精品解析：广东梅州市兴宁市第一中学2026-2027学年高三上学期11月期中质检数学试题

高三学校质检数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知点是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则这10人成绩的第60百分位数和第75百分位数分别是（     ） A. 85，88 B. 84，88 C. 80，86 D. 85，86 6. 已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（ ） A. 6 B. C. 0 D. 7. 已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 若向量满足，，则（     ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（      ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则最小内角的大小为 D. 若，则 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 13. 已知随机变量，随机变量，若，则______. 14. 一个袋中有形状、大小完全相同的个小球，其中个红球，其余为白球.从中一次性任取个小球，将“恰好含有个红球”的概率记为，则当__________时，取得最大值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 16. 已知函数（，）的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称轴方程与函数的单调递增区间； （3）当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 17. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 18. 已知函数 . （1）当时，求的单调区间，以及在处的切线方程； （2）若有唯一零点，求的取值范围. 19. 将1，2，…，（）这个正整数随机分为和两组，每组各个数，所有分法等可能．记组中最小数为，组中最小数为，． （1）当时，求，； （2）当时，求关于的表达式； （3）求的数学期望关于的表达式，并证明． 参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三学校质检数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解即可. 【详解】解：因为， 所以 故选：D 2. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 3. 已知点是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义与二倍角公式计算求解即可. 【详解】解：因为点是角的终边上一点， 所以，， 所以． 故选：A． 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 5. 参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则这10人成绩的第60百分位数和第75百分位数分别是（     ） A. 85，88 B. 84，88 C. 80，86 D. 85，86 【答案】A 【解析】 【详解】10名学生的成绩从小到大排列为71，76，80，81，83，84，86，88，92，96， ，故从小到大，选取第6个和第7个数的平均数作为第60百分位数，即， ，故从小到大，选取第8个数作为第75百分位数，即88. 6. 已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（ ） A. 6 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，然后利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图平面直角坐标系. 于是， 所以 所以. 7. 已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分第一次取红球或白球两种情况讨论，再利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件：第一次取到红球； 事件：第一次取到白球； 事件：第二次取到2个红球， 则，， , 由全概率公式得 =. 8. 在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】用的外接圆半径给出球半径的下界，再借助垂直于折痕的截面，说明球半径何时取得最小值. 【详解】取的中点，连接、. 由是等边三角形，得，且 . 设的外心为.由等边三角形的外心与重心重合， 得，. 设四面体外接球的半径为.球心到、、的距离相等， 故球心在平面上的正射影为，所以. 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，得，且. 折叠时，始终在过且垂直于的截面内转动. 当折至时，与垂直，连接， 得， 此时，所以是四面体的外接球球心，半径取得最小值. 因此，四面体外接球的表面积最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 若向量满足，，则（     ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积、向量夹角与投影向量.先对和向量的模平方求出数量积，验证选项C；再利用数量积夹角公式求夹角，验证选项A；借助数量积是否为0判断垂直关系，验证选项B；代入投影向量公式计算，验证选项D. 【详解】已知，设与的夹角为， 由，两边平方得，所以，选项C正确； 由数量积定义：，又，所以，选项A正确； 对于B，，因此与不垂直，选项B错误； 对于D，在上的投影向量为，选项D正确. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（      ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则最小内角的大小为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由余弦函数单调性得到，故，由正弦定理得；B选项，变形后由余弦定理可得，故；C选项，判断最小内角为，由余弦定理可得C正确；D选项，由正弦定理可得，D错误 【详解】A选项，因为，在上单调递减， 所以，由大角对大边得，由正弦定理得， 故，A正确； B选项，，故， 所以，两边同除以得， 即，又，故，B错误； C选项，，则，由大边对大角可得，最小内角为， 故， 又，故，故C正确； D选项，由正弦定理得，又， 所以，，因为，所以，D错误 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求解A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解B，根据球的截面性质可得求解C，根据余弦定理，取反例即可求解D. 【详解】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确. 若，则，则.B正确. 若，则，， 则平面的外接圆半径为，则到平面的距离， 则三棱锥的体积， 则球面的体积.C正确. 由余弦定理可知因为，所以，则. 取，，则，， 则.D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【详解】的展开式通项公式为， 令，则， 所以的展开式中的系数是． 13. 已知随机变量，随机变量，若，则______. 【答案】0.1## 【解析】 【分析】相同说明两条正态曲线形状完全相同，仅对称轴位置不同，利用对称性和已知概率求解即可. 【详解】，正态分布曲线关于直线对称， ， ，正态分布曲线关于直线对称，有， 又因为相同，随机变量与对应的正态分布曲线形状完全相同， 且3与4分别在各自对称轴的右边，到各自对称轴的距离相等， 所以，结合，得， 14. 一个袋中有形状、大小完全相同的个小球，其中个红球，其余为白球.从中一次性任取个小球，将“恰好含有个红球”的概率记为，则当__________时，取得最大值． 【答案】20 【解析】 【分析】由题意可知，满足超几何分布，列出的公式，建立与的表达式，求最大值． 【详解】，取得最大值，也即是取最大， 所以，解得，故． 故答案为：20 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 16. 已知函数（，）的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称轴方程与函数的单调递增区间； （3）当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）函数的对称轴方程为，单调递增区间为 （3）函数的最小值为，取得最小值时的值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合其周期即可求解函数解析式； （2）结合正弦函数的对称轴与单调递增区间即可求解； （3）结合正弦函数图像性质即可求得最值. 【小问1详解】 , , 因为函数（，）的最小正周期为， 所以，解得：， 所以 【小问2详解】 由于， 令，解得：， 所以函数的对称轴方程为 令， 解得：， 所以函数的单调递增区间为 【小问3详解】 由于， 当，则， 所以当，即时，取最小值，即 17. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴， 平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面BCF，平面BCF，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案； （2）即为二面角的平面角，作于O，由线面垂直的判定定理可得平面ADE，平面CDEF，连结CO，直线AC与平面CDEF所成角为，求出正弦值即可； （3）由（2）得平面CDEF，又，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，∴即为二面角的平面角， ∴， 又，平面ADE， 所以平面ADE，作于O，因为平面ADE， 所以，又，平面CDEF， 所以平面CDEF，连结CO， 所以直线AC与平面CDEF所成角为， ，，所以． 直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）得平面CDEF，又，所以距离，又由已知可得 ，，，所以． 18. 已知函数 . （1）当时，求的单调区间，以及在处的切线方程； （2）若有唯一零点，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，的单调递减区间为，切线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，并求导，通过导函数的正负来确定函数的单调区间，再利用导数的几何意义求切线方程； （2）构造函数得到和 ，由有唯一零点得到 有一个解，画出与的图象，结合图象，考虑直线相切的情况即可求解. 【小问1详解】 当时，，求导． 令，即，得，令，即，得， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为， ， ． 所以切线方程为 ，即． 【小问2详解】 由得出， 函数和的图象都过点， 即和恒交于， 因为有一个零点，即有且只有一个解， 即和除点外无交点， 再由（1）可得 的单调递增区间为，的单调递减区间为，画出函数图象， 结合图象可知若保证直线和只有一个交点， 直线可从（不包括）处旋转到，此时斜率的范围是， 另外和相切时符合题意， 由（1）可得，函数在点处的切线斜率为，所以的范围是. 19. 将1，2，…，（）这个正整数随机分为和两组，每组各个数，所有分法等可能．记组中最小数为，组中最小数为，． （1）当时，求，； （2）当时，求关于的表达式； （3）求的数学期望关于的表达式，并证明． 参考公式： 【答案】（1）, （2） （3）, 证明不等式： 由于,故 则,所以 即（当且仅当时取等号） 【解析】 【分析】根据题意把各个题目条件表示出来，进而求解。 【小问1详解】 当时,将1，2，3，4随机分为两组各2个数，总分法为种, 表示1在A组，A组剩余1个数从2，3，4三个数中选取，有种，则 等价于一组最小数为1，另一组最小数为2. 若1在A组、2在B组：A组从3，4两个数中选一个，有种 若1在B组、2在A组：同理有2种 则. 【小问2详解】 等价于：1组最小数为1，另一组最小数为4，同时2，3必须与1在同一组，4在另一组. 含1的组已有1，2，3共3个数，还需从剩余个数中选个，选法为 1在A组或者B组，即一共有种, 总分法有,因此 且, 【小问3详解】 的取值范围为,对任意的,与（2）同理 由组合数的性质得 因此 由参考公式代入可得 又因为,代入化简 证明略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $