精品解析：山东省威海市文登实验中学（五四制）2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

2026~2027学年第一学期初三数学期中考试试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列等式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式变形是否正确，需注意乘除的整式不能为0，同时验证变形是否符合规则； 【详解】解：A选项，取，，变形错误； B选项，当时，无意义，变形不一定成立； C选项，∵有意义， ∴，即，， ∴，变形正确； D选项，，变形错误． 2. 下列从左到右变形，是因式分解的有（ ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：（1），左边是单项式，不是因式分解； （2），右边不是整式的积的形式，不是因式分解； （3），右边含分式，不是因式分解； （4），变形方向为整式乘法，不是因式分解； （5），是因式分解； （6），等式不成立，不是因式分解； 综上，是因式分解的有1个． 3. 有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（ ） A. -5 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由该方程有增根，可得：或，代入分式方程的解，即可求出m的值，本题考查了分式方程的增根，方程解的情况，解题的关键是：熟练掌握根据分式方程解的情况求参数的值． 【详解】解：， 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项得： 当时，方程无解， 当时，， 方程有增根， 或，即：或， 或，解关于的方程，得：无解或， 故选：． 4. 四名学生的年龄分别为7、9、9、，假设这组数据的众数和平均数恰好相等．那么的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数唯一且与众数相等，确定众数为9，再列等式求解． 【详解】解：平均数是唯一的， 众数与平均数相等， 众数唯一， ， 这组数据中9出现2次，故众数为9， ∴这组数据的平均数为9， ∴， 解得． 5. ，，是的三边，且，那么是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】对已知等式配方，得到三边的等量关系，判断三角形形状． 【详解】解：， 将等式右边展开，得， 移项得， 拆项分组得， 即， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 6. 宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A机器人的行走速度，表示出B机器人的行走速度，再根据B机器人行走与A机器人行走的时间，用“时间路程速度”即可列出方程． 【详解】解：∵A机器人每小时行走，B机器人每小时比A多走， ∴B机器人每小时行走， ∵B机器人行走的时间与A机器人行走的时间相等， ∴． 7. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及新定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故选：C． 8. 为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（ ） A. 甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B. 若，则甲地小麦长得比较整齐 C. 甲、乙两地小麦高度的众数相等 D. 甲、乙两地小麦高度的平均值相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差公式的结构特征，提取样本容量与平均数信息，结合方差的意义、众数的定义判断各选项． 【详解】解：∵，， ∴甲、乙两组样本容量均为10，平均数均为25， ∴A、D选项表述正确； ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐， ∴若，则甲地小麦长得比较整齐，B选项表述正确； ∵两组数据平均数相等，不能推出众数一定相等，存在平均数相同但众数不同的情况， ∴C选项表述不一定正确． 9. 某围棋社团小组成员在一次比赛中的成绩（单位：分）分别为84，86，87，87，88，90，将成绩分成84，86，87，87和88，90两组，这样分组的组内离差平方和为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】总组内离差平方和为各组的离差平方和之和，因此首先需要分别计算两个分组各自的离差平方和．将两个组的离差平方和相加，即可得到总的组内离差平方和． 【详解】解：第一组数据84，86，87，87的平均数为， 其组内离差平方和为． 第二组数据88，90的平均数为， 其组内离差平方和为． ∴组内离差平方和为． 10. 已知，，，，…，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入计算前几项的值，找到序列的循环周期，结合余数求解第2026项． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ……， ∴ 该序列每3项为一个循环，依次为，，， ∵ ， ∴ ． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果可分解为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】展开右侧的因式乘积，对比左右多项式对应项系数求解后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 12. 在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为90分、80分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算选手综合成绩，则该选手的综合成绩是________分． 【答案】87 【解析】 【分析】利用加权平均数的公式计算即可． 【详解】解：根据题意，得该选手的综合成绩是（分）． 13. 当______时，关于的方程的解为． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入方程，求出的值，然后检验即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得， 经检验是方程的解， ∴． 14. 已知一组数据，，，，的平均数是3，方差为5，另一组数据，，，，的平均数是7，方差是45，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】一组数据，，，，的平均数是，方差是，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，列出关于，的方程，求解得到的结果． 【详解】解：原数据，，，，的平均数，方差， 对于新数据，，，，， 根据平均数的计算性质，可知新平均数为：，即①， 根据方差的计算性质，可知新方差为：， 所以， 解得或， 当时，代入①得，解得，此时， 当时，代入①得，解得，此时， 因此的值为或． 15. 关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数． 先解分式方程得到，根据分式方程的解为正数结合分式方程不能有增根求出且；再解不等式组，根据不等式组的解集为得到，由此确定满足题意的所有满足条件的整数a，再求出对应的和即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵分式方程的解为正数，且， ∴， ∴且； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 综上所述，且， ∴所有满足题意的整数a的值为3，4，6，7， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故答案为：． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得   化简得   解得. 检验：当时，， 故是原方程的解； 【小问2详解】 原方程变形为. 方程两边同乘，得   化简得   解得. 检验：当时，， 原方程无解 18. 解答下列问题： （1） （2）先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1） （2） 化简结果为，代入求值结果为 【解析】 【分析】（1）先计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，通过约分得到最简结果； （2）先化简分式，再根据分式有意义的条件确定的取值，代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 根据分式有意义的条件，，，，即，， ∴取代入得，原式． 19. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位：小时）随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________人，扇形统计图中的___________，条形统计图中的___________；所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是___________ （2）求所调查的初中学生每天睡眠时间的离差平方和． （3）该校共有名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足的人数． 【答案】（1）；；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据睡眠5小时的人数和对应百分比求出总人数，再利用8小时的人数求m、利用7小时的占比求n，人数最多对应的睡眠时间即为众数； （2）先算出样本平均数，再代入公式计算离差平方和； （3）先算出样本中睡眠不足8小时的频率，再用总数乘以频率估计总体数量． 【小问1详解】 解：所调查的初中学生每天睡眠时间为的有人，占，（人）， 本次接受调查的初中学生人数为人， 所调查的初中学生每天睡眠时间为的有人，占， ， 所调查的初中学生每天睡眠时间为的有人，占， ， 所调查的初中学生每天睡眠时间为的人数最多， 所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是； 【小问2详解】 解：， ， 答：所调查的初中学生每天睡眠时间的离差平方和为； 【小问3详解】 解：， （人）， 答：该校初中学生每天睡眠时间不足的人数约为． 20. 2026年是红军长征胜利90周年．为了弘扬民族文化，传承长征精神，某地区设计的两种纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 【答案】（1）购买型号纪念品的单价为元，购买型号纪念品的单价为元． （2）最多能购买个型号的纪念品 【解析】 【分析】（1）根据“数量总价单价”，结合“型号数量是型号数量的倍”列出分式方程求解； （2）根据“总费用型号单价数量型号单价数量”，结合“总费用不超过元”列出一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设购买型号纪念品的单价为元，则购买型号纪念品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买型号纪念品的单价为元，购买型号纪念品的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， 根据题意，得， 解得， ∴最多能购买个型号的纪念品． 21. 阅读下列材料：提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式．例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： （1）因式分解：； （2）若，且，求的值； （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形或直角三角形， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的三边长， ∴， ∴， ∴ 或 ， 即或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 【解析】 【分析】（1）分成两组先分解因式，再提取公因式即可； （2）分成两组先分解因式，再提取公因式，再代入即可求值； （3）原式因式分解得到，推出或，即可得到为等腰三角形或直角三角形． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． ． ， ． ； 【小问3详解】 略 22. 观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： （1）写出第n个式子： （n为正整数）． （2） （n，m为正整数且n>m）． （3）若，试求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，解得，代入原式，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：第n个式子为： ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设， ， ∴， 令，则， 令，则， ∴ ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由题意，， 解得， 原式 ． 23. 阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 当时，则有， 将代入，得 ，解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，求的值； （3）若可化为整式，求化简后的整式． 【答案】（1） （2）， （3）化简后的整式为 【解析】 【分析】（1）令代入多项式使其值为0，求解； （2）令和分别代入多项式，联立方程组求解； （3）由分式可化为整式得分子含因式，令代入分子求的值，再计算商式． 【小问1详解】 解：设，为整式 ∵当时，， ∴将代入得， 即， 解得； 【小问2详解】 设，为整式 ∵当或时， ， ∴将代入得， 即 ① 将代入得， 即 ② 联立①②，解得； 【小问3详解】 ∵可化为整式， ∴多项式含有因式， 设，为整式 ∵当时，， ∴将代入得， 即 ， 解得， 将代入分子，得 ， 分解因式得， ∴ ， 即化简后的整式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期初三数学期中考试试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列等式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右变形，是因式分解的有（ ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（ ） A. -5 B. C. D. 0 4. 四名学生的年龄分别为7、9、9、，假设这组数据的众数和平均数恰好相等．那么的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. ，，是的三边，且，那么是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6. 宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无解 8. 为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（ ） A. 甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B. 若，则甲地小麦长得比较整齐 C. 甲、乙两地小麦高度的众数相等 D. 甲、乙两地小麦高度的平均值相等 9. 某围棋社团小组成员在一次比赛中的成绩（单位：分）分别为84，86，87，87，88，90，将成绩分成84，86，87，87和88，90两组，这样分组的组内离差平方和为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 10. 已知，，，，…，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果可分解为，则__________． 12. 在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为90分、80分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算选手综合成绩，则该选手的综合成绩是________分． 13. 当______时，关于的方程的解为． 14. 已知一组数据，，，，的平均数是3，方差为5，另一组数据，，，，的平均数是7，方差是45，则_______． 15. 关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为___________． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2）； （3） 17. 解方程： （1） （2） 18. 解答下列问题： （1） （2）先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值． 19. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位：小时）随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________人，扇形统计图中的___________，条形统计图中的___________；所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是___________ （2）求所调查的初中学生每天睡眠时间的离差平方和． （3）该校共有名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足的人数． 20. 2026年是红军长征胜利90周年．为了弘扬民族文化，传承长征精神，某地区设计的两种纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 21. 阅读下列材料：提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式．例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： （1）因式分解：； （2）若，且，求的值； （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由． 22. 观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： （1）写出第n个式子： （n为正整数）． （2） （n，m为正整数且n>m）． （3）若，试求的值． 23. 阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 当时，则有， 将代入，得 ，解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，求的值； （3）若可化为整式，求化简后的整式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $