函数与导数：已知函数单调性求参数、求含参函数的单调性专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与导数的双向应用，通过已知单调性求参数及含参函数单调性分析，构建导数应用的逻辑链条，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知函数单调性求参数|8题（4例+4变式）|给定单调区间求参数范围，含选择与填空|导数符号与单调性关系的逆向应用，覆盖区间端点验证等易错点| |求含参函数的单调性|6题（3例+3变式）|含参数函数单调区间讨论，多为解答题|导数分类讨论的正向应用，体现参数对导函数符号的影响|

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：已知函数单调性求参数、求含参函数的单调性专项训练 考点目录 已知函数单调性求参数 求含参函数的单调性 考点一 已知函数单调性求参数 例1．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题可知时，恒成立，分离常数后得，构造函数，利用函数的导数得到函数的单调性，从而求得函数最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】函数定义域，导数， 由题意可知当时，导数恒成立， 即，所以在时恒成立. 令函数， 则， 令函数，则导数， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以. 例2．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）若函数为其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将是增函数转化为恒成立，使用基本不等式求最值. 【详解】的定义域为，， 因为函数为其定义域上的增函数， 所以，即在上恒成立， 因为，，当且仅当时取等号， 所以，即. 例3．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【详解】由函数在上单调递减， 得，， 而当时，， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 例4．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即：，得， 设， 当时，函数单调递增， 所以，所以有， 因此实数的取值范围为. 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 变式2．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在上恒成立，从而得在上恒成立，求出函数在上的值域，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 所以，在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以， 所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即， 所以实数的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为________________． 【答案】 【分析】由导数与函数单调性的关系可知，，参变分离得，利用导数求出在上的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】由题意得函数在区间上单调递增，则，， 可得，可得， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 故当时，，故，即的最小值为. 变式4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【答案】/ 【分析】 先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可. 【详解】，令，， ① 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意； ② 当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有最小值， 所以当在上单调递增时，有， 令，，得， 所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 又要求，所以，即. 考点二 求含参函数的单调性 例1．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）已知函数， (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减. 【分析】（1）对函数求导，根据求极值的方法求解； （2）对求导，讨论的取值范围，确定函数的单调性. 【详解】（1）函数的定义域为. ，令，解得. 当变化时，的变化情况如表所示. 单调递减 单调递增 因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值. （2）函数的定义域为. . ①当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减. ②当时，令，得或 若，即时，恒成立，所以在上单调递增； 若，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增. 若，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增. 综上所述， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减. 例2．（25-26高三上·湖南株洲·阶段检测）已知函数. (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和 【分析】（1）先求导，再由导数的几何意义即可求解； （2）先求导，根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意得：，所以，解得； （2）由题意得：，又， 令，解得或， 当时，由，解得或，由，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，由，解得，由，解得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和， 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和. 例3．（25-26高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数． (1)求在区间上的最大值； (2)讨论函数，的单调性． 【答案】(1)18 (2)当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）先对函数进行求导，得到函数的极值点，然后计算各关键点的函数值，最后比较得最大值. （2）先化简函数并确定函数定义域，然后对函数去绝对值分段，分别求各段的导数并判断单调性，最后总结单调性. 【详解】（1），令，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 因为， ， 故在区间上的最大值为18. （2）, ①当时，，， 故在上单调递减， ②当时，,, 若，当时，，故在上单调递增， 若，令得： 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 变式1．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数 (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）对函数求导，判断函数的单调性，计算极值； （2）对函数求导，分类讨论参数，确定函数的单调性. 【详解】（1），， ， 令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值. （2），， 当时，，，在上单调递增； 当时，令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 变式2．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，且． (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或； (2)当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【分析】（1）设出切点，根据切线斜率得到方程，求出或，进而得到实数的取值； （2）求导，分，和三种情况，得到函数单调区间 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，在R上单调递增； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 变式3．（25-26高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求解； （2）求出函数的导数，讨论参数a的取值范围，确定导数的正负，即可确定函数的单调性. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）由得， 当时，，令，则， 当时，，则；当时，，则； 故在单调递增，在单调递减； 当时，令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 综合上述可知： 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增, 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：已知函数单调性求参数、求含参函数的单调性专项训练 考点目录 已知函数单调性求参数 求含参函数的单调性 例1，(2526高二下安犧宿州期未)若西数=(+hr-。在L+o)上单调递减，则实数“的取值范国为 考点一 已知函数单调性求参数 () A.(e=1]B.(.e-2]c.(e]D.(e] f(x)=Inx+ax+ 例2.(25-26高三上·福建福州阶段检测)若函数 2为其定义域上的增函数，则实数a的取值范 围是() A.[0,+oo) B.(0,+o) C.[-2,+w) D.(-2,0) 例3.(2526高三上广东矿广州阶段检测)已知西数f)=m血x+8x-”在，+)上单调途减， 则实数m的取值 范围为 例4.(2s26高三上四川成都阶段检测)函数=-2+3x+1在区同2]上单调递减，则实数“的取值 范围为 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式1.（2026陕西西安糗拟预测)已知函数八)- f()_f(2)o x-术，若对任意的0<x<x,都有x 则实数a的取值范围是() a（ e2树n.gn 2 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2.(2526高三上吉林长春阶段检测)函数)=+兰，若f(问在口，+四上单调递赠，侧实数。的取值 范围为() A.（-o0,16] B.(-0,8) C.(-0,-8]U[8,+o) D.(-o0,-16U[16,+oo) 变式3.(25-26高三上广东深圳阶段检测)已知函数f()=心-血x+“在区同12)上单调递增，则“的最小 值为. 变式4.(2026山东济南棋拟预测)己知函数()-〔-心-不是R上的单调递增函数，则“的值为 2027届高三数学一轮复习专项训练 考点二 求含参函数的单调性 例1.(25-26高三上天津静海阶段检测)己知函数f()=x-hx-2, (1)求函数y=()的极值； (2若a≥08=lhx+am2-(2a+1 ,讨论函数8四的单调性。 例2.(25-26高三上湖南株洲阶段检测)已知函数f()=m-3r+1-3 ①)若函数(~在点Lf0》处的切线斜率为2，求实数a的值， 2讨论f(x) 的单调性 2027届高三数学一轮复习专项训练 例3.(2s26高三上辽宁大连阶段检测已知函数()=了x+x. 1求（四在区间-3,3列上的最大值， （2讨论函数8()=f(x)-子r-al血x+女-，a>0的单调性. 变式1.（25-26高二下内蒙古锡林郭勒期未)已知函数f()=c+(2-)心-x (1)若a=1,求函数 (的极值： 2时论（四的单调性. 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2.(25-26高三上江苏徐州阶段检测)已知函数 e-+.且a0. (1)若曲线 =因与轴相切，求实数“的取值： ②)时论函数() 的单调区间. 变式3，(2s26高三上河南郑州阶段检测)已知函数=2ae“-口+e+ (1)当Q=0时，求函数y=f)在x=0处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性. 6