精品解析：广东深圳市建文外国语学校2026-2027学年第一学期期中考试高三数学

深圳市建文外国语学校2026-2027学年第一学期期中考试 高三数学 （本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，4，6，8，10的平均数为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】平均数为. 2. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由并集的定义可知，. 3. 已知，则“”是“”的（    ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，再分别判断充分性和必要性即可. 【详解】解不等式得或， 因为一定满足或，所以充分性成立， 又因为或，不一定满足，例如取，此时不成立，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由重要不等式可得， 所以，解得，当且仅当， 即或时等号成立. 所以的最大值为. 5. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数的乘法运算计算即可. 【详解】. 6. 在的展开式中，若的系数是280，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 7. 现有甲、乙两位老师和3名学生共5人在周六去爬梧桐山，需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是老师，则不同的排列个数有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 10种 【答案】C 【解析】 【分析】先排两位老师，再排3名学生，再根据分步计数原理即可求出所有不同的排法. 【详解】由题可得，头尾排两位老师共有种排法；其余3名学生的排法共有种， 所以5人排成一条队列，头尾排两位老师的排法共有种. 8. 已知为第二象限角，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式与同角的三角函数关系式，结合的象限，求出的值，代入即得. 【详解】由， 可得， 因为为第二象限角，所以， 所以，解得， 则. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数单位，设复数，则（ ） A. B. C. D. 是实数 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为复数，则，，故AB正确； 且，故C错误； 是实数，故D正确. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平方关系先分别求.A选项：利用余弦二倍角公式求解；B选项：利用正弦二倍角公式求解；C选项：利用两角差的正弦公式求解；D选项：利用两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，且， 所以，. A选项：，A错误； B选项：，B正确； C选项：，C正确； D选项：，D正确. 11. 函数，将的图像向轴正方向平移个单位，得到的函数图像关于轴对称，则的取值可以为（     ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】函数图像向轴正方向平移个单位后， 得到的新函数为； 函数关于轴对称，函数为偶函数， 得，即. 对于A，，解得，故A正确； 对于B，，解得，故B正确； 对于C，时，解得，故C错误； 对于D，时，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简____.（用数字作答） 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 曲线在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点代入成立，即点为切点． 因为，所以切线斜率．所以切线方程为，即． 14. 已知等差数列的前项和为，且，则公差________， 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列可得，代入，化简可得，求出公差即可. 【详解】由数列为等差数列，则，又， 所以，化简得，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列与等比数列满足：，，，. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列前项的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中. 因为，，，， 所以，解得， 故，. 【小问2详解】 由（1）得，，设数列的前项和为， 故 . 16. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： （1）求第一四分位数和中位数； （2）设为首次故障时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和． 【答案】（1）第一四分位数为，中位数为； （2）（ⅰ）；（ⅱ），． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积表示频率，利用百分位数的定义列方程求解第一四分位数和中位数； （2）（ⅰ）累加小于天的各组频率得到； （ⅱ）根据二项分布的期望与方差公式直接计算． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为． 第一组的频率为， 第二组的频率为， 第三组的频率为， 第四组的频率为． 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以第一四分位数位于第三组内． 设第一四分位数为，则，解得． 因为前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以中位数位于第四组内． 设中位数为，则，即，解得． 故第一四分位数为，中位数为． 【小问2详解】 （ⅰ）首次故障时间小于天的频率为前两组频率之和，即． （ⅱ）由题意可知，， 根据二项分布的期望公式，得， 根据二项分布的方差公式，得． 17. 在中，内角所对的边分别为. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）在第（2）问的条件下，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ， 所以. 因为， 所以. 所以. 【小问2详解】 由正弦定理，得. 【小问3详解】 由，得， 所以. 因此三角形的面积为. 18. 已知函数，，．最小正周期为，且，． （1）求、的值； （2）求函数在处的切线方程； （3）求的单调递减区间． 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）利用导数的几何意义可求得切线方程； （3）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【小问1详解】 因为，所以， 又的最小正周期为，，所以，所以， 因为，所以，， 所以，，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 则，， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问3详解】 令，， 可得，， 函数的单调递减区间为. 19. 已知函数，曲线在点处的切线为． （1）求，； （2）求的极值点个数； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线在切点的切线斜率等于函数在该点的导函数值，且切点同时在曲线和切线上，列出方程组，即可求出，； （2）由（1）的结果确定函数的具体表达式，再求其导数，分析导数的零点个数及零点两侧的符号变化，进而确定极值点个数； （3）先将展开并化简，构造新函数，再分析在时的最小值，令最小值大于零，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由函数，得函数的定义域为. 曲线在点处的切线为， ； 切点，即，得. ，则切线斜率，解得； 综上所述，，. 【小问2详解】 由（1）可知. . 令，得； 令，即，解得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 在上单调递减，在上单调递增， 即当时，取得最小值，即， 且. 当时，，，，； 存在使得； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 当时，取得极小值，即有一个极小值点，没有极大值点. 函数只有1个极值点. 【小问3详解】 ，； 则当时，恒成立等价于恒成立. 令，得时，. 则. ①当时，，，，得，即， 则在上单调递增，即. 要使在恒成立，则，解得； ②当时，，则不成立； ③当时，，，且， 得，即， 则在上单调递减； 当时，，此时，不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市建文外国语学校2026-2027学年第一学期期中考试 高三数学 （本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，4，6，8，10的平均数为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（    ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 5. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，若的系数是280，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 现有甲、乙两位老师和3名学生共5人在周六去爬梧桐山，需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是老师，则不同的排列个数有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 10种 8. 已知为第二象限角，且，则（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数单位，设复数，则（ ） A. B. C. D. 是实数 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数，将的图像向轴正方向平移个单位，得到的函数图像关于轴对称，则的取值可以为（     ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简____.（用数字作答） 13. 曲线在点处的切线方程为_______． 14. 已知等差数列的前项和为，且，则公差________， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列与等比数列满足：，，，. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列前项的和. 16. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： （1）求第一四分位数和中位数； （2）设为首次故障时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，求和． 17. 在中，内角所对的边分别为. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）在第（2）问的条件下，求的面积. 18. 已知函数，，．最小正周期为，且，． （1）求、的值； （2）求函数在处的切线方程； （3）求的单调递减区间． 19. 已知函数，曲线在点处的切线为． （1）求，； （2）求的极值点个数； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $