函数与导数：已知单调性求参数、已知最值求参数、不等式恒成立求参数问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：已知单调性求参数、已知最值求参数、不等式恒成立求参数问题专项训练 考点目录 已知单调性求参数问题 已知最值求参数问题 不等式恒成立求参数问题 考点一 已知单调性求参数问题 已知单调性求参数问题解题技巧 （1）函数在区间上单调递增，转化为 恒成立；单调递减转化为 恒成立，注意用的是含等号的不等式。 （2）进一步转化为恒成立问题，用分离参数法或最值法求参数范围。 （3）区分”在某区间上单调”与”单调区间就是该区间”，后者还要保证区间不能再向外延伸。 （4）导数为二次型时，结合判别式和根的分布分类讨论。 （5）结果回代验证，注意导数为 0 的点只能是个别点，不能出现一段区间导数都为 0。 例1．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知在单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性与导数的关系，将问题转化为导数在给定区间恒非负，再结合和两种情况讨论即可. 【详解】已知函数在单调递增，故对任意，恒成立， ， 当时，，，，： 若，则，因此， 满足恒成立； 若，由可得：. 因为，故，即， 若，则，故此时恒成立， 故在上单调递减，不符合单调递增要求， 若，取且， 则当时，有即， 故此时即，其中， 故在上单调递减，不符合单调递增要求， 综上，实数的取值范围为. 例2．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ，且函数在上单调递减， 在上恒成立，即. 设，，则， 在上单调递增， ，， 即实数的取值范围为. 例3．（2026·山东·模拟预测）若函数在区间上单调，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由函数在区间上单调，则或在上恒成立，然后利用三角函数性质分析即可. 【详解】若函数在区间上单调， 则或在上恒成立， 由， 若在上恒成立，即，整理得：， 当时，，则， 因为，所以，从而， 所以要使在上恒成立，则， 当时，，则， 因为，所以，从而， 所以要使在上恒成立，则， 当时，，对任意实数均成立， 若在上恒成立，即，整理得：， 当时，，则， 由时， 无上限值，故不存在满足条件的实数， 当时，，则， 由时，无下限值，故不存在满足条件的实数， 当时，，不成立， 综上所述，实数的取值范围为. 例4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】用倍角公式将函数将换元后转化为二次函数的单调性问题，进而求解. 【详解】， 令，由，可得，且为减函数 则：在区间上单调递减， 等价于在上是增函数， 只需对称轴：，解得. 变式1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而求解即可. 【详解】由函数在区间上单调递减， 则对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，则，即的最小值为. 变式2．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别分析分段函数两端的单调性，时单调递增，时求导恒成立，求出，再结合分段点处左段函数值不大于右段函数值的衔接条件，解得，取两者交集得到的取值范围. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 当时，， 令，则，所以， 要使在上单调递增，则必有， 求解可得，所以的取值范围为. 变式3．（26-27高三上·江苏扬州·期中）函数为上的单调递增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数为上的单调递增函数， 所以在上恒成立， 若，显然在上不恒成立； 若，则，得， 故的取值范围是 变式4．（26-27高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先对函数求导，结合函数在区间上单调递增的性质可得导数在上恒大于等于0，参变分离后求对应二次函数在区间上的最大值，即可得到的取值范围. 【详解】函数的定义域为，对其求导得. 由于在上单调递增，因此对任意，均满足恒成立， 即，因为，则在恒成立. 令，，该二次函数开口向上，对称轴为， 因此在上单调递增，其最大值为， 故. 考点二 已知最值求参数问题 已知最值求参数问题解题技巧 （1）闭区间上，最值只可能在导数为 0 的点或区间端点取得，先全部求出再比较。 （2）按极值点是否落在区间内分类讨论，确定真正参与比较的候选值。 （3）由已知最值建立关于参数的方程，注意同一最值可能在不同位置取得，防止漏解。 （4）求出参数后必须回代检验，确认函数确实取得该最值。 （5）开区间问题注意端点值取不到，临界情形单独判断。 例1．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的最大值为则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据导数的正负性与函数的单调性关系判断函数的单调性，进而求出最值，再利用代入法进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数. . 当时， 当时，，所以该函数在上单调递减， 当时，，所以该函数在上单调递增， 因此该函数的最大值为. 当时， 当时，，所以该函数在上单调递增， 当时，，所以该函数在上单调递减， 因此该函数有最小值为， 当时，， 当时，，所以此时该函数没有最大值，不符合题意； 当时，，显然此时该函数的最大值为零，不符合题意， 综上所述：. 例2．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）函数在上的最大值为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数可得当时函数的最大值为，即在上恒成立，分离参数，结合函数单调性可得参数范围. 【详解】由已知当时，，， 令，解得，， 则当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 即当时，， 又函数在上的最大值为， 则当时，恒成立，分离参数可得， 又函数在上单调递减， 即，所以，即. 例3．（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数存在极小值，且极小值不小于，则实数的最小值为__________． 【答案】2 【分析】先求出函数的导数，再根据导数分析函数的单调性，进而确定极小值点，最后根据极小值不小于求出的取值范围. 【详解】已知，其定义域为， 根据求导公式可得：， 因为函数存在极小值，所以在上有解， 即在上有解，当时，，解得， 不在定义域内，舍去，当时，是一元二次方程， 根据一元二次方程求根公式可得：， 因为，所以，解得， 设的两根为，（）， 由韦达定理可知：，所以，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，将代入可得极小值， ，因为，所以， 则，又因为， 令，则， 已知极小值不小于，即，也就是， 移项可得，令， 则，所以在上单调递减， 又因为，所以的解为， 即，解不等式，因为， 所以，移项可得， 两边同时平方得，移项化简可得： ，即，因式分解得： ，解得或（舍去）， 综上所述：实数的最小值为. 例4．（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则的值为_______ 【答案】 【分析】由，求导得到，根据定义域，分，和讨论求解. 【详解】由得， 当时， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减， 故当时，函数有最大值， 解得，不符合题意，舍去; 当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意; 当时，函数在上单调递减，此时最大值为， 解得，符合题意， 综上可知，的值为. 故答案为： 变式1．（2026·河南·一模）已知函数的最大值为2，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】设，x＞0， 则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 显然当时，没有最大值， 当时，，故． 变式2．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）已知函数在上的最小值为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原函数求导并根据参数的符号分类讨论得出单调性与最小值表达式，随后构造函数并利用其单调性求出唯一解，最终确定参数的值. 【详解】， 若，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 则， 令 因为， 所以在区间上单调递增，且，所以，符合题意； 若，显然不合题意； 若，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以存在最大值，不存在最小值，不合题意. 变式3．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数的最大值为2，则实数的值为________． 【答案】 【分析】先排除，取一个特殊点使分母为1，确定此时函数值大于2，与最大值条件矛盾，确定后，将转化为，求导找最小值点，代入后解方程即可确定参数． 【详解】若，令，则，与“最大值为2”矛盾，所以，分母为正， 由题可知，可得， 令，因为的最大值恰为2，所以等号能取到，故的最小值为0， 求导得，令得，即， 当时，解得，当时，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时，取得最小值，， 令，解得． 变式4．（25-26高二下·河北沧州·期末）若函数在上的最小值为，则__________. 【答案】/0.25 【分析】求导数，分类讨论导数的符号，确定函数的单调性，从而得到最值. 【详解】由题设， 当时，，所以，在上单调递增， 则的最小值为，解得，符合题意． 当时， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 则的最小值为，解得，与矛盾，舍． 当时，，所以，在上单调递减， 则的最小值为，解得，与矛盾，舍． 综上，． 考点三 不等式恒成立求参数问题 不等式恒成立求参数问题解题技巧 （1）首选分离参数法：把参数单独放在不等号一侧，求另一侧函数的最值。 （2）转化关系： 恒成立 ； 恒成立 。 （3）用导数求函数最值时，先确认定义域，并兼顾区间端点。 （4）临界参数值要回代检验，确认等号能否取到。 （5）遇到”任意”与”存在”混合的双变量问题，分别求两个函数的最值再比较，注意量词对应方向。 例1．（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数． (1)已知函数在处取得极值，求的解析式及单调区间． (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为0求出参数a，再根据导函数正负判断单调区间； （2）对求导，分类讨论找到最小值点，令最小值大于0，解不等式求a的取值范围． 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 当时，; 当时，单调递减； 当时，单调递增； 处取得极小值，符合题意； 综上，，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2），对于任意，，所以， ， ①当时， ，显然不成立， ②当时，当 时，单调递减； 当 时，单调递增； ， ③当时，当时，单调递减； 当 时，单调递增； ， 综上，实数的取值范围为． 例2．（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先对求导，求出切线的斜率，然后点斜式写出切线方程. （2）将不等式恒成立问题转化成求函数最小值问题，然后分情况讨论求的最小值. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 即 （2）当时，不等式恒成立，只需即可， 当时，，， 函数在上单调递减，而，与题意矛盾，故. 当时，，， 函数在上单调递增，所以，所以符合题意； 当时，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，与题意矛盾； 当时，函数在上单调递增，所以， 所以符合题意，综上所述，实数的取值范围为. 例3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)极小值是，无极大值 (2) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性即可求解； （2）将已知条件整理为对任意恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 因此函数的极小值为，无极大值. （2）将不等式整理为， 由于对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 而，， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以在处取得最小值，最小值为， 由于，所以， 要使恒成立，则，由于是整数，所以的最大值是. 变式1．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)的取值范围为 【分析】（1）代入参数求导，根据导函数正负直接判定单调区间； （2）分离参数转化为恒成立问题，构造新函数求最小值，进而得到参数的取值范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得；令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）对，恒成立， 所以对于恒成立， 设，， 令，得；令，得；令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 所以当时，取最小值，且， 所以，即的取值范围为． 变式2．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）设，． (1)当时，求函数在区间的最小值； (2)对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，通过求导分析函数单调性，比较区间内极值点和端点的函数值即可得到最小值； （2）将不等式恒成立问题转化为参数分离问题，构造新函数求其最小值，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. 对求导得：，令，解得. 当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减. ，，比较得， 故在区间上的最小值为. （2）由题意，对任意，恒成立， 移项得： ， 因为，两边同除以得：对任意恒成立. 令，，对求导得：，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故在处取得最小值：， 因此，即实数的取值范围为. 变式3．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）设 (1)解不等式： (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查对数不等式求解，对等价变形可解； （2）本题考查恒成立求参数范围：先将原式化为 ，参数全分离后构造函数 ，由导数符号表得其在 处取最大值 ，从而 . 【详解】（1）解不等式 ，即 ，即，变形可得，等价于 即：，即，即不等式解集为. （2）若恒成立，即 对恒成立， 因为， 即：恒成立 令 ，则 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，即 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：已知单调性求参数、已知最值求参数、不等式恒成立求参数问题专项训练 考点目录 已知单调性求参数问题 已知最值求参数问题 不等式恒成立求参数问题 考点一 已知单调性求参数问题 已知单调性求参数问题解题技巧 （1）函数在区间上单调递增，转化为 恒成立；单调递减转化为 恒成立，注意用的是含等号的不等式。 （2）进一步转化为恒成立问题，用分离参数法或最值法求参数范围。 （3）区分”在某区间上单调”与”单调区间就是该区间”，后者还要保证区间不能再向外延伸。 （4）导数为二次型时，结合判别式和根的分布分类讨论。 （5）结果回代验证，注意导数为 0 的点只能是个别点，不能出现一段区间导数都为 0。 例1．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知在单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·山东·模拟预测）若函数在区间上单调，则实数的取值范围为__________． 例4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________． 变式1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数在区间上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·江苏扬州·期中）函数为上的单调递增函数，则的取值范围是________． 变式4．（26-27高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______． 考点二 已知最值求参数问题 已知最值求参数问题解题技巧 （1）闭区间上，最值只可能在导数为 0 的点或区间端点取得，先全部求出再比较。 （2）按极值点是否落在区间内分类讨论，确定真正参与比较的候选值。 （3）由已知最值建立关于参数的方程，注意同一最值可能在不同位置取得，防止漏解。 （4）求出参数后必须回代检验，确认函数确实取得该最值。 （5）开区间问题注意端点值取不到，临界情形单独判断。 例1．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的最大值为则（   ） A．1 B． C． D．2 例2．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）函数在上的最大值为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数存在极小值，且极小值不小于，则实数的最小值为__________． 例4．（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则的值为_______ 变式1．（2026·河南·一模）已知函数的最大值为2，则（   ） A． B．1 C． D．2 变式2．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）已知函数在上的最小值为1，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数的最大值为2，则实数的值为________． 变式4．（25-26高二下·河北沧州·期末）若函数在上的最小值为，则__________. 考点三 不等式恒成立求参数问题 不等式恒成立求参数问题解题技巧 （1）首选分离参数法：把参数单独放在不等号一侧，求另一侧函数的最值。 （2）转化关系： 恒成立 ； 恒成立 。 （3）用导数求函数最值时，先确认定义域，并兼顾区间端点。 （4）临界参数值要回代检验，确认等号能否取到。 （5）遇到”任意”与”存在”混合的双变量问题，分别求两个函数的最值再比较，注意量词对应方向。 例1．（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数． (1)已知函数在处取得极值，求的解析式及单调区间． (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围． 例2．（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意恒成立，求整数的最大值． 变式1．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，，求的取值范围． 变式2．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）设，． (1)当时，求函数在区间的最小值； (2)对任意的，都有，求实数的取值范围． 变式3．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）设 (1)解不等式： (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $