专题10：借助导数处理恒成立、存在性问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 专题十：借助导数处理恒成立、存在性问题 一、基础与方法 类型一：单变量恒成立与存在性问题 (1)恒成立问题的等价转化． 一般化． (2)存在性问题的等价转化． 一般化． 类型二：双变量恒成立与存在性问题 (1)∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]min>[g(x)]max． (2)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]max>[g(x)]min． (3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]min>[g(x)]min． (4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]max>[g(x)]max． 类型三：双变量函数值相等问题 (1)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}。 (2)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔{y|y＝f(x)}⊇{y|y＝g(x)}。 (3)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔{y|y＝f(x)}∩{y|y＝g(x)}≠。 二、题型与技巧 1．(13年新课标I理11文12)已知函数，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] 1.【解析】易得函数的图像如下： |f(x)|≥ax表明，函数y＝|f(x)|的图像不会在y＝ax的图像下方， ①若a>0，当x＋∞时，y＝ln(x＋1)的图像几乎和x平行，故|f(x)|≥ax不可能恒成立，排除B和C。 ②若a－∞，直线y＝ax几乎与y轴重合，故当x<0且x0时，|f(x)|≥ax不可能恒成立，排除A，由①②选B。 对于a<0的另解：当x≤0时，y＝|f(x)|＝x2－2x。当直线y＝ax与y＝|f(x)|＝x2－2x(x≤0)在第二象限相切时，设切点为，y′＝2x－2，则，解之得a＝－2，故－2≤a≤0，故选：D。 2．函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对∀x1∈[－1，5]，∀x2∈[0，2]，f(x1)>g(x2)，则实数m的最小值是_______． 2.【答案】14． 3．已知函数f(x)＝2x－e2x(e为自然对数的底数)，g(x)＝mx＋1(m∈R)，若对于∀x1∈[－1，1]，总∃x0∈[－1，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数m的取值范围为_______． 3.【答案】(－∞，1－e2]∪[e2－1，＋∞)． 4．(19年新课标II理12)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4.【解析】∵x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，∴f(x)＝2f(x－1)，即f(x)右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当2<x≤3时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)， 令，整理得9x2－45x＋56＝0，∴(3x－7)(3x－8)＝0，∴或(舍)，∴x∈(－∞，m]时，成立，即，∴，故选：B． 5．(13年新课标II文12)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 5.【解析】法一：因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得，在坐标系中，作出函数f(x)＝x－a，的图象，当x>0时，，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，则有－a<1，即a>－1，故选：D。 法二：∃x>0，使得2x(x－a)<1成立⇔∃x>0，使得成立⇔， ∵函数在(0，＋∞)上递增，∴f(x)∈(－1，＋∞)，∴a>－1，故选：D。 6．(13年浙江文16)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝_______． 6.【解析】当x＝1时，将1代入不等式有0≤a＋b≤0，∴a＋b＝0， 当x＝0时，可得0≤b≤1，结合a＋b＝0可得－1≤a≤0． 令f(x)＝x4－x3＋ax＋b，即f(1)＝a＋b＝0． 又f′(x)＝4x3－3x2＋a，f′′(x)＝12x2－6x， 令f′′(x)＞0，可得，则f′(x)＝4x3－3x2＋a在上减，在上增． 又－1≤a≤0，∴f′(x)＝a＜0，f′(1)＝1＋a≥0． 又x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b，结合f(1)＝a＋b＝0知，1必为函数f(x)＝x4－x3＋ax＋b的极小值点，也是最小值点，故有f′(1)＝1＋a＝0，由此得a＝－1，b＝1，即ab＝－1．故填：－1． 7．(12年新课标文11)当时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7.【解析】显然要使不等式成立，必有0<a<1，在同一坐标系中画出y＝4x与y＝logax的图象． 若时，4x<logax， 当且仅当，即，解得，即，故选：B． 8．(09年上海理11)当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是_______． 8.【答案】(－∞，2]． 9．(19年天津理8)已知a∈R，设函数，若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　) A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，2] 9.【案答】C． 10．(12年北京理14)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∀x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0．则m的取值范围是_______． 10.【解析】根据g(x)＝2x－2<0可解得x<1，由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在x≥1是必须是f(x)<0，当m＝0时，f(x)＝0不能做到f(x)在x≥1时f(x)<0，∴舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0，且此时2个根为x1＝2m，x2＝－m－3，为保证条件成立，只需，∴，和大前提m<0取交集结果为－4<m<0； 又由于条件2的限制，g(x)<0，x∈(－∞，－4)，可分析得出在∃x∈(－∞，－4)，f(x)>0， 因此－4应该在两个根之间，当m∈(－1，0)时，－m－3<－4<2m，解得交集为空，舍． 当m＝－1时，两个根同为－2，舍． 当m∈(－4，－1)时，2m<－4<－m－3，解得m<－2，∴m∈(－4，－2)． 综上所述，m∈(－4，－2)．故填：(－4，－2)． 11．(12年浙江理17)设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝_______． 11.【解析】法一：当a＝1时，代入题中不等式显然不成立． 当a≠1时，令y1＝(a－1)x－1，y2＝x2－ax－1，都过定点(0，－1)． 考查函数y1＝(a－1)x－1，令y1＝0，则， ∴y1＝(a－1)x－1与x轴的交点为． ∵x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，∴y2＝x2－ax－1也过点， ∴，解得或a＝0(舍去)．故填：． 法二：把a看作自变量，原不等式等价于(xa－x－1)(－ax＋x2－1)≥0对x>0恒成立． 考虑特殊情形，它们刚好相交于x轴上的B点，则，解得x＝2或x＝－1(舍) ∴，故填：． 12．(11年湖南文8)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　) A． B． C．[1，3] D．(1，3) 12.【解析】函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex>0，∴f(x)∈(－1，＋∞)， 又f(a)＝g(b)，g(b)>－1，即－b2＋4b－3>－1，∴b2－4b＋2<0，解之得，故选：B。 13．(05年辽宁文10)已知y＝f(x)是定义在R上的单调函数，实数x1≠x2，λ≠－1，，，若|f(x1)－f(x2)|<|f(α)－f(β)|，则(　　) A．λ<0 B．λ＝0 C．0<λ<1 D．λ≥1 13.【解析】已知y＝f(x)是定义在R上的单调函数，，， ∴，而|f(x1)－f(x2)|<|f(α)－f(β)|， 若y＝f(x)为递减函数，如图 递增函数同理可得，∴|α－β|>|x1－x2|，即。 ∵x1≠x2，则，∴(1－λ)2>(1+λ)2，解得λ<0。故选：A． 14．已知a是方程x＋lgx＝4的根，b是方程x＋10x＝4的根，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－(a＋b－4)x，若对任意x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A． B．[2，＋∞) C．(0，2] D． 14.【解析】lgx＝4－x，10x＝4－x，∵y＝lgx与y＝10x关于直线y＝x对称，且y＝4－x关于y＝x对称并相交于点(2，2)，∴a＋b＝4，当x≥0时，f(x)＝x2，且f(x)是定义在R上的奇函数，则在R上单调递增，∵，则，即，当x∈[t，t＋2]时恒成立， ∴，解得，故选：A． 15．已知函数f(x)＝sinx－xcosx，若存在x∈(0，π)，使得f′(x)>λx成立，则实数λ的取值范围是_______． 15.【解析】由题可知，函数f(x)＝sinx－xcosx，则f′(x)＝xsinx，若存在x∈(0，π)，使得f′(x)>λx成立，即若存在x∈(0，π)，使得sinx>λ成立，在x∈(0，π)时，0<sinx<1，即λ<1，故填：(－∞，1)． 8．(22年龙岩高二下学期期末8)若ax≥logax(a>0且a≠1)恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，+∞) C． D． 8.【解析】当a>1时，由题意y＝ax与y＝logax互为反函数， 所求等价于ax≥x在区间(0，＋∞)上恒成立， 令f(x)＝ax－x(x>0)，则f′(x)＝axlna－1，令f′(x)＝0，解得， 当时，f′(x)<0，则f(x)为减函数；当时，f′(x)>0，则f(x)为增函数。 所以f(x)在处取得极小值，也为最小值， 所以，整理可得， 因为a>1，所以lna>0，所以，则， 所以，则，解得； 当0<a<1时，不符合题意，故舍去。所以a的取值范围是。故选：C。 16．(07年全国卷I文20)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值． (I)求a，b的值； (II)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围． 16.【答案】(I)a＝－3，b＝4；(II)[－1，9]． 17．(14年新课标I文21)设函数，函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0． (I)求b； (II)若存在x0≥1，使得，求a的取值范围． 17.【解析】(I)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意， ∴f(1)＝a＋(1－a)－b＝1－b＝0，∴b＝1。 (II)∵存在x0≥1，使得，∴。 由(I)知，。 令f′(x)＝0，得x1＝1或。令x1＝x2，解得。 ①若，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴，解之得。 ②若，则，当时，f′(x)<0；当时，f′(x)>0。 ∴f(x)在上递减，在上递增。 ∴，故不符合题意。 ③若a>1，则，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ，解得a>1。 综合①②③可得，a的取值范围是． 18．(14年陕西文21)设函数． (I)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的最小值； (II)讨论函数零点的个数； (III)若对任意b>a>0，恒成立，求m的取值范围． 18.【解析】(I)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当m＝e时，，。 当x∈(0，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0。 ∴f(x)在(0，e)上递减，在(e，＋∞)上递增，∴[f(x)]min＝f(e)＝2。 (II)依题意得，∴。令g(x)＝0整理得， 令，令G′(x)＝－x2＋1＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)。 当x∈(0，1)时，G′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，G′(x)<0。 ∴G(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减。 而；当x>0且x0时，G(x)0；当x＋∞时，G(x)－∞。 故①当时，g(x)无零点； ②当或m<0时，g(x)有一个零点； ③当时，g(x)有两个零点。 (III)∵b>a>0，∴⇔f(b)－f(a)<b－a⇔f(b)－b<f(a)－a， 令h(x)＝f(x)－x，则原命题等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减⇔h′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立。 ∴在(0，＋∞)上恒成立⇔m≥x－x2在(0，＋∞)上恒成立。 当x∈(0，＋∞)时，，当且仅当时取等号， ∴，即m的取值范围是。 19．(15年新课标II理21)设函数f(x)＝emx＋x2－mx． (I)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增； (II)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围． 19.【解析】(I)f′(x)＝m(emx－1)＋2x． 若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0。 若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0。 所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增。 (II)由(I)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值，所以对于任意任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是， 即···① 设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1。 当t<0时，g′(t)<0；当t>0时，g′(t)>0，故g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增。 又g(1)＝0，，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0。 当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 当m>1时，由g(t)的单调性，g(m)>0，即em－m>e－1； 当m<－1时，g(－m)>0，即。综上，m的取值范围是[－1，1]。 1 学科网（北京）股份有限公司 $高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 专题十：借助导数处理恒成立、存在性问题 一、基础与方法 类型一：单变量恒成立与存在性问题 (1)恒成立问题的等价转化． 一般化． (2)存在性问题的等价转化． 一般化． 类型二：双变量恒成立与存在性问题 (1)∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]min>[g(x)]max． (2)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]max>[g(x)]min． (3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]min>[g(x)]min． (4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔[f(x)]max>[g(x)]max． 类型三：双变量函数值相等问题 (1)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}。 (2)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔{y|y＝f(x)}⊇{y|y＝g(x)}。 (3)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔{y|y＝f(x)}∩{y|y＝g(x)}≠。 二、题型与技巧 1．(13年新课标I理11文12)已知函数，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] 2．函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对∀x1∈[－1，5]，∀x2∈[0，2]，f(x1)>g(x2)，则实数m的最小值是_______． 3．已知函数f(x)＝2x－e2x(e为自然对数的底数)，g(x)＝mx＋1(m∈R)，若对于∀x1∈[－1，1]，总∃x0∈[－1，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数m的取值范围为_______． 4．(19年新课标II理12)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5．(13年新课标II文12)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 6．(13年浙江文16)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝_______． 7．(12年新课标文11)当时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 8．(09年上海理11)当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是_______． 9．(19年天津理8)已知a∈R，设函数，若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　) A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，2] 10．(12年北京理14)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∀x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0．则m的取值范围是_______． 11．(12年浙江理17)设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝_______． 12．(11年湖南文8)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　) A． B． C．[1，3] D．(1，3) 13．(05年辽宁文10)已知y＝f(x)是定义在R上的单调函数，实数x1≠x2，λ≠－1，，，若|f(x1)－f(x2)|<|f(α)－f(β)|，则(　　) A．λ<0 B．λ＝0 C．0<λ<1 D．λ≥1 14．已知a是方程x＋lgx＝4的根，b是方程x＋10x＝4的根，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－(a＋b－4)x，若对任意x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A． B．[2，＋∞) C．(0，2] D． 15．已知函数f(x)＝sinx－xcosx，若存在x∈(0，π)，使得f′(x)>λx成立，则实数λ的取值范围是_______． 16．(07年全国卷I文20)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值． (I)求a，b的值； (II)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围． 17．(14年新课标I文21)设函数，函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0． (I)求b； (II)若存在x0≥1，使得，求a的取值范围． 18．(14年陕西文21)设函数． (I)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的最小值； (II)讨论函数零点的个数； (III)若对任意b>a>0，恒成立，求m的取值范围． 19．(15年新课标II理21)设函数f(x)＝emx＋x2－mx． (I)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增； (II)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $