4.6 相似三角形的应用（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

4.6 相似三角形的应用 题型一：相似三角形的实际应用之光线问题 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·二模）投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．的长为 C．当时， D． 4．（2026·河北保定·一模）如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 6．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度； (2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 题型二：相似三角形的实际应用之小孔成像问题 1．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 4．（2026·山东青岛·一模）如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】 如图①，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】 (1)针孔相机的成像原理：如图②，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在，处，线段的像是线段，上点的像是点．若，求证：． 【数学语言】 (2)如图③，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．若，，，，，则______． 题型三：相似三角形的实际应用之镜面反射问题 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 2．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 3．（2026·河南平顶山·三模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数） 4．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 5．（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 6．（2026·河南洛阳·三模）九龙鼎是洛阳地标，石柱托举青铜方鼎，气势庄重，彰显古都文化底蕴．某数学实践小组要测量九龙鼎的高度，记录如下． 活动主题 测量九龙鼎的高度 测量示意图             测量说明 小明站在点D处时，阳光照射下的影子顶端与九龙鼎的影子顶端恰好重合于点H；在点G处放置一面平面镜，当小明站在B处时，通过镜面反射，恰好在镜子中看到九龙鼎顶部E． 测量数据 ，，，． 备注 点，，，，在同一水平线上，眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)小刚说根据光的反射定律，反射角等于入射角，因此可知．请你帮小刚完成推导过程，求出和的数量关系； (2)求九龙鼎的高度； (3)已知九龙鼎的实际高度为．请计算该实际高度与（2）中所求结果的误差，并写出一条减少测量误差的方法． 7．（2026·河南焦作·二模）学校综合实践小组测量学校附近某大楼（图1所示）的高度，图2是同学们绘制的测量示意图．在点C处用测角仪测得大楼顶端A的仰角，从C处沿方向前进到达F处，在F处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），随后从F处沿方向前进到G处，站在G处恰好从平面镜中看到大楼顶端A的像，眼睛到地面的高度，已知测角仪的高度，，，，点B，C，F，G在同一水平线上，求大楼的高度． 题型四：相似三角形的实际应用之测量河宽问题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 3．（2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的点为参照点，又在他们所在的岸边选择了点为参照点，且与河岸垂直，测量示意图如图所示，在点处竖起标杆，小颖沿着直线后退至点时，小颖眼睛看到参照点与标杆的顶端恰好在同一直线上，继续后退至点时，小颖眼睛看到标杆顶端与参照点恰好在同一条直线上．已知点，，，，共线，，，，测得，，．请根据相关测量信息，求河宽． 4．（2026·吉林长春·一模），两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量，间的距离，小明利用学过的知识，设计了如下两种测量方法，如图①②所示图中，，表示长度． (1)请你写出小明设计的两种测量方法中的长度：图①中 ，图②中 ． (2)请你再设计一种不同于以上两种的测量方法，画出示意图不要求写画法，用字母标注需测量的边或角，并写出的长度． 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 6．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，河的南北两岸有一段为平行直线，北岸每隔4米有一棵树，为了测量河的宽度，在南岸l上取一点P，从南岸一侧离l垂直距离为10米的点A处朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树C，沿与l平行的直线前进4米至点B，再次朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树D，树C与树D之间还有1棵树，求河的宽度． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）学习相似三角形相关知识后，善于思考的嘉嘉和琪琪两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在的延长线上取点，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为100米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 题型五：相似三角形的实际应用之测量高度问题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部 的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 5．（25-26九年级下·陕西西安·期中）渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． 6．（2026·河南三门峡·三模）综合与实践课上，某数学学习小组为测量校园内一棵大树的高度，设计了如下方案：如图，先在水平地面处竖立一根标杆，接着向后2米退至处，人伏着地向上看，此时点、标杆上的点、大树顶端恰在同一直线上，再向后退3米到达点处，人目着地向上看，此时点、标杆上的点、大树顶端也恰在同一直线上，经测量，米，米．请据此算出大树的高度（点在同一竖直平面内，点在同一水平线上）． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）某班数学小组在数学实践活动中尝试测量操场上旗杆的高度，小航通过调整自己的位置，站在地面上的点C处，使得在太阳光下自己影子的末端与旗杆影子的末端在点E处重合，他又在旗杆和所站位置之间的点F处放置平面镜，恰好在平面镜里看到旗杆绳索固定扣点G，经测量得小航身高米，影长米，与平面镜距离米，小航眼睛到地面的距离米，旗杆绳索固定扣点G距离地面的距离米．已知，，点B、F、C、E在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小航计算旗杆的高度．（平面镜的宽度不计） 8．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 题型六：相似三角形的实际应用之其他问题 1．（2026·江苏南通·模拟预测）在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 2．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 3．（25-26九年级下·全国·期中）如图①，将长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图．求图②中水面的高度． 4．（2026·河南驻马店·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆和一把呈南北方向固定摆放的与标杆垂直的长尺．        在数学综合实践课上，某同学受圭表构造的启发，制作了一个测高仪，如图所示．激光头可以发射激光，沿方向射出，处有一个游标可以自由移动，光线恰好通过游标孔射出．使用时，底座水平放置，铅锤高线始终保持与底座垂直．从底座上读出的长度及的高度，再在地面进行相关测量即可通过所学知识求得被测物体的高度． 如图，用测高仪测量某楼宇的高度，测高仪底座水平放置，激光头发射激光恰好通过游标孔照射到楼宇的最高点处．经测量，激光头距地面，距楼宇的水平距离为，测高仪上为，高为，且，，，，，，在同一平面内．请计算楼宇的高度．（结果精确到） 5．（25-26九年级上·四川成都·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动．如图，他们发现一间房屋前有一堵围墙，同学们想测量围墙的高度，进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点E时，测得米；过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点F时，测得米．此外，还测得窗高米，窗户距地面的高度米，垂直于，垂直于．请根据以上信息求出围墙的高． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）图1是某兴趣小组探究凸透镜成像规律的装置图，图2是由图1抽象出的几何图形，蜡烛发出的一条平行于主光轴l的光线，经过凸透镜折射后过焦点，并与过凸透镜中心的光线相交于点，其中四边形是矩形，于点，于点． (1)将高为厘米的蜡烛进行移动，使物距为厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为厘米，求像的高度； (2)在（）的条件下，求凸透镜焦距的长． 题型一：相似三角形的实际应用之方案设计问题 1．（2026·广东河源·二模）综合与实践 【活动主题】 测量学校旗杆的高度． 【测量工具】 测量标杆（尖头端可插入地面用以固定，长度可拼接）、平面镜、皮尺． 【方案设计】 某综合与实践小组利用平面镜与皮尺测量学校旗杆的高度．如图，该小组在地面上点处放置平面镜，当小组成员站在点处时，刚好能从平面镜中看到旗杆顶端的像．测得该小组成员的眼睛距离地面的高度，到平面镜的水平距离，平面镜到旗杆底部的距离，点均在同一竖直平面内，且点在同一直线上． 【问题解决】 (1)请你利用以上数据计算该校旗杆的高度． 【评价反思】 (2)请你设计其他方案计算旗杆的高度．要求：选用【测量工具】中的工具，简要说明设计方案，画出测量示意图，测量数据用等小写字母表示． 2．数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小明所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，完成了如下的测量活动报告： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 利用相似三角形的知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，小明在地面上的点处安装一测角仪，测得，然后沿方向走到点处，在点处安装一测角仪，此时，测得，同时测得，，从房管物业处查询到建筑物，利用激光笔测得点、点和点在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度（精确到）． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离    测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 4．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）某数学“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，他们制订了两种不同的测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 皮尺、标杆等 测量方案 方案一（用太阳光测） 方案二（用眼观测） 示意图 说明 E，G，A，C四点共线，，，均垂直于，且． A，E，C三点共线，D，F，B三点共线，，，均垂直于 测量数据 标杆，影长，同时旗杆落在地上的影长，落在墙上的影长 标杆，小明的眼睛距地面高，， 请选择其中一个方案及其数据求出学校旗杆的高度． 6．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 7．（2026·宁夏固原·一模）综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 示意图          测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时．小组同学测得标杆高为米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为_____米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 题型二：相似三角形的实际应用之探究问题 1．（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中） 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯2 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯-20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度 ； （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度； （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式； （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯（如表所示），道路宽度忽略不计，呢么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造 个路灯． 3．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）为加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案． 【方案一】如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【方案二】如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长． (1)方案一中，若大视力表中“”的高是，直接写出小视力表中相应“”的高度是______． (2)方案二中，如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． (3)小明选择【方案一】制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的高度之间的关系是一种函数模型，视力表上部分视力值和字母的高度的部分对应数据如表所示： ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值与字母的高度（说明理由），并求出视力值与字母高度之间的函数关系式； 位置 视力值 的值（） 第1行 第5行 第8行 第14行 ②若小明的视力值是，则他能看清的最小的字母的高度是______． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 4．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 5．（2026·山西晋中·二模）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·山东临沂·二模）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江温州·二模）如图，小聪从点沿直线走向路灯的正下方点处，他的影长随他与点之间的距离变化而变化．若小聪的身高为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    9．（25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 10．（2026·江苏无锡·二模）图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 11．（2026·山西阳泉·三模）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 12．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.6 相似三角形的应用 题型一：相似三角形的实际应用之光线问题 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 3．（2026·河南周口·二模）投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．的长为 C．当时， D． 【答案】B 【分析】根据图可直接判断A、C选项；由， 可得， ，可判断D选项；由相似三角形的性质列式计算即可判断B选项． 【详解】解：由图可知，当时，随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，， 故C正确，不符合题意； ， ， ，故D正确，不符合题意；   ，， ， 由图可知，当时，， ， 解得， 故B错误，符合题意． 4．（2026·河北保定·一模）如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得出的长度． 【详解】设O到，的距离分别为， 由题意可得，， ∴， ∴依据是相似三角形对应边的比等于相似比． 6．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度； (2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 【答案】(1)5米 (2)缩短了，缩短了米 【分析】（1）先证明，即可列方程求解； （2）先求得米，再证明，即可列方程求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， 解得（米）； （2）解：米，米， （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得（米）， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了（米）． 题型二：相似三角形的实际应用之小孔成像问题 1．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵ 光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 3．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 【答案】(1)，其属于反比例函数 (2) 【分析】（1）根据小孔成像原理，蜡烛与像是平行的，易得，由对应高的比等于对应边的比，即，即可得相应反比例函数． （2）不小于5即，结合图象和反比例函数性质可得． 【详解】（1）解：由题意得， ， 根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得 ， 将代入上式得： ， 整理得， 即，属于反比例函数． （2）． 因为, 所以随增大而减小， 要使, 由函数图象得． 4．（2026·山东青岛·一模）如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】 如图①，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】 (1)针孔相机的成像原理：如图②，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在，处，线段的像是线段，上点的像是点．若，求证：． 【数学语言】 (2)如图③，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．若，，，，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可证，，再利用相似三角形对应边成比例推导即可； （2）作，，分别交直线于点，，通过证明，，得到，，再证明，结合已知，计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴，即； （2）解：如图，作，，分别交直线于点，， 同理，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 题型三：相似三角形的实际应用之镜面反射问题 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 2．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 3．（2026·河南平顶山·三模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数） 【答案】 【分析】根据，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴，， ∴，， 即，， ∴ 解得：， 即悟颖塔的高度为． 4．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 【答案】(1)小军到平面镜的距离为2米 (2)米 (3)的长不会改变．理由如下： 无论的长如何变化都有， 只要小军的立足点不变，与的高之比就不变，即始终成立， 为定值，都等于0.72米． 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米． （2）解：由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高， ， ， ， 即， 米． （3）略 5．（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 6．（2026·河南洛阳·三模）九龙鼎是洛阳地标，石柱托举青铜方鼎，气势庄重，彰显古都文化底蕴．某数学实践小组要测量九龙鼎的高度，记录如下． 活动主题 测量九龙鼎的高度 测量示意图             测量说明 小明站在点D处时，阳光照射下的影子顶端与九龙鼎的影子顶端恰好重合于点H；在点G处放置一面平面镜，当小明站在B处时，通过镜面反射，恰好在镜子中看到九龙鼎顶部E． 测量数据 ，，，． 备注 点，，，，在同一水平线上，眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)小刚说根据光的反射定律，反射角等于入射角，因此可知．请你帮小刚完成推导过程，求出和的数量关系； (2)求九龙鼎的高度； (3)已知九龙鼎的实际高度为．请计算该实际高度与（2）中所求结果的误差，并写出一条减少测量误差的方法． 【答案】(1)，过程见解析 (2) (3)误差为；多次测量取平均值以减少测量误差（或使用精度更高的测量工具，合理即可） 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质求得的长，结合（1）的结论，即可求解； （3）先计算误差，多次测量取平均值以减少测量误差（或使用精度更高的测量工具，合理即可）． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴， 又由题意得， ∴， ∴， 代入，， 得： 整理得：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，，， 得： ， 解得， 因此， （3）解：误差：， 减少误差的方法：多次测量取平均值（或使用精度更高的测量工具，合理即可）． 7．（2026·河南焦作·二模）学校综合实践小组测量学校附近某大楼（图1所示）的高度，图2是同学们绘制的测量示意图．在点C处用测角仪测得大楼顶端A的仰角，从C处沿方向前进到达F处，在F处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），随后从F处沿方向前进到G处，站在G处恰好从平面镜中看到大楼顶端A的像，眼睛到地面的高度，已知测角仪的高度，，，，点B，C，F，G在同一水平线上，求大楼的高度． 【答案】 【分析】延长交于M，则四边形是矩形，得到，，，根据等角对等边得到，证明，得到，进而得到，求出，即可求出大楼的高度． 【详解】解：如图，延长交于M，则四边形是矩形． ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 答：大楼的高度为． 题型四：相似三角形的实际应用之测量河宽问题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的点为参照点，又在他们所在的岸边选择了点为参照点，且与河岸垂直，测量示意图如图所示，在点处竖起标杆，小颖沿着直线后退至点时，小颖眼睛看到参照点与标杆的顶端恰好在同一直线上，继续后退至点时，小颖眼睛看到标杆顶端与参照点恰好在同一条直线上．已知点，，，，共线，，，，测得，，．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】 【分析】由，，，得，所以，，所以，，即，，设，，则，，然后通过得，整理得，即，最后整体代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴（米）， ∴河宽为米． 4．（2026·吉林长春·一模），两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量，间的距离，小明利用学过的知识，设计了如下两种测量方法，如图①②所示图中，，表示长度． (1)请你写出小明设计的两种测量方法中的长度：图①中 ，图②中 ． (2)请你再设计一种不同于以上两种的测量方法，画出示意图不要求写画法，用字母标注需测量的边或角，并写出的长度． 【答案】(1)， (2)见解析， 【分析】（1）图①中，证明，根据相似三角形性质即可求解；图2中，根据矩形的性质，即可求解； （2）作出图形，使得，，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①，， ， ， ； ②， 四边形是矩形， ； 故答案为：，； （2）如图： ，，， ， ． 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 【答案】遮阳篷的宽是米 【分析】延长交于，则米，米，米，先证明，则根据相似三角形的性质得，再证明，则利用相似比得到，然后利用比例性质求即可． 【详解】解：延长交于，如图， 则米，米，米， ∵， ， ， ， ∵， ， ，即， 解得（米）． ∴遮阳篷的宽是米． 6．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，河的南北两岸有一段为平行直线，北岸每隔4米有一棵树，为了测量河的宽度，在南岸l上取一点P，从南岸一侧离l垂直距离为10米的点A处朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树C，沿与l平行的直线前进4米至点B，再次朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树D，树C与树D之间还有1棵树，求河的宽度． 【答案】河的宽度为20米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 过点P作l的垂线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点E，证明，，得出对应边成比例，然后进行求解即可． 【详解】解：过点P作l的垂线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点E， ∵南岸与北岸相互平行， ∴，， ∴，， ∴， 由题意得米，米，米， ∴， 解得， ∴河的宽度为20米． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）学习相似三角形相关知识后，善于思考的嘉嘉和琪琪两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在的延长线上取点，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为100米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 如图：过点E作于G，易证可得，即，再证明，再运用相似三角形的性质列比例式求得的长即可解答． 【详解】解：如图：过点E作于G， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即：，解得：． 答：桥的长度为． 题型五：相似三角形的实际应用之测量高度问题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为． 【分析】（1）第一组方案，可证明，得到，已知数据中只有的长，没有的长，无法求出的长，即数据不完整；第二组的方案，延长交的延长线于点G，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；第三组的方案，可证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部 的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】（1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 5．（25-26九年级下·陕西西安·期中）渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． 【答案】渭华起义纪念塔的高度为19.2米 【分析】设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米．先证，从而得到，即；再证，从而得到，即，将代入消元，即可解得x的值，从而求得渭华起义纪念塔的高度． 【详解】解：设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米． ∵，， ∴， 由光的反射定律可得：， ∴， ∴， 即， 化简得：． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 得：， 解得：， 答：渭华起义纪念塔的高度为19.2米． 6．（2026·河南三门峡·三模）综合与实践课上，某数学学习小组为测量校园内一棵大树的高度，设计了如下方案：如图，先在水平地面处竖立一根标杆，接着向后2米退至处，人伏着地向上看，此时点、标杆上的点、大树顶端恰在同一直线上，再向后退3米到达点处，人目着地向上看，此时点、标杆上的点、大树顶端也恰在同一直线上，经测量，米，米．请据此算出大树的高度（点在同一竖直平面内，点在同一水平线上）． 【答案】大树的高度为4.5米 【分析】证明，得①，②，联立方程组，可求出大树的高度为4.5米． 【详解】解：由题意，得． ， ， 由题意，得米，米， ， 整理，得①， 整理，得②， 联立①②，得 解得 答：大树的高度为4.5米． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）某班数学小组在数学实践活动中尝试测量操场上旗杆的高度，小航通过调整自己的位置，站在地面上的点C处，使得在太阳光下自己影子的末端与旗杆影子的末端在点E处重合，他又在旗杆和所站位置之间的点F处放置平面镜，恰好在平面镜里看到旗杆绳索固定扣点G，经测量得小航身高米，影长米，与平面镜距离米，小航眼睛到地面的距离米，旗杆绳索固定扣点G距离地面的距离米．已知，，点B、F、C、E在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小航计算旗杆的高度．（平面镜的宽度不计） 【答案】旗杆AB的高度为． 【分析】(1) 利用镜面反射：绳结G处的光线经平面镜F反射后到达小航眼睛H， 由入射角等于反射角得，求出的长． (2) 利用影子相似：旗杆影子末端与小航影子末端重合于E，A、D、E三点共线， 由，求出旗杆高度． 【详解】解：，， ，， 平面镜放在地面上的点F处，入射角等于反射角， ， ， ， m，m，m， ， m， 点B、F、C在同一直线上， m， 小航的影子末端与旗杆的影子末端重合于点E， A、D、E三点共线， ，， ， 又为公共角， ， ， ，，， ， ， 答：旗杆的高度为． 8．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 题型六：相似三角形的实际应用之其他问题 1．（2026·江苏南通·模拟预测）在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【答案】小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到 【分析】解题时先结合题图获取伞高、伞面宽度、原有阴影长度、人的身高这些已知数值，依托平行投影光线平行的几何特征证明两个直角三角形相似，代入边长比例式计算出人头顶影子最远点到伞脚的距离，结合原有阴影下限，划定出不受光照的距离范围． 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作于F，设小明站在处时，其影子的最外端与点H重合， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到． 2．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 3．（25-26九年级下·全国·期中）如图①，将长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图．求图②中水面的高度． 【答案】米 【分析】设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，证明得到比例线段求得结果即可． 【详解】解：如图过点作于，则， 设米，则米， 根据题意得：， 解得：， 米， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即， （米）， 答：水面的高度为米． 4．（2026·河南驻马店·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆和一把呈南北方向固定摆放的与标杆垂直的长尺．        在数学综合实践课上，某同学受圭表构造的启发，制作了一个测高仪，如图所示．激光头可以发射激光，沿方向射出，处有一个游标可以自由移动，光线恰好通过游标孔射出．使用时，底座水平放置，铅锤高线始终保持与底座垂直．从底座上读出的长度及的高度，再在地面进行相关测量即可通过所学知识求得被测物体的高度． 如图，用测高仪测量某楼宇的高度，测高仪底座水平放置，激光头发射激光恰好通过游标孔照射到楼宇的最高点处．经测量，激光头距地面，距楼宇的水平距离为，测高仪上为，高为，且，，，，，，在同一平面内．请计算楼宇的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】先据题意得，推出，求出的长，再根据测高仪底座水平放置，推出四边形为矩形，求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：由题意，可知 ． ∴ ． ∴． ∵ ， ， ， ∴， ∵测高仪底座水平放置， ∴四边形为矩形， ∴ ， ∴． 答：楼宇的高度约为． 5．（25-26九年级上·四川成都·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动．如图，他们发现一间房屋前有一堵围墙，同学们想测量围墙的高度，进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点E时，测得米；过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点F时，测得米．此外，还测得窗高米，窗户距地面的高度米，垂直于，垂直于．请根据以上信息求出围墙的高． 【答案】围墙的高为米 【分析】根据垂直定义可得，然后证明∽，∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ∽，∽， ，， ，， 解得：，， 解得：， 解得：， 米， 围墙的高为米． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）图1是某兴趣小组探究凸透镜成像规律的装置图，图2是由图1抽象出的几何图形，蜡烛发出的一条平行于主光轴l的光线，经过凸透镜折射后过焦点，并与过凸透镜中心的光线相交于点，其中四边形是矩形，于点，于点． (1)将高为厘米的蜡烛进行移动，使物距为厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为厘米，求像的高度； (2)在（）的条件下，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)像的高度为； (2)凸透镜焦距的长为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由题意可得，，，，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （）通过证明，然后运用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴像的高度为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得， ∴凸透镜焦距的长为． 题型一：相似三角形的实际应用之方案设计问题 1．（2026·广东河源·二模）综合与实践 【活动主题】 测量学校旗杆的高度． 【测量工具】 测量标杆（尖头端可插入地面用以固定，长度可拼接）、平面镜、皮尺． 【方案设计】 某综合与实践小组利用平面镜与皮尺测量学校旗杆的高度．如图，该小组在地面上点处放置平面镜，当小组成员站在点处时，刚好能从平面镜中看到旗杆顶端的像．测得该小组成员的眼睛距离地面的高度，到平面镜的水平距离，平面镜到旗杆底部的距离，点均在同一竖直平面内，且点在同一直线上． 【问题解决】 (1)请你利用以上数据计算该校旗杆的高度． 【评价反思】 (2)请你设计其他方案计算旗杆的高度．要求：选用【测量工具】中的工具，简要说明设计方案，画出测量示意图，测量数据用等小写字母表示． 【答案】(1)该校旗杆的高度为 (2)解：设计方案：测量示意图如解图． 某时刻，该校旗杆的影子长为，在旗杆影子的一端处垂直于地面放置一根长度为的测量标杆，并测得此时测量标杆的影子长为， ∵， ∴， ， ∴． ，即． 【分析】（1）解：推导出，得到，代值求解即可； （2）画出测量示意图，得到某时刻，该校旗杆的影子长为，在旗杆影子的一端处垂直于地面放置一根长度为的测量标杆，并测得此时测量标杆的影子长为，进而推导出，得到，即，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得． 又， ． ． ， ． 答：该校旗杆的高度为． （2）略 2．数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小明所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，完成了如下的测量活动报告： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 利用相似三角形的知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，小明在地面上的点处安装一测角仪，测得，然后沿方向走到点处，在点处安装一测角仪，此时，测得，同时测得，，从房管物业处查询到建筑物，利用激光笔测得点、点和点在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度（精确到）． 【答案】 【分析】先根据角度关系证明，再利用相似三角形的对应边成比例求出的长度，最后用减去得到的高度． 【详解】解：由题意得： 又 ， 即 解得 答：教学楼顶部宣传牌的高度约为． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离    测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 【答案】千佛铁塔的高度为 【分析】延长交于点F，利用勾股定理求出，然后证明出四边形是矩形，得到，，，证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴千佛铁塔的高度为． 4．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 【答案】53米 【分析】本题考查相似三角形的应用．由光的反射的性质可以得出，结合，可以证得 ，得到，再由，结合，证得，从而得到与之间的比例关系，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， , ， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）某数学“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，他们制订了两种不同的测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 皮尺、标杆等 测量方案 方案一（用太阳光测） 方案二（用眼观测） 示意图 说明 E，G，A，C四点共线，，，均垂直于，且． A，E，C三点共线，D，F，B三点共线，，，均垂直于 测量数据 标杆，影长，同时旗杆落在地上的影长，落在墙上的影长 标杆，小明的眼睛距地面高，， 请选择其中一个方案及其数据求出学校旗杆的高度． 【答案】 【分析】方案一：将向右平移至点A，得到，过点D作于点H，则，，是矩形，进而得，，，，证明，根据相似三角形的性质得，即可求出，再根据即可求解； 方案二：过D作于M交于N，四边形，四边形是矩形，则，，，进而可求、，证明，根据相似三角形的性质得，即可求出，再根据即可求解； 【详解】解：方案一： 如图，将向右平移至点A，得到，过点D作于点H， ∴，，四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 方案二： 过D作于M交于N， ∵，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高度是 6．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 【答案】(1)右眼度数为度，左眼度数为度； (2) (3) 解：这副眼镜与验光单匹配，理由如下： 如图，延长交于点， 由题意，得点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∵，点是的中点， ∴垂直平分， ∴点在上， 设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得米， 由（2）的结论， 解得， ∵是近视镜片，焦度为， ∴和验光单标记一致，因此匹配． 【分析】（1）根据度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为，分别代入数据计算即可； （2）设， 把，代入，求得，再根据，代入计算即可； （3）延长交于点，由题意，得点是的中点，证明点在上，设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距，证明，推出，求出米，由（2）的结论，代入计算即可解答． 【详解】（1）解：右眼焦度，则（度）； 左眼焦度 ，则（度）； 答：右眼度数为度，左眼度数为度； （2）解：∵近视眼镜度数与焦距成反比例， 设， 把，代入得：， 解得， 因此​， 又∵，代入得​， 化简得：； （3）略 7．（2026·宁夏固原·一模）综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 示意图          测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时．小组同学测得标杆高为米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为_____米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】(1)15 (2) 补全测量示意图如下所示， 旗杆的高度为米 (3)还需要测出线段（或线段）的长度 【分析】（1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知、、、的长，则只需要求出的长即可，再可证明得到，则只需要知道的长即可． 【详解】（1）解：∵同一时刻下，物长与影子的长对应成比例， ∴， ∴， 即， 解得， ∴利用方案测得旗杆的长度为米． （2）解：补全测量示意图如下所示，过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴旗杆的高度为米． （3）解：如图所示：根据题意知、， ∵， ∴， ∴， 则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 题型二：相似三角形的实际应用之探究问题 1．（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3) 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为， 由（1）同理得， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为， 由（1）同理得， ∴最小的镜子长为：． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中） 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯2 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯-20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度 ； （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度； （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式； （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯（如表所示），道路宽度忽略不计，呢么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造 个路灯． 【答案】（1）米；（2）路灯的高度为米；（3）；（4） 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，反比例函数的实际应用， （1）根据题意易证，得到，由此即可得到答案； （2）证明，得到，由题意可得米，米，米，求出，再证明，推出，得到，进而得到，即可求解； （3）根据表格数据可得，即可解答； （4）先求出符合《城市道路照明设计标准》规定的路灯的高度，再求出此路灯高度下所照明范围的半径，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， 故答案为：米； （2）∵， ∴， ∴， 由题意可得米，米，米， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴米， 答：路灯的高度为米； （3）由表格数据得， ∴， ∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为； （4）∵， ∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定， ∵， ∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米）， ，则至少需要个路灯． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）如图，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）当减小、增大时，的高度变大； （4） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）根据相似三角形的性质，求出此时的长，进行判断即可； （4）求出时，的长，结合（3）中结论，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴； ∵， ∴当减小、增大时，的高度变大； （4）当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 由（3）可知：当减小、增大时，的高度变大， ∴当时，， 又∵烛焰与小孔的距离一般要求不小于， ∴． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）为加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案． 【方案一】如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【方案二】如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长． (1)方案一中，若大视力表中“”的高是，直接写出小视力表中相应“”的高度是______． (2)方案二中，如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． (3)小明选择【方案一】制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的高度之间的关系是一种函数模型，视力表上部分视力值和字母的高度的部分对应数据如表所示： ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值与字母的高度（说明理由），并求出视力值与字母高度之间的函数关系式； 位置 视力值 的值（） 第1行 第5行 第8行 第14行 ②若小明的视力值是，则他能看清的最小的字母的高度是______． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，反比例函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． （3）①由视力值V与字母高度a的乘积是定值，得到视力值V与字母高度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式． ②把，代入，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． 故答案为：． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． （3）解：①∵视力值V与字母高度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母高度a成反比例函数关系． 设， 把，代入得到， ∴视力值V与字母高度a的函数关系是， ②把，代入，得， ∴则他能看清的最小的字母的高度是． 故答案为：． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】A 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 4．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（2026·山西晋中·二模）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 6．（2026·山东临沂·二模）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 7．（2026·浙江温州·二模）如图，小聪从点沿直线走向路灯的正下方点处，他的影长随他与点之间的距离变化而变化．若小聪的身高为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目是点光源，将图像画出来，然后将各个线段的代数式表示出来，根据相似三角形列出相似比，将数值代入，解出答案． 【详解】解：如图所示，是小聪的身高，是小聪的影子长度， ， ∵，小聪与点之间的距离， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 化简，得． 8．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 9．（25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小亮头顶离地面的高度（米）， ∵小亮身高米， ∴城楼的高度为（米） 10．（2026·江苏无锡·二模）图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 【答案】 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行，可得，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解；（2）先根据线段比例关系求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，再通过构造相似三角形求出点与点的竖直距离，最后结合点的位置求出的高度，即可求解． 【详解】解：地面，地面， . ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 过点作交的延长线于点，则 地面，地面， ． 又， . 点的位置低于地面米，， 点离地面的高度为（米）． （米）． 11．（2026·山西阳泉·三模）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 【答案】(1)①③ (2)测量示意图如解图所示． 测量数据：标杆，标杆影长； (3) 【分析】（1）选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）根据题意，测量数据：标杆，标杆影长； （3）证明，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）略 （3）解：，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，即， ． 答：飞云楼的高度为．（答案不唯一） 12．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)能，灯杆的高度为 (2)存在， 【分析】（1）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：存在，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $