第08讲 空间向量及其运算、基本定理与坐标表示讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

第08讲 空间向量及其运算、基本定理与坐标表示讲义 【知识点01】空间向量的概念与线性运算 1. 空间向量的概念：空间中既有大小又有方向的量叫做空间向量，用有向线段表示。 （1）零向量：模为 0、方向任意的向量，记作 ；　（2）单位向量：模等于 1 的向量； （3）相等向量：模相等且方向相同（与起点无关）；　（4）相反向量：模相等、方向相反，记作 ； （5）共线（平行）向量：所在直线平行或重合，记作 。注意：空间任意两个向量一定共面（可平移至同一平面内）。 2. 线性运算（与平面向量的法则、运算律完全一致）： （1）加法——三角形法则、平行四边形法则： （2）减法——共起点、连终点、指向被减向量： （3）数乘 ：模长 ；λ＞0 时与原向量同向，λ＜0 时反向，λ＝0 时得零向量。 （4）运算律： 3. 空间向量的数量积：对非零向量 ，夹角为 ，定义 性质：（非零向量）；　² 运算律： 注意：数量积不满足结合律，即 【知识点02】三大向量定理 1. 共线向量定理：对空间任意两个向量 （），有 推论（三点共线）：O 为空间任一点，A、B、P 三点共线，当且仅当 2. 共面向量定理：若 不共线，则向量 与 共面，当且仅当存在唯一实数对 (x，y)，使 推论（四点共面）：O 为空间任一点，P、A、B、C 四点共面，当且仅当 3. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任意一个向量 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 其中 {} 叫做空间的一组基底。三个向量共面时不能构成基底；两两垂直的基底为正交基底，单位正交基底 {i，j，k} 对应空间直角坐标系。 三大向量定理对比： 定理 条件 结论 主要用途 共线向量定理 证三点共线、线线平行 共面向量定理 不共线 证四点共面、线面平行 空间向量基本定理 不共面 基底分解、建立坐标系 【知识点03】空间向量的坐标表示 设 ， 1. 线性运算： 2. 数量积： 3. 模长公式： 4. 夹角余弦公式： 5. 平行与垂直条件： 平行： 垂直： 6. 两点间向量与距离：设 A(x₁，y₁，z₁)，B(x₂，y₂，z₂)，则 【易错1】若两个向量所在直线是异面直线，则两向量不共面。　（判断：错） 错因：错。空间任意两个向量一定共面，向量可以平移，异面是直线的位置关系。 【易错2】若 ，则 或 。　（判断：错） 错因：错。模相等只代表长度相等，方向可以任意。 【易错3】向量可以比较大小，如 。　（判断：错） 错因：错。向量有方向，不能比较大小，只有模（实数）可以比较。 【易错4】若 ，则一定有 或 。　（判断：错） 错因：错。非零向量互相垂直时数量积也为 0。 【易错5】三个向量共面，就可以作为空间的一组基底。　（判断：错） 错因：错。基底要求三个向量不共面。 【易错6】四点 P、A、B、C 满足 ，则四点共面。　（判断：错） 错因：错。还需附加条件 x＋y＋z＝1 才是四点共面的充要条件。 【易错7】 成立。　（判断：错） 错因：错。左边与 𝒄 共线、右边与 𝒂 共线，一般不等，数量积不满足结合律。 【易错8】若 ，则 。　（判断：错） 错因：错。当 𝒃 为零向量时不成，零向量与任意向量平行。 【题型一】空间向量概念与线性运算（选择、填空） 【例1-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于A：模长相等方向未知不能确定向量相等，A选项错误； 对于B：模长相等都是1，方向未知不能确定向量相等，B选项错误； 对于C：满足， 但是不满足，C选项错误； 对于D：在正方体中，且方向相同，D选项正确. 假命题个数为3. 故选：C. 【例1-2】（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【答案】D 【详解】如下图示正方体，根据各向量对应线段的位置关系，各项判断如下， A：，则， 所以，对； B： ，， 所以向量与的夹角是，对； C： ，对； D：由正方体的结构易得，错. 故选：D 【例1-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    【答案】 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为______． 【答案】①② 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 【题型二】基底判断与空间向量基本定理（高频） 【例2-1】在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 【例2-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为______． 【答案】8 【详解】设正方体内切球的球心为G，正方体内的体对角线长为， 则，, 因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以．又点P在正方体表面上运动， 所以当P为正方体顶点时，最大，且最大值为， 所以，所以最大值为8． 故答案为：8. 【变式2-1】（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）如图，在正方体中，点E是的中点，点F在上，且.试用向量、与的线性组合表示______. 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 【变式2-2】空间中有三个向量，，，与的夹角为，，与的夹角等于与的夹角，记为.对任意，存在实数，，使成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间向量基本定理及其应用、求cosx(型)函数的值域、平面向量基本定理的应用 【分析】根据题意，作图，结合空间向量运算的几何性质，可得答案. 【详解】由题意，在四棱锥中，平面于， 在底面内，于，连接，，如下图所示：    设空间向量，，，由题意可知：，，， 由四点共面，根据平面向量基本定理，则存在，使得， 所以， 由平面，且平面，所以， 在中，， 在中，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，在中， 易知在四棱锥中，一定存在，则， 当时，，此时； 当平面时，取得最大值，即. 综上所述，. 故答案为：. 【题型三】共线、共面向量定理与三点、四点共面的证明 【例3-1】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 【答案】； 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. 【例3-2】（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 【答案】 【详解】因为，， 所以. 若四点共面，则有向量共面， 即存在唯一的有序实数对，使得， 即， 所以，解得，所以实数为. 故答案为： 【变式3-1】如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【详解】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)用向量，，表示，并求出. 【详解】(1)因为，所以， 又因为H，G分别是AD、CD的中点，所以， 所以，故E、F、G、H四点共面. （2）以为基底，则，, 所以，. 又. 所以. 所以. 【题型四】坐标基础运算与平行、垂直判定 【例4-1】（25-26高二上·上海·期末）已知空间向量，，若，则________． 【答案】 【详解】因为空间向量，，且， 则，解得，， 所以，故. 【例4-2】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知空间向量，且，则________． 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以，. 【变式4-1】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 【详解】（1）， 由于，所以， 解得． （2）， 设，即,,,,,,， 所以，解得，，． 【变式4-2】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 【详解】（1）设向量的夹角为，由空间三点， 可得， ， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为. （2）因为，所以，其中， 因为，可得， 所以， 于是或， 即点的坐标为或. 【变式4-3】已知空间三点、、，设. (1)若，求点坐标； (2)若向量与互相垂直，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 解得，即. （2）由，， 则，， 因为向量与互相垂直， 所以，即， 解得或. （3）由（2）知，，， 所以，， 因为向量与平行，设， 则，解得. 【题型五】向量模长、距离与夹角综合（中档） 【例5】已知向量是空间的一组单位正交基底向量，且，，求： (1)向量与的夹角； (2)向量与所在直线的夹角. 【详解】（1）因为，，则记向量在基底向量下的坐标为，向量在基底向量下的坐标为， 所以 又，所以，即向量与的夹角为. （2）由（1）可得，向量与所在直线的夹角的余弦值为， 又，所以，所以向量与所在直线的夹角为. 【变式5-1】已知空间三个点与 (1)设，求与的夹角； (2)求点D到平面ABC的距离d． 【详解】（1）解：因为点， 所以， 则， 所以， 则； （2）设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，则，即， 又， 所以点D到平面ABC的距离. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 【详解】（1）设点，因为，， 所以， 则，解得，所以点， 所以，故． （2）由已知得，，则， ，， 所以，则为锐角， 所以， 因此， 故的面积为． 【变式5-3】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，． ，∴ ∴． 所以的距离为. （2）依题意得，，，， ∴，， ，，， ∴． 【题型六】基底与坐标综合（培优） 【例6】（25-26高二上·上海金山·期末）在晶体学研究中，某晶体的基本晶格为平行六面体结构，如图，已知从顶点出发的三条棱、、的长度分别为2、2、3，且两两夹角都为．若建立空间直角坐标系来计算晶格中某两个原子间距等问题，需将棱分解为正交分量，运算过程繁琐且易出错．为此，我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)求向量的斜坐标； (2)我们知道，在空间直角坐标系中，设，，则，在本题建立的空间斜坐标系中，该数量积公式仍然成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的公式，并应用公式计算； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面的夹角为，若存在，请求出的斜坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，所以． （2） ． 所以公式不成立． 因为，， 所以，代入上述公式得：． （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 【变式6-1】空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． (1)现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，建立“空间斜坐标系”如图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． (2)如图三棱锥为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值．    【详解】（1）设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ； ②由题， 由，知， 由，知： ， ， ，解得. 则. （2）方法一：设，如图，以分别为轴正方向上的单位向量，建立斜坐标系：    ①， 设， 设平面的法向量为， 所以，即，取，得， 设平面的法向量为， 所以，即，取，得， 设二面角的平面角为， ， 从而， 所以二面角的正弦值为； 方法二：设， 因为为中点，， 所以， ，显然有， 因此，显然， 有，建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 于是有，令，则. 设平面的法向量为， 于是有，令，则， 平面与平面的夹角的余弦值为， 故求二面角的正弦值：． 【变式6-2】空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.在棱台中，，，，.如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. (1)若，求向量的斜坐标，并求的值； (2)通过（1）中数量积的求值过程，算出面法向量的斜坐标； (3)若满足（1）中条件，计算棱锥的体积. 【详解】（1）易知 ; 又， ， 因此 （2）易知， 设面法向量为 有，即，令，可得 所以； （3） ， ； 设点到面的距离为，则， ， 所以 【变式6-3】空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．    (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 【详解】（1）由，， 知，， 所以，所以； （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，， ①， .                                        ②因为，所以， 则， ∵，                               . ∴， ， 所以与的夹角的余弦值为 1. 空间向量的线性运算与平面向量完全一致，唯一差别在于空间有三个不共面的向量构成基底； 2. 三个定理：共线定理（1 个参数）、共面向量定理（2 个参数）、空间向量基本定理（3 个参数，基底必须不共面）； 3. 坐标法把平行、垂直、夹角全部转化为代数计算，是立体几何大题的核心工具； 4. 三条红线：向量不能比较大小；数量积不满足结合律；基底必须由三个不共面向量构成。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 【答案】 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 2.（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知在正方体中，，若，则______． 【答案】 【详解】在正方体中，， 因此，故. 3．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·期末）已知向量，，若，则______． 【答案】 【详解】由于，所以，解得，所以. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 6．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知、是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对任意，，（），则________. 【答案】 【详解】由可知： 当，时，有最小值1， 因为，是空间单位向量，，空间向量满足，， 两边平方可得： 显然当时，有最小值，最小值为1，所以， 解得：，即当时成立，因此， 故答案为： 7．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______． 【答案】8 【难度】0.65 【详解】∵、是空间互相垂直的单位向量，∴， ，又，， = ==， 当时，取到最小值，即的最小值为. 8．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 【答案】 【详解】由题意，球是正四面体的内切球，设正四面体棱长为，所以截四面体的正方体的棱长为， 正四面体的体积由正方体的体积减去个体积相等的三棱锥的体积得到， 所以正四面体的体积，因此，解得. 设正四面体的内切球半径为，正四面体表面积​​， 由等体积法：，即​​，解得. 因为球面上两点的最大距离为球的直径， 因此当最大时，是球的一条直径，此时. 因为中点即球心，有，，且， 因此： ， 因为点在正四面体表面上，正四面体的内切球心到正四面体顶点的距离（即外接球半径）， 也是正方体的外接球半径​​， 即正四面体表面上的点到的最大距离为，所以， 所以. 因此的最大值为. 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，，    设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系.    则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 10．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知四面体中，，．给出下列四个命题： ①； ②； ③四面体的四个面中至少有一个是直角三角形； ④空间中恰好存在7个不同的平面，使得四面体的四个顶点到其中每个平面的距离均相等； 其中所有正确命题的序号为___________． 【答案】①②④ 【详解】设四面体中，，，， 又因为：，即，即； ，即，即， 令. 对于①：，， ， 因此，①正确； 对于②：，， ， ，， ， ，， ， 所以.②正确； 对于③：正四面体，满足，， 但正四面体的四个面均为等边三角形.③错误； 对于④：存在7个不同的平面使四个顶点到平面的距离相等， 分两类： 型：1个点在平面一侧，3个点在平面另一侧，共个； 型：2个点在平面一侧，2个点在平面另一侧，共个. 总计个平面，④正确. 二、单选题 11．（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 【答案】D 【详解】， ， ，， ，解得：. 故选：D 12．（25-26高二上·上海宝山·期末）如图，在平行六面体中，为的交点，若，则向量（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在平行六面体中，为的交点，， 所以 ． 13．（25-26高二上·上海·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 选项A：已知，若， 因为，故，，共面， 故不能推出，故A错误； 选项B：已知，若， 设，则，解得， 则， 故，，共面，故不能推出，故B错误； 选项C：已知，若， 设，则，解得， ，故，，共面， 故不能推出，故C错误； 选项D：已知，若， 设，则，方程组无解， 故不存在满足条件的实数，故，，不共面， 故能推出，故D正确． 14．（25-26高二上·上海浦东新·期末）三棱锥中，，以下选项中不正确的是（    ）    A．面积最大值为 B．面积没有最大值 C．三棱锥体积最大值为 D．异面直线与所成的角可能等于 【答案】D 【详解】在三棱锥中：因为，， 所以和均为直角三角形，且为直角. 选项A：的面积， 的最大值为1（当时）， 所以面积最大值为，选项A正确； 选项B：的面积， 因为且， 当“二面角”的平面角为0时，； 当“二面角”的平面角为时，， 所以，所以， 因此：，因为A、B、C、D不共面， 所以无限接近，但不等于，也就没有最大值，所以选项B正确； 选项C：以为底面，； 到底面的距离为高，要使体积最大，则需面面， ， 所以体积最大值，所以选项C正确； 选项D：如下图建立空间直角坐标系，以中点为原点， 则，，，，且； 所以得，， ； 若，则有，或 当时，，A、B、C、D共面，不符合； 当时，，又， 所以，不可能， 因此没有满足条件的D点. 所以选项D错误.    故选：D. 三、解答题 15．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 16.已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 【详解】（1）由题设，，则， 所以，故在中， 故的面积为. （2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角， 所以，即， 所以，可得， 当它们反向共线，即且时，有，无解， 综上，. 17．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点在上，且满足，点在上，且满足． (1)求直四棱柱的侧面积； (2)以点为坐标原点，以为轴正半轴，以为轴正半轴，建立空间直角坐标系，分别求向量、、的坐标； (3)判断直线是否在平面内，并说明理由． 【详解】（1）因为，，所以底面为直角梯形，，， 过作于，则，， 因此腰长​. 底面四边形四边的边长，且， 所以直四棱柱的侧面积：.​ 因此直四棱柱的侧面积为 （2）因为以点为坐标原点，以为轴正半轴，以为轴正半轴，建立空间直角坐标系，故以为轴正半轴，如图： 各点坐标为：. 因为点是中点：由中点坐标公式得，因此； 又点满足​，即​，， 因此； 又点满足，即，且 ， 因此. 因此，，. （3）直线在平面内，理由如下： 假设直线在平面内，由共面向量基本定理，存在实数使得， 由（2）解析知，，， 代入上式得：， 所以，解得. 因此，三个向量共面，且过平面内的点， 因此直线在平面内. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 空间向量及其运算、基本定理与坐标表示讲义 【知识点01】空间向量的概念与线性运算 1. 空间向量的概念：空间中既有大小又有方向的量叫做空间向量，用有向线段表示。 （1）零向量：模为 0、方向任意的向量，记作 ；　（2）单位向量：模等于 1 的向量； （3）相等向量：模相等且方向相同（与起点无关）；　（4）相反向量：模相等、方向相反，记作 ； （5）共线（平行）向量：所在直线平行或重合，记作 。注意：空间任意两个向量一定共面（可平移至同一平面内）。 2. 线性运算（与平面向量的法则、运算律完全一致）： （1）加法——三角形法则、平行四边形法则： （2）减法——共起点、连终点、指向被减向量： （3）数乘 ：模长 ；λ＞0 时与原向量同向，λ＜0 时反向，λ＝0 时得零向量。 （4）运算律： 3. 空间向量的数量积：对非零向量 ，夹角为 ，定义 性质：（非零向量）；　² 运算律： 注意：数量积不满足结合律，即 【知识点02】三大向量定理 1. 共线向量定理：对空间任意两个向量 （），有 推论（三点共线）：O 为空间任一点，A、B、P 三点共线，当且仅当 2. 共面向量定理：若 不共线，则向量 与 共面，当且仅当存在唯一实数对 (x，y)，使 推论（四点共面）：O 为空间任一点，P、A、B、C 四点共面，当且仅当 3. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任意一个向量 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 其中 {} 叫做空间的一组基底。三个向量共面时不能构成基底；两两垂直的基底为正交基底，单位正交基底 {i，j，k} 对应空间直角坐标系。 三大向量定理对比： 定理 条件 结论 主要用途 共线向量定理 证三点共线、线线平行 共面向量定理 不共线 证四点共面、线面平行 空间向量基本定理 不共面 基底分解、建立坐标系 【知识点03】空间向量的坐标表示 设 ， 1. 线性运算： 2. 数量积： 3. 模长公式： 4. 夹角余弦公式： 5. 平行与垂直条件： 平行： 垂直： 6. 两点间向量与距离：设 A(x₁，y₁，z₁)，B(x₂，y₂，z₂)，则 【易错1】若两个向量所在直线是异面直线，则两向量不共面。　（判断：错） 错因：错。空间任意两个向量一定共面，向量可以平移，异面是直线的位置关系。 【易错2】若 ，则 或 。　（判断：错） 错因：错。模相等只代表长度相等，方向可以任意。 【易错3】向量可以比较大小，如 。　（判断：错） 错因：错。向量有方向，不能比较大小，只有模（实数）可以比较。 【易错4】若 ，则一定有 或 。　（判断：错） 错因：错。非零向量互相垂直时数量积也为 0。 【易错5】三个向量共面，就可以作为空间的一组基底。　（判断：错） 错因：错。基底要求三个向量不共面。 【易错6】四点 P、A、B、C 满足 ，则四点共面。　（判断：错） 错因：错。还需附加条件 x＋y＋z＝1 才是四点共面的充要条件。 【易错7】 成立。　（判断：错） 错因：错。左边与 𝒄 共线、右边与 𝒂 共线，一般不等，数量积不满足结合律。 【易错8】若 ，则 。　（判断：错） 错因：错。当 𝒃 为零向量时不成，零向量与任意向量平行。 【题型一】空间向量概念与线性运算（选择、填空） 【例1-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1-2】（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【例1-3】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    【变式1-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为______． 【题型二】基底判断与空间向量基本定理（高频） 【例2-1】在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为______． 【变式2-1】（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）如图，在正方体中，点E是的中点，点F在上，且.试用向量、与的线性组合表示______. 【变式2-2】空间中有三个向量，，，与的夹角为，，与的夹角等于与的夹角，记为.对任意，存在实数，，使成立，则的取值范围为__________. 【题型三】共线、共面向量定理与三点、四点共面的证明 【例3-1】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 【例3-2】（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 【变式3-1】如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)用向量，，表示，并求出. 【题型四】坐标基础运算与平行、垂直判定 【例4-1】（25-26高二上·上海·期末）已知空间向量，，若，则________． 【例4-2】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知空间向量，且，则________． 【变式4-1】（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 【变式4-2】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 【变式4-3】已知空间三点、、，设. (1)若，求点坐标； (2)若向量与互相垂直，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【题型五】向量模长、距离与夹角综合（中档） 【例5】已知向量是空间的一组单位正交基底向量，且，，求： (1)向量与的夹角； (2)向量与所在直线的夹角. 【变式5-1】已知空间三个点与 (1)设，求与的夹角； (2)求点D到平面ABC的距离d． 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知． (1)若点满足，求； (2)求的面积． 【变式5-3】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 【题型六】基底与坐标综合（培优） 【例6】（25-26高二上·上海金山·期末）在晶体学研究中，某晶体的基本晶格为平行六面体结构，如图，已知从顶点出发的三条棱、、的长度分别为2、2、3，且两两夹角都为．若建立空间直角坐标系来计算晶格中某两个原子间距等问题，需将棱分解为正交分量，运算过程繁琐且易出错．为此，我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)求向量的斜坐标； (2)我们知道，在空间直角坐标系中，设，，则，在本题建立的空间斜坐标系中，该数量积公式仍然成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的公式，并应用公式计算； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面的夹角为，若存在，请求出的斜坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． (1)现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，建立“空间斜坐标系”如图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． (2)如图三棱锥为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值．    【变式6-2】空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.在棱台中，，，，.如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. (1)若，求向量的斜坐标，并求的值； (2)通过（1）中数量积的求值过程，算出面法向量的斜坐标； (3)若满足（1）中条件，计算棱锥的体积. 【变式6-3】空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．    (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 1. 空间向量的线性运算与平面向量完全一致，唯一差别在于空间有三个不共面的向量构成基底； 2. 三个定理：共线定理（1 个参数）、共面向量定理（2 个参数）、空间向量基本定理（3 个参数，基底必须不共面）； 3. 坐标法把平行、垂直、夹角全部转化为代数计算，是立体几何大题的核心工具； 4. 三条红线：向量不能比较大小；数量积不满足结合律；基底必须由三个不共面向量构成。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 2.（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知在正方体中，，若，则______． 3．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 4．（25-26高二上·上海·期末）已知向量，，若，则______． 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 6．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知、是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对任意，，（），则________. 7．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______． 8．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 10．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知四面体中，，．给出下列四个命题： ①； ②； ③四面体的四个面中至少有一个是直角三角形； ④空间中恰好存在7个不同的平面，使得四面体的四个顶点到其中每个平面的距离均相等； 其中所有正确命题的序号为___________． 二、单选题 11．（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 12．（25-26高二上·上海宝山·期末）如图，在平行六面体中，为的交点，若，则向量（   ）    A． B． C． D． 13．（25-26高二上·上海·期中）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·上海浦东新·期末）三棱锥中，，以下选项中不正确的是（    ）    A．面积最大值为 B．面积没有最大值 C．三棱锥体积最大值为 D．异面直线与所成的角可能等于 三、解答题 15．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 16.已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 17．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点在上，且满足，点在上，且满足． (1)求直四棱柱的侧面积； (2)以点为坐标原点，以为轴正半轴，以为轴正半轴，建立空间直角坐标系，分别求向量、、的坐标； (3)判断直线是否在平面内，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $