函数与导数：已知函数最值求参数问题、求含参函数的最值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数最值与参数的双向问题，通过精选模拟题构建导数应用的系统性训练，强化抽象能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知函数最值求参数问题|例4+变式4|选择/填空，含区间最值、极值点条件|从函数最值逆向推导参数范围，体现方程思想与分类讨论| |求含参函数的最值问题|例3+变式3|解答题，含单调性讨论、极值与最值求解|从参数影响函数单调性正向探究最值，构建导数应用逻辑链|

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：已知函数最值求参数问题、求含参函数的最值问题专项训练 考点目录 已知函数最值求参数问题 求含参函数的最值问题 考点一 已知函数最值求参数问题 例1．（2026·四川成都·三模）若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】先对求导，根据导数的性质分析函数的单调性，再结合在区间上有最大值这一条件列不等式求解出的取值范围，最后根据为正整数确定的个数. 【详解】，. 令，得或. 由题意，，. 当或时，，单调递增，当时，，单调递减. 在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且， 即， 整理得 ， 即，解得. 又，可取共5个. 例2．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 例3．（25-26高三上·湖北襄阳·阶段检测）若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据导数判断单调性与最值情况. 【详解】由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 例4．（2026·河北唐山·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则__________． 【答案】1 【分析】求函数的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，确定函数的最小值，令其等于1，即可求得答案. 【详解】由题意得， 当，即时，，在上递增， 故，解得； 当，即时，当 时，，递减， 当 时，，递增， 故，解得，不符合，舍去， 综上，. 故答案为：1 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究在上的单调性，再结合图象分析讨论的取值范围. 【详解】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因， 则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，和三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的取值范围. 【详解】当时，单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当或时，， 令得或， 当时，恒成立， 故表格如下： 0 + 0 极小值 极大值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 且，， 故的解集为， 时，令可得， 当时，， 令得， 故在上单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当时，恒成立， 故表格如下： + 0 0 + 极大值 极小值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 时，，单调递增， 又，故上，无解， 综上：实数a的取值范围是. 故选：C 【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等. 变式3．（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）设函数在区间上有最大值23，最小值3，则a=_______，b=________． 【答案】 1 7 【详解】因为，所以， 令，则或. 由于，，当时，；当时，. 故在处，取得最小值3. 所以或者， 所以，或者，. 若，，则， 而，不合题意，舍去； 若，，则， 而， 故，. 变式4．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）已知在处取得最小值，则_________． 【答案】 【分析】利用导数求最小值的方法求得值，然后再计算函数值. 【详解】由题意， 的定义域是， 在处取得最小值，则，所以是的解，所以， 当时，，递减，时，，递增，所以在时取得极小值也是最小值， 所以，. 考点二 求含参函数的最值问题 例1．（25-26高三上·四川宜宾·阶段检测）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 例2．（25-26高三上·北京石景山·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2)当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； (3)当时，，即证明不等式， 设，，， 设，，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程； （2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值； （3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 当时，，得， 在区间小于0，函数单调递减， 在区间大于0，函数单调递增， 所以函数的最小值为， ，，显然，所以函数的最大值为， 综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）略 例3．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若的最小值不大于0，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）由函数求导，根据导数与函数单调性的关系，利用分类讨论，可得答案； （2）根据（1）求得函数的最小值，建立不等式，根据对数运算，可得答案. 【详解】（1）由函数，则其定义域为， 求导可得，令，解得， 当时，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知，当时，无最小值； 则当时，在单调递减，在单调递增， 则， 由题意可得：，由，则，解得. 变式1．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求在上的最小值． 【答案】(1) 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解； （2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合的不同取值范围，分类讨论求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 则． 当时，在上恒成立， 故此时在上单调递减； 当时，由，得,由，得， 故此时在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 所以在上单调递减，所以； 当时， (i)若，即时，在上单调递增， 此时，； (ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，； (iii)若，即时，在上单调递减， 此时，． 综上所述，． 变式2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值． 【答案】(1) 当时，函数在上单调递增． 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增．   当时，函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增． (2) 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解， （2）根据第一问可知的单调性，进而可判断在上恰有两个零点 ，满足，根据零点存在性定理即可列不等式求解. 【详解】（1）由题意得．    当时，由，函数在上单调递增． 当时，令,令或 故函数在上单调递减，在和上单调递增．   当时，令，令或 函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增． （2）当或时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点． 当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减． 要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足： 且 解得． ∴． 又， ∴当时，；当时，． 又 ，∴ 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求的最小值． 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况判断导数的正负，可求出函数的单调区间， （2）由（1）可得，分，和可求出函数的最值，从而可求出，再利用导数可求出的最小值 【详解】（1）因为，所以． ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，时，；时，； 故在和上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可知： ①当时，在上单调递增，； ②当，即时，在上单调递减，； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 于是，又，． 故当时，；当时，； 综上可得：， 当时，；令，则， 设，， 所以在上递减，又递增，所以在上递增， 所以在上递减，在上递增， 所以故的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：已知函数最值求参数问题、求含参函数的最值问题专项训练 考点一 已知函数最值求参数问题 考点目录 已知函数最值求参数问题 求含参函数的最值问题 例1.(2026四川成都三模)若函数f()-兮--m(m+2r+1在区间(-7,7)上有最大值，则正整数m的值 有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 例2.(25-26高三上福建龙岩阶段检测)若函数h(x)=eb-lnr的最小值为3-l血 3,则b=() 1 C.3-In3 1 D.3 例3.(25-26高三上湖北襄阳阶段检测)若函数 (r) [1 下在区间4，上的最小值为2e,则a的取值范围是 例4. 26河北唐山模拟预测)已知。>0，函数8(Q)Fx+、-2在2，∞)上的最小值为1， 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式1.(2526高三上江苏扬州阶段检测)函数f()-=-在区间a,a+5)内存在最小值，则实数n的取值 范围是() A.（3,2) B.【3,2) c.【42) D.(12) 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2.(2526商三上山东潍坊阶段检测)已知数/()r-(a+3)r在区间-上的最小值为3，则实数 a的取值范围为() 「9 A.2+o∞ B.(-0,9] e[ n. 变式3.(2526商三上河南南阳阶段检测)设西数()=ar-3+b(a>0在区同)上有绿大值23，最小 值3，则a=一，b= 变式4.(2s26高三上广东讪尾阶段检测)已知f()-=+B-p)k-3pnx在x=1处取得最小值，则/p)= 2027届高三数学一轮复习专项训练 考点二 求含参函数的最值问题 (x)=lnx-ax(a∈R) 例1.(25-26高三上·四川宜宾·阶段检测)已知函数 ()当a=2时，求f(c)的极值： ②四当>0时，讨论函数四在区间2上的单调性及最小值. 例2.（2526高三上北京石景山阶段检测)已知函数()=ea>0) 1求曲线=f(在点0，/o》处的切线方程， ②求()在区同-上的最大值与最小值， 6)当a=l时，求证，f≥lnx+x+1 2027届高三数学一轮复习专项训练 例3.(2526高三上·陕西西安阶段检测)已知函数f)=ar-(a≠0). a)讨论()的单调性： ②若（四的最小值不大于0，求“的取值范围 变式L,(2s2ó高三上海南省直精县级单位阶段检)测已知函数f)-++ahx(acR). 1)讨论)的单调性， ②求f四在L.2习上的最小值3(a) 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2.(2026~四川绵阳模拟预测)已知函数 (1)讨论函数 f(x) 的单调性： ②若函数（在Q3)上恰有两个零点，求函数在0）上的最小值。 变式3。(2026：陕西西安模拟预测)已知函数()=r-3ar+a(a∈R) (1)讨论函 f（()的单调性： (2)若函数 )在区间0,3)上的最大值与最小值之差为8@，求8(0的最小值。 6