精品解析：黑龙江齐齐哈尔市铁锋区2026-2027学年九年级上学期期中教学质量监测数学试卷

初三教学质量监测数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度到处，则点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 13. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是________． 14. 如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 15. 如图，将绕点顺时针旋转，其中点，，分别落在点，，处，且点，，，在同一直线上．若，则的度数为________． 16. 当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 17. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过、、、、，…分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点、、、、，…，并设、、，…的面积分别为、、，…，按此作法进行下去，则的值为________． 三、解答题（满分69分） 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； （2）若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 20. 已知关于的方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若2是该方程的一个根，求代数式的值． 21. 如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． （1）若点E为线段的中点，求k的值； （2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 22. 某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供200人同时游玩，当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在50元到80元之间（含50元和80元）浮动时，每提高2元，每场人数会减少4人． （1）设票价为元，请写出每场人数关于票价的函数关系式． （2）已知该游乐项目某场营业收入为10800元，根据“营业收入票价每场人数”这一关系，求此时的票价． （3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？ 23. 【问题情境】在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动、如图1，正方形和正方形，连接，． （1）【操作发现】如图2，当正方形绕点旋转，线段与之间的数量关系是__________；直线与的夹角度数为__________； （2）【深入探究】如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）【迁移探究】如图3，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，则线段的最小值为__________． （4）【迁移探究】如图3，在（2）的条件下，若直线与交于点，求的度数． 24. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三教学质量监测数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据中心对称图形定义：一个图形绕某一点旋转后能和自身重合，就是中心对称图形，逐项判断． 【详解】解：A．图形绕某点旋转180度后不能完全重合，不是中心对称图形，不符合题意； B．图形绕某点旋转180度后不能完全重合，不是中心对称图形，不符合题意； C．图形绕某点旋转180度后不能完全重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．图形绕某点旋转180度后能完全重合，是中心对称图形，符合题意． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A．含2个未知数，不是一元二次方程，故A不符合题意； 选项B．含2个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意； 选项C．分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，故C不符合题意； 选项D．只含1个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，故D符合题意． 3. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， 说明在第四象限内随的增大而增大， ． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点公式，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是； 故选：C． 5. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 6. 将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位， ∴， ∵再向下平移个单位， ∴． 7. 如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论，当在的上方时，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，当在的下方时，同理可求得． 【详解】解：如图1，在中，，， ， ∵绕点按逆时针方向旋转后得， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2， ∵， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象经过的象限，判断、是否前后一致． 【详解】解：选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象过第一、三、四象限，可得，， a，b的值前后结论不一致，本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得； 一次函数图象过第一、二、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致； 联立两个函数，得， 整理可得，该方程无解， 所以两个函数图象没有交点， 而本选项中两个函数图象有交点，故本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象经过第二、三、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致，且两个函数图象没有交点，故本选项符合题意； 选项：由二次函数可得抛物线过原点，而本选项的抛物线不过原点，故本选项不符合题意． 9. 如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，当时，两种情形，确定解析式，然后判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， ∴， ∴； 选项符合题意． 10. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数之间的关系，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，结合点的位置，判断抛物线的开口方向，进行判断的符号，对称轴判断的符号，进而判断①，特殊点判断②和③，图象法判断方程的根的情况，判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为， ∴，抛物线与轴的另一个交点坐标为：， ∴， ∵抛物线与y轴的交点C在点之间， ∴，抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴的根可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线过点和，如图， ∴由图可知：方程的两个根的范围为：；故④正确； 故选B 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度到处，则点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面直角坐标系中点的平移规律求出平移后点的坐标，再依据关于原点对称的点的坐标特征计算最终所求点的坐标． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点向左平移时横坐标减小，纵坐标保持不变． ∴点向左平移4个单位长度得到的坐标为，即． ∵关于原点对称的两个点，横、纵坐标均为原坐标的相反数． ∴点关于原点对称的点的坐标为． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据方程根的定义将代数式中的二次项降次，结合根与系数的关系，把代数式整理为含两根和、两根积的形式，通过整体代入计算求值． 【详解】解：是一元二次方程的实数根 将代入方程，得，即． ，是方程的两个实数根 根据根与系数的关系，得，． 将代入所求代数式，得 整理得 代入，，得 ． 13. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，确定开口方向与对称轴，利用开口向上的抛物线上点到对称轴的距离与函数值的对应关系，比较三点到对称轴的距离即可判断函数值大小． 【详解】解：将抛物线解析式整理为顶点式， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵距离的大小关系为， ∴对应的函数值大小关系为． 14. 如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与轴交于点，先求出，，继而可得，则，设，表示出，，再将点代入反比例函数表达式解方程即可． 【详解】解：设直线与轴交于点 对于一次函数，当时，； 当时，，解得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与轴垂直， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∴． 15. 如图，将绕点顺时针旋转，其中点，，分别落在点，，处，且点，，，在同一直线上．若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得出，则． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴． 16. 当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 17. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过、、、、，…分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点、、、、，…，并设、、，…的面积分别为、、，…，按此作法进行下去，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为过双曲线上任一点引x轴垂线和原点连线与x轴所围成的直角三角形面积是个定值 ∴， ∵， ∴，，…，， ∴． 三、解答题（满分69分） 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解； （2）先将方程整理为一般形式，然后根据判别式计算根的情况，代入求根公式计算即可． 【小问1详解】 解： ∴，． 【小问2详解】 ， ∴， ∴，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）①点关于原点中心对称点的坐标为（ ， ）； ②将绕点顺时针旋转后得到，画出； （2）若点为轴上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】（1）①； ②如图，即为所求． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，图形旋转，利用对称求最短路径等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； ②根据图形绕原点顺时针旋转的坐标变化规律求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小，根据勾股定理求值即可． 【小问1详解】 解：①点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． ②略 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时的值最小， 最小值即为的长，由勾股定理得，， 故答案为：． 20. 已知关于的方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． （2）30 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，据此可计算判别式进行求证； （2）将代入原方程，整理得到关于m的等式，计算化简后，整体代入求代数式的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程中， 得，即； ∴． 21. 如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． （1）若点E为线段的中点，求k的值； （2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） ①在为等腰直角三角形中，，， ， ∵过点A、B分别作y轴的垂线、， ，， ， 在和中， ， ∴， ② 【解析】 【分析】（1）由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出； （2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明； ②设点，由可得，进而求出直线解析式和反比例函数解析式，联立求出点坐标，最后求的面积即可． 【小问1详解】 解：点为线段的中点，， ，即点坐标为， 又轴，， ， 把代入可得：， ； 【小问2详解】 解：①略． ②解：设点坐标为，则，， ∵， ，， ， 设直线解析式为：，将两点代入得： 则． 解得， 当时，，，，符合； 当时，，，，不符，舍去； ∴， ∴， ∴直线解析式为， 把代入可得：， ∴反比例函数， 联立，解得或， ∴， 过作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键． 22. 某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供200人同时游玩，当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在50元到80元之间（含50元和80元）浮动时，每提高2元，每场人数会减少4人． （1）设票价为元，请写出每场人数关于票价的函数关系式． （2）已知该游乐项目某场营业收入为10800元，根据“营业收入票价每场人数”这一关系，求此时的票价． （3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）60元 （3）当票价为75时，当场营业收入最大为11250元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键． （1）设票价为元，根据题意列出表达式即可； （2）根据根据“营业收入票价每场人数”列出一元二次方程求解即可； （3）根据题意得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设票价为元， ∴； 【小问2详解】 ∵该游乐项目某场营业收入为10800元 ∴ 整理得， 解得，（舍） ∴此时的票价为60元； 【小问3详解】 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当票价为75时，当场营业收入最大为11250元． 23. 【问题情境】在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动、如图1，正方形和正方形，连接，． （1）【操作发现】如图2，当正方形绕点旋转，线段与之间的数量关系是__________；直线与的夹角度数为__________； （2）【深入探究】如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）【迁移探究】如图3，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，则线段的最小值为__________． （4）【迁移探究】如图3，在（2）的条件下，若直线与交于点，求的度数． 【答案】（1）， （2） 解：理由如下： ∵四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， ∴在和中， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由正方形的四边相等与直角，用判定与全等，把两条线段的数量关系化为全等三角形的对应边；再延长，用对顶角与三角形内角和求两直线的夹角； （2）把（1）中的直角换成，沿用同一组全等三角形，由对应边相等得到猜想并写出理由； （3）由三角形两边之差小于第三边确定取最小值时点的位置，再连接交于点，用菱形对角线的性质与勾股定理求出； （4）由（2）的全等结论出发，在线段上截取，用再证与全等，由与一组对应角相等构造等边三角形求角； 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是正方形． ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 如图2，延长交于点，交于点． ∵． ∴． ∴． ∴直线与的夹角度数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图4． ∵三角形任意两边之差小于第三边，． ∴当点旋转到线段上时，取得最小值． 连接，交于点． ∵四边形是菱形，． ∴． ∵． ∴是等边三角形，． ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 即线段的最小值为． 【小问4详解】 解：由（2）知． ∴． ∴． 在线段上截取，连接(如图)． ∵点在线段上，点在线段上． ∴． ∵． ∴． ∵点在射线上，点在射线上． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵点在线段上． ∴． 24. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $