陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

长安一中2023-2024学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D. 2.已知直线交圆于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ） A． B． C． D． 3.已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A． B． C． D． 4.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5.已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为( ) A． B． C． D． 6．设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 7.抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ） A．10 B．12 C．20 D．24 8．已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.设椭圆：＋的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 10.已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（ ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是双曲线时，其焦距为8 11.已知,分别是正方体的棱和的中点，则（ ） A．与是异面直线 B．与所成角的大小为45° C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 12. 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（ ） A．过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条 B．的最小值为 C．若的内切圆与圆外切，则圆的半径为 D．过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.） 13. 抛物线的准线方程为 . 14. 直线与直线平行，则实数的值为 . 15．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 16.椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围为 . 四、解答题(本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（10分） 已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)设，求的值域. 18．（12分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面为中点，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 19．（12分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积. 20.（12分） 已知圆过点和，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程． 21.（12分） 如图，在四棱锥中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若，点是中点，且四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值. 22．（12分） 在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求面积的最大值； (2)是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长安一中2023-2024学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D B A B D B B C 二、多项选择题 题号 9 10 11 12 选项 AB BCD AD AD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.） 13. 14. -2 15. 16. 四、解答题：(共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．解：（1）， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）因为，所以，所以， 即，所以在上的值域为. 18．解：