3.6.2三元一次方程组的应用 课件 2026--2027学年沪科版七年级数学上册

第3章 一次方程与方程组 3.6.2 三元一次方程组的应用 01 教学目标 通过实例理解三元一次方程组的概念，能判断一个方程组是否为三元一次方程组。 01 通过两次消元的探究，掌握把三元化为二元、再化为一元的基本步骤。 02 在消元过程中体会“消元”思想与化归思想，发展运算能力和逻辑推理能力。 03 02 新知导入 配营养餐：铁35、钙70、维生素35，A、B、C各取多少份？ A每份：铁5、钙20、维生素5； B每份：铁5、钙10、维生素15； C每份：铁10、钙10、维生素5。 设A、B、C各x、y、z份，则 铁：5x+5y+10z=35； 钙：20x+10y+10z=70； 维生素：5x+15y+5z=35。 03 新知讲解 三元一次方程组的应用关键 ① 审题→设三个未知数→找三个独立等量关系→列方程组。 ② 配餐问题：每类指标列一个方程（单位含量×份数=标准量）。 ③ “两两之和”型：三式相加求总和，再逐一相减求各数。 ④ 倍数、比例问题：先化成含两个未知数的方程，再消元。 关键：三个未知数含义一致；比例交叉相乘；解后检验。 03 新知讲解 例2　某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素。现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A、B、C 三种食物。下表给出的是每份（50 g）食物分别所含的铁、钙和维生素的量. (1) 设配餐中 A、B、C 三种食物分别为 x、y、z 份，请根据题意列出方程组； (2) 解该三元一次方程组，求出满足要求的 A、B、C 的份数。 03 新知讲解 解：(1) 设配餐中 A、B、C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得 (2) 由①得 x＝7－y－2z　④。 将④代入②③，得 20(7－y－2z)＋10y＋10z＝70，5(7－y－2z)＋15y＋5z＝35 化简得y＋3z＝7　⑤2y－z＝0　⑥。 03 新知讲解 由⑥得 z＝2y，代入⑤得 y＋6y＝7，y＝1；所以 z＝2。 把 y＝1、z＝2 代入④得 x＝7－1－4＝2。 所以x＝2，y＝1，z＝2。 答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份。 检验：铁 5×2＋5×1＋10×2＝35；钙 20×2＋10×1＋10×2＝70；维生素 5×2＋15×1＋5×2＝35，均符合标准。 03 新知讲解 解：设三数为x、y、z。则：。 三式相加得2(x+y+z)=16，即x+y+z=8。 所以z=8−3=5，x=8−6=2，y=8−7=1。答：甲2、乙1、丙5。 例3 甲、乙两数之和为3，乙、丙两数之和为6，甲、丙两数之和为7，求这三个数。 【归纳】解三元一次方程组的思路是通过消元，把方程组化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。“两两之和”型问题用“三式相加再逐一相减”的整体方法最简便。 03 新知讲解 【做一做】某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元。一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部。求该商场购买上述三种型号手机各多少部。 03 新知讲解 【解析】设购买甲、乙、丙三种型号手机分别为 x 部、y 部、z 部。 数量关系：x＋y＋z＝40　①； 金额关系：3 600x＋1 200y＋2 400z＝120 000，两边同除以 1 200 得 3x＋y＋2z＝100　②； 数量差关系：x－z＝24，即 x＝z＋24　③。 把③代入①得 (z＋24)＋y＋z＝40，y＝16－2z　④。 把③④代入②得 3z＋72＋16－2z＋2z＝100，即 3z＋88＝100，3z＝12，z＝4。 所以 x＝4＋24＝28，y＝16－8＝8。 答：购买甲型号手机 28 部，乙型号 8 部，丙型号 4 部。 检验：28＋8＋4＝40（部）；3 600×28＋1 200×8＋2 400×4＝100 800＋9 600＋9 600＝120 000（元）；28－4＝24（部），均符合题意。 03 新知讲解 【解析】设甲、乙、丙三数分别为 x、y、z。 三数之和：x＋y＋z＝44　①； 倍数关系：2x－y＝10　②； 比例关系：y/3＝z/2，即 2y＝3z　③ 由②得 y＝2x－10　④。 把④代入①得 x＋(2x－10)＋z＝44，3x＋z＝54　⑤。 由③得 z＝2y/3＝2(2x－10)/3⑥。 三个量的关系综合：甲、乙、丙三个数的和为 44，甲的两倍比乙大 10，乙的三分之一等于丙的二分之一。求这三个数。 03 新知讲解 把⑥代入⑤得 3x＋(4x－20)/3＝54，两边同乘以 3 得 9x＋4x－20＝162，13x＝182，x＝14。 所以 y＝2×14－10＝18，z＝2×18÷3＝12。 答：甲、乙、丙三数分别为 14、18、12。 检验：14＋18＋12＝44；2×14－18＝10；18÷3＝6，12÷2＝6，均成立。 三个量的关系综合：甲、乙、丙三个数的和为 44，甲的两倍比乙大 10，乙的三分之一等于丙的二分之一。求这三个数。 【解析】设 A、B、C 三种食物分别为 x、y、z 份。5x＋5y＋10z＝50①; 20x＋10y＋10z＝110②;5x＋15y＋5z＝70③ ①÷5 得 x＋y＋2z＝10④；②÷10 得 2x＋y＋z＝11⑤； ③÷5 得 x＋3y＋z＝14⑥。 ⑤－④得 x－z＝1，即 x＝z＋1⑦。 由④得 y＝10－x－2z＝10－(z＋1)－2z＝9－3z　⑧。 【变式1】某营养餐应包含 50 单位的铁、110 单位的钙和 70 单位的维生素，食物成分仍如例2的表格。三种食物各需多少份？ 04 变式训练 把⑦⑧代入⑥得 (z＋1)＋3(9－3z)＋z＝14，z＋1＋27－9z＋z＝14，－7z＋28＝14，z＝2。 所以 x＝3，y＝9－6＝3。 答：A 种食物 3 份，B 种食物 3 份，C 种食物 2 份。 检验：铁 15＋15＋20＝50；钙 60＋30＋20＝110；维生素 15＋45＋10＝70，均符合。 【变式1】某营养餐应包含 50 单位的铁、110 单位的钙和 70 单位的维生素，食物成分仍如例2的表格。三种食物各需多少份？ 04 变式训练 【解析】设甲、乙、丙三数分别为 x、y、z。x＋y＋z＝30①;x＝2y②;z－y＝6③ 由③得 z＝y＋6，把②③代入①得 2y＋y＋(y＋6)＝30，4y＋6＝30，4y＝24，y＝6。 所以 x＝12，z＝12。 答：甲、乙、丙三数分别为 12、6、12。 检验：12＋6＋12＝30；12＝2×6；12－6＝6，均成立。 【变式2】甲、乙、丙三数之和为 30，甲数是乙数的 2 倍，丙数比乙数大 6。求这三个数。 04 变式训练 1．（选择）甲、乙、丙三数之和为25，甲数是乙数的2倍，丙数与甲数相等，则乙数是（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 解：设乙数为y，则甲、丙均为2y，由2y+y+2y=25得5y=25，y=5。故选C。 05 课堂练习 2．（填空）甲、乙两数之和为7，乙、丙两数之和为9，甲、丙两数之和为8，则甲数是____。 解：三式相加得2(x+y+z)=24，即x+y+z=12，用总和减去乙+丙的9得x=3。所以甲数是3。 05 课堂练习 3．（计算）解方程组。 解：①−②得z=5；①−③得x=3；代入①得3+y+5=12，y=4。检验：3+4=7，4+5=9，均成立。所以x=3，y=4，z=5。 05 课堂练习 4．（填空）甲、乙、丙三数之和为27，甲数是丙数的2倍，乙数比丙数大3，则丙数是____。 解：设丙数为z，则甲为2z、乙为z+3，由2z+(z+3)+z=27得4z=24，z=6。所以丙数是6。 05 课堂练习 5．（计算）解方程组 。 解：①−②得2x+y=7；③−②得x+2y=4。解得x=2，y=3；代入②得2+3+z=7，z=2。检验：6+6+2=14，成立。所以x=2，y=3，z=2。 05 课堂练习 6．（解答）甲、乙、丙三种图书共60本，单价8元、10元、12元，共花620元，甲种比乙种多10本。求三种图书各多少本。 解：设甲、乙、丙为x、y、z本。则：代入得−6y+680=620，y=10。所以x=20，z=30。答：甲20本、乙10本、丙30本。 05 课堂练习 7．（情境）某校七年级三个班共120人，一班比二班多5人，二班比三班多5人。求三个班各多少人。 解：设一、二、三班为x、y、z人。则：。代入得3y=120，y=40。所以x=45，z=35。答：一班45人、二班40人、三班35人。 05 课堂练习 8．（创新）请编一道能用方程组 表示的实际问题，并说明x、y、z含义。 解：开放题。示例：甲、乙、丙三种文具共15件，甲、乙共10件，乙、丙共11件，求各多少件？x、y、z分别表示甲、乙、丙的件数。解得x=4，y=6，z=5。 05 课堂练习 06 课堂小结 1．列方程组解应用题：审题→设三个未知数→找三个等量关系→列方程组→求解→检验。 2．配餐问题：每类指标列一个方程（单位含量×份数=标准量）。 3．“两两之和”型：三式相加求总和，再逐一相减。 4．注意：未知数含义一致；比例关系交叉相乘；解后检验。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1．（解答）甲、乙、丙三数之和为20，甲、乙两数之和为13，乙、丙两数之和为12。求这三个数。 解：设三数为x、y、z。则：。①−②得z=7；①−③得x=8；代入①得y=5。答：甲8、乙5、丙7。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2．（填空）方程组 中，y=____。 解：把x+z=6代入x+y+z=9，得6+y=9，y=3。所以y=3。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 3．（选择）若 是方程组 的解，则 a+b=（　　） A．8　　B．9　　C．10　　D．12 解：a=1+2+3=6，b=2−2+3=3，所以a+b=9。故选B。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 4．（填空）甲、乙、丙三数之和为32，甲数是乙数的3倍，丙数比乙数大2，则乙数是____。 解：设乙数为y，则甲为3y、丙为y+2，由3y+y+(y+2)=32得5y=30，y=6。所以乙数是6。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 5．（计算）解方程组 。 解：①−②得x+2z=4；③+②得4x+3z=17。解得x=2，z=1；代入②得y=3。检验：4+3+3=10，成立。所以x=2，y=3，z=1。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 6．（解答）某商店购进甲、乙、丙三种商品共50件，单价10元、15元、20元，共花750元，乙种比甲种多5件。求三种商品各多少件。 解：设甲、乙、丙为x、y、z件。则。代入得−15x+975=750，x=15。所以y=20，z=15。答：甲15件、乙20件、丙15件。 07 作业布置 【综合拓展类作业】选做题： 7．（实践）某班48名学生参加三项活动，跳绳比踢毽多4人，拔河比踢毽多2人。求各项活动人数。 解：设跳绳、踢毽、拔河为x、y、z人。则：。代入得3y+6=48，y=14。所以x=18，z=16。答：跳绳18人、踢毽14人、拔河16人。 08 板书设计 3.6.2 三元一次方程组的应用 一、建模：审→设→找等量→列方程→解→验 二、配餐：每类指标一个方程 三、两两之和：整体相加求总和 四、比例：交叉相乘，方向不反 $