专题2.2 椭圆（高效培优讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题2.2 椭圆 教学目标 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程． 2.会根据条件求椭圆的标准方程（定义法与待定系数法），会判断方程是否表示椭圆及焦点位置． 3.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴与离心率等几何性质． 4.会解决椭圆的焦点三角形问题（周长、面积）以及用椭圆定义求轨迹方程的问题. 教学重难点 1.重点 （1）椭圆标准方程的求法；（2）椭圆的几何性质与离心率； 2.难点 （1）椭圆定义的灵活运用；（2）与椭圆有关的轨迹与最值问题； 3.核心素养 直观想象、数学运算、逻辑推理. 知识点01 椭圆的定义 定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点. 即 （）；当 时轨迹是线段，当 时无轨迹. 两焦点间的距离 叫做焦距， 满足 . 由定义知：椭圆上一点到两焦点的距离之和恒为 ，这是解决焦半径与距离最值问题的依据. 判断轨迹类型时，应先把常数与 比较大小，再确定是椭圆、线段还是无轨迹. 【即学即练】 1．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 2．椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为_________. 3．椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为______． 4．平面内点到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上：，焦点为 . 焦点在 y 轴上：，焦点为 . 其中 （），注意与双曲线的 区别. 求标准方程的两种方法：①定义法——由 与 求出 ；②待定系数法——设出方程后代入已知点坐标求解. 焦点位置的判断：标准方程中 与 的分母都为正，分母较大的那个变量对应的轴就是焦点所在轴. 【即学即练】 1．若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________. 2．已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为__________________． 3．以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 4．若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为_________． 知识点03 椭圆的几何性质 范围：焦点在 x 轴上时 ，椭圆位于直线 与 围成的矩形内. 对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴以及原点都对称. 顶点：；长轴长 ，短轴长 ，长半轴 ，短半轴 . 离心率：，其中 ； 越大，椭圆越扁， 越小，椭圆越圆. 焦半径：设 为椭圆上一点（焦点在 x 轴上），则 ，. 【即学即练】 1．椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为__________. 2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________． 3．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为_____. 4．椭圆的一个焦点是，那么等于________． 知识点04 椭圆的焦点三角形 焦点三角形：椭圆上一点 与两焦点 构成的三角形，其周长为 . 面积公式：设 ，则 . 由定义 及基本不等式可得 ，当 时取等号. 焦半径的取值范围：（点 P 在长轴两端点时取到端点值）. 解题时常结合余弦定理：，与定义联立可求面积或角. 【即学即练】 1．已知椭圆的左、右焦点分别，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 2．已知椭圆的左、右焦点分、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．已知点为椭上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 4．已知是椭的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 知识点05 椭圆的轨迹方程 定义法求轨迹：先由条件判断动点到两定点距离之和为常数且大于两定点间距离，确认轨迹是椭圆，再求出 后写出标准方程. 常见模型一：动圆与两个定圆相切（一内切一外切），动圆圆心的轨迹是椭圆. 常见模型二：点 在定圆上运动，线段 的垂直平分线与 交于点 ，则 的轨迹是椭圆. 求轨迹方程的一般步骤：建系设点 → 依据条件列式 → 代数化简 → 检验完备性. 注意剔除不合条件的点：若三点共线时不构成三角形（或图形退化），相应点应从轨迹中舍去. 【即学即练】 1．已知平面上两个定点、，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______ 2．平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 3．到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________. 4．在平面直角坐标系中，点到、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 题型01 椭圆定义及应用 【典例1】已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 【变式1】已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为______． 【变式2】已知点和，椭圆上一点P满足，则_________． 【变式3】已知点为椭圆上任意一点，是圆的一条直径，则的最大值是__________. 【变式4】已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为__________. 【变式5】已知是椭上的动点，，且，则__________. 题型02 求椭圆的标准方程及参数 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 【变式1】求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【变式2】分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 【变式3】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为________________ 【变式4】已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为________． 【变式5】焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 题型03 椭圆焦点三角形问题 【典例1】已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 【变式1】已知椭圆的左右焦点分，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式2】已知椭圆方程为P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】该椭圆的左右焦点，点是上一点，满足，则的面积为__________． 【变式4】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于________. 【变式5】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则________． 题型04 椭圆几何性质的应用 【典例1】已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为__________. 【变式1】已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 【变式2】已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为___________. 【变式3】已知是椭的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为________. 【变式4】已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为____________ 【变式5】两圆，.动圆在圆内部且与圆相内切，与圆相外切，求动圆圆心到原点的距离的最大值________. 题型05 椭圆中的距离最值问题 【典例1】已知动点在上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【变式1】已知椭圆：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____． 【变式2】已知椭圆的左焦点F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________. 【变式3】已知，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】设椭圆的右焦点，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为_________ 【变式5】已知定点，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为__________. 题型06 用椭圆定义求方程 【典例1】将化简为椭圆标准方程的形式，结果为_____. 【变式1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为______. 【变式2】已知直角坐标平面内有三个定点，，，动点满足．若，则点横坐标的取值范围是______． 【变式3】方程，化简的结果是    ） A． B． C． D． 【变式4】方程化简后______． 【变式5】中A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______． 题型07 方程表示椭圆的参数范围与焦点位置 【典例1】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式3】方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【变式5】设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 1．方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 2．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 4．若方程表示椭圆，则m的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 6．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 7．设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______． 8．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 9．方程表示椭圆方程，则的取值范围为______. 10．已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________． 11．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________ 12．已知椭圆，长轴在轴上，则实数的取值范围为___________. 13．如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则_______． 14．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 16．已知椭圆经过点，且短轴长为2，经过点的直线与椭圆交于两点，且在轴上存在点，使得. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值. 17．已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线与交于，两点. (1)求椭圆的方程; (2)若且点P的坐标为，求直线l的斜率； (3)若其中为坐标原点，求面积的最大值. 18．已知椭圆的左、右焦点分，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．在平面中，是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______． 20．已知椭圆的左、右焦点分别，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为__________． 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 椭圆 教学目标 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程． 2.会根据条件求椭圆的标准方程（定义法与待定系数法），会判断方程是否表示椭圆及焦点位置． 3.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴与离心率等几何性质． 4.会解决椭圆的焦点三角形问题（周长、面积）以及用椭圆定义求轨迹方程的问题. 教学重难点 1.重点 （1）椭圆标准方程的求法；（2）椭圆的几何性质与离心率； 2.难点 （1）椭圆定义的灵活运用；（2）与椭圆有关的轨迹与最值问题； 3.核心素养 直观想象、数学运算、逻辑推理. 知识点01 椭圆的定义 定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点. 即 （）；当 时轨迹是线段，当 时无轨迹. 两焦点间的距离 叫做焦距， 满足 . 由定义知：椭圆上一点到两焦点的距离之和恒为 ，这是解决焦半径与距离最值问题的依据. 判断轨迹类型时，应先把常数与 比较大小，再确定是椭圆、线段还是无轨迹. 【即学即练】 1．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 【答案】4 【来源】上海市民办西南高级中学2025学年高二年级第二学期数学期中考试试卷 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上，长半轴长为，根据椭圆的定义知，而，则点到另一个焦点的距离. 2．椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为_________. 【答案】 【来源】上海市华东师范大学附属东昌中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】椭圆，则，根据椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为.故答案为： 3．椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为______． 【答案】4 【来源】上海市晋元高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】焦点在轴上的椭圆，标准形式为（），所以，解得，所以，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为．故答案为：4． 4．平面内点到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，平面内点P到、的距离之和是10，∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：，∴，∴轨迹方程为: ，故选: B. 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上：，焦点为 . 焦点在 y 轴上：，焦点为 . 其中 （），注意与双曲线的 区别. 求标准方程的两种方法：①定义法——由 与 求出 ；②待定系数法——设出方程后代入已知点坐标求解. 焦点位置的判断：标准方程中 与 的分母都为正，分母较大的那个变量对应的轴就是焦点所在轴. 【即学即练】 1．若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则短半轴长，所以该椭圆的标准方程为.故答案为： 2．已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为__________________． 【答案】或 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 【详解】由题意，有，∴椭圆C的标准方程可能为或.故答案为：或 3．以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 【答案】 【来源】广东省江门市第一中学2025-2026学年高二上学期第2次学段考试数学试题 【详解】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为，则且，解得，所以所求椭圆标准方程为.故答案为： 4．若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为_________． 【答案】/ 【详解】由题意知，设椭圆的标准方程为，又，椭圆过点，则，解得，所以椭圆的标准方程为.故答案为： 知识点03 椭圆的几何性质 范围：焦点在 x 轴上时 ，椭圆位于直线 与 围成的矩形内. 对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴以及原点都对称. 顶点：；长轴长 ，短轴长 ，长半轴 ，短半轴 . 离心率：，其中 ； 越大，椭圆越扁， 越小，椭圆越圆. 焦半径：设 为椭圆上一点（焦点在 x 轴上），则 ，. 【即学即练】 1．椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为__________. 【答案】6 【来源】上海市奉贤中学2025-2026学年高二上学期第六学程考试数学试题 【详解】椭圆的一个焦点坐标为,得椭圆的焦点在轴上,则,且,由,得故答案为： 2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________． 【答案】或 【来源】上海市高行中学2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试卷 【详解】解析：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得，．所以当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．综上可知，所求椭圆的标准方程为或． 故答案为：或 3．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为_____. 【答案】5 【来源】上海市向东中学2024-2025学年高二下学期3月阶段练习数学试卷 【详解】椭圆的焦点在轴上，焦距为所以.可得，解得.故答案为：5. 4．椭圆的一个焦点是，那么等于________． 【答案】1 【详解】由，得，又椭圆的一个焦点为，所以，且，由，得，解得.故答案为：1 知识点04 椭圆的焦点三角形 焦点三角形：椭圆上一点 与两焦点 构成的三角形，其周长为 . 面积公式：设 ，则 . 由定义 及基本不等式可得 ，当 时取等号. 焦半径的取值范围：（点 P 在长轴两端点时取到端点值）. 解题时常结合余弦定理：，与定义联立可求面积或角. 【即学即练】 1．已知椭圆的左、右焦点分别，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【来源】陕西省汉中市镇巴中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】因为椭圆，则，，所以的周长为，故选：B. 2．已知椭圆的左、右焦点分、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【来源】上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】由题意得，故，，由椭圆定义得，故的周长为.故选：B 3．已知点为椭上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【来源】上海音乐学院附属黄浦比乐中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二年级数学试卷 【详解】由椭圆方程可知，，，所以，的周长为. 4．已知是椭的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 【答案】 【来源】云南省大理白族自治州大理白族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 【详解】，，①又，②①②得：，的面积为16，，.故答案为：4. 知识点05 椭圆的轨迹方程 定义法求轨迹：先由条件判断动点到两定点距离之和为常数且大于两定点间距离，确认轨迹是椭圆，再求出 后写出标准方程. 常见模型一：动圆与两个定圆相切（一内切一外切），动圆圆心的轨迹是椭圆. 常见模型二：点 在定圆上运动，线段 的垂直平分线与 交于点 ，则 的轨迹是椭圆. 求轨迹方程的一般步骤：建系设点 → 依据条件列式 → 代数化简 → 检验完备性. 注意剔除不合条件的点：若三点共线时不构成三角形（或图形退化），相应点应从轨迹中舍去. 【即学即练】 1．已知平面上两个定点、，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______ 【答案】 【来源】上海市华东师范大学松江实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月教学评估数学试卷 【详解】由题意可得，，所以动点P满足，所以点的轨迹为线段，所以动点P的轨迹方程为. 2．平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【来源】上海市闵行第三中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷 【详解】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆，因为，，所以焦距，解得，因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆，所以，解得，因此，解得，动点的轨迹方程是. 3．到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【来源】上海市静安区2024-2025学年高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题 【详解】依题意，，则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，由，得，所以动点的轨迹方程为.故答案为： 4．在平面直角坐标系中，点到、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 【答案】 【详解】因为点到点、的距离之和为，即，所以点的轨迹为以点、为焦点的椭圆，且，，所以，所以椭圆方程为.故答案为： 题型01 椭圆定义及应用 【典例1】已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 【答案】 【来源】上海市大同中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则，所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号，故的最大值为.故答案为：. 【变式1】已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为______． 【答案】25 【详解】由，得，因为点在C上，所以，所以，所以，得，当且仅当时取等号，所以的最大值为25.故答案为：25 【变式2】已知点和，椭圆上一点P满足，则_________． 【答案】9 【详解】由题意，所以点和为椭圆的焦点；所以，又因为，所以，又，所以由余弦定理有.故答案为：9. 【变式3】已知点为椭圆上任意一点，是圆的一条直径，则的最大值是__________. 【答案】 【详解】由，设该椭圆的右焦点坐标为，显然该点同时也是圆的圆心，因为是圆的一条直径，所以，因为为椭圆上任意一点，所以，因此的最大值是，故答案为： 【变式4】已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为__________. 【答案】 【来源】上海市晋元高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】在△中，，，点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点，，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心，的最小值为．故答案为： 【变式5】已知是椭上的动点，，且，则__________. 【答案】5 【来源】甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三下学期高考冲刺（一）数学试卷 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 题型02 求椭圆的标准方程及参数 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 【答案】(1)；(2) 【来源】江西南昌天行创世纪学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 【详解】（1）已知椭圆中心在原点、焦点在轴上，设其标准方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：，解得， 因此所求椭圆标准方程为。 （2）由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：， 解得，代入，得椭圆的标准方程为. 【变式1】求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【答案】(1)；(2) 【来源】上海市上海财经大学附属北郊高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 【变式2】分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. （2）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为. ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得 因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为. 方法二：设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为. 【变式3】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为________________ 【答案】 【来源】上海市回民中学2025-2026学年第二学期高二年级数学学科阶段（1）测试卷 【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为．因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上，所以由椭圆的定义知，所以，又因为，所以.因此所求椭圆的标准方程为． 解法二：因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为，因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以，从而——①， 又因为点在椭圆上，所以——②， 由①②解得或（舍去），因此，所求椭圆的标准方程为．故答案为： 【变式4】已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为________． 【答案】 【来源】上海市进才中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【详解】由已知，设椭圆的标准方程为，因为椭圆的一个焦点是，且经过点，所以椭圆的另一个焦点为，，，则，所以，所以这个椭圆的标准方程为.故答案为：. 【变式5】焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【来源】上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月摸底考试数学试题 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，由焦距为可得，解得；又椭圆经过点，故，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：. 题型03 椭圆焦点三角形问题 【典例1】已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 【答案】8 【来源】上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（A卷） 【详解】因为椭圆，所以，设椭圆右焦点为，由椭圆定义得则的周长为．故答案为：8. 【变式1】已知椭圆的左右焦点分，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【来源】广西柳州市2026届高三摸底考试数学试题 【详解】由椭圆，得，过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点，所以为线段的垂直平分线，得，则的周长为.故选：B. 【变式2】已知椭圆方程为P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义及圆切线性质知：.故选：B 【变式3】该椭圆的左右焦点，点是上一点，满足，则的面积为__________． 【答案】9 【详解】解法一：由，得，则，设，则由题意得，由，得，所以，得，所以的面积为 解法二：由，得，因为所以由焦点三角形的面积公式得．故答案为：9 【变式4】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于________. 【答案】 【详解】椭圆的半焦距，则，设点，于是，消去得，所以的面积.故答案为： 【变式5】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则________． 【答案】 【详解】由椭圆：，得，所以，因为点在椭圆上，所以，在中，由余弦定理得：，即，所以，所以，则，所以，所以点在椭圆的上下顶点处，所以.故答案为：. 题型04 椭圆几何性质的应用 【典例1】已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为__________. 【答案】 【来源】上海市普陀区晋元高级中学2024届高三上学期秋考模拟数学试题 【详解】由椭圆，可得，，所以，设，因为，则，所以，则，又因为点在椭圆上，可得，联立方程组，解得，即，所以点到轴的距离为.故答案为：． 【变式1】已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 【答案】4 【来源】上海市虹口区2025-2026学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学试题 【详解】由题意可知椭圆的长轴长，由于点到该椭圆的一个焦点的距离为2，根据椭圆的定义得点到该椭圆的另一个焦点的距离为4. 【变式2】已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为___________. 【答案】 【详解】由题设，，则，，所以椭圆上点与距离范围为，又，所以是椭圆的右顶点，即P的坐标为.故答案为： 【变式3】已知是椭的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为________. 【答案】 【详解】如图，由椭圆可得 , 所以, 则,所以在中，，因为, 且,所以 ,设的坐标为, 且，即，解得，所以点到轴的距离为.故答案为：. 【变式4】已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为____________ 【答案】/ 【详解】令且，则，而，故，所以，当时，.故答案为： 【变式5】两圆，.动圆在圆内部且与圆相内切，与圆相外切，求动圆圆心到原点的距离的最大值________. 【答案】8 【详解】设动圆圆心，半径为r，∵圆M与圆内切，与圆外切，∴，∴，由椭圆的定义，M的轨迹为以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，可得，则，故动圆圆心M的轨迹方程为，由于，则，由于，故时，取到最大值，即动圆圆心到原点的距离的最大值为8，故答案为：8 题型05 椭圆中的距离最值问题 【典例1】已知动点在上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【来源】上海大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】，为一个焦点，设另一焦点为，且，因为，所以在椭圆外部， 所以，即求的最小值，由于，当三点共线时取到最小值，此时，，所以的最小值为1.故选：D 【变式1】已知椭圆：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____． 【答案】 【详解】由椭圆标准方程可知，又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以所以易知，当且仅当三点共线时等号成立；又，所以；即的范围为.故答案为： 【变式2】已知椭圆的左焦点F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________. 【答案】12 【详解】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，连接，所以周长为故的周长的最大值为12，故答案为：12. 【变式3】已知，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西省名校协作体2024届高三上学期一轮复习联考（四）数学（文）试题 【详解】因为椭圆，则，所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则，由椭圆的定义得，，所以P为射线FA与椭圆交点时，取最小值，此时．故选：B 【变式4】设椭圆的右焦点，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为_________ 【答案】 【来源】上海市实验学校2025届高三上学期期中考试数学试题 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，根据椭圆的定义可知，所以，则，所以最小时，即最小，即定点到直线最短距离是过定点到直线的垂线段长，根据点到直线的距离公式可得，所以.故答案为：. 【变式5】已知定点，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为__________. 【答案】 【来源】上海外国语大学附属浦东外国语学校2025届高三上学期9月月考数学试题 【详解】设椭圆的左焦点为，可得，由椭圆定义知，又由点在椭圆内，，直线交椭圆于，因为，即，当且仅当点共线时取等号，当点与重合时，，则，当点与重合时，，则，所以的最大值和最小值为，可得.故答案为：. 题型06 用椭圆定义求方程 【典例1】将化简为椭圆标准方程的形式，结果为_____. 【答案】 【来源】江苏省南京市第一中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性检测数学试卷 【详解】根据，∴方程表示的曲线是以，为焦点的椭圆，其中，，，∴方程为.故答案为：. 【变式1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为______. 【答案】 【详解】由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，则椭圆的焦点在y轴上，且，又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，所以，即，所以，所以该椭圆方程为.故答案为： 【变式2】已知直角坐标平面内有三个定点，，，动点满足．若，则点横坐标的取值范围是______． 【答案】 【来源】上海交通大学附属中学2024届高三上学期期中数学试题 【详解】由题知，点在椭圆上，设椭圆方程为，则，，所以椭圆方程为，设点，则，因为，所以，解得，又点在椭圆上，所以.故答案为： 【变式3】方程，化简的结果是    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12，即，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，则，，所以，，故方程为.故选：B. 【变式4】方程化简后______． 【答案】 【详解】解：∵，故令，，∴，∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，即，，，∴方程为.故答案为：. 【变式5】中A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______． 【答案】. 【详解】根据正弦定理，由，所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，由，所以A点的轨迹方程为，故答案为：. 题型07 方程表示椭圆的参数范围与焦点位置 【典例1】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北新洲一中2025-2026学年高二下学期收心作业数学试题 【详解】由题意得，解得. 【变式1】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏南京东南实验学校2026-2027学年高二第一学期十月月考数学试卷 【详解】由题意可得，. 【变式2】若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】上海市华东师范大学松江实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月教学评估数学试卷 【详解】由题意知，，所以.所以实数k的取值范围为. 【变式3】方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】上海市桃浦中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】方程等价于，因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，解得，则实数k的取值范围是.故选：D. 【变式4】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【来源】上海市实验学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得. 【变式5】设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【答案】 【来源】上海市西中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】由题意可得：，解得：.所以的取值围为：.故答案为：. 1．方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省常州高级中学2026-2027学年高二上学期10月单元检测数学试题 【详解】表示动点到定点的距离，表示动点到定点的距离，所以，原方程等价于，因为两定点间距，符合椭圆的定义，所以，的轨迹为椭圆，其中焦点为、，即焦点在轴上，焦距，得；长轴长，得.所以，，焦点在轴上的椭圆标准方程为，所以，方程表示的曲线的标准方程为. 2．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误.B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.C选项，方程，即，表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确.D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误.故选：C 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】江西南昌天行创世纪学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故BCD满足. 4．若方程表示椭圆，则m的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ACD 【来源】江西省抚州市南丰县第一中学等十校联考2026-2027学年高二上学期数学阶段作业 【详解】方程表示椭圆，，解得且，结合选项，故m的值可以为ACD． 5．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 【答案】 【来源】上海市川沙中学、川沙中学友任分校、华东理工大学附属浦东科技高级中学三校联考2026-2027学年高二第一学期阶段一考试数学试题 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以，即，所以，则m的取值范围是． 6．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【来源】安徽六安市2025-2026学年上学期高二年级期末教学检测数学试卷 【详解】因为方程表示椭圆，则，解得且，所以实数的取值范围为.故答案为：. 7．设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______． 【答案】 【来源】上海市市西中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】由题意，得，解得，则实数的取值范围是.故答案为：. 8．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【来源】上海市晋元高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故答案为： 9．方程表示椭圆方程，则的取值范围为______. 【答案】 【来源】上海市吴淞中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】若方程表示椭圆，则解得或.故答案为：. 10．已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________． 【答案】 【来源】上海市晋元高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】由题意可得，解得.故答案为：. 11．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________ 【答案】 【来源】上海市松江区2024-2025学年高二下学期期末质量监控数学试卷 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆则有：解得：故答案为：. 12．已知椭圆，长轴在轴上，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【来源】上海市朱家角中学2025-2026学年高二上学期第一阶段（10月）监测数学试卷 【详解】由题意得，解得.故答案为： 13．如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则_______． 【答案】 【来源】山东省枣庄市峄城区2025-2026学年高二上学期期中数学试题 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线，由题意，根据椭圆的定义可得：，所以,因为，则，那么①，因为点关于的对称点为，所以，因为，所以，即②，联立①②，解得 ，则.故答案为：. 14．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【来源】重庆市第一中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 【详解】解：由题意知，，，则，，，由，则，所以点在以线段为直径的圆上，同理，由，可得点在以线段为直径的圆上，设以线段为直径的圆的圆心为，半径，以线段为直径的圆的圆心为，半径，所以，在中，为中位线，则，因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大，即，由椭圆定义可知，所以. 15．在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】C 【详解】因为方程等价于：或.若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆；若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图：对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点，根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足；若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点，设，则 所以，因为，所以，，，即，而，所以存在点满足；所以命题①为假命题.对于②，若点在左半个圆上，；若点在右半个椭圆上，则，因为，所以，即.下面对的位置分四种情况讨论：（i）若都在左半个圆上时，，所以；（ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，，所以，即；（iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，，所以，即；（iv）若都在右半个椭圆上时，设，且，因为，所以，即，.所以，，所以 ，又因为，两边平方得，，化简整理得，所以 .综上所述，的取值范围为，故②正确； 16．已知椭圆经过点，且短轴长为2，经过点的直线与椭圆交于两点，且在轴上存在点，使得. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值. 【详解】（1）短轴长为2,所以，点在椭圆上，所以，得，故椭圆方程为 （2）当直线的斜率存在，设直线方程为 联立，整理得 恒成立 设点 所以，解得，即 当直线斜率不存在时，不妨设，显然满足.综上存在满足题意. 易知当直线斜率不存在时，不存在，不合题意， 当直线斜率存在时， 令，则， 易知在单调递增，故 故面积的最大值为. 17．已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线与交于，两点. (1)求椭圆的方程; (2)若且点P的坐标为，求直线l的斜率； (3)若其中为坐标原点，求面积的最大值. 【来源】上海市复旦大学附属中学2024届高三上学期期中数学试题 【详解】（1）由题意得解得：， 所以：椭圆C的标准方程为：. （2）设，，直线的方程为：，与椭圆的方程联立得： 消去得：， 由根与系数关系得：    ①，     ②， 又因为：，得：，得：，代入①②得：     ③，    ④， 所以：将③与④2相除则得：，解得：； 所以直线的斜率为：. （3）设，，直线的方程为：，与椭圆的方程联立得： ，消去得：， 由根与系数关系得：①， ②， 由，解得：， 所以： ③， 把①和②代入③得：④ 又因为：，所以：， 又因为：，所以：， ④中当且仅当，即：时，等号成立， 所以：的面积的最大值为. 18．已知椭圆的左、右焦点分，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，，，，所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立.根据椭圆的定义可知，如图所示，设的延长线与椭圆相交于，则当位于时，取得最大值为，综上所述，的取值范围为.故选：B 19．在平面中，是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【来源】上海市奉贤区2026届高三上学期数学一模试卷 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设，向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆，，向量满足，表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆焦点，因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离，则.故答案为：16． 20．已知椭圆的左、右焦点分别，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】如图，由M为椭圆C上任意一点，则，又N为圆E：上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），，，当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．由题意知，，，则，的最小值为，故答案为： 21 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $