31.2.2三角形相似的判定（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级下册
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内容正文：
分层作业
31.2.2三角形相似的判定
目 录
A组 巩固过关
题型01 两角分别相等的两个三角形相似
题型02 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
题型03 三边成比例的两个三角形相似
题型04 斜边和直角边成比例的两个三角形相似
B组 能力进阶
C组 思维拔高
拓展 链接中考
两角分别相等的两个三角形相似题型01
1．在和中，已知，则这两个三角形（ ）
A．不一定相似 B．一定相似 C．全等 D．无法判定
【答案】B
【详解】解：∵在中，，
．
∵，
，
．
2．如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】C
【详解】解：∵、分别是的边、上的高，
∴，
∵
∴
∴
∴，
即图中相似三角形的对数为6对．
4．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：．
【详解】证明：，
，
∵，
∴，
．
5．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．求证：．
【详解】证明：∵的平分线交于点，
，
由题意，
∴,
∴，
∴，
∴．
6．如下图，在中，E为上一点，连接，点F在线段上，且满足．求证：．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
，
．
，
，
．
7．如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：．
【详解】∵平分，
∴.
∵，
∴.
即.
又∵，
∴.
又∵，
∴.
8．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似题型02
9．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）能判定的条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】C
【详解】解：A、仅两边对应成比例，无相等夹角，则不能判定相似；
B、是，的夹角，但不是，的夹角，则不能判定相似；
C、满足两边对应成比例且夹角相等，则能判定相似；
D、这对应成比例的两边的夹角是，，则不能判定相似．
10．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
A选项中的等腰三角形的顶角为，与不相等，故二者不相似，不符合题意；
B选项中的三角形为等边三角形，而不是等边三角形，故二者不相似，不符合题意；
C选项中的等腰三角形的顶角为，与相等，故二者相似，符合题意；
D选项中的等腰三角形的顶角为，与不相等，故二者不相似，不符合题意．
11．已知：在和中，，，，，．求证：．
【详解】证明：∵，，，，
∴，，
∴．
又∵．
∴．
12．已知：如图，在和中，．求证：．
【详解】证明：∵，且，
∴．
13．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：．
【详解】证明：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
14．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：．
【详解】证明：，
，即，
又，
．
15．如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？
【详解】解：相似．理由如下：
设正方形的边长为，则，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
又，
∴．
三边成比例的两个三角形相似题型03
16．（26-27九年级上·河南周口·期中）下列各组线段，能构成相似三角形的一组是（ ）
A．2，3，4和4，6，7 B．3，4，5和6，8，
C．2，4，5和4，9， D．，，和，，
【答案】B
【详解】解：A.∵，
∴2，3，4和4，6，7不能构成相似三角形，故A错误.
B.∵，
∴3，4，5和6，8，能构成相似三角形，故B正确.
C.∵,
∴2，4，5和4，9，不能构成相似三角形，故C错误.
D.∵，
∴，，和，，不能构成相似三角形，故D错误.
17．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据图形可得，，，
∴根据，可以排除AC选项；
B选项中两个短边比例为，选项中的三角形（阴影部分）与相似，符合题意；
D选项中两个短边比例为，选项中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意．
18．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，每个小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：已知由短到长的三边之比为，
选项A：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去；
选项B：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，符合题意；
选项C：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去；
选项D：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去；
故选：B．
19．已知的三边长分别为，的一边长为．要使这两个三角形相似，则的另两边长可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设的另两边长为，，
若边的对应边为，
则，
解得，；
若边的对应边为，
则，
解得，；
若边的对应边为，
则，
解得，，
所以另外两边可以是．
20．如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号）
【答案】①②
【详解】解：设网格小正方形的边长为1，
则在中，，，；
在三角形①中，三边长分别为，，2；
在三角形②中，三边长分别为，，4；
在三角形③中，三边长分别为，，6；
∵，，
∴三角形①和②都与相似，
∵三角形③的三边与的三边不对应成比例，
∴三角形③与不相似，
综上，与相似的是①②．
21．已知：的三边，，，的三边，，．求证：．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22．已知：如图，在正方形网格图中，有两个格点三角形和．求证：．
【详解】证明：，
，
，
，
．
斜边和直角边成比例的两个三角形相似题型04
23．已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别为1，4和3，12，则这两个直角三角形（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对
【答案】A
【详解】∵，即两个直角三角形斜边与直角边对应成比例，
∴两个直角三角形一定相似．
24．（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）如图，，要使，则______．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
25．如图，在矩形中，，点P在上（不与两点重合），当_______时，．
【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=2
在Rt△ABC中，AB=4，BC=2
∴
∵
∴，即
解得，AP=．
故答案为：．
26.如图，是的直径，是的切线，内接于，连接，若，则的度数为________．
【答案】
【详解】如答图，连接，
∵四边形是圆内接四边形，．
∴，
∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴．
∵，
即，
∴，
∴．
27．如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：．
【详解】证明：∵，，，
∴，
在和中，
，，
，
1．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，点分别在边上，添加一个条件能使，则这个条件不可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵，，
∴，故选项不符合题意；
B、∵，，
∴，故选项不符合题意；
C、∵，，
∴，故选项不符合题意；
D、∵，它们夹角与不一定相等，
∴与不一定相似，故选项符合题意．
2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比，
∴，
3．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图，已知：在和中，，，，，若使，嘉嘉和琪琪分别添加如下条件，“嘉嘉：”，“琪琪：”，以下说法正确的是（ ）
A．嘉嘉对、琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对
C．嘉嘉和琪琪都对 D．嘉嘉和琪琪都错
【答案】C
【详解】解：当时，
，，，，
，
，
；
当时，
，，，，
，
，
，
，
；
故两人的说法都正确．
4．（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在四边形中，，对角线与相交于点．图中与一定相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，
∴，．
∴．
5．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，则，故①能判定；
当时，则，故②能判定；
当，不是夹角的对应边比，不能判定，故③不能判定；
④，不能判定，故④不能判定；
综上，能判定的条件的个数为个．
6．（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）如图在与中，，，，，请添加一个角________能判断．
【答案】
【详解】解：，
，，
，
这两组对应边的夹角分别是和，
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，需添加．
7．（26-27九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是___________（写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：，，
，
若添加，
，，
；
若添加，
，，
；
若添加，
，，
．
8．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）已知：平行四边形，是延长线上一点，与，交于点，．图中有________对相似三角形．
【答案】
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
又四边形是平行四边形 ，
，即，
综上所述，图中共有对相似三角形．
9．（26-27九年级上·内蒙古包头·期中）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．
求证：．（请用两种方法解答）
【详解】证法一：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
．
证法二：，，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，，，
，，，
，
．
10．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】如图，点即为所求．
【详解】解：过点作交于点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
1．【新定义】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．若，则的长为_________．
【答案】
【详解】解：，，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是黄金矩形，
∴，即，
∴．
2．【新定义】（26-27九年级上·山东青岛·期中）若等腰三角形腰上的中线与腰的比值为，则称这个等腰三角形为“等金三角形”．如图，是“等金三角形”，是的高，的值为_________．
【答案】
【详解】解：如图，作的中线，
∵是“等金三角形”，
∴，
设，则，
∵是中点，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．【动点问题】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，点G在上且，连接，，则的最小值为________．
【答案】
【详解】解：连接，交于点O，
根据题意，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，
，
，
，
以为斜边向右侧作等腰直角，
，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
作直线交于点M，交于点N，
∵，
∴，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
根据题意，得，
当三点共线时，取得最小值，且为，
在中，，
，
．
，
，
，
的最小值为．
4．【生活情境·传统文化】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）陀螺（如图1）是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为全世界备受喜爱的一项运动．玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要．如图2，陀螺的截面图记作，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳记为，点为接头，绳杆为，与相切于点，发动陀螺时需将手放在优弧处固定陀螺，连接，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)实践中发现，当与相切于点，时，发动陀螺会更加稳定．若陀螺的半径cm，，求绳杆的长度．
【详解】(1)证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵与相切于点，是的半径，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴cm，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
设，则，
在中，，
解得（负值已舍去），
∴绳杆的长度为cm．
5．【新定义】（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，点在边上，且，已知，．
(1)的度数为___________；
(2)我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形___________
②求的长；
③在直线或上是否存在点（点除外），使是黄金三角形？若存在，在图中用尺规画出点；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；
③存在，有三个符合条件的点．
【详解】（1）解：．
则．
设，则．
又，
．
．
；
（2）①有三个：．
，
是黄金三角形，
或．
是黄金三角形．
或，
．
又，
．
．
是黄金三角形．
②是黄金三角形，
∵，
．
，
；
③存在，有三个符合条件的点．
i）以为底边的黄金三角形：作的垂直平分线分别交直线得到点．
ii）以为腰的黄金三角形：以点为圆心，为半径作弧与的交点为点．
6．【生活情境】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）解答下列问题：
【思路梳理】
(1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____；
(2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：；
【问题解决】
(3)如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中，点在边上，且，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接，沿铺设石子小路，沿修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计）
【答案】(1)10 （2） 见解析 (3)平方米
【详解】（1）解：∵点在边上，且，
∴，
∵的边上的高与的边上的高相等，
∴，
∵的面积为25，
∴，
解得，
即的面积为10．
（2）证明：∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
（3）解：∵是等边三角形，米，
∴米，，
∴点在以点为圆心、长为半径的一段圆弧上，
∴由圆的性质可知，如图，当点三点共线时，最小，最小值为，
过点作于点，作于点，过点作，交延长线于点，
∴米，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴，
∵的边上的高与的边上的高相等，且，
∴，
∴，即，
∴米，则米，
又∵，
∴，
∴，
∴米，米，
∵，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴米，
∴米，
∴（平方米），
∵的边上的高与的边上的高相等，且，
∴，
∴平方米，
答：当最小时，郁金香园（即）的面积为平方米．
7．【代几综合】（26-27九年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形是矩形，反比例函数在第一象限的图象与边交于点P，与边交于点Q（P，Q不重合），连接．
(1)若点P的坐标为
①如图1，连接，则的面积为___________；
②如图2，当点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段的长．
(2)如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的图象上，且线段．
①求k的值．
②分别作点P和点Q关于直线的对称点，连接．若线段与此时反比例函数的图象有交点，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)①4；②4
(2)①24；②
【详解】（1）解：① 把的坐标代入，得，
，
反比例函数的解析式为，
设，
则，，
的面积为；
② 过点P作于点E，连接，，
四边形是矩形，
，，，，，
四边形和都是矩形，
，，，
设，，则，，，
，，
点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
即线段的长为4；
（2）解：① 设，，（），
，
，
解得，
，
，
，
点P和点Q都在反比例函数在第一象限的图象上，
，
解得，
∴；
② 由① 知，，，反比例函数解析式为，
对于直线，
当时，
当时，
，两点均在直线的上方，
点，均在直线的下方，
若线段与此时反比例函数的图象有交点，
则点，应都在第三象限，
过点P作轴，交直线于点M，连结，过点Q作轴，交直线于点N，连结 ，
直线与直线平行，且直线与x轴成角，
直线与x轴成角，
与直线成角，
点P和点Q关于直线的对称点，，
被直线垂直平分，
，
，
，
当时，
，且，
，即，
同理可得，，
当时，，
，且，
，即，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
令，
方程整理得，
当直线与双曲线只有一个交点时，，
即，
解得，
，
，
由对称性可知，当时，即直线经过原点时，点恰在反比例函数的图象上，
，
解得或11（舍去），
同时，
解得或10（舍去），
；
根据图形可得．
8．【代几综合】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)试探究：在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点Q是x轴上一动点，将沿翻折，得，连接，请求出的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为：、
(3)
【详解】（1）解：将，代入，
有：，解得：，
∴抛物线的解析式；
（2）当时，，即，
∴，
∵，，
∴，，
存在一点P，使是以为直角边的直角三角形，
当时，延长交x轴于点J，如图，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
即：，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立：
解得：，或者，
∴此时点P的坐标为：；
当时，交y轴于点Y，如图，
同上可证明：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为：，
联立：
解得：，或者，
∴此时点P的坐标为：；
综上：点P的坐标为：、；
（3）由翻折性质：，
∵，，
∴，
∴，
可知：随着Q点的移动，D的轨迹是以为圆心、为半径的圆（部分圆弧），
∵，，
∴，
如上图，当点D位于处时，有最小值，
最小值为：．
1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由旋转的性质可得，，，
∴选项B与选项C不符合题意，
∵，
∴，
又∵，
∴，故选项D不符合题意，
在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意．
2．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选：D．
3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是________．
【答案】
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
故答案为：．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【详解】证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
5．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题：
(1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长．
【详解】(1)
（2）解：∵在矩形 中，
∴，
由（1）知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．
【问题初探】
如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比．
解：设，，则．
，
请补全以上解题过程；
【问题再探】
如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【知识迁移】
如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：；
【延伸拓展】
如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点．
【详解】[问题初探]解：设，，则．
，∴，
解得：，（舍），
∴，∴黄金比为；
[问题再探]如图，点即为的黄金分割点：
[知识迁移]证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，，，
∵点为线段的黄金分割点，∴，∴，∴；
[延伸拓展]证明：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，∴，
∴，∴，∵，，
∴，∴，∴∴点是的黄金分割点．
7．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【详解】(1)证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，
又；
∴；
(2)①，，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
取中点，连接，，作于N，
由旋转的性质知，为旋转所得线段，
∴，，，
根据垂线段最短知，
又，
∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，
此时，
∴面积的最大值为；
②∵，，
∴，
同理
∴为直角三角形时，只有，
当A和重合时，如图，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三点共线，
∴为直角三角形，
此时旋转角；
当和C重合时，如图，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三点共线，
又
∴为直角三角形，
此时旋转角；
综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形．
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分层作业
31.2.2三角形相似的判定
目 录
A组 巩固过关
题型01 两角分别相等的两个三角形相似
题型02 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
题型03 三边成比例的两个三角形相似
题型04 斜边和直角边成比例的两个三角形相似
B组 能力进阶
C组 思维拔高
拓展 链接中考
两角分别相等的两个三角形相似题型01
1．在和中，已知，则这两个三角形（ ）
A．不一定相似 B．一定相似 C．全等 D．无法判定
2．如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
3．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
4．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：．
5．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．求证：．
6．如下图，在中，E为上一点，连接，点F在线段上，且满足．求证：．
7．如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：．
8．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似题型02
9．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）能判定的条件是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
10．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知：在和中，，，，，．求证：．
12．已知：如图，在和中，．求证：．
13．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：．
14．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：．
15．如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？
三边成比例的两个三角形相似题型03
16．（26-27九年级上·河南周口·期中）下列各组线段，能构成相似三角形的一组是（ ）
A．2，3，4和4，6，7 B．3，4，5和6，8，
C．2，4，5和4，9， D．，，和，，
17．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，每个小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
19．已知的三边长分别为，的一边长为．要使这两个三角形相似，则的另两边长可以为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号）
21．已知：的三边，，，的三边，，．求证：．
22．已知：如图，在正方形网格图中，有两个格点三角形和．求证：．
斜边和直角边成比例的两个三角形相似题型04
23．已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别为1，4和3，12，则这两个直角三角形（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对
24．（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）如图，，要使，则______．
25．如图，在矩形中，，点P在上（不与两点重合），当_______时，．
26.如图，是的直径，是的切线，内接于，连接，若，则的度数为________．
27．如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：．
1．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，点分别在边上，添加一个条件能使，则这个条件不可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图，已知：在和中，，，，，若使，嘉嘉和琪琪分别添加如下条件，“嘉嘉：”，“琪琪：”，以下说法正确的是（ ）
A．嘉嘉对、琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对
C．嘉嘉和琪琪都对 D．嘉嘉和琪琪都错
4．（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在四边形中，，对角线与相交于点．图中与一定相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
5．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）如图在与中，，，，，请添加一个角________能判断．
7．（26-27九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是___________（写一个即可）．
8．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）已知：平行四边形，是延长线上一点，与，交于点，．图中有________对相似三角形．
9．（26-27九年级上·内蒙古包头·期中）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．
求证：．（请用两种方法解答）
10．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
1．【新定义】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．若，则的长为_________．
2．【新定义】（26-27九年级上·山东青岛·期中）若等腰三角形腰上的中线与腰的比值为，则称这个等腰三角形为“等金三角形”．如图，是“等金三角形”，是的高，的值为_________．
3．【动点问题】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，点G在上且，连接，，则的最小值为________．
4．【生活情境·传统文化】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）陀螺（如图1）是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为全世界备受喜爱的一项运动．玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要．如图2，陀螺的截面图记作，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳记为，点为接头，绳杆为，与相切于点，发动陀螺时需将手放在优弧处固定陀螺，连接，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)实践中发现，当与相切于点，时，发动陀螺会更加稳定．若陀螺的半径cm，，求绳杆的长度．
5．【新定义】（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，点在边上，且，已知，．
(1)的度数为___________；
(2)我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形___________
②求的长；
③在直线或上是否存在点（点除外），使是黄金三角形？若存在，在图中用尺规画出点；若不存在，说明理由．
6．【生活情境】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）解答下列问题：
【思路梳理】
(1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____；
(2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：；
【问题解决】
(3)如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中，点在边上，且，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接，沿铺设石子小路，沿修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计）
7．【代几综合】（26-27九年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形是矩形，反比例函数在第一象限的图象与边交于点P，与边交于点Q（P，Q不重合），连接．
(1)若点P的坐标为
①如图1，连接，则的面积为___________；
②如图2，当点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段的长．
(2)如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的图象上，且线段．
①求k的值．
②分别作点P和点Q关于直线的对称点，连接．若线段与此时反比例函数的图象有交点，请直接写出m的取值范围．
8．【代几综合】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)试探究：在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点Q是x轴上一动点，将沿翻折，得，连接，请求出的最小值．
1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是________．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
5．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题：
(1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长．
6．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．
【问题初探】
如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比．
解：设，，则．
，
请补全以上解题过程；
【问题再探】
如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【知识迁移】
如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：；
【延伸拓展】
如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点．
7．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
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