第17讲 导数与不等式恒成立(能成立)问题）专项训练-2027届高三数学一轮复习

第17讲 导数的综合应用（第2课时 导数与不等式恒成立(能成立)问题）-2027届高考数学一轮复习

方法导航　恒成立与能成立的转化体系

一、单变量型——先分清「恒成立」还是「能成立」

a＞f(x) 恒成立 ⇔ a＞f(x)max；　a＜f(x) 恒成立 ⇔ a＜f(x)min．

a＞f(x) 能成立 ⇔ a＞f(x)min；　a＜f(x) 能成立 ⇔ a＜f(x)max．

【口诀】恒成立看「最严」那一端——要大于一切，就得大于最大值；能成立看「最松」那一端——只要大于某一个，大于最小值就够．

二、双变量 f(x1) 与 g(x2) 型——量词翻译表

∀x1，∀x2：fmax＜gmin（两个都任意，取最严格的两端）；

∃x1，∃x2：fmin＜gmax（两个都存在，取最宽松的两端）；

∀x1，∃x2：fmax＜gmax；　∃x1，∀x2：fmin＜gmin．

记忆法：带 f 的那个量词是「任意」就取 f 的最大值，是「存在」就取 f 的最小值；g 一侧正好相反．

三、差商型——移项造新函数，证单调

f(x₁)－f(x₂)/x₁－x₂＞k ⇔ y＝f(x)－kx 在 D 上递增；

f(x₁)－f(x₂)/x₁－x₂＞k/x₁x₂ ⇔ y＝f(x)＋k/x 在 D 上递增；

f(x₁)－f(x₂)/x₁－x₂＞x1＋x2 ⇔ y＝f(x)－x2 在 D 上递增．

【口诀】差商大于某个式子，就把它整体移到左边，造出一个新函数，剩下只需证新函数单调．

四、方法选择：分离参数、分类讨论还是洛必达

① 参数能干净分离，且分离后 g(x) 的最值易求 → 优先分离参数；

② 参数在指数、对数内部，或分离后函数过于复杂 → 改用分类讨论，配合端点效应缩小范围；

③ 分离后出现 0/0 型或 ∞/∞ 型的极限 → 可用洛必达法则定出临界值，但正式作答时须补上严格论证（见易错警示⑤）．

易错警示　恒成立问题的六处失分点

① 恒成立与能成立混淆：这是本讲第一大错．看到「对任意」想最大值、看

到「存在」想最小值，务必先把量词圈出来．

② 双变量的两个量词翻译错：建议先把「∀/∃」写在草稿上，再对照量词翻译表逐一对位，别凭感觉．

③ 分离参数时不等号方向忘变：两边同除以一个可能为负的式子时，不等号必须变号；不确定正负就要分类．

④ 分类讨论的分界点取错：分界点应取在「导数零点、定义域端点、参数临界值」三者重合的位置，随意分段会导致讨论遗漏．

⑤ 洛必达只用不证：洛必达求出的只是临界值（必要条件），正式作答必须补充分性论证，否则高考阅卷会被扣分．

⑥ 端点能否取等号没验证：求出的参数区间是开还是闭，必须回到原式检验端点处不等式是否成立（能否取到等号）．

 

题型突破　思维拓展

 f(x)＜g(x)型

例1　已知函数f(x)＝xln(2－x)－x2＋3x－1．

(1) 求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2) 求f(x)的单调区间；

(3) 若f(x)＜ax－x2，求实数a的取值范围．

 

 

 

(1) 若a＞f(x)对∀x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；

(2) 若a＜f(x)对∀x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min；

(3) ∃x∈D，使得a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min；

(4)∃x∈D，使得a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max．

 f(x1)＜g(x2)型

例2　已知函数f(x)＝．

(1) 讨论f(x)的单调性；

(2) 若对任意x1∈(0，＋∞)和任意x2∈(0，＋∞)，都有x2f(x1)－ln(ax2)≥0，

求实数a的取值范围．

 

 

 

 f(x1，x2)＜g(x1，x2)型

例3　已知函数f(x)＝x－1－aln x(a∈R)，若a＜0，且对任意的x1，x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．

 

 

 

(1) 若对任意的x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞k，则y＝f(x)－kx在D上是增函数；

(2) 若对任意的x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞，则y＝f(x)＋在D上是增函数；

(3) 若对任意的x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞x1＋x2，则y＝f(x)－x2在D上是增函数．

　洛必达法则

在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则．

法则1　：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1) f(x)＝0及 g(x)＝0;

(2) 在点a处函数f(x)和g(x)的图象是连续的，即函数f(x)和g(x)在点a处存在导数，且g(x)≠0；

(3) ＝l．