是的一次函数， ∴设代入与的对应值得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：①该店每天的利润为 当时，该店每天利润的最大值元； ②该店每天的利润为 ， ∵，函数图像的开口方向向下， ∵该店若想在第天获得最大利润， 满足不等式组，整理得解得， 解得． 23．如图，在平面直角坐标系中，，．已知抛物线． (1)若该抛物线经过点A，且对称轴在y轴右侧． ①求a的取值范围； ②若该抛物线顶点的纵坐标为4，求抛物线的表达式． (2)若该抛物线经过点B，且与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 【分析】（1）①将点代入抛物线得，再根据对称轴的性质得到，即可解答；②由题意可知，化简，得，解答即可． （2）将代入得，再得到对称轴，令，整理得，，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴a，b异号， ∴，，即，， ∴． ②由题意可知：，化简，得， 解得，（舍去）， ∴，， 故抛物线的表达式为． （2）设直线的表达式为， 将，代入， 解得直线的表达式为：， 将代入，得， ∴， ∴，即抛物线的对称轴为直线， 令， 整理得，， ， ∴当时，抛物线与线段只有1个公共点B， 当时，a增大时，抛物线开口变小，顶点向下移动，与线段有两个交点， ∴， 当，且抛物线经过点A时，，如图， 当a减小时，抛物线开口变小，顶点向上移动，与线段有两个交点， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题的关键． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 77 页 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $