第7章 相似中的最值转化与取等条件 相似 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

相似专题复习讲义 相似中的最值转化与取等条件 解析版 相似专题复习讲义 相似中的最值转化与取等条件 2026—2027学年 苏科版九年级数学下册 第7章 图形的相似 最值应用专题 解析版 内容导航 知识梳理 2 题型1 用相似把倍数转为垂距 3 题型2 固定轨迹之后恢复原来的点 7 题型3 把线段比转为垂距再比较位置 12 A 基础通关 16 B 难点突破 18 C 方法进阶 21 D 中考真题精选 23 例题、变式及A—C为原创练习；D为2025—2026年中考真题。 姓名：________________ 班级：________________ 知识梳理 最值转化的两个步骤 先证明一个对所有允许位置都成立的不等式，再找到能够取等的位置。第二步还要把辅助点还原成题目中的点，检查它们是否在指定的线段、射线或圆弧上。 把系数转成线段 若目标中出现可尝试作辅助直角三角形，用相似证明某条垂线段恰为系数的来源必须用对应边的比说明，不能只凭图形估计。 把活动线段转成固定轨迹上的距离 若为直角三角形斜边的中点，则到三个顶点的距离相等。结合另一个等距条件，有时能把限制在固定直线或角平分线上。再用相似确定取等时其他点的位置。 把比值转成一条垂距 例如且为定长时，原来分子、分母都在变，转化后只需研究越大，比值越小。 点序决定和差 在线段上时有在的延长线上时有若题目没有固定点序，不能只按所画的一种位置列式。 辅助轨迹与原条件 由原条件推出“点在某条直线上”，不代表这条直线上每一点都满足原条件。最值位置必须反代验证；反求参数时，还要排除来自另一种点序或另一条分支的候选。 三个检查 下界是否对全部允许位置成立；等号条件能否同时满足；还原的点是否符合题设。 题型1 用相似把倍数转为垂距 【要点1】系数小于1的线段可以利用直角三角形相似转为到一条定直线的垂距。 【要点2】先建立统一下界，再同时检查共线、垂直、点序和原活动范围。 【解题要领】构造固定的直角三角形确定辅助线方向，证明长度替换，再用垂线段最短恢复原动点。 母题精讲 例1 在中，点在线段上运动，允许与重合。 （求的最小值； （求取得最小值时的长，并说明该位置是否唯一。 图1 解 （（位置唯一。 系数提示我们构造一个三边比为的直角三角形，把换成一条垂线段。 在上取使在直线的异于的一侧作且连接则过作直线于 当时，所以因此即时这一等式也成立，但此时直接验证，不使用相似判定。 过作直线于因为在直线上，所以 两次取等必须同时成立：按此顺序共线，且因此只能是直线与的交点 在与中，利用两组垂直关系可得相应锐角相等，因此于是 确在线段内部；其到的垂足位于射线上、的外侧，因而两个等号同时成立。故最小值为 直线与只有一个交点，故取等位置唯一。 【易错提醒】辅助线放在另一侧可能仍保持长度比例，但垂足最短的取等点可能根本不在原线段上。 题型1 递进练习 变式1-1 在中，点在线段上运动，允许取端点，为正数。已知取得最小值时，为的中点。 求及的最小值，并说明是否唯一。 图1-1 解 最小值唯一。 先确定哪些可能使最优点在线段内部。 当时，可直接验证目标值为对过作于由得因且在线段上，所以 于是只有能取等，因此这一类不符合题意。 下面考虑作使在射线上，在直线的异于的一侧，则过作由相似得时该等式直接成立。 过作的垂线，交于由垂线段最短，在时最小。直角三角形相似给出 所以由可得故确在内部，且这一位置唯一。 题设要求为中点，此时因此 它确实小于反代能使中点成为唯一最优点。此时 变式1-2 在中，点在线段上，点在线段上运动，允许与重合。 （1）小明利用相似把转化为一条垂线段，得到便认为最小值是这个结论是否正确？说明理由。 （2）求的最小值及取得最小值时的位置。 图1-2 解 答案：（1）不正确，是不能取得的下界。（2）最小值为仅当时取得。 （1）下界成立，不表示这个下界一定可以取得。在上取使在直线的异于的一侧作连接过作由相似得时该等式直接成立。 若要取得把转为点到距离时的下界，必须使依次共线，因而由直角三角形相似，此时于是 但本题在线段上，必须故这个取等位置不合法。不能把作为本题最小值。 （2）所以是等腰直角三角形， 当时，过作直线于因为在线段上，在的端延长线上，点序为由为等腰直角三角形， 在中，因此 又把右端整理为 因为且所以时，目标值严格大于 当时，直接计算因此最小值为且只在时取得。 变式1-3 在中，点分别在线段上运动，均允许取端点。 （求的最小值； （求取得最小值的全部点对,并判断这样的点对是否唯一。 图1-3 解 （ （其中最优点对不唯一。 设则且因此目标线段和为 先证明由于两边均非负，只需比较平方： 所以目标线段和不小于等号当且仅当 还要同时满足两个动点的范围。由及得这个条件也满足因此全部取等点对为 当时，直接代入也能取得不应因三角形退化而漏去。 相似解释： 上面的平方比较是“斜线段不短于其投影”的代数核验。 在上取使在的异于的一侧作连分别从向直线作垂线由相似，时直接验证。过作的平行线交于再用边比的直角三角形相似，得时这两个等式直接验证。因此 于是原式由于原式当时，取等要求依次共线，即垂直从相似得到这正是前面求出的全部取等条件。当时，另行直接验证取等，不对零线段使用垂直关系。 题型2 固定轨迹之后恢复原来的点 【要点1】直角三角形斜边中点到三个顶点等距，等长条件可进一步把中点限制在定角平分线上。 【要点2】轨迹只是原条件的必要结果；反向重建时应逐一验证原边、原角与等长关系。 【解题要领】选取公共斜边中点确定轨迹，用相似建立轨迹点与原点的长度关系，求出候选后再反验。 母题精讲 例2 在中，点分别在边的内部，为的中点，连接 （求证：平分 （是否存在满足的点？若存在，求的长，并说明这组点是否唯一；若不存在，说明理由。 图2（轨迹图，取等时G与T重合） 解 （证明见详解。 （存在且唯一， （是两个直角三角形的公共斜边的中点，因此 又所以都到等距，是的垂直平分线。等腰中，顶角平分线与底边垂直平分线重合，故平分即平分 （设的角平分线交于由勾股定理，由角平分线定理，因此 作于若则只能与重合，故候选唯一。由直角三角形中的相似关系，所以 接下来由恢复设过作的平行线交直线于因为是中点且三角形中位线关系说明为中点，所以在的端延长线上， 由得又所以 令得解得进而 最后验证该候选确实满足原题。按取点。作于作交于由得所以同时于是两个直角三角形相似，结合对应直角边互相垂直，得到 图2（恢复原构型） 所有长度都处在三边内部的允许范围内，候选可以实现。与均由方程唯一确定，故这组点唯一。 【易错提醒】点在同一轨迹上不等于满足同一原条件；逆命题可能有额外分支，改变目标也会改变最优点。 题型2 递进练习 变式2-1 在中，点分别在边的内部，若求的所有可能值。 图2-1 解 或 设因在内部，所以 过作于作交于由得所以由于得 又因此 在中，故 代入得即所以或 两根均在,内。分别得到或均在,内。反过来，按这些长度取点，前述两组直角边之比为可以再由相似验证所以两组都是真实解，没有因方程变形产生伪解。 变式2-2 在中，点分别在边的内部，求的最小值及取得最小值时的长。 图2-2 解 最小值 设过作于作交于由得又故从而 在中， 不能只找最短的位置，因为目标还多了一段的一半。我们比较与 因故即 等号当且仅当此时由勾股定理代入目标得 这组三点均在原边内部；按可由相似验证所以等号确实能够取得。 几何思路提示： 取中点可得在的角平分线上，且于是目标可改写为 括号内是第一链的“距离带系数线段”，可以再构造边比的辅助直角三角形，将化为垂距。上面的平方比较给出了完整的初中代数核验。 变式2-3 在中，点分别在边的内部，为的中点，且平分 （是否一定有？若不一定，求与之间所有可能的长度关系； （若求的所有可能值。 图2-3 解 （不一定，可能也可能 （或 （是两个直角三角形的斜边的中点，所以于是在以为圆心的同一个圆上。 将关于作对称点因为经过圆心，镜面对称后仍在这个圆上；因为平分射线对称后就是射线所以也在射线上。 圆与直线的交点是由于在内部，与不同，所以只能与或重合。若则若则这说明只知道在角平分线上，并不能倒推出原来的等长条件。 （设角平分线交于由及角平分线定理得过作的平行线交直线于因是中点，为中点。所以 由故 第一支能够由相似构造实现。第二支也能够实现：取关于的对称点则在上且以为圆心的圆经也必经又是该圆直径，所以两支的都在内部，故或均成立。 因此就是“平分但”的具体反例。 题型3 把线段比转为垂距再比较位置 【要点1】过作垂足为过作垂足为先单列时比值为1的端点情形。在的前提下，当且时，由两组角对应相等，可得所以 【要点2】在同一图形中，是定长，因此应比较而不是分别求与的最值。点可能在直线的两侧，须分别处理。 【解题要领】先用相似把两个变长线段的比转成定长与一条垂距的比，再检查活动轨迹的两部分及等号位置。 母题精讲 例3 如图，在中，点在边上，过点作垂足为且求的最小值，并求此时的长。 图3（取等时H与K重合） 解 当时，比值为1。以下先讨论的非退化情形，最后与端点比较。 由勾股定理得过作于由等面积关系得过作于由相似得 因为所以在以为直径、位于的侧的半圆上。设为中点，则过作于由得 先看与在直线同侧的情形。此时在内或边上，它到的距离不大于因此当时取等。 再看与在直线异侧的情形。圆心在侧，故当且在的另一侧时取等。这个点位于所需半圆上。于是这一部分 恢复点时，过作于因为由对应角相等得所以因此 过作于由得又故联立解得于是该点确在线段内，故等号能够取得。 比较与可得最小值为此时 【易错提醒】圆心到直线的距离加半径，未必是本题可取的垂距。垂足只在指定半圆上，不能把另一半圆上的点算进来。 题型3 递进练习 变式3-1 如图，在中，点在边上，过点作于若求的所有可能值。 图3-1 解 由勾股定理得分清的顺序是本题的关键。若在线段上，只能使此时得到 若在的延长线上，则所以为中点，设过作于由得故 因为所以在中，由得又代入并整理得即 解得或两值都在内，代回得到均符合条件。因此的所有可能值为 变式3-2 如图，在中，点在边上，过点作于且已知的最小值为求的长，并求取得最小值时的长。 图3-2（取等时H与K重合） 解 当时，比值为1；以下相似与圆周角关系用于的情形。 设则过作过作由等面积和相似关系得且 设是的中点，过作则当与在同侧时，比值不小于1，且时为1。 当与在异侧时，的最大值为所以这一部分比值的最小值为题设最小值必由这一部分取得，故解得从而 取等时设在上，过作再过作由相似可得故又联立得到这个点在内，等号可取。因此 变式3-3 如图，在中，点在边上，过点作于且在线段上， （1）若求的长； （2）不再要求其余条件不变。求的最小值，并判断（1）中的位置是否为取最小值的位置。 图3-3 解 因为在线段上且所以即为中点。于是是的垂直平分线，得到由得 当在线段上时，所以时有比值等于1。故本题点域内最小值为1，此时的比值2不是最小值。 这里额外的点域条件排除了在外侧的情形。不能照搬同一三角形但没有这个限制时得到的 A 基础通关 A1 在中，在上取使在直线的异于的一侧作点在线段内部，于 （小明写出判断这个比例式是否正确，并写出正确的对应关系； （若求 图A1 解 （不正确，应为（ 由勾股定理得与的对应顶点依次为所以对应而不是由相似得代入得 A2 在中，在上取使在直线的侧作点在线段上，直线于 小红说：“由相似仍有又因为在直线上，所以的最小值是” 她的两个判断是否正确？分别说明理由。 图A2 解 长度替换正确，最小值为的判断错误。 时可直接验证；其余位置由直角三角形相似，仍成立，改变辅助线的一侧没有改变这一长度比。 因为所以共线。点到直线的距离确为但得到一个下界，不表示该下界一定取得。 若两个非负长度必须同时为特别是即这与在线段上矛盾。因此不是最小值。此构造的问题在取等位置不符合原动点范围，而不在相似等式本身。 A3 在中，为的中点，在内部，在内部，求 图A3 解 所以过作于作交于由得因此 利用与相似，所以得于是 又由勾股定理， B 难点突破 B1 在中，若对线段上的每一点包括端点，都有求的取值范围，并指出等号成立时的位置。 图B1 解 对每个符合条件的等号仅在时成立。 时等号显然成立。以下先设过作于由得因此 若则条件成立。时，不在上，所以等号只能在时成立。 还须证明不行。对作在射线上，在的异于的一侧，由相似，到直线的距离等于 过作的垂线，交于垂足为由相似，所以在内部。此时 因为在直线上，且时不垂直所以违反题设。故的完整范围是 B2 在中，有两组不同的点和分别位于边内部，且 （求证： （设第一组点中求能够找到另一组不同的点满足上述条件时，的取值范围。 图B2（仅示第一组） 解 （证明见详解。 （且 设由直角三角形相似及可得同理因此 因为两个长度相等，相减得两组点不同，而给定会唯一确定和所以于是即 另一组点必须仍在三边内部，因此把代入，结合得到 此外，若则并不能得到另一组不同的点，须排除。 反过来，对这个范围内且不等于的每个也在,内且按取点，可用相似反验故另一组确实存在。 B3 在中，点分别在边内部， （1）求面积的最大值； （2）当的面积最大时，是否最短？说明理由。 图B3 解 （1）最大值为（2）不是。 设则过作于作交于由得所以由得 由勾股定理，所以 等号当且仅当此时三点均在指定边内部，并可由相似验证故最大面积确能取得。 面积最大时，所以但取的合法构型，有因此面积最大时并非最短。 C 方法进阶 C1 在中，点分别在边内部，为常数，已知取得最小值时，恰为的中点。 求及的最小值，并说明是否唯一。 图C1 解 最小值唯一。 取中点由斜边中线性质及可知在的角平分线上，设角平分线交于则 设过作的平行线交直线于由三角形中位线及可得因此的真实活动范围为反过来，任取按取点，作于作交于由两组直角边比可验证故这段轨迹上的每一点均能恢复成原构型。 目标线段和可以写成 记这里只是把系数写短，并未增加几何条件；由有 作于由直角三角形相似及面积法，对括号内的在射线上取使在直线的异于的一侧作则过作由相似得过作的垂线，交于再过作于由知垂线段最短的取等点就是相似给出且在之间。 还须检查是否位于真实轨迹上。由得因所以故这个区间包含在真实轨迹内，因此取等位置真实存在且唯一。 题设要求为中点，故由得此时所以 于是进而它满足且上述构造反向成立，所以唯一。 代入得最小值 C2 如图，在中，点在边上，过点作于且已知恰有两个不同的位置使取得最小值，求的长，并求这两个位置的的长。 图C2（取等时H与K重合） 解 先单列端点此时比值为1。以下相似和圆周角关系均对非退化位置使用。 设则过作过作由相似得且 设是中点，则到的距离为当与在同侧时，最大的为且只有时取得，所以这一部分比值的最小值为1，只有一个取等位置。 当与在异侧时，最大的为且只有从向另一侧作垂线与半圆的交点能取等。这一部分比值的最小值为也只有一个取等位置。 全局最小值恰有两个位置，必须是两部分的最小值相等。故解得从而 为核实跨线分支的取等位置，记过作过作由相似得结合解得故时 一个位置为此时另一个位置满足由相似恢复长度得到故两个位置不同，且都符合原条件。因此所求为 D 中考真题精选 D1 （2025年江苏省宿迁市中考第18题） 如图，在中，点在边上，过点作垂足为点则的最小值是________。 图D1 解 答案为图中所示的在外侧只是其中一种位置，不能据此忽略在线段上的情形。分母为0的位置不在比值的定义范围内。 若在线段上，则从而当时，比值恰为1。 若在的延长线上，过作过作由得由及等面积关系，得 设为中点。因为所以在以为直径、位于的侧的半圆上。由相似知到的距离为故这一侧于是 综合两种点序，最小值为1，在时取得。 D2 （2026年四川省广元市中考第16题） 如图，在中，点分别在边上，连接若则的最小值为________。 图D2（取等时G与H重合） 解 当时，取中点连接在直角三角形中，斜边都是所以 当时，是中点，仍有下述中点等距关系同样适用，因此不遗漏这个端点。 又所以都在的垂直平分线上，在等腰中，也是顶角平分线。因此在的平分线上。 设该角平分线交于由和角平分线的分线段比例，得故过作由等面积关系得 所以下面检验取等构型。取则过作于由得从而取可用勾股定理计算于是故三个点都在指定边上，等号确能取得。 因此的最小值为 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $相似专题复习讲义 相似中的最值转化与取等条件 学生版 相似专题复习讲义 相似中的最值转化与取等条件 2026—2027学年 苏科版九年级数学下册 第7章 图形的相似 最值应用专题 学生版 内容导航 知识梳理 2 题型1 用相似把倍数转为垂距 3 题型2 固定轨迹之后恢复原来的点 7 题型3 把线段比转为垂距再比较位置 12 A 基础通关 16 B 难点突破 18 C 方法进阶 21 D 中考真题精选 23 例题、变式及A—C为原创练习；D为2025—2026年中考真题。 姓名：________________ 班级：________________ 知识梳理 最值转化的两个步骤 先证明一个对所有允许位置都成立的不等式，再找到能够取等的位置。第二步还要把辅助点还原成题目中的点，检查它们是否在指定的线段、射线或圆弧上。 把系数转成线段 若目标中出现可尝试作辅助直角三角形，用相似证明某条垂线段恰为系数的来源必须用对应边的比说明，不能只凭图形估计。 把活动线段转成固定轨迹上的距离 若为直角三角形斜边的中点，则到三个顶点的距离相等。结合另一个等距条件，有时能把限制在固定直线或角平分线上。再用相似确定取等时其他点的位置。 把比值转成一条垂距 例如且为定长时，原来分子、分母都在变，转化后只需研究越大，比值越小。 点序决定和差 在线段上时有在的延长线上时有若题目没有固定点序，不能只按所画的一种位置列式。 辅助轨迹与原条件 由原条件推出“点在某条直线上”，不代表这条直线上每一点都满足原条件。最值位置必须反代验证；反求参数时，还要排除来自另一种点序或另一条分支的候选。 三个检查 下界是否对全部允许位置成立；等号条件能否同时满足；还原的点是否符合题设。 题型1 用相似把倍数转为垂距 【要点1】系数小于1的线段可以利用直角三角形相似转为到一条定直线的垂距。 【要点2】先建立统一下界，再同时检查共线、垂直、点序和原活动范围。 【解题要领】构造固定的直角三角形确定辅助线方向，证明长度替换，再用垂线段最短恢复原动点。 母题精讲 例1 在中，点在线段上运动，允许与重合。 （求的最小值； （求取得最小值时的长，并说明该位置是否唯一。 图1 解 （（位置唯一。 系数提示我们构造一个三边比为的直角三角形，把换成一条垂线段。 在上取使在直线的异于的一侧作且连接则过作直线于 当时，所以因此即时这一等式也成立，但此时直接验证，不使用相似判定。 过作直线于因为在直线上，所以 两次取等必须同时成立：按此顺序共线，且因此只能是直线与的交点 在与中，利用两组垂直关系可得相应锐角相等，因此于是 确在线段内部；其到的垂足位于射线上、的外侧，因而两个等号同时成立。故最小值为 直线与只有一个交点，故取等位置唯一。 【易错提醒】辅助线放在另一侧可能仍保持长度比例，但垂足最短的取等点可能根本不在原线段上。 题型1 递进练习 变式1-1 在中，点在线段上运动，允许取端点，为正数。已知取得最小值时，为的中点。 求及的最小值，并说明是否唯一。 图1-1   变式1-2 在中，点在线段上，点在线段上运动，允许与重合。 （1）小明利用相似把转化为一条垂线段，得到便认为最小值是这个结论是否正确？说明理由。 （2）求的最小值及取得最小值时的位置。 图1-2   变式1-3 在中，点分别在线段上运动，均允许取端点。 （求的最小值； （求取得最小值的全部点对,并判断这样的点对是否唯一。 图1-3   题型2 固定轨迹之后恢复原来的点 【要点1】直角三角形斜边中点到三个顶点等距，等长条件可进一步把中点限制在定角平分线上。 【要点2】轨迹只是原条件的必要结果；反向重建时应逐一验证原边、原角与等长关系。 【解题要领】选取公共斜边中点确定轨迹，用相似建立轨迹点与原点的长度关系，求出候选后再反验。 母题精讲 例2 在中，点分别在边的内部，为的中点，连接 （求证：平分 （是否存在满足的点？若存在，求的长，并说明这组点是否唯一；若不存在，说明理由。 图2（轨迹图，取等时G与T重合） 解 （证明见详解。 （存在且唯一， （是两个直角三角形的公共斜边的中点，因此 又所以都到等距，是的垂直平分线。等腰中，顶角平分线与底边垂直平分线重合，故平分即平分 （设的角平分线交于由勾股定理，由角平分线定理，因此 作于若则只能与重合，故候选唯一。由直角三角形中的相似关系，所以 接下来由恢复设过作的平行线交直线于因为是中点且三角形中位线关系说明为中点，所以在的端延长线上， 由得又所以 令得解得进而 最后验证该候选确实满足原题。按取点。作于作交于由得所以同时于是两个直角三角形相似，结合对应直角边互相垂直，得到 图2（恢复原构型） 所有长度都处在三边内部的允许范围内，候选可以实现。与均由方程唯一确定，故这组点唯一。 【易错提醒】点在同一轨迹上不等于满足同一原条件；逆命题可能有额外分支，改变目标也会改变最优点。 题型2 递进练习 变式2-1 在中，点分别在边的内部，若求的所有可能值。 图2-1   变式2-2 在中，点分别在边的内部，求的最小值及取得最小值时的长。 图2-2   变式2-3 在中，点分别在边的内部，为的中点，且平分 （是否一定有？若不一定，求与之间所有可能的长度关系； （若求的所有可能值。 图2-3   题型3 把线段比转为垂距再比较位置 【要点1】过作垂足为过作垂足为先单列时比值为1的端点情形。在的前提下，当且时，由两组角对应相等，可得所以 【要点2】在同一图形中，是定长，因此应比较而不是分别求与的最值。点可能在直线的两侧，须分别处理。 【解题要领】先用相似把两个变长线段的比转成定长与一条垂距的比，再检查活动轨迹的两部分及等号位置。 母题精讲 例3 如图，在中，点在边上，过点作垂足为且求的最小值，并求此时的长。 图3（取等时H与K重合） 解 当时，比值为1。以下先讨论的非退化情形，最后与端点比较。 由勾股定理得过作于由等面积关系得过作于由相似得 因为所以在以为直径、位于的侧的半圆上。设为中点，则过作于由得 先看与在直线同侧的情形。此时在内或边上，它到的距离不大于因此当时取等。 再看与在直线异侧的情形。圆心在侧，故当且在的另一侧时取等。这个点位于所需半圆上。于是这一部分 恢复点时，过作于因为由对应角相等得所以因此 过作于由得又故联立解得于是该点确在线段内，故等号能够取得。 比较与可得最小值为此时 【易错提醒】圆心到直线的距离加半径，未必是本题可取的垂距。垂足只在指定半圆上，不能把另一半圆上的点算进来。 题型3 递进练习 变式3-1 如图，在中，点在边上，过点作于若求的所有可能值。 图3-1   变式3-2 如图，在中，点在边上，过点作于且已知的最小值为求的长，并求取得最小值时的长。 图3-2   变式3-3 如图，在中，点在边上，过点作于且在线段上， （1）若求的长； （2）不再要求其余条件不变。求的最小值，并判断（1）中的位置是否为取最小值的位置。 图3-3   A 基础通关 A1 在中，在上取使在直线的异于的一侧作点在线段内部，于 （小明写出判断这个比例式是否正确，并写出正确的对应关系； （若求 图A1   A2 在中，在上取使在直线的侧作点在线段上，直线于 小红说：“由相似仍有又因为在直线上，所以的最小值是” 她的两个判断是否正确？分别说明理由。 图A2   A3 在中，为的中点，在内部，在内部，求 图A3   B 难点突破 B1 在中，若对线段上的每一点包括端点，都有求的取值范围，并指出等号成立时的位置。 图B1   B2 在中，有两组不同的点和分别位于边内部，且 （求证： （设第一组点中求能够找到另一组不同的点满足上述条件时，的取值范围。 图B2（仅示第一组）   B3 在中，点分别在边内部， （1）求面积的最大值； （2）当的面积最大时，是否最短？说明理由。 图B3   C 方法进阶 C1 在中，点分别在边内部，为常数，已知取得最小值时，恰为的中点。 求及的最小值，并说明是否唯一。 图C1   C2 如图，在中，点在边上，过点作于且已知恰有两个不同的位置使取得最小值，求的长，并求这两个位置的的长。 图C2   D 中考真题精选 D1 （2025年江苏省宿迁市中考第18题） 如图，在中，点在边上，过点作垂足为点则的最小值是________。 图D1   D2 （2026年四川省广元市中考第16题） 如图，在中，点分别在边上，连接若则的最小值为________。 图D2   第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $