精品解析：陕西汉中市汉台中学2026-2027学年第一学期期中考试高二年级数学试题

汉台中学2026—2027学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. 0° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 已知空间向量，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题.目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 点斜式可以表示任何直线 B. 点到直线的距离是3 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是8 D. 直线关于轴对称的直线的方程为 10. 已知圆则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心是，直径是4 B. 圆与圆有且仅有三条公切线，则为3 C. 若直线过圆心，则的最小值为 D. 圆心到直线距离最大值为 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_________. 13. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 14. 如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上两点，，且，则椭圆的离心率为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 写出满足下列条件的直线方程，并把它化成一般式. （1）经过点，斜率为2； （2）过点且在轴､轴上的截距相等； （3）一个方向向量的坐标为，且在轴上的截距为1. 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 17. 如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角的余弦值； （3）求二面角的正弦值． 18. 已知，且 （1）求的单调递增区间及最小正周期； （2）在中，的对边分别为，当，求的面积. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，为直角三角形． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点且斜率为的直线与交于，两点． （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉台中学2026—2027学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. 0° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线的斜率为1，所以该直线的倾斜角为45°. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 3. 已知空间向量，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因，则， 则． 4. 离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 5. 若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出圆的标准式，从而再求出一般式. 【详解】由已知得圆的半径为，故圆的方程为， 即． 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量公式为：， 计算得：；， 所以投影向量为：. 7. 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 8. 在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】动直线过定点，所以点在以为直径的圆上. 又，所以圆心为，半径为.从而为5，则的最大值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题.目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 点斜式可以表示任何直线 B. 点到直线的距离是3 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是8 D. 直线关于轴对称的直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】结合直线方程的适用范围、点到直线的距离公式、两直线平行的判定与平行线间距离公式、轴对称的直线方程求解方法，逐一验证每个选项的正误. 【详解】A：点斜式方程仅能表示斜率存在的直线，对于斜率不存在（垂直于轴）的直线，无法用该式表示，错误； B：根据点到直线的距离公式，得，正确； C：直线与平行，得，解得， 此时第二条直线化简为，显然不与重合， 所以两直线的距离为，错误； D：原直线上任意一点关于轴的对称点必在对称直线上， 因此将原直线方程中的替换为，即可得对称直线的方程，正确. 10. 已知圆则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心是，直径是4 B. 圆与圆有且仅有三条公切线，则为3 C. 若直线过圆心，则的最小值为 D. 圆心到直线距离最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】化圆的一般方程为标准方程确定圆心和半径判断A，根据公切线条数列方程求参数值判断B，由直线过圆心得，应用“1”的代换及基本不等式求最值判断C，首先确定直线所过定点，再利用两点式求距离最大值判断D. 【详解】将圆的方程化为，则圆心，半径， A：圆的圆心是，直径为，正确； B：圆的圆心为，半径（）， 两圆心之间的距离， 若两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，满足，即，解得，错误； C：若直线过圆心，代入整理得，且， 则， 当且仅当，即时取等号，正确； D：将直线方程变形为， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆心到该直线的距离最大值为线段的长度，正确. 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_________. 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率， 垂直直线斜率满足， 所以， 过点，点斜式：， 整理得：. 13. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 14. 如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上两点，，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接． 设，由知且，由椭圆的定义可知． 又，所以，所以， 所以，由椭圆的定义可知． 因为，所以在中，由勾股定理得， 即①． 在中，由勾股定理得， 即，整理得． 将代入①式得，整理得， 所以离心率． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 写出满足下列条件的直线方程，并把它化成一般式. （1）经过点，斜率为2； （2）过点且在轴､轴上的截距相等； （3）一个方向向量的坐标为，且在轴上的截距为1. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【小问1详解】 因为直线经过点且斜率为2，所以直线方程为：，化简得. 【小问2详解】 当直线经过原点时，过点且在轴､轴上的截距相等的直线为：，即. 当直线不经过原点时，设直线为：，代入点为，解得，即. 所以过点且在轴､轴上的截距相等的直线为或. 【小问3详解】 因为直线的一个方向向量的坐标为，所以，又因为在轴上的截距为1， 所以过点，直线方程为：，即. 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】（1）或 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，求出的值判断出在圆的外部，分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程，求出圆心到直线切线的距离，由得到的方程，解出的值，将代入切线方程得到所求. （2）两圆相减得到公共弦所在直线的方程；求出圆心到直线的距离为，则计算得解. 【小问1详解】 ，， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. 【小问2详解】 ①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 17. 如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角的余弦值； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的余弦值； （3）利用空间向量法可求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，，， ，则；，则. ，平面． 【小问2详解】 解：设为平面的一个法向量，，， 则，取，可得， 又，设与平面所成角为， 则，所以，， 与平面所成的角的余弦值为. 【小问3详解】 解：由（2）知平面的一个法向量为， 设为平面的一个法向量，，， 则，取，可得， ，所以，. 二面角的正弦值为． 18. 已知，且 （1）求的单调递增区间及最小正周期； （2）在中，的对边分别为，当，求的面积. 【答案】（1）单调递增区间为，最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，求出最小正周期，整体法求出单调递增区间； （2）先在（1）的基础上求出，再由余弦定理可得，从而求出面积 【小问1详解】 ， 故的最小正周期为， 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）得， 其中，故，所以，解得， 又，由余弦定理得， 故，解得， 故的面积为. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，为直角三角形． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点且斜率为的直线与交于，两点． （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明：由（1）得，由（i）得， 直线的方程为，直线的方程为，设交点， 由，得 ，解得， 所以直线与的交点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程. （2）（i）写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积公式列出关系式，再利用基本不等式求出最大值；（ii）由（i）中信息，求出直线方程，并联立消去即可推理得证. 【小问1详解】 由，得椭圆的半焦距，由为直角三角形，得， 则，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）直线的方程，设， 由消去并整理得， ，且，， 则的面积 ，令，则， 于是， 当且仅当，即时取等号，且满足， 所以面积的最大值为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $