精品解析：山东省威海市文登区七里汤中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026第一学期初三数学期中质量检测 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子：－3x，，，，x－，a－2b，其中是分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 若分式中的a和b都扩大到原来的n倍，则分式的值( ) A. 扩大到原来的n倍 B. 扩大到原来的2n倍 C. 扩大到原来的倍 D. 不变 4. 如果分式 的值为负数,则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的极差相等 C. 男生、女生投篮命中次数中位数均为6 D. 男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 6. 如果代数式，那么m的值可为（　　） A. 5 B. -3 C. -5或3 D. 5或-3 7. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4或 D. 或1 8. 小王从甲地到相距50千米的乙地办事，乘出租车去，乘公共汽车回来．已知出租车的平均速度比公共汽车的平均速度快15千米/小时，去时路上所用的时间比返回时少了．设公共汽车的平均速度为千米/小时，则下面列出的方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A B. －1 C. 或0 D. 0或－1 10. 如图所示，大长方形中放入5张长为，宽为的相同的小长方形，其中，，三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 数据3、1、x、、的平均数是1，则这组数据的方差是________． 12. 已知一组数据的方差是，那么另一组数据的方差是_______． 13. 设、、是三角形三边长，且满足，则此三角形的形状为__________． 14. 关于x的分式方程有解，则满足______． 15. 已知，则值为_______． 16. 如果方程的解是正数，那么的取值范围为______． 三、解答题 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 18. 计算： （1） （2） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 请你先化简，再从，，中选择一个合适的数代入求值． 21. 若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 22. 某校学生会向全校800名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，已知捐款5元的学生有4人．利用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为 ，图1中m的值是 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为 ， ； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 23. 白居易《荔枝图序》中提到：若离本枝，一日而色变，二日而香变，四五日外，色香味尽去矣．位于“中国荔枝之乡”广西灵山县的某果园在山东济南某农贸批发市场销售灵山荔枝，已知两地货运路程为1080千米，空运路程为货运路程的，空运速度为货运速度的8倍，空运时间比货运时间少9小时． （1）求空运速度； （2）由于物流方式的时效性不同，荔枝的批发价也会不一样．该农贸批发市场新到3000斤空运而来的灵山荔枝，成本为每斤10元，当日批发价为每斤25元，当天未批发出售的荔枝第二天只能按货运批发价每斤18元出售．若这批荔枝共获利38700元，求第一天批发出售了多少斤荔枝． 24. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． （1）上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面题目：，求的值． （2）已知，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期初三数学期中质量检测 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可，因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B. ，等式右边不是多项式乘积形式，故该选项不正确，不符合题意； C. ，原选项计算错误，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，公式法分解因式，掌握因式分解的定义以及公式法分解因式是解题的关键． 2. 下列式子：－3x，，，，x－，a－2b，其中是分式的个数有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：下列式子：－3x，，，，x－，a－2b，是分式的为：，，x－，a－2b共4个. 故选C. 3. 若分式中的a和b都扩大到原来的n倍，则分式的值( ) A. 扩大到原来的n倍 B. 扩大到原来的2n倍 C. 扩大到原来的倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】观察代数式，显然分子将扩大n2倍，分母扩大n倍，从而分式的值扩大n倍. 【详解】解：根据题意，得 新的分式是＝，则分式的值扩大为原来的n倍. 故选：A. 【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算法则. 4. 如果分式 的值为负数,则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于分式 的值为负数，而分子为正数，则分母小于0，然后解不等式即可； 【详解】解：当1-2x＜0时,分式的值为负数,即 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是分析得到关于x的不等式 5. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的极差相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D. 男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出男生、女生投篮命中次数的平均数、方差、中位数、极差，再逐项判断即可得． 【详解】解：男生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 女生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 则男生投篮命中次数的平均数为， 男生投篮命中次数的方差为， 女生投篮命中次数的平均数为， 女生投篮命中次数的方差为， 男生投篮命中次数的极差为，女生投篮命中次数的极差为， 所以选项B说法错误； 男生投篮命中次数的中位数为5，女生投篮命中次数的中位数为5， 所以选项C说法错误； 由平均数相等可知男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定，故选项A说法错误，选项D说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、极差，熟记各量的定义、计算公式、意义是解题关键． 6. 如果代数式，那么m的值可为（　　） A. 5 B. -3 C. -5或3 D. 5或-3 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式中三项式中间项等于首末两项的底数的积的2倍进行求解即可． 【详解】∵ x2+2（m-1）x+16=a2x2+2abx+b2 ∴a2=1，2（m-1）=2ab，b2=16， 当a=1，b=-4时，2（m-1）=-8，则m=-3； 当a=1，b=4时，2（m-1）=8，则m=5； 当a=-1，b=-4时，2（m-1）=8，则m=5； 当a=-1，b=4时，2（m-1）=-8，则m=-3； 综上所述：m=5或-3； 故选：D． 【点睛】本题主要考查完全平方公式， (a±b)2=a2±2ab+b2 ，公式的特点是:（1）右侧为三项；（2）首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；（3）中间项是首末两项的底数的积的2倍． 7. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用十字相乘法得到，则或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或 ∴或， 故选：C． 8. 小王从甲地到相距50千米的乙地办事，乘出租车去，乘公共汽车回来．已知出租车的平均速度比公共汽车的平均速度快15千米/小时，去时路上所用的时间比返回时少了．设公共汽车的平均速度为千米/小时，则下面列出的方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据公共汽车的平均速度为x千米/时，得出出租车的平均速度为（x＋15）千米/时，再利用去时路上所用的时间比返回时少了，得出分式方程即可． 【详解】解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x＋15）千米/时， 根据去时路上所用的时间比返回时少了，得出去时路上所用的时间为：， 根据题意得出：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用去时路上所用的时间比返回时少了，得出方程是解题关键． 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. －1 C. 或0 D. 0或－1 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程无解的条件，是需要熟记的内容． 【详解】解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故选：C 10. 如图所示，大长方形中放入5张长为，宽为的相同的小长方形，其中，，三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先表示出大长方形的长与宽，再阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，得到，再根据完全平方公式即可求出xy． 【详解】根据图形可知长方形的长为2x+y，宽为x+2y ∵阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36， ∴（2x+y）（x+2y）-5xy=52，2（2x+y+x+2y）=36 化简得 ∴2xy=（x+y）2-=10 ∴xy=5 则一张小长方形的面积为xy=5 故选C． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是根据图形的特点求出x，y之间的关系． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 数据3、1、x、、的平均数是1，则这组数据的方差是________． 【答案】8 【解析】 【分析】因为3，x，0，-1，-3平均数是1，可求出x，求方差需要运用公式s2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，代入公式求出即可． 【详解】解：依题意得：， 解得x=5． 这组数据的方差是． 故答案是：8． 【点睛】此题主要考查了平均数与方差的求法，关键是熟练地记忆这几个公式． 12. 已知一组数据的方差是，那么另一组数据的方差是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数随着数据的变化而变化的规律，根据方差公式得出一组数据的每个数都乘以同一个数得到新的一组数据的方差要乘以这个数的平方，即可求解． 【详解】解：因为一组数据每个数同时加上或减去一个数得到新的一组数据的方差不变，一组数据的每个数都乘以同一个数得到新的一组数据的方差要乘以这个数的平方，所以新的这组数据的方差是， 故答案为∶． 13. 设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为__________． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了完全公式公式、平方差公式的应用，等式的性质，先整理，得出，结合、、是三角形的三边长，得出，即可作答． 详解】解：∵ ∴ ∴ 则 ∵、、是三角形的三边长， ∴ ∴ ∴此三角形的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 14. 关于x的分式方程有解，则满足______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为0，故先去分母得到，再通过去括号、移项、合并同类项得到，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∵该方程有解， ∴且， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 15. 已知，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 16. 如果方程的解是正数，那么的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】先将分式方程的解用关于k的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解： ， ∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件． 三、解答题 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因数3，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法计算法则求解即可； （2）先把中括号内的式子变形为，进一步约分和通分得到，把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 即， 解得：， 当时，， 经检验是增根，分式方程无解． 20. 请你先化简，再从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，分式有意义的条件，理解分式的化简方法和分式有意义的条件是解答关键． 先将小括号内的分式通分，再利用平方差公式，分式除法运算法则去化简，然后利用分式有意义的条件确定能取的值，并代入进行计算求解． 【详解】解： ． 因为时，当时，，分式的分母为，分式没有意义， 所以不能取值为或． 当时 原式． 21. 若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程与求不等式组的整数解，解题的关键是掌握分式方程和不等式组的解法．解分式方程得到，进而得到，且，解不等式组得到，进而得到，求出，且，且，即可求解． 【详解】解：， 解得， 整数使得关于的分式方程的解为正数，且， ，且， ， 解得， 不等式组有且只有个整数解， ， ， ∵，且， 可取和， 满足条件的和为． 22. 某校学生会向全校800名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，已知捐款5元的学生有4人．利用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为 ，图1中m的值是 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为 ， ； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【答案】（1）人；； （2）10元，15元； （3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据捐款5元的学生人数与所占百分比，可求出调查的学生总人数，再用1减去捐款5元、15元、20元、30元的人数的百分比得到，即可得的值； （2）求出每种数额的捐款人数，再根据众数和中位数的概念求解可得答案； （3）用总人数乘以样本中捐款10元的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次接受随机调查的学生人数为人， ， 即， 故答案为：人；； 【小问2详解】 解：样本中捐款5元的人数为4人； 样本中捐款10元的人数为（人）； 样本中捐款15元的人数为（人）； 样本中捐款20元的人数为（人）； 样本中捐款30元的人数为（人）； 样本中捐款10元的人数最多， 本次调查获取的样本数据的众数是10元， 50个数据的中位数为从小到大排列后第、个数的平均数，且，， 本次调查获取的样本数据的中位数是15元； 故答案为：10元，15元； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校本次活动捐款金额为10元学生人数为人． 23. 白居易《荔枝图序》中提到：若离本枝，一日而色变，二日而香变，四五日外，色香味尽去矣．位于“中国荔枝之乡”广西灵山县的某果园在山东济南某农贸批发市场销售灵山荔枝，已知两地货运路程为1080千米，空运路程为货运路程的，空运速度为货运速度的8倍，空运时间比货运时间少9小时． （1）求空运速度； （2）由于物流方式的时效性不同，荔枝的批发价也会不一样．该农贸批发市场新到3000斤空运而来的灵山荔枝，成本为每斤10元，当日批发价为每斤25元，当天未批发出售的荔枝第二天只能按货运批发价每斤18元出售．若这批荔枝共获利38700元，求第一天批发出售了多少斤荔枝． 【答案】（1）空运速度为 （2）第一天批发出售了2100斤荔枝 【解析】 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程在行程问题、销售问题中的运用；审题明确等量关系，构建方程是解题的关键，另注意分式方程需验根． （1）设货运速度为，根据行程问题的数量关系列分式方程求解； （2）设第一天批发出售了a斤荔枝，根据销售问题中的数量关系列一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：设货运速度为， ， 解得， 经检验为原方程的解且符合题意， 空运速度：， 答：空运速度为， 【小问2详解】 设第一天批发出售了a斤荔枝， ， 解得， 答：第一天批发出售了2100斤荔枝． 24. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． （1）上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查运用“倒数法”求分式的值以及分式的混合运算， （1）根据材料提示的“倒数法”将变形为，由此即可求解； （2）将，，利用“倒数法”变形为，，，将利用“倒数法”变形为，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵的倒数为， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $