精品解析：黑龙大庆市景园中学2026—2027学年度第一学期 期中考试 九年级 数学试题

大庆市景园中学 2026-2027 学年度第一学期 期中考试 九年级 数学试题 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、答题注意事项：请使用黑色签字笔答题；确保答题卡干净，无破损． 3、考试时间 120 分钟 4、全卷共 3 道大题，28 小题，总分 120 分 一、选择题（本题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法中，正确的是( ) A. 圆的每一条直径都是它的对称轴 B. 长度相等的弦所对的圆周角一定相等 C. 半圆是弧 D. 圆心角的度数等于它所对的弧上圆周角度数的一半 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．对称轴是直线，直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线，故A错误． B．长度相等的弦不一定在同圆或等圆中，且弦所对的圆周角有对应优弧和劣弧的两种，不一定相等，故B错误． C．弧是圆上两点间的部分，半圆是直径两端点分圆所得的弧，故C正确． D．同弧所对的圆心角度数是它所对圆周角度数的2倍，故D错误． 故选：C． 2. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 3. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：是的外接圆，， ． 故选：B． 4. 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为，再求解即可． 【详解】解：如图，连接、． 是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， ． 故选：D． 5. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ）一题多解法 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：先求出抛物线的解析式，然后解方程，即可判断关于的一元二次方程的根的情况； 方法二：由，利用二次函数的性质可得出二次函数的图象开口向下，结合二次函数的顶点为，可得出二次函数的图象与轴有两个交点，进而可得出关于的一元二次方程的根的情况． 【详解】解：方法一：由题意，知二次函数的解析式为， 则，即， 解得，． 故该方程有两个不相等的实数根． 一题多解法 方法二：∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴画出抛物线与直线如图所示． 由图可知，抛物线与直线有两个交点． 故方程有两个不相等的实数根． 6. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　） A. 10寸 B. 20寸 C. 13寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接OD，OA，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理求出OA的值即可． 【详解】解：连接OD，OA， ∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸， ∴AD＝5寸， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2， 即OA2＝（OA−1）2＋52， 解得：OA＝13， 故圆的直径为26寸， 故选D． 【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 7. 如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解． 【详解】解：作的角平分线，交于E，连接、、、，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 如图，已知E是的外心，P、Q分别是、的中点，连接、交于点F、D，若，，，则的面积为（　　） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理及三角形面积公式．先根据三角形外心性质及中点条件，得到，，，，从而得到，的长度，由的已知长度可知，三边符合勾股定理的逆定理，从而得到，进而求得的长，最终求得的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵E是的外心，P、Q分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 点 A 是半径为 5 的内一点，，则过点 A 且长度为正整数的弦有（ ） A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条 【答案】C 【解析】 【分析】先确定过点A的弦的长度取值范围，再按整数长度分类统计弦的数量． 【详解】解：过点A的最长弦为的直径，长度为，仅1条． 过点A作垂直于的弦，由垂径定理和勾股定理得，最短弦长的一半为，故最短弦长为，仅1条． 设过点A的弦长为，则，其中正整数为6，7，8，9，10． 弦长为7，8，9时，每个长度对应2条关于对称的弦． 总条数为． 10. 定义：若一个函数过点 ，则称该函数为“等坐标函数”，这个点该函数的“等坐标点”．下列说法：（）函数是“等坐标函数”且有无穷个“等坐标点”；（）是“等坐标函数”且“等坐标点”是；（）函数是“等坐标函数”且有两个“等坐标点”；（）函数有两个“等坐标点”、，若，则的范围为且．其中说法正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据“等坐标函数”的定义，令，代入到函数解析式中得到关于的方程，再根据方程解的情况逐一判断各说法即可求解． 【详解】解：（）对，令，得， 当时，方程有无穷多解，即有无穷个等坐标点； 当时，仅有一个解，即个等坐标点， 故函数是等坐标函数，但不一定有无穷个等坐标点，故（）错误； （）对，令，得， 解得，即等坐标点为，故（）正确； （）对，令，得， ， ∴方程无实根，函数没有等坐标点，不是等坐标函数，故（）错误； （）∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 对，令，整理得， ∵函数的两个“等坐标点”为、， ∴方程的两个根为和， 由一元二次方程根和系数的关系，得， ∴， ∴或， 解得或， 又∵， ∴， 综上，的范围为且，故（）正确； ∴正确的说法共个． 二、填空题（共 10 题，每小题 3 分，共 30 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置） 11. 如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解：，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 12. 如图，为地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴. 13. 若二次函数的图象与直线有且仅有一个交点，则代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】联立二次函数与直线的解析式，根据两图象仅有一个交点的条件得到关于的方程，通过等式变形求解的值． 【详解】解：∵二次函数的图象与直线有且仅有一个交点， ∴联立两个函数解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即， 整理方程：， ∵该函数为二次函数， ∴， 对于一元二次方程，有两个相等实数根时判别式， 计算判别式： ， ∵，等式两边同时除以， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，，，点是的内心，连接，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查内心的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键．过作于点，过作于点，过作于点，利用勾股定理求得，利用内心得出，再利用求出，最后求面积即可． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点，过作于点， ∵，，， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∵， 即， 即， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 15. 已知．平面直角坐标系中，圆心在轴上的与轴交于点、点，过作的切线交轴于点，若点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接MH，求出∠HAO＝∠MHO，求出OD，OM，根据勾股定理求出MH，根据解直角三角形求出即可． 【详解】解：连接MH， ∵D（0，4），M（﹣3，0）， ∴OD＝4，OM＝3， 由垂径定理得：OH＝OD＝4， 在Rt△MHO中，由勾股定理得：MH＝5， ∵AH为⊙M切线， ∴∠MHA＝∠MOH＝90°， ∴∠HAM+∠AHO＝90°，∠AHO+∠MHO＝90°， ∴∠HAO＝∠MHO， ∴sin∠HAO＝sin∠MHO＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，切线的性质，解直角三角形，垂径定理的应用，关键是求出MH的长和得出∠HAO＝∠MHO． 16. 如图，四边形内接于，、的延长线相交于点E，、的延长线相交于点F，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握圆内接四边形的对角互补，是解题的关键． 利用三角形内角和定理可得，，再根据圆内接四边形的对角互补可得，问题随之得解． 【详解】解: ∵，， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ， 故答案为：． 17. 若的半径为5，直线，且直线与相切，圆心O到直线的距离是7，则与之间的距离为________． 【答案】2或12 【解析】 【分析】根据切线性质可得圆心到的距离等于圆的半径，结合两平行线与圆心的相对位置分同侧、异侧两种情况计算间距． 【详解】解：∵直线与相切，的半径为5， ∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即， 已知圆心到直线的距离，且，分两种情况计算两线间距： 当、在圆心的同侧时，两平行线间的距离为， 当、在圆心的异侧时，两平行线间的距离为， ∴与之间的距离为2或12． 18. 已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先将解析式配方成顶点式，根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【详解】解：，抛物线顶点坐标，开口向上，对称轴为直线， ∵时，函数y的最大值是6，最小值是2， 当函数值为2时，， 解得， 当函数值为6时，， 解得：或． ∴． 故答案为：． 19. 如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交劣弧于点，连接，由折叠的性质可知：，然后可得，进而根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：延长，交劣弧于点，连接，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得：（负根舍去）， ∴． 20. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本题共 8 题，共 60 分．写出必要的文字说明、计算过程、证明过程） 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解： ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，求值结果为 【解析】 【详解】解：原式； 当时，原式． 23. 某校对九年级学生进行“综合素质”评价，结果分优秀、良好、合格、不合格四个等级（A、B、C、D）．随机抽取若干名学生“综合素质”等级作为样本进行数据分析，并绘制两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息．解答下列问题： （1）本次随机抽取的学生有多少名？ （2）求扇形统计图中，等级为合格C的学生所在扇形圆心角度数． （3）求出等级为优秀A的学生人数，并将条形统计图补充完整． （4）若该校九年级共 1200 名学生，请根据以上调查结果估算，等级为良好及良好以上的学生约有多少名？ 【答案】（1）50名 （2） （3）解：等级为优秀A的学生人数为：， 补全图形如下： （4）912名 【解析】 【分析】（1）根据B等级人数及其所占百分比即可求出被调查的总人数． （2）用乘以C等级人数所占比例可得答案； （3）用总人数减去B，C，D等级人数可得A等级人数，进而补全图形； （4）用总人数乘以样本中A、B等级人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：（名）， 即本次随机抽取的学生有50名； 【小问2详解】 解：， 即等级为合格C的学生所在扇形圆心角度数为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（名）， 即评价结果为良好及良好等级以上的学生大约共有912名． 24. 如图，一艘小船从码头出发，沿北偏东方向航行，航行一段时间到达小岛处后，又沿着北偏西方向航行了海里到达处，这时从码头测得小船在码头北偏东的方向上，求此时小船与码头之间的距离(结果保留整数) 【答案】19海里 【解析】 【分析】根据题意知：在中，，，海里，求长，解斜三角形需转化为解直角三角形求解，因此需作高，作于点，分别求和长． 【详解】解：， ． 过点作，垂足为，则． ， ， ， ． 答：小船到码头的距离约为19海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线，原则上不破坏特殊角. 25. 如图，为的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点B作，交于点E，连接、． （1）求证：． （2）若，的半径为2，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明即可； （2）由题意易得，则有，然后根据勾股定理及含直角三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴． 26. 已知抛物线（a 为常数，且）． （1）当时，求抛物线图象与 x 轴的交点坐标． （2）若把抛物线沿 y 轴向下平移个单位长度后，其顶点落在 x 轴上，求 a 的值． （3）设点在抛物线上，若，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，求出时，x的值即可得到答案； （2）求出原抛物线的顶点坐标，根据平移方式得到平移后抛物线的顶点坐标，根据平移抛物线的顶点坐标在x轴上建立方程求解即可； （3）求出抛物线的对称轴，讨论a的取值范围，根据开口方向确定点P和点Q到对称轴距离的大小关系，进而列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为， 当时，，解得或， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； 【小问2详解】 解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴把原抛物线沿 y 轴向下平移个单位长度后，所得抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的抛物线的顶点落在x轴上， ∴， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得，符合题意； 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，则抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴， ∴或， ∴或（舍去）； 当时，则抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点在抛物线上，且， ∴， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，． 27. 如图，是的直径，D是上一点，过点D作直线与的延长线交于点B．过点A作，交的延长线于点C，连接、，且． （1）求证：直线是的切线． （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∵是的半径； ∴直线是的切线． （2）证明：∵， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则有，由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，由（1）可知：，然后可得，进而问题可求证； （3）由题意易得，然后根据可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，与 y 轴交于点 C． （1）求 a 和 c 的值． （2）已知抛物线 与 x 轴的正半轴交于 M、N 两点，且 ；点D为上一点，横坐标为 m ()；过点D作 轴，交 于点 E，以为边在左侧作等腰直角三角形（，），求线段的最大值． （3）在（2）条件下，抛物线的对称轴与x轴交于点 H，点P在抛物线 的对称轴上，若，请直接写出点 P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把，代入求解即可； （2）先求出，再分和两种情况讨论，分别求出的最大值，即可经过比较得到答案； （3）分点P在上方和下方两种情况，分别求出直线的解析式，再求点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 把代入，得， 解得， 抛物线 与 x 轴的正半轴交于 M、N 两点， ， ， ， 解方程组得 两抛物线在第一象限的交点得横坐标为 由（1）知，， ，， 当时， ， 是等腰直角三角形， ， ， 该函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值，最大值为； 当时， ， ， ， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，有最大值，最大值为； ， 当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：点 P的坐标为或．理由如下： ①当点P在上方时， 取点，连接， 的对称轴为直线， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 点P在上， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令，则 点 P的坐标为； ②当点P在下方时，设交x轴于点T， 过点H作于点G，于点S， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，，， ， ，， 设，，则，， 在和中， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点 P的坐标为； 综上所述，点 P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市景园中学 2026-2027 学年度第一学期 期中考试 九年级 数学试题 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、答题注意事项：请使用黑色签字笔答题；确保答题卡干净，无破损． 3、考试时间 120 分钟 4、全卷共 3 道大题，28 小题，总分 120 分 一、选择题（本题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法中，正确的是( ) A. 圆的每一条直径都是它的对称轴 B. 长度相等的弦所对的圆周角一定相等 C. 半圆是弧 D. 圆心角的度数等于它所对的弧上圆周角度数的一半 2. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 3. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ）一题多解法 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　） A. 10寸 B. 20寸 C. 13寸 D. 26寸 7. 如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，已知E是的外心，P、Q分别是、的中点，连接、交于点F、D，若，，，则的面积为（　　） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 9. 点 A 是半径为 5 的内一点，，则过点 A 且长度为正整数的弦有（ ） A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条 10. 定义：若一个函数过点 ，则称该函数为“等坐标函数”，这个点该函数的“等坐标点”．下列说法：（）函数是“等坐标函数”且有无穷个“等坐标点”；（）是“等坐标函数”且“等坐标点”是；（）函数是“等坐标函数”且有两个“等坐标点”；（）函数有两个“等坐标点”、，若，则的范围为且．其中说法正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共 10 题，每小题 3 分，共 30 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置） 11. 如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为___________． 12. 如图，为地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为________． 13. 若二次函数的图象与直线有且仅有一个交点，则代数式________． 14. 如图，在中，，，，点是的内心，连接，，则阴影部分的面积为______． 15. 已知．平面直角坐标系中，圆心在轴上的与轴交于点、点，过作的切线交轴于点，若点，则的值为________． 16. 如图，四边形内接于，、的延长线相交于点E，、的延长线相交于点F，且，，则______． 17. 若的半径为5，直线，且直线与相切，圆心O到直线的距离是7，则与之间的距离为________． 18. 已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是______． 19. 如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为________． 20. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 三、解答题（本题共 8 题，共 60 分．写出必要的文字说明、计算过程、证明过程） 21. 计算： 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 某校对九年级学生进行“综合素质”评价，结果分优秀、良好、合格、不合格四个等级（A、B、C、D）．随机抽取若干名学生“综合素质”等级作为样本进行数据分析，并绘制两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息．解答下列问题： （1）本次随机抽取的学生有多少名？ （2）求扇形统计图中，等级为合格C的学生所在扇形圆心角度数． （3）求出等级为优秀A的学生人数，并将条形统计图补充完整． （4）若该校九年级共 1200 名学生，请根据以上调查结果估算，等级为良好及良好以上的学生约有多少名？ 24. 如图，一艘小船从码头出发，沿北偏东方向航行，航行一段时间到达小岛处后，又沿着北偏西方向航行了海里到达处，这时从码头测得小船在码头北偏东的方向上，求此时小船与码头之间的距离(结果保留整数) 25. 如图，为的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点B作，交于点E，连接、． （1）求证：． （2）若，的半径为2，求的长． 26. 已知抛物线（a 为常数，且）． （1）当时，求抛物线图象与 x 轴的交点坐标． （2）若把抛物线沿 y 轴向下平移个单位长度后，其顶点落在 x 轴上，求 a 的值． （3）设点在抛物线上，若，求实数 a 的取值范围． 27. 如图，是的直径，D是上一点，过点D作直线与的延长线交于点B．过点A作，交的延长线于点C，连接、，且． （1）求证：直线是的切线． （2）求证：． （3）若，，求的长． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，与 y 轴交于点 C． （1）求 a 和 c 的值． （2）已知抛物线 与 x 轴的正半轴交于 M、N 两点，且 ；点D为上一点，横坐标为 m ()；过点D作 轴，交 于点 E，以为边在左侧作等腰直角三角形（，），求线段的最大值． （3）在（2）条件下，抛物线的对称轴与x轴交于点 H，点P在抛物线 的对称轴上，若，请直接写出点 P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $