专题6.1 二次函数的概念（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测） 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题6.1 二次函数的概念 （新教材苏科版） 知识点一、二次函数的定义 2 知识点二、二次函数的常见表达式 2 知识点三、求二次函数解析式 3 【题型 1 列二次函数的关系式】 3 【题型 2 二次函数的识别】 6 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 7 【题型 4 二次函数的一般形式】 8 【题型 5 一次、二次函数综合辨析与区分】 11 【题型 6 利用二次函数值求自变量/参数】 14 【探究式学习】 17 【课后检测】 19 【复盘笔记】 28 知识点一、二次函数的定义 一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 知识点二、二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 知识点三、求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型 1 列二次函数的关系式】 核心考点：根据实际问题（面积、利润、运动变化、几何图形）找等量关系，列出二次函数解析式；区分自变量取值范围的实际约束 【例 1】某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 【变式 1‑1】如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而可得，再观察图形可得五边形的面积正方形的面积三角形的面积，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，， ∴ 解得， ∴x的取值范围为． 【变式 1‑2】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 【变式 1‑3】长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 【题型 2 二次函数的识别】 核心考点：依据二次函数定义（形如y=ax^2+bx+c(a≠0)），区分二次函数、一次函数、反比例函数、非函数整式；化简式子后再判断。 【例 2】下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据二次函数定义，核心判断二次项系数是否恒不为0. 【详解】解：A选项：最高次为1次，不是二次函数； B选项：，当时，不是二次函数； C选项：，当时，不是二次函数； D选项：∵，∴，二次项系数恒不为0，故一定是二次函数. 【变式 2‑1】下列变量具有二次函数关系的是（     ） A．圆的周长与半径 B．正三角形的周长与边长 C．正方形的面积与边长 D．路程一定，速度与时间 【答案】C 【分析】二次函数中自变量最高次数为，由此逐项分析即可． 【详解】解：选项，圆的周长，是一次函数，不符合题意； 选项，正三角形的周长，是一次函数，不符合题意； C选项，正方形的面积与边长的关系式为，符合二次函数关系，符合题意； D选项，路程一定时，速度与时间的关系式为（为定值），是反比例函数，不符合题意； 综上所述，答案为C． 【变式 2‑2】下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简各选项的函数解析式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项为一次函数，不符合； B选项：，二次项系数为，是二次函数； C选项：，为一次函数，不符合； D选项：中是分式，解析式不是整式，不符合． 【变式 2‑3】下列每组变量之间的关系为二次函数的是（     ） A．正方形周长y与边长x的关系 B．当菱形的面积S一定时，两条对角线的长a与b的关系 C．当速度v一定时，路程s与时间t的关系 D．圆的面积S与半径r的关系 【答案】D 【详解】解：A． 正方形周长与边长的关系式为，不是二次函数，不符合题意． B． 菱形面积一定时，由得，不是二次函数，不符合题意． C． 速度一定时，路程与时间的关系式为，不是二次函数，不符合题意． D． 圆的面积与半径的关系式为，是二次函数，符合题意． 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 核心考点：区分整式、分式、根式型二次函数的自变量取值；结合实际应用题场景（长度、面积、数量为正数）限定取值范围 【例 3】若是二次函数，则的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由二次函数定义得且． ∵由得， ∴， 又∵即， ∴． 【变式 3‑1】函数是二次函数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义，得出且，解方程和不等式，即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得，或， 解得，， ∴． 【变式 3‑2】已知（为常数）是二次函数，那么的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义，列方程与不等式联立求解. 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴且， 解，得或， 解，得， ∴. 【变式 3‑3】已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】二次函数图像与轴有两个交点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，需要同时满足二次项系数不等于、一元二次方程根的判别式，据此解答即可． 【详解】解：是二次函数， 二次项系数， 二次函数的图像与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 综上，的取值范围是且． 【题型 4 二次函数的一般形式】 【例 4】在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置以及特定自变量对应的函数值符号进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，，故C选项错误． 抛物线的对称轴为直线， ，即， ，故B选项错误． 当时，，由图象可知此时， ，故A选项正确． 当时，，由图象可知此时， ． 又， ，即，故D选项错误． 【变式 4‑1】已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中： ①；②；③；④ 其中，正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定的符号及关系；利用时的函数值判断的符号；利用顶点纵坐标大于判断与的大小关系． 【详解】解：由抛物线开口向下可知， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线，即， ∴， ∴，故①错误， ∵，∴，故②正确， 由图象可知，当时， 即， 将代入得， 即，故③错误， 由图象可知抛物线顶点纵坐标大于， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论是②④． 【变式 4‑2】二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的最值出现在顶点或自变量取值范围的端点处，结合开口方向与给定x的范围确定y的取值范围 【详解】解： ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，取得最大值 当时，； 当时， ∵ ，且当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， ∴ 当时，； 当时， ∴ 的取值范围是 【变式 4‑3】已知抛物线，则当时，函数的最小值为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】确定二次函数对称轴的位置，结合开口方向与自变量的取值范围求最小值． 【详解】解：， 由二次项系数，得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数的最小值为. 【题型 5 一次、二次函数综合辨析与区分】 核心考点：对比一次函数、二次函数的定义、形式、自变量次数特征；判断函数增减变化模型，辨析易混淆函数解析式 【例 5】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个函数的、是同一个参数，符号必须统一；二次函数无常数项，必然过原点；结合一次函数增减性、截距判断、正负，再用对称轴公式验证抛物线对称轴位置． 【详解】解：二次函数，由此可知：抛物线一定经过原点．我们通过一次函数图象判断、的符号，再和二次函数的开口、对称轴位置比对：对称轴公式： 选项A：一次函数从左上向右下倾斜，；与轴交于正半轴，． 二次函数开口向上，说明． 的符号矛盾，A错误． 选项B：一次函数从左下向右上倾斜，；与轴交于正半轴，． 二次函数开口向上，，符合； 对称轴：，，，所以，对称轴在轴左侧，和图像一致；抛物线过原点，全部条件匹配．B正确． 选项C：一次函数从左上向右下倾斜，；与轴交于正半轴，． 二次函数开口向下，，符号一致；对称轴：，，，对称轴应该在轴右侧； 但图里抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，C错误． 选项D：一次函数从左下向右上倾斜，； 二次函数开口向下，． 的符号矛盾，D错误． 【变式 5‑1】一次函数和二次函数在同一直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向及对称轴位置确定的符号，再结合一次函数图象经过的象限判断的符号，逐一排查即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知，由一次函数图象可知，矛盾，故A选项不符合题意； B、由抛物线开口向上可知，由对称轴在轴右侧可知，则，由直线经过第一、二、三象限可知，，矛盾，故B选项不符合题意； C、由抛物线开口向上可知，由对称轴在轴右侧可知，则，由直线经过第一、三、四象限可知，，一致，故C选项符合题意； D、由抛物线开口向下可知，由一次函数图象可知，矛盾，故D选项不符合题意． 【变式 5‑2】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口向下，排除A，B，再根据C，D选项中，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，可得，即可判断一次函数的图象，即可求解． 【详解】解：二次函数中二次项系数为， ∴抛物线开口向下，故A，B选项不合题意； ∵C，D选项中，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，可得， ∴一次函数中随的增大而增大，故D选项不合题意，C选项符合题意． 故选：C． 【变式 5‑3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致如图（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； B、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； C、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； D、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，该选项符合题意． 【题型 6 利用二次函数值求自变量/参数】 核心考点：已知函数值代入解析式，转化为一元二次方程求解；根据题意取舍方程的解，适配题型基础计算 【例 6】已知二次函数、为常数，的图象经过，两点，则的值可能是（     ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】二次函数图象的对称轴为，将代入得到，将和代入函数得：，，，得到，将选项代入验证即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为， ，图象开口向下， 将代入得：， ， 将和代入得：， 整理得：， ， ，， ， 选项中，只有符合． 【变式 6‑1】在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中不正确的是（     ） A．当时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当且时，则 【答案】C 【分析】先将给定抛物线配方得到开口向下、对称轴为且过和的图像性质，再结合二次函数的增减性、函数值符号与自变量范围的对应关系，逐一验证四个选项的正误，找出不正确的结论． 【详解】解：． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小． 令，即， 解得或， 即抛物线与x轴交于和． ∵， ∴，A正确． ∵， ∴，B正确． 当时，．若，则， ∴或，故C错误． 若，则，∴，D正确． 故选： ． 【变式 6‑2】如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位下降米后，水面的宽度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立坐标系，设函数解析式为，把抛物线经过的点代入解析式求出，然后把代入解析式，求出两个横坐标之间的距离即为水位下降后的水面宽度． 【详解】解：如图，设抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，． 设抛物线解析式为， 拱顶到水面的距离为米，水面宽度为米， 抛物线经过点， ， 解得． 抛物线解析式为． 水位下降米， 此时水面所在直线为． 当时，， 解得，． 水面宽度为（米）． 【变式 6‑3】一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】B 【分析】球回到地面时高度，代入，然后解方程并检验即可． 【详解】解：当时，，即， 解得或， ∵为球弹起的初始时刻， ∴球弹起后回到地面的时间为秒． 【探究式学习】 1．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： (1)请写出x与y之间的函数关系式； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 【答案】(1)． (2) 解：∵， ∴，对称轴为， ∵x为整数， ∴当或3时，y有最大值，元． 所以，当降价2或3元时，每星期的利润最大，最大利润为6120． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式并确定自变量的取值范围即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可列出表达式： ．即． ∵降价要确保盈利， ∴．即：． ∴． （2）略 2．如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，风筝的骨架由3条竹棒组成，其中E，F分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（），求s关于x的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 【答案】(1) (2) 函数的图象，如图即为所求； (3) 【分析】（1）根据题意可知是的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； （3）根据筝面的面积为，即，求出x的值，结合骨架长度必须大于长度且筝面的面积超过确定x的值可得． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴是的垂直平分线， ∵E，F分别是和的中点， ∴， 设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（）， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）（）， ∴当时，s取最大值675； 当时，得：， 解得： （3）当时，， 解得或48， 由得，， 解得， ∴当时，筝面的面积超过． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的几何应用，垂直平分线的性质，画二次函数图象，求二次函数的值，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是解答本题的关键． 【课后检测】 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，是一次函数，不符合． B选项，分母含有未知数，不是二次函数，不符合． C选项，化简得，是一次函数，不符合． D选项，是二次函数，符合． 2．下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、未限定，不符合二次函数定义； B、不是整式，不符合二次函数定义； C、，是一次函数，不符合二次函数定义； D、，符合二次函数定义． 3．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的长为，边上的高比长的2倍多1，， ∴边上的高为， ∴． 4．某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为，三月份的产量为，则与的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一月份生产汽车200辆，二、三月份的增产率均为，三月份的产量为， ∴二月份的产量为， ∴三月份的产量为， ∴与的函数解析式为． 5．把二次函数化成一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，转化成二次函数一般形式． 【详解】解：． 6．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 7．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 8．“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别讨论M在AB和在BC上时M到点C的距离平方为y关于运动时间为x的增大而变化的情况即可判断． 【分析】解：当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大先变小再变大， 当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大而变小， ∵ y等于点M到点C的距离平方， ∴ y是关于x的二次函数，图象为抛物线的一部分， A选项符合题意 9．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】依次对每个命题，依据相关数学定义、性质判断正误，统计正确命题个数．本题主要考查二元二次方程的解、四边形面积与对角线的关系、必然事件与不可能事件的判定、二次函数的定义，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 10．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 11．若函数是二次函数，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足x的最高次数为2且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴需满足x的最高次项次数为2，且二次项系数不为0， 即且， 由，得或， 解得或， ∵ ∴， ∴. 12．某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高总产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种棵橙子树，橙子的总产量为个，那么与之间的函数表达式为__________________． 【答案】 【分析】总产量为总树数量与单棵树结果数量的乘积，总树数量为原有100棵加增种的棵，单棵树结果数量为原单棵结果数减去增种棵对应的减少量，代入关系整理即可得到函数表达式. 【详解】解：∵果园原有100棵橙子树，增种棵， ∴果园内橙子树总数量为棵， ∵每多种1棵树，平均每棵树少结5个橙子， ∴增种棵后，平均每棵树结的橙子个数为个， ∵橙子总产量为总树数与单棵树结果数的乘积， ∴， 展开并整理得． 13．若是关于的二次函数，则的值是______． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，可得的最高次数为且二次项系数不为，据此解答即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数 ∴，且， 由，得或， 由，得， ∴． 14．如图，在中，，，．动点从点出发，沿斜边以每秒2个单位长度向终点运动．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设多边形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． (1)线段的长为__________（用含的代数式表示）； (2)当点恰好落在边上时，则的值为__________； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据路程速度时间即可求解； （2）证明和都是等腰直角三角形，利用全等三角形和旋转的性质求解即可； （3）分点在内部（包括边上），在外部两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据路程速度时间可得：， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 当R在内部（包括边上），即时， ∴； 当R在外部，即时，如图： ∵， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， 综上所述，． 【点睛】旋转 90° 且 ，可得、，把旋转条件翻译成"两组平行"后，平行四边形的形状完全由 t 决定；分段点就是 R 落在 BC 上的时刻 t = 2，第二段用"整体减截角"即可． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，列函数关系式，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 28 页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题6.1 二次函数的概念 （新教材苏科版） 知识点一、二次函数的定义 2 知识点二、二次函数的常见表达式 2 知识点三、求二次函数解析式 3 【题型 1 列二次函数的关系式】 3 【题型 2 二次函数的识别】 4 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 5 【题型 4 二次函数的一般形式】 5 【题型 5 一次、二次函数综合辨析与区分】 6 【题型 6 利用二次函数值求自变量/参数】 7 【探究式学习】 8 【课后检测】 10 【复盘笔记】 13 知识点一、二次函数的定义 一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 知识点二、二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 知识点三、求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型 1 列二次函数的关系式】 核心考点：根据实际问题（面积、利润、运动变化、几何图形）找等量关系，列出二次函数解析式；区分自变量取值范围的实际约束 【例 1】某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式 1‑1】如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式 1‑2】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式 1‑3】长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【题型 2 二次函数的识别】 核心考点：依据二次函数定义（形如y=ax^2+bx+c(a≠0)），区分二次函数、一次函数、反比例函数、非函数整式；化简式子后再判断。 【例 2】下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式 2‑1】下列变量具有二次函数关系的是（     ） A．圆的周长与半径 B．正三角形的周长与边长 C．正方形的面积与边长 D．路程一定，速度与时间 【变式 2‑2】下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式 2‑3】下列每组变量之间的关系为二次函数的是（     ） A．正方形周长y与边长x的关系 B．当菱形的面积S一定时，两条对角线的长a与b的关系 C．当速度v一定时，路程s与时间t的关系 D．圆的面积S与半径r的关系 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 核心考点：区分整式、分式、根式型二次函数的自变量取值；结合实际应用题场景（长度、面积、数量为正数）限定取值范围 【例 3】若是二次函数，则的值为(     ) A． B． C． D． 【变式 3‑1】函数是二次函数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【变式 3‑2】已知（为常数）是二次函数，那么的值是（     ） A． B． C． D．或 【变式 3‑3】已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【题型 4 二次函数的一般形式】 【例 4】在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【变式 4‑1】已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中： ①；②；③；④ 其中，正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式 4‑2】二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式 4‑3】已知抛物线，则当时，函数的最小值为（     ） A． B． C．0 D．2 【题型 5 一次、二次函数综合辨析与区分】 核心考点：对比一次函数、二次函数的定义、形式、自变量次数特征；判断函数增减变化模型，辨析易混淆函数解析式 【例 5】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【变式 5‑1】一次函数和二次函数在同一直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式 5‑2】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(     ) A． B． C． D． 【变式 5‑3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致如图（     ） A． B． C． D． 【题型 6 利用二次函数值求自变量/参数】 核心考点：已知函数值代入解析式，转化为一元二次方程求解；根据题意取舍方程的解，适配题型基础计算 【例 6】已知二次函数、为常数，的图象经过，两点，则的值可能是（     ） A． B． C．1 D．4 【变式 6‑1】在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中不正确的是（     ） A．当时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当且时，则 【变式 6‑2】如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位下降米后，水面的宽度为（     ）米 A． B． C． D． 【变式 6‑3】一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【探究式学习】 1．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： (1)请写出x与y之间的函数关系式； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 2．如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，风筝的骨架由3条竹棒组成，其中E，F分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（），求s关于x的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 【课后检测】 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 4．某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为，三月份的产量为，则与的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．把二次函数化成一般形式为（     ） A． B． C． D． 6．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 7．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 8．“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 9．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 11．若函数是二次函数，则的值是___________． 12．某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高总产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种棵橙子树，橙子的总产量为个，那么与之间的函数表达式为__________________． 13．若是关于的二次函数，则的值是______． 14．如图，在中，，，．动点从点出发，沿斜边以每秒2个单位长度向终点运动．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设多边形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． (1)线段的长为__________（用含的代数式表示）； (2)当点恰好落在边上时，则的值为__________； (3)求与之间的函数关系式． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 28 页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $