专题06图形的相似同步讲义（3）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题06图形的相似同步讲义(3) 【相似三角形的性质】 【题型01 利用相似三角形的性质求解】....................................3 【题型02 证明三角形的对应线段成比例】..................................5 【题型03 利用相似求坐标】..............................................7 【题型04 在网格中画与已知三角形相似的三角形】.........................11 【题型05 相似三角形的判定与性质综合】.................................14 【题型06 相似三角形--动点问题】........................................18 【题型07 相似三角形的综合问题】.......................................22 【题型08 重心的有关性质】.............................................25 【解答题5题】.........................................................29 ★知识梳理 核心结论：相似三角形的对应角相等、对应边成比例；对应线段、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 知识点01:基础性质（定义延伸） 对应角相等：若 △ABC∼△A′B′C′，则 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′。 对应边成比例：k（k 为相似比）。 知识点02:对应线段的性质（核心考点 1） 所有对应线段的比 = 相似比 k： 1.对应高的比：=k（AH,A′H′ 为对应边上的高）。 ∵△ABC∼△A′B′C′，AH,A′H′ 为对应边上的高， ∴=k 2.对应中线的比：=k（AD,A′D′ 为对应边上的中线）。 ∵△ABC∼△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应中线， ∴=k 3.对应角平分线的比：=k（AT,A′T′ 为对应角的平分线）。 ∵△ABC∼△A′B′C′，AT、A′T′ 分别为对应角平分线， ∴=k 4.推广：对应中位线、对应内切圆半径、对应外接圆半径等，比值均为 k。 知识点03:周长与面积的性质（核心考点 2） 周长比 = 相似比 k 若 △ABC∼△A′B′C′，相似比为 k，则： 已知： △ABC∼△A′B′C′，且相似比为 k。 即：k 结论： 文字表述：相似三角形的周长比等于相似比 面积比 = 相似比的平方 k2 推导：S=×底×高，底与高均按 k 缩放，故面积按 k2 缩放。 公式： 逆用：已知面积比，相似比 k=。 知识点04:易错点提醒 1.面积比≠相似比，必须平方；已知面积求边长，先开方求相似比。 2.应用性质时，对应顶点必须一一对应，否则比例式错误。 【题型1.利用相似三角形的性质求解】 【典例】如果两个相似三角形的周长之比，那么它们的面积之比为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积之比为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应高之比等于相似比，周长之比等于相似比求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高之比为， ∴两个三角形的相似比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 【跟踪专练2】的三边长为4、5、6，与相似且的最长边是24，则的周长为___________，两三角形的相似比是___________． 【答案】 60 4 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比． 由相似三角形最长的边是对应边，即可求出两个相似三角形的相似比，由相似三角形周长的比等于相似比，即可求出的周长． 【详解】解：与相似且的最长边是24，的最长边是6， 与的相似比是， 的周长， 的周长． 故答案为：60，4． 【跟踪专练3】将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（   ） A． B． C．或5 D．或5 【答案】C 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点， ∴， 设， ∵， ∴， 当， ∴， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， ∴， 解得， ∴； ∴的长是或5． 【题型2.证明三角形的对应线段成比例.】 【典例】如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．    【答案】9 【分析】根据勾股定理求出AB，再利用相似即可求解. 【详解】∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=30°， 又∵AD⊥AC，AD=3 ∴∠DAC=90°，CD=6 勾股定理得AC=AB=3， 由图可知△ABD∽△BCA， ∴BC=9 【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．证明相似是解题关键. 【跟踪专练1】已知，且相似比为，则与的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3， ∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3， 故选A. 【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质. 【跟踪专练2】如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______． 【答案】4 【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可. 【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE=3，BC=6，AC=8， ∴， 解得：AD=4， 故答案为：4 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 【跟踪专练3】如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 【题型3.利用相似求坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【跟踪专练2】如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．    【答案】（2，0）或（，0） 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥OB于E，如图： ∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0）， ∴AE=2， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， 可得：， 解得：OC=1， OE=EC﹣OC=2﹣1=1， 所以点A的坐标为（2，1）， 故选C． 【题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【典例】如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 【跟踪专练2】在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据勾股定理，PQ=，PR=，QR=， ∴PQ2+PR2=RQ2， ∴△PQR是直角三角形，且夹直角的两边的比为=2， 观各选项，只有A选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键． 【题型5.相似三角形的判定与性质综合】 【典例】如图，在中，若，，，则的长为______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为12． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理求出，证明，列出比例式，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴. 【跟踪专练2】如图，已知点、分别在的边、上，，点在延长线上，若，，则______． 【答案】 【分析】先利用 证明 ，得到对应边的比例关系，再结合 证明 ，最后通过相似比求出 的长度． 【详解】解：， ，， ． ， ． ． ， ． ． ． ． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点是对角线上一点，，连接．过点作交于点，以，为邻边作矩形，边与交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，设正方形边长为，由平行可判定和，计算得，．容易证明四边形是矩形，则，．结合四边形是矩形可证明，则，，从而得到．通过可计算出，从而求出的值． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，交于点，设正方形边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在直角中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【题型6.相似三角形--动点问题】 【典例】如图，在中，，，，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处．若，则点P到AB距离的最小值为________． 【答案】1.2 【分析】以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值=FH-FP=FH-FG．利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值=FH-FP=FH-FG． 由翻折的性质可知，PF=CF=2， ∴点P在⊙F上， ∵AC=6，BC=8， ∴AB==10，AF=AC-CF=4， 由△AHF∽△ACB， ∴， ∴， ∴FH=3.2， ∴点P到AB的距离的最小值=FH-FG=3.2-2=1.2． 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查了翻折变换，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解. 【详解】∵∠ACD=∠ABC， ∴∠A=∠DCE， ∵△DCE和△ABC相似， ∴或 ∵AC=6，AB=4，CD=2， ∴或 ∴CE的长为或3 故选：C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论. 【跟踪专练2】如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 【跟踪专练3】如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论． 【详解】解：设运动时间为秒． ，，， 当，， 即， 解得； 当，， 即， 解得， 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想． 【题型7.相似三角形的综合问题】 【典例】如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝_____． 【答案】1：3． 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△AEC， ∴=()2 ∵S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8， ∴S△ABC＝9， ∴=， ∴， 故答案为1：3． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 【跟踪专练1】如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【答案】B 【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，＝m．若，则m＝_____． 【答案】 【分析】作EF⊥BE，CF⊥CE交于点F，易得△ABE∽△CEF，易证四边形BDCF为平行四边形，设BE＝3a，CD＝BF＝5a，可求EF＝4a，即可求出m的值． 【详解】解：作EF⊥BE，CF⊥CE交于点F，则∠AEB+∠CEF＝90°＝∠AEB+∠ABE， ∴∠ABE＝∠CEF， ∵∠A＝∠ECF＝90° ∴△ABE∽△CEF， ∴=== m, ∵=＝m． ∴CF＝BD， ∵∠A＝∠ECF＝90°， ∴AB∥CF， ∴四边形BDCF为平行四边形， 设BE＝3a，CD＝BF＝5a， 在Rt△BEF中，EF＝=4a, ∵＝m， ∴=m, ∴m＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建相似形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明AG=GD，得到GE为△ADC的中位线，由三角形的中位线可得GEDCBD；由EG∥BC，可证△GEF∽△BDF，由相似三角形的性质，可得；设GF=x，用含x的式子分别表示出AG和AF，则可求得答案． 【详解】∵E为AC中点，EG∥BC， ∴AG=GD， ∴GE为△ADC的中位线， ∴GEDCBD． ∵EG∥BC， ∴△GEF∽△BDF， ∴， ∴FD=2GF． 设GF=x，则FD=2x，AG=GD=GF+FD=x+2x=3x，AF=AG+GF=3x+x=4x， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质，是解答本题的关键． 【题型8.重心的有关性质】 【典例】在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长是____________． 【答案】 【分析】是重心，是边上的中线，则点在中线上，根据重心的性质“重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为”即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示， 是重心，是边上的中线， ∴点在中线上， 根据三角形重心的性质得，，， ∴，即． ∴线段的长是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：，，，由可得，结合得到，推出，即可求解． 【详解】解：在中，，点是重心， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 【答案】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，是的重心，是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，若四边形的面积为，则的面积为（   ） A．28 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．连接，根据为的重心，得到，证明，得到与的相似比为，设的高为，得到四边形底边的高为，根据平行四边形的面积求得，据此求解即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点是的重心，点是边的中点， ∴点在线段上，， ∵， ∴， ∴与的相似比为， 设的高为， ∴的高为，即的高为， ∴四边形底边的高为， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴的面积为， ∵点是边的中点， ∴的面积为36， 故选：C． 【解答题】 1．如图，的顶点在的边上，，，现以点为圆心，为半径画弧，交于点． (1)求证：； (2)已知，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图可知，即，进而得到，根据平行线的性质得到，即可证明； （2）由题意可知，根据相似三角形的性质得到，即可求出边的长． 【详解】（1）证明：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∴ （2），理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 3．如图1，在中，，，点D、E分别为边上的点．将沿折叠，点C的对应点记为点F． (1)、与的数量关系为_______； (2)在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出四边形，使点F落在边上且四边形是菱形； (3)在图2中连接与交于点O，求线段的取值范围． 【答案】(1)； (2)见详解； (3) 【分析】（1）由折叠的性质得，结合三角形内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）作的平分线交于点F，作的垂直平分线交于点D、E，顺次连接起来，即可 （3）由，可得菱形的边长，取的中点G，结合三角形三边长关系，即可得到答案 【详解】（1）解：∵将沿折叠，点C的对应点记为点F， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：如图所示： 由作图可知，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：取的中点G，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ 设，则， ∴，解得， ∴， ∵的中点G， ∴，， ∴，即 4．如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由动点得到，，过点Q作，证明，求出， 最后根据计算即可； （2）①当时，， ②当时，，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得， ∴， 过点Q作，交于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∴， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， ∴， 当或时，与相似． 5．如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． （2）解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的相似同步讲义(3) 【相似三角形的性质】 【题型01 利用相似三角形的性质求解】....................................3 【题型02 证明三角形的对应线段成比例】..................................4 【题型03 利用相似求坐标】..............................................4 【题型04 在网格中画与已知三角形相似的三角形】..........................5 【题型05 相似三角形的判定与性质综合】..................................6 【题型06 相似三角形--动点问题】.........................................7 【题型07 相似三角形的综合问题】........................................9 【题型08 重心的有关性质】.............................................10 【解答题5题】.........................................................10 ★知识梳理 核心结论：相似三角形的对应角相等、对应边成比例；对应线段、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 知识点01:基础性质（定义延伸） 对应角相等：若 △ABC∼△A′B′C′，则 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′。 对应边成比例：k（k 为相似比）。 知识点02:对应线段的性质（核心考点 1） 1.对应高的比：=k（AH,A′H′ 为对应边上的高）。 ∵△ABC∼△A′B′C′，AH,A′H′ 为对应边上的高， ∴=k 2.对应中线的比：=k（AD,A′D′ 为对应边上的中线）。 ∵△ABC∼△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应中线， ∴=k 3.对应角平分线的比：=k（AT,A′T′ 为对应角的平分线）。 ∵△ABC∼△A′B′C′，AT、A′T′ 分别为对应角平分线， ∴=k 4.推广：对应中位线、对应内切圆半径、对应外接圆半径等，比值均为 k。 知识点03:周长与面积的性质（核心考点 2） 若 △ABC∼△A′B′C′，相似比为 k，则： 已知： △ABC∼△A′B′C′，且相似比为 k。 即：k 结论： 文字表述：相似三角形的周长比等于相似比 推导：S=×底×高，底与高均按 k 缩放，故面积按 k2 缩放。 公式： 逆用：已知面积比，相似比 k=。 1.面积比≠相似比，必须平方；已知面积求边长，先开方求相似比。 2.应用性质时，对应顶点必须一一对应，否则比例式错误。 【题型1.利用相似三角形的性质求解】 【典例】如果两个相似三角形的周长之比，那么它们的面积之比为______． 【跟踪专练1】已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】的三边长为4、5、6，与相似且的最长边是24，则的周长为___________，两三角形的相似比是___________． 【跟踪专练3】将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（   ） A． B． C．或5 D．或5 【题型2.证明三角形的对应线段成比例.】 【典例】如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．    【跟踪专练1】已知，且相似比为，则与的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______． 【跟踪专练3】如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【题型3.利用相似求坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【跟踪专练1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【跟踪专练2】如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．    【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【典例】如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______．    【跟踪专练3】如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（    ） A． B． C． D． 【题型5.相似三角形的判定与性质综合】 【典例】如图，在中，若，，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知点、分别在的边、上，，点在延长线上，若，，则______． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，点是对角线上一点，，连接．过点作交于点，以，为邻边作矩形，边与交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【题型6.相似三角形--动点问题】 【典例】如图，在中，，，，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处．若，则点P到AB距离的最小值为________． 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【跟踪专练2】如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 【题型7.相似三角形的综合问题】 【典例】如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝_____． 【跟踪专练1】如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【跟踪专练2】如图，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，＝m．若，则m＝_____． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【题型8.重心的有关性质】 【典例】在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长是____________． 【跟踪专练1】如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 【跟踪专练3】如图，是的重心，是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，若四边形的面积为，则的面积为（   ） A．28 B．32 C．36 D．40 【解答题】 1．如图，的顶点在的边上，，，现以点为圆心，为半径画弧，交于点． (1)求证：； (2)已知，求边的长． 2．如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 3．如图1，在中，，，点D、E分别为边上的点．将沿折叠，点C的对应点记为点F． (1)、与的数量关系为_______； (2)在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出四边形，使点F落在边上且四边形是菱形； (3)在图2中连接与交于点O，求线段的取值范围． 4．如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 5．如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $