专题3.1 空间向量及其运算（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题3.1 空间向量及其运算 教学目标和教学重难点 教学目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，理解空间向量的几何意义与自由向量的特征. 2.掌握空间向量的加法、减法与数乘运算及其运算律，会用图形语言和代数运算化简向量算式. 3.理解共线（平行）向量的含义，掌握共线向量定理，会用基底表示空间中的未知向量. 4.了解空间向量数量积的概念，掌握数量积的运算律及其在求模、求夹角、判断垂直中的应用. 教学重难点 1.重点 （1）空间向量的线性运算及其几何表示；（2）空间向量数量积的运算律； 2.难点 （1）用已知的一组基底表示未知向量；（2）数量积在求夹角、判断垂直中的灵活应用； 知识点01 空间向量的有关概念 1. 空间向量：在空间里，把具有大小和方向的量叫做空间向量，用有向线段表示，记为 或 ；向量的大小叫做向量的模，记为 或 . 2. 几类特殊的向量： (1) 模为 的向量叫零向量，记为 ，规定它的方向任意且与任意向量平行； (2) 模为 的向量叫单位向量. (3) 相等向量：大小相等且方向相同的向量，记为 ； (4) 相反向量：大小相等、方向相反的向量，记为 ，且 . 3. 空间向量是自由向量，只由大小和方向确定，与其起点的位置无关，因此在空间中平移后仍表示同一个向量；这是空间向量区别于有向线段的关键. 4. 空间向量的表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练】 1．(26-27高二上·广东广州知识城中学·)在空间直角坐标系中，若为单位向量，则___________． 2．(25-26高二上·河北廊坊香河县第三中学·月考)在正方体中，与向量相反的向量是（ ） A． B． C． D． 3．(26-27高二上·广西南宁宾阳中学·月考)下列关于空间向量说法正确的是（     ） A．空间向量就是空间中的有向线段 B．若向量，模相等，则 C．零向量方向不确定，模长为0 D．平行向量一定在同一条直线上 4．(26-27高二上·天津滨海新区天科高级中学·月考)下列关于空间向量的说法中正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．相等向量其方向必相同 C．若向量满足，则 D．若，则的长度相等而方向相同或相反 5．(26-27高二·广东东莞东华高级中学、东华松山湖高级中学·)（多选）下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，若它们的终点相同，则它们的起点相同 知识点02 空间向量的加减及数乘运算 1. 空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，. 2. 空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即. 3. 空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即. 4. 空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 5. 定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 6. 数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 7. 对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练】 1．(26-27高二上·河南新乡新誉佳高级中学等校·月考)在空间四边形OABC中（    ） A． B． C． D． 2．(26-27高二上·河北秦皇岛百师联盟·)如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．(26-27高二·广东惠州惠阳区第一中学高中部·)在正方体中，运算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．(26-27高二上·贵州黔南州广大实验高级中学·月考)在平行六面体 中，（　　） A． B． C． D． 5．(25-26高二上·河南多校·)如图，在长方体中，（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高三上·四川成都棠湖外国语学校·期中)已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高三下·新疆喀什·)在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 知识点03 共线向量与共面向量 1.共线（平行）向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2.共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． (1) 共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使，若在上取，则. (2) 拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中. 3.共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. （1）空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． （2）四点共面（其中不共线）且． 【即学即练】 1．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·天津河西区·期中)设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 3．(25-26高二上·广东揭阳普宁第一中学·月考)已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 知识点04 空间向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作； 即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3.向量的投影 (1) 如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． (2) 如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4.空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5.数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练】 1．(24-25高二上·河北邢台质检联盟·期中)关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·山西临汾第一中学校·月考)已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 3．(26-27高二上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知空间向量，，，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．(26-27高二上·山东烟台招远·期中)若，，为空间两两夹角都是的三个单位向量，则________． 5．(26-27高二上·北京第八十中学·)已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则__________． 题型01 空间向量的有关概念及线性运算 【典例1】(26-27高二上·江苏无锡第一中学·)下列命题为假命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量不一定相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【典例2】(26-27高二上·河南新乡部分校联考·)（多选）在平行六面体中，下列各式成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】(26-27高二上·云南昭通文屏镇中学·)在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(26-27高二上·河南周口西华县中都高级中学·)下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 【变式3】(26-27高二上·山东聊城茌平区部分校·月考)在平行六面体中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式4】(26-27高二上·辽宁阜新高级中学·)平行六面体，的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式5】(25-26高二·聚焦考点6空间向量的运算·期中)如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【变式6】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 共线向量定理的应用 【典例1】(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)（多选）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【典例2】(25-26高二上·重庆西南大学附属中学校·月考)如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高二上·北京八一学校·期中)已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式2】(24-25高二上·四川阆中中学校·期中)设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【变式3】(24-25高一上·四川师范大学附属中学·期中)平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式4】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【变式5】(25-26高二上·安徽华师联盟·期中)如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 题型03 空间向量的数量积 【典例1】(25-26高二·江苏如皋·期末)在平行六面体中，，则__________. 【典例2】(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 【变式1】(26-27高二上·河北邯郸部分校·期中)在三棱锥中，，，，，，点满足，则________． 【变式2】(24-25高二上·四川内江·期末)如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【变式3】(25-26高二·上海位育中学·期末)如图，在棱长为1的正方体中，______． 【变式4】(24-25高三上·上海普陀区·调研)设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 【变式5】(25-26高二·上海金山中学、闵行中学、嘉定一中、青浦高级四校·)已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【变式6】(25-26高二上·辽宁实验中学·月考)如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________.      【变式7】(26-27高二·北京学校、中国人民大学附属中学通州校区·月考)已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型04 利用数量积求向量夹角及线段长 【典例1】(26-27高二上·广东惠州大亚湾区博雅培文实验学校·)已知空间向量满足，且，则=（　　） A． B． C．2 D． 【典例2】(24-25高二上·上海行知中学·期中)平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为________________. 【变式1】(26-27高二上·广东惠州惠阳中山中学等校联考·期中)如图，二面角等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，，且，则__________． 【变式2】(25-26高二下·江苏苏州常熟中学·调研)已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【变式3】(25-26高二下·上海宝山区·期末)已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高二上·江西“三新”协同教研共同体·)已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则_____． 【变式5】(23-24高二上·河北张家口·期末)已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为___________. 【变式6】(26-27高二·北京丰台区·期中)如图，在四面体中，已知，，，与所成角为，与所成角为，与所成角为，则与所成角的余弦值为_________． 【变式7】(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 【变式8】(26-27高二上·河南新乡部分校联考·)已知，是空间中互相垂直的单位向量，，，则的最小值是________． 【变式9】(24-25高三·上海嘉定区·调研)已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为______. 【变式10】(24-25高二上·浙江台州温岭新河中学·)如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型05 空间向量的投影向量 【典例1】(26-27高二上·四川成都第七中学·)已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【典例2】(26-27高二上·河北邢台卓越联盟·调研)如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(26-27高二上·河北邯郸冀南新区凌云中学·月考)已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高二下·甘肃庆阳环县第一中学·期中)已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________． 【变式3】(26-27高二上·广东深圳育才中学·)若空间向量，满足，则在上投影向量的模的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式4】(25-26高三·上海虹口区·一模)已知空间中四个单位向量满足, 则在方向上的数量投影的最大值为___ 【变式5】(26-27高二上·天津南开中学滨海生态城学校·)如图，在直三棱柱中，，，则正确的是______. ①向量在向量上的投影向量为 ②向量在向量上的投影向量为 ③与的夹角为钝角. 1．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 2．(26-27高二上·黑龙江海林朝鲜族中学·)已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（      ） A．若，则或 B．若，则或 C．若，则或 D．若，则 3．(25-26高二上·新疆伊犁哈萨克伊宁·)（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 4．(26-27高二上·北京第九中学·期中)已知四面体，是的中点，连接，则（   ） A． B． C． D． 5．(26-27高二·北京育才学校·月考)空间四边形中，、分别是、的中点，则等于（     ） A． B． C． D． 6．(25-26高二上·广东深圳高级中学高中园·月考)已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．(26-27高二上·广西河池环江毛南族自治县高级中学·)空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高二上·吉林东北师范大学附属中学·)设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 9．(24-25高二下·福建龙岩一级校·期中)已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 10．在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 11．(26-27高二上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知正四面体的棱长为，点是棱的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·安徽合肥第一中学滨湖校区·)在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则___________. 13．(25-26高二·江苏淮安涟水县第一中学·)在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 14．(25-26高三上·上海嘉定区·一模)已知空间向量，，，且，则  _____. 15．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 16．(24-25高二上·四川成都列五中学·期中)如图，已知二面角的大小为，已知A，B两点在棱上， 线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为________． 17．(23-24高二下·上海大学附属中学·月考)已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为________． 18．(23-24高二下·上海华东师范大学第一附属中学·期中)如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________. 19．(24-25高三上·上海第四中学·期中)在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是__________. 20．(24-25高三下·上海控江中学·调研)已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______. 21．(24-25高二上·上海洋泾中学·)已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点满足 ，则 的取值范围是_____. 22．(26-27高二上·河南周口部分学校·)（多选）已知空间向量，，满足，，，则（   ） A． B． C． D．的最小值为 23．(24-25高二上·上海中学·期中)在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 24．(26-27高二上·四川巴中中学·)如图，在平行六面体中，，，，， (1)求的长； (2)与所成角的余弦值． 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 空间向量及其运算 教学目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，理解空间向量的几何意义与自由向量的特征. 2.掌握空间向量的加法、减法与数乘运算及其运算律，会用图形语言和代数运算化简向量算式. 3.理解共线（平行）向量的含义，掌握共线向量定理，会用基底表示空间中的未知向量. 4.了解空间向量数量积的概念，掌握数量积的运算律及其在求模、求夹角、判断垂直中的应用. 教学重难点 1.重点 （1）空间向量的线性运算及其几何表示；（2）空间向量数量积的运算律； 2.难点 （1）用已知的一组基底表示未知向量；（2）数量积在求夹角、判断垂直中的灵活应用； 知识点01 空间向量的有关概念 1. 空间向量：在空间里，把具有大小和方向的量叫做空间向量，用有向线段表示，记为 或 ；向量的大小叫做向量的模，记为 或 . 2. 几类特殊的向量： (1) 模为 的向量叫零向量，记为 ，规定它的方向任意且与任意向量平行； (2) 模为 的向量叫单位向量. (3) 相等向量：大小相等且方向相同的向量，记为 ； (4) 相反向量：大小相等、方向相反的向量，记为 ，且 . 3. 空间向量是自由向量，只由大小和方向确定，与其起点的位置无关，因此在空间中平移后仍表示同一个向量；这是空间向量区别于有向线段的关键. 4. 空间向量的表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练】 1．(26-27高二上·广东广州广州知识城中学·)在空间直角坐标系中，若为单位向量，则___________． 【答案】 【详解】根据单位向量的定义，单位向量的模为，所以． 2．(25-26高二上·河北廊坊香河县第三中学·月考)在正方体中，与向量相反的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方体棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，其相反向量为,对各选项逐一计算： 选项A：，与互为相反向量，符合要求； 选项B：，与是相等向量，不符合要求； 选项C：，不符合要求； 选项D：，不符合要求. 3．(26-27高二上·广西南宁宾阳中学·月考)下列关于空间向量说法正确的是（     ） A．空间向量就是空间中的有向线段 B．若向量，模相等，则 C．零向量方向不确定，模长为0 D．平行向量一定在同一条直线上 【答案】C 【详解】选项A、空间向量是既有大小又有方向的量，而有向线段是表示向量的一种直观方式，不能说空间向量一定就是空间中的一条有向线段，因为向量可以自由平移，而有向线段是固定在空间中的，选项A错误； 选项B、若向量，模相等，只能说明长度相等，方向不一定相同，不能推出，选项B错误； 选项C、零向量方向不确定，模长为0，符合零向量的性质，选项C正确； 选项D、平行向量的方向相同或相反，可以平行于同一直线，不一定在同一直线上，选项D错误． 4．(26-27高二上·天津滨海新区天科高级中学·月考)下列关于空间向量的说法中正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．相等向量其方向必相同 C．若向量满足，则 D．若，则的长度相等而方向相同或相反 【答案】B 【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于B，由相等向量的概念可得相等向量其方向必相同，故B正确； 对于C，向量不能比较大小，故C错误； 对于D，模长相等的向量方向可以任意，故D错误. 5．(26-27高二·广东东莞东华高级中学、东华松山湖高级中学·)（多选）下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，若它们的终点相同，则它们的起点相同 【答案】AC 【详解】A选项，单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，所以A选项错误； B选项，长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，所以B选项正确； C选项，，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，所以C选项错误； D选项，向量相等要求模相等、方向相同，当终点位置相同，则起点必须相同，所以D选项正确． 知识点02 空间向量的加减及数乘运算 1. 空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，. 2. 空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即. 3. 空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即. 4. 空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 5. 定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 6. 数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 7. 对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练】 1．(26-27高二上·河南新乡新誉佳高级中学等校·月考)在空间四边形OABC中（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 2．(26-27高二上·河北秦皇岛百师联盟·)如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 3．(26-27高二·广东惠州惠阳区第一中学高中部·)在正方体中，运算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正方体中，，， 所以. 4．(26-27高二上·贵州黔南州广大实验高级中学·月考)在平行六面体 中，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 5．(25-26高二上·河南多校·)如图，在长方体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在长方体中，以为基底， 则， 所以. 故选：A. 6．(25-26高三上·四川成都棠湖外国语学校·期中)已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 故选：D 7．(24-25高三下·新疆喀什·)在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 知识点03 共线向量与共面向量 1.共线（平行）向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2.共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． (1) 共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使，若在上取，则. (2) 拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中. 3.共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. （1）空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． （2）四点共面（其中不共线）且． 【即学即练】 1．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 2．(24-25高二上·天津河西区·期中)设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 3．(25-26高二上·广东揭阳普宁第一中学·月考)已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【详解】因为，所以，即，，所以.故答案为：. 知识点04 空间向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作； 即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3.向量的投影 (1) 如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． (2) 如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4.空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5.数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练】 1．(24-25高二上·河北邢台质检联盟·期中)关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 2．(25-26高二上·山西临汾第一中学校·月考)已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以，故选：D. 3．(26-27高二上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知空间向量，，，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为，所以与的夹角为. 4．(26-27高二上·山东烟台招远·期中)若，，为空间两两夹角都是的三个单位向量，则________． 【答案】 【详解】已知，，为空间两两夹角都是的三个单位向量， 则，，，， ， 代入数值可得， 所以 5．(26-27高二上·北京第八十中学·)已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则__________． 【答案】 【详解】将 按多项式展开，得 .由数量积的运算律，九个乘积中凡含两个不同基向量的项均为 ，只留下同向相乘的三项，即 .把 代入，得 . 题型01 空间向量的有关概念及线性运算 【典例1】(26-27高二上·江苏无锡第一中学·)下列命题为假命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量不一定相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】D 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的方向是任意的，它们不一定相等，A正确； 对于B，在正方体中，对角面是矩形，则，B正确； 对于C，空间向量满足，则，C正确； 对于D，空间向量满足，而向量的方向不一定相同，因此向量不一定相等，D错误. 【典例2】(26-27高二上·河南新乡部分校联考·)（多选）在平行六面体中，下列各式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 ，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 【变式1】(26-27高二上·云南昭通文屏镇中学·)在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为分别为的中点，所以且，且， 与相交，与异面，所以与向量相反的向量为. 【变式2】(26-27高二上·河南周口西华县中都高级中学·)下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 【答案】C 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 空间中方向相同的向量不一定是相等向量，因为长度也不一定相等，故D错误. 【变式3】(26-27高二上·山东聊城茌平区部分校·月考)在平行六面体中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与向量相等的向量，需和向量的方向相同，模相等.如图，因为，所以向量与向量相等，因为向量与向量的方向不同，所以和向量不相等. 【变式4】(26-27高二上·辽宁阜新高级中学·)平行六面体，的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图所示，. 【变式5】(25-26高二·聚焦考点6空间向量的运算·期中)如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 【变式6】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 则． 题型02 共线向量定理的应用 【典例1】(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)（多选）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 【典例2】(25-26高二上·重庆西南大学附属中学校·月考)如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 【变式1】(24-25高二上·北京八一学校·期中)已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 【变式2】(24-25高二上·四川阆中中学校·期中)设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【答案】 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 【变式3】(24-25高一上·四川师范大学附属中学·期中)平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 ， 所以， 故选：C.    【变式4】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 【变式5】(25-26高二上·安徽华师联盟·期中)如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】以为空间向量的一组基底，则 ，因为，则， 因为四点共面，所以，故．故选：B. 题型03 空间向量的数量积 【典例1】(25-26高二·江苏如皋·期末)在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【详解】设，则， 所以，因为， 所以.故答案为： 【典例2】(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 【答案】6 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 【变式1】(26-27高二上·河北邯郸部分校·期中)在三棱锥中，，，，，，点满足，则________． 【答案】 【详解】由，得， 且， ∴ ，， ， ， 代入得： . 【变式2】(24-25高二上·四川内江·期末)如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【详解】故选：D 【变式3】(25-26高二·上海位育中学·期末)如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【详解】因为，， 所以， ， . 【变式4】(24-25高三上·上海普陀区·调研)设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 【答案】 【详解】，， ， 所以， ,由，，， 可得，，解得.故答案为：. 【变式5】(25-26高二·上海金山中学、闵行中学、嘉定一中、青浦高级四校·)已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，，    设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系.    则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 【变式6】(25-26高二上·辽宁实验中学·月考)如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________.      【答案】8 【详解】设的中点为，由，则， 所以点落在以为球心，以1为半径的球上， 在正八面体中，， 则 ， 而，则， 所以的最大值为8. 故答案为：8.    【变式7】(26-27高二·北京学校、中国人民大学附属中学通州校区·月考)已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设正方体中心为，即为正方体内切球球心，则为的中点， 因为正方体的棱长是，故，则内切球半径为， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，当位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值， 故，， 则，即的取值范围为. 题型04 利用数量积求向量夹角及线段长 【典例1】(26-27高二上·广东惠州大亚湾区博雅培文实验学校·)已知空间向量满足，且，则=（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题可知：， 代入已知条件，，得： ， 故. 【典例2】(24-25高二上·上海行知中学·期中)平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为________________. 【答案】5 【详解】如图， 由题意知，设， 则 ， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 【变式1】(26-27高二上·广东惠州惠阳中山中学等校联考·期中)如图，二面角等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，，且，则__________． 【答案】 【详解】由题意可得，，， 因为，， 则 ， 则 【变式2】(25-26高二下·江苏苏州常熟中学·调研)已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 【变式3】(25-26高二下·上海宝山区·期末)已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 【变式4】(23-24高二上·江西“三新”协同教研共同体·)已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则_____． 【答案】/ 【详解】如下图所示：   因为为的重心，则， 可得，则， 所以， ，故. 故答案为：. 【变式5】(23-24高二上·河北张家口·期末)已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为___________. 【答案】0 【详解】因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等， 又因为，所以 ， 所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0. 故答案为：0.    【变式6】(26-27高二·北京丰台区·期中)如图，在四面体中，已知，，，与所成角为，与所成角为，与所成角为，则与所成角的余弦值为_________． 【答案】 【详解】，所以， 而， ， ， 且 所以. 【变式7】(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 【答案】 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 【变式8】(26-27高二上·河南新乡部分校联考·)已知，是空间中互相垂直的单位向量，，，则的最小值是________． 【答案】8 【详解】由题意，得，，，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值是8. 【变式9】(24-25高三·上海嘉定区·调研)已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由空间向量两两垂直，得 又，， 则 ，而， 因此，， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式10】(24-25高二上·浙江台州温岭新河中学·)如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 题型05 空间向量的投影向量 【典例1】(26-27高二上·四川成都第七中学·)已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量，，且，得在上的投影向量为. 【典例2】(26-27高二上·河北邢台卓越联盟·调研)如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知如图，过点作，垂足为， 因为平面α，所以，又，所以平面， 故在平面内的投影向量为 【变式1】(26-27高二上·河北邯郸冀南新区凌云中学·月考)已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以在方向上的投影向量为 . 【变式2】(24-25高二下·甘肃庆阳环县第一中学·期中)已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________． 【答案】2 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 【变式3】(26-27高二上·广东深圳育才中学·)若空间向量，满足，则在上投影向量的模的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记，且， 所以，得，即 向量在上投影向量的模为， 由，当且仅当时取等号， 因此投影向量的模的最小值为 【变式4】(25-26高三·上海虹口区·一模)已知空间中四个单位向量满足, 则在方向上的数量投影的最大值为___ 【答案】 【详解】设 ,, 其中,, , 可设, 同理，（*）, , 则在方向上的数量投影为 当最大时，，，故由（*），, , , , , , ， 故答案为：. 【变式5】(26-27高二上·天津南开中学滨海生态城学校·)如图，在直三棱柱中，，，则正确的是______. ①向量在向量上的投影向量为 ②向量在向量上的投影向量为 ③与的夹角为钝角 【答案】①② 【详解】由，知． 又，，所以由，整理得 因为三棱柱是直三棱柱，平面，又，所以、、两两垂直． 由投影向量公式，分别判断： ①因为，所以沿的投影向量为，①正确． ②因为，，所以沿的投影向量为，②正确． ③因为，所以两向量的夹角为锐角，③错误． 1．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 2．(26-27高二上·黑龙江海林朝鲜族中学·)已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（      ） A．若，则或 B．若，则或 C．若，则或 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A, 由，得或或，故A错误； 对于B，由，得或，故B正确； 对于C，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故C错误； 对于D，由，得，则或或，故D错误. 3．(25-26高二上·新疆伊犁哈萨克伊宁·)（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 4．(26-27高二上·北京第九中学·期中)已知四面体，是的中点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，因为是的中点，所以 所以. 5．(26-27高二·北京育才学校·月考)空间四边形中，、分别是、的中点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量减法的三角形法则，可得， 因为分别是的中点， 所以为的中位线，由中位线性质得， 将上述结果代入原式计算：． 6．(25-26高二上·广东深圳高级中学高中园·月考)已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， ， 故选：B 7．(26-27高二上·广西河池环江毛南族自治县高级中学·)空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为的中点，所以. 由题意得. 因此. 8．(25-26高二上·吉林东北师范大学附属中学·)设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 9．(24-25高二下·福建龙岩一级校·期中)已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为三点共线，所以，即， 所以，解得，所以，故选：A 10．在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，，，，， ，． 故选：A． 11．(26-27高二上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知正四面体的棱长为，点是棱的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出符合题意的图形， 在棱长为2的正四面体中， 得到，且两两的夹角为， 所以， ， 因为点是棱的中点，所以， 所以． 12．(24-25高二上·安徽合肥第一中学滨湖校区·)在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则___________. 【答案】/ 【详解】因为平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 .故答案为：. 13．(25-26高二·江苏淮安涟水县第一中学·)在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】. 14．(25-26高三上·上海嘉定区·一模)已知空间向量，，，且，则  _____. 【答案】 【详解】，，，，，，， ，.故答案为：. 15．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以，故答案为：. 16．(24-25高二上·四川成都列五中学·期中)如图，已知二面角的大小为，已知A，B两点在棱上， 线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为________． 【答案】 【详解】因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，又二面角的大小为，所以，因为. 所以 ， 所以，所以的长度为.故答案为：. 17．(23-24高二下·上海大学附属中学·月考)已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，所以， 故， ， 故， . 故答案为： 18．(23-24高二下·上海华东师范大学第一附属中学·期中)如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________. 【答案】 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心，所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，，且， 所以， ，所以，故答案为：. 19．(24-25高三上·上海第四中学·期中)在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意，即，，即， 所以单位向量的位置关系如下图示，且， 以为轴，，为母线画圆锥体，底面中心分别为， 所以轨迹分别是圆锥、圆锥的底面圆周， 结合图知，，即.故答案为： 20．(24-25高三下·上海控江中学·调研)已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】如图，过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆， 设点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由可得到， 当且仅当时，等号成立， 如图，在圆所在平面建立平面直角坐标系， 则， 所以 则 ， 当，时，等号成立； 故，所以的最小值为. 故答案为：. 21．(24-25高二上·上海洋泾中学·)已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点满足 ，则 的取值范围是_____. 【答案】 【详解】如图，O为中点，则由题意且，所以.因为，则即，所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则，所以.故答案为：. 22．(26-27高二上·河南周口部分学校·)（多选）已知空间向量，，满足，，，则（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A，根据题意可得， 所以，又，， 则，解得， 因为，所以，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确， 对于D，， 当且仅当时，等号成立，D正确， 23．(24-25高二上·上海中学·期中)在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）连接，， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 24．(26-27高二上·四川巴中中学·)如图，在平行六面体中，，，，， (1)求的长； (2)与所成角的余弦值． 【详解】（1）记由题夹角都为， ， ， ，故 （2）, ， ，， , 与所成角的余弦值为. 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $