专题5：已知函数的极值(点)求参数范围问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 专题五：已知函数的极值(点)求参数范围问题 一、基础与方法 (1)定义在I上的可导函数f(x)在x＝x0处取得极大值，则①x0∈I；②f′(x0)＝0；③在x0左边附近f′(x)>0，在x0右边附近f′(x)<0； (2)定义在I上的可导函数f(x)在x＝x0处取得极小值，则①x0∈I；②f′(x0)＝0；③在x0左边附近f′(x)<0，在x0右边附近f′(x)>0． 二、题型与技巧 1．(09年辽宁文15)若函数在x＝1处取极值，则a＝__________． 2．(11年福建文10)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 3．(21年全国乙卷理10文12)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 4．(22年全国乙卷理16)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________． 5．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．已知函数f(x)＝lnx． (I)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程； (II)若函数存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围． 7．(21年北京卷19)已知函数． (1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处切线方程； (2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值． 8．(18年北京文19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex． (I)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a； (II)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 9．(16年山东文20)设f(x)＝xlnx–ax2＋(2a–1)x，a∈R． (I)令g(x)＝f'(x)，求g(x)的单调区间； (II)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 专题五：已知函数的极值(点)求参数范围问题 一、基础与方法 (1)定义在I上的可导函数f(x)在x＝x0处取得极大值，则①x0∈I；②f′(x0)＝0；③在x0左边附近f′(x)>0，在x0右边附近f′(x)<0； (2)定义在I上的可导函数f(x)在x＝x0处取得极小值，则①x0∈I；②f′(x0)＝0；③在x0左边附近f′(x)<0，在x0右边附近f′(x)>0． 二、题型与技巧 1．(09年辽宁文15)若函数在x＝1处取极值，则a＝__________． 1.【解析】法一：． ∵函数在x＝1处取极值，∴a＋1>0，且有一根为x＝1， ∴，解得a＝3，故填：3． 法二：，依题意，解得a＝3， 此时，经检验f(x)在x＝1除取得极小值，符合题意，故填：3． 2．(11年福建文10)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 2.【答案】D． 3．(21年全国乙卷理10文12)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 3.【解析】法一：令f(x)＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f(x)的两个零点， 当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a<b； 当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0．综上，ab>a2．故选：D． 法二：f′(x)＝a[2(x－a)(x－b)＋(x－a)2]＝(a－x)[－a(3x－2b－a)]， 令g(x)＝－a(3x－2b－a)，∵x<a，a－x>0；x>a时，a－x<0， ∴x＝a时，函数取得极大值，只需g(a)>0，即－a(2a－2b)>0，得ab>a2，故选：D． 4．(22年全国乙卷理16)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________． 4.【解析】法一：f′(x)＝2lna·ax－2ex，∵x1，x2分别是函数f(x)的极小值点和极大值点， ∴函数f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上递减，在(x1，x2)上递增， ∴当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时；f′(x)<0，x∈当(x1，x2)时，f′(x)>0． 若a>1时，当x<0时，2lna·ax>0，2ex<0， 则此时f′(x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意， 若0<a<1时，则方程2lna·ax－2ex＝0的两个根为x1，x2，即方程lna·ax＝ex的两个根为x1，x2， 即函数g(x)＝lna·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点，则g′(x)＝ln2a·ax(0<a<1)， 设过原点且与函数y＝g(x)的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为， 故切线方程为，则有，解得， 则切线的斜率为， ∵函数g(x)＝lna·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点， ∴eln2a<e，解得，又0<a<1，∴，综上所述，a的范围为．故填：． 法二：函数f(x)的极值⇔f′(x)的变号零点⇔y＝axlna与y＝ex有两个交点． 令f′(x)＝2axlna－2ex＝0，则axlna＝ex． 当a>1时，由图知f′(x)先正后负再正，由题干知x1<x2，x1为极小值点，x2为极大值点，∴此情况不合题意． 当0<a<1时，y＝axlna过点(0，0)的切线方程为， 将(0，0)代入得，∴该切线的斜率为， 由图可知k＝eln2a<e，∴－1<lna<1，则，∴． 法三：对原函数求导f′(x)＝2(axlna－ex)，分析可知：f′(x)在定义域内至少有两个变号零点， 对其再求导可得：f′′(x)＝2axln2a－2e， 当a>1时，易知f′′(x)在R上单调递增，此时若存在x0使得f′′(x0)＝0， 则f′(x)在(－∞，x0)单调递减，(x0，＋∞)单调递增， 此时若函数f(x)在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1>x2，不满足题意； 当0<a<1时，易知f′′(x)在R上单调递减，此时若存在x0使得f′′(x0)＝0， 则f′(x)在(－∞，x0)单调递增，(x0，＋∞)单调递减，且， 此时若函数f(x)在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，且x1<x2， 故仅需满足f′(x0)>0，即，∴，∴，∴， 解得或者0<a<(舍去)，综上所述：a的取值范围是．故填：． 法四：f′(x)＝2(axlna－ex)，f′′(x)＝2ax(lna)2－2e，f′′′(x)＝2ax(lna)3， (1)a>1时，f′′′(x)>0，f′′(x)单调递增；(2)0<a<1，f′′′(x)<0，f′′(x)单调递减． 若符合(1)可得若x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，不符合题意，若f′(x)>0，也不符合题意． 若符合(2)可得：∃x0∈(x1，x2)，f′′(x)＝0，并且满足x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，在x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点，必有f′(x0)>0， 即，且， 即，，，， ，0<a<1，lne－ln(ln2a)>1，－ln(ln2a)>0，－1<lna<1，． 法五：f′(x)＝2axlna－2ex＝2(axlna－ex)，依题知axlna＝ex有两个实数根，即有两个实数解， ∴，ln2a<1，∴，又∵x1<x2，∴f(x)在(x2，＋∞)上递减，∴a∈(0，1)，故． 5．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5.【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，． ∵f(x)恰有两个极值点，∴f′(x)＝0恰有两个不同的解，显然x＝1是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1．令，则，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而，且．∴，当且时，恰有两个极值点，即实数t的取值范围是．故选：C． 6．已知函数f(x)＝lnx． (I)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程； (II)若函数存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围． 6.【解析】(I)设切点为Q(x0，lnx0)，由题意，故切线斜率为， ∴切线方程为，将点P(0，－1)代入得，解得x0＝1， ∴切线方程为，即x－y－1＝0． (II)易得，依题意g′(x)＝0在(0，＋∞)上有两根， 即在(0，＋∞)上有两根， 法一：即，故m的取值范围是． 法二：由得mx2－x＋m＝0，令h(x)＝mx2－x＋m(x>0)， ①若m＝0，则x＝0不符合题意； ②若m<0，则h(x)的对称轴，h(0)＝m<0，故h(x)在(0，＋∞)上与x轴无交点，不满足题意； ③若m>0，则，解之得，故m的取值范围是． 7．(21年北京卷19)已知函数． (1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处切线方程； (2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值． 7.【解析】(1)当a＝0时，，则，∴f(1)＝1，f′(1)＝－4， 此时，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，即4x＋y－5＝0． (2)∵，则， 由题意可得，解得a＝4，故，，列表如下： x (－∞，－1) －1 (－1，4) 4 (4，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 ∴函数f(x)的增区间为(－∞，－1)、(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)． 当时，f(x)>0；当时，f(x)<0． ∴[f(x)]max＝f(－1)＝－1，． 8．(18年北京文19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex． (I)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a； (II)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 8.【答案】（I）函数定义域为x∈R， f′(x)＝[2ax-(3a+1)]ex+[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex＝ex(ax-1)(x-1)。 若函数在(2，f(2))处切线与x轴平行，则f′(2)＝e2(2a-1)=0，即． （II）由（I）可知f′(x)＝ex(ax-1)(x-1)。 (i)当a=0时，令f′(x)＝0，x=1， x (－∞，1) 1 (1，＋∞) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 故a=0不满足题意。 (ii)当a≠0时，令f′(x)＝0，x=1或。 ①当a<0时，即， x 1 (1，＋∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故a<0不满足题意。 ②当，即a=1时，f′(x)≥0，函数f(x)无极值点，不满足题意。 ③当，即a>1时， x 1 (1，＋∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故a>1满足题意。 ④当，即0<a<1时， x (－∞，1) 1 f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故0<a<1不满足题意． 综上所述，若f(x)在x=1处取得极小值时a>1． 9．(16年山东文20)设f(x)＝xlnx–ax2＋(2a–1)x，a∈R． (I)令g(x)＝f'(x)，求g(x)的单调区间； (II)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 9.【解析】(I)由f′(x)＝lnx–2ax＋2a，令g(x)＝lnx–2ax＋2a(x>0)，则． ①若a≤0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，此时函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a>0，的那个时，g′(x)>0；当时，g′(x)<0． 此时函数g(x)在上单调递增，在上单调递减． 综上，当a≤0时，函数g(x)单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a>0时，函数g(x)单调递增区间为，单调递减区间为． (II)由(I)知f′(1)＝0． ①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意． ②当时，，由(I)知f′(x)在内单调递增， 可得当x∈(0，1)时，f′(x)<0，时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增， ∴f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意． ③当时，即时，f′(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减， ∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意． ④当时，即，当时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $