精品解析：甘肃天水市第一中学、第三中学2026-2027学年高三上学期期中质量检测数学试题

2026-2027学年普通高中高三上学期期中质量检测 数 学 一．选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 已知集合，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据对集合分“空集”与“非空集”分类列式求解. 【详解】由得，解得， 则集合， ①当时，满足，此时有，解得； ②当时，则有，解得， 此时若满足，则需满足区间端点条件， 解得，即， 这与前提矛盾，故此情况无解. 综上所述实数的取值范围是. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 已知两定点，，点是轴正半轴上的一动点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，应用向量夹角余弦值的坐标表示，结合换元法、二次函数性质求最大取值，进而可求解. 【详解】设，则， 所以， 令，则， 而，故当，即， 取得最小值，此时最大，且， 所以当最大时，的值为. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用两角差的余弦公式表示中间角的余弦值，根据角的范围确定其取值，再用诱导公式和二倍角公式求值. 【详解】令，，则. 因为，所以.由题设的正弦值可得. 因为，所以.由两角差的余弦公式得. 若，则，与上述范围矛盾. 若，则，符合上述范围. 由诱导公式和二倍角公式得. 5. 已知函数的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位后，在区间内恰有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得平移后的函数解析式及其整体相位的取值范围，根据 “恰有个零点” 结合余弦函数的图象性质求得的取值范围. 【详解】， 向下平移个单位：， 向右平移个单位：， 令，即， 得， 设，， 当时，， 当时，，所以， 题目等价于：方程在区间内恰有一个解， 的根：， 大于等于的第一个根：当时，，下一个根当时，， 即，解得. 6. 一段楼梯共有15级台阶，记第级台阶的高度为，已知第1级台阶的高度，第15级台阶的高度，且，，，是公差为1的等差数列，，，，是公差为3的等差数列，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，第1级至第级的台阶高度构成首项为2、公差为1的等差数列，故. 由题设，第级至第15级的高度构成以为首项、公差为3的等差数列. 故. 由及，代入上式，得，解得. 7. 下列结论错误的是（） A. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D. 由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、有关，且该推断犯错误的概率不超过0.1 【答案】C 【解析】 【详解】A项：样本相关系数的绝对值越接近，线性相关程度越强.因为， 所以A组数据的相关性比B组强，A正确. B项：设原数据为，每个数据都加上常数后得到，则， 于是.每个数据与平均数的偏差完全没变，所以方差不变，B正确. C项：在残差图中，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，就说明选用的模型比较合适； 带状区域越窄，残差的绝对值越小，模型拟合精度越高，回归效果越好，故C错误. D项：因为，依据小概率值的独立性检验，可推断不成立， 即认为、有关，此推断犯错误的概率不超过，D正确. 8. 若定义在上的可导函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】构造函数，. 求导得. 由，得，故在上单调递增. 由，得. 不等式等价于，即. 因为单调递增，所以，解集为. 二．多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中至少有一个符合要求，全部选对得6分部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且该垂线与的左支交于点，恰好是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 的渐近线方程为 B. C. 的面积为4 D. 若，点是右支上的动点，则的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由垂足与中点关系确定，结合双曲线定义和三角形两边之和求最小值，即可判断个选项. 【详解】对于A，设双曲线的半焦距为，则，渐近线的斜率为． 点是到直线的垂足，设． 由直线与垂直，且，得直线的方程为，代入的坐标， 得，即． 所以，，又，故． 由为的中点，得． 将代入双曲线方程，并利用，得， 即，整理得． 因，所以． 此时，且，确在双曲线左支上； 渐近线方程为，故A正确； 对于B，此时，． 由的坐标得，，所以，故B错误； 对于C，，点到轴的距离为，所以三角形的面积为，故C正确； 对于D，双曲线的实半轴长为，且在右支上，由双曲线定义得． 因此． 线段的中点满足，且，故在双曲线右支上并位于线段上，等号可以取得，最小值为，故D正确． 10. 已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用将递推式转化为关于的关系，推导出；再依次验证：由的形式判断其非等差数列，由化简得数列递减，将求和通项裂项相消算出结果，构造函数利用单调性证明不等式成立． 【详解】对于A，，，解得， 当时，，整理得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 当时，，符合上式， 所以，即数列不是等差数列，A错误； 对于B，当时，， 当时，也满足，所以， 由，可知数列为递减数列， 所以，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，令，，则， 所以函数在上单调递增，所以， 令，即，即，D正确． 11. 已知函数，，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 有5个零点 C. 的所有极大值之和为12 D. 若方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质判断A，利用导数得出的性质判断B，根据导数确定函数极大值点判断C，利用换元法转化为有两个不同的实根，且，求参数的范围判断D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以不是奇函数，故的图象不关于原点对称，故A错误； 由，解得或， 当时，即， ， 所以当或时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且时，，时，， 又，所以方程有3个不同的根； 当时，即，方程有两个根，（不满足方程）， 所以有5个零点，故B正确； ， 由可得，由B中性质知有三个根， 所以，当或或时，，单调递减； 当或或时，，单调递增. 所以的极大值分别为，， 所以的所有极大值之和为12，故C正确； 令，则方程有6个不相等的实数根，化为， 即有两个不同的实根，且， 解方程可得， 由，解得，由，解得， 所以当时，原方程有6个不相等的实数根，故D正确. 三．填空题（本题有3个小题，共15分.） 12. 函数在处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过复合函数求导法则得到导函数，结合导数的几何意义求出处的切线斜率与对应切点坐标，再利用直线点斜式方程求解即可. 【详解】对求导，得. 可得切线斜率. 又，则切点坐标为. 故切线方程为，即. 13. 设函数，若有且只有一个，使得函数取得最小值，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件求解函数的解析式，然后根据可得，进而依据题意可得，求解可得的取值范围. 【详解】已知，则， 当时，， 依题意需使，解得：， 则的取值范围是. 14. 若事件、互斥，且、，则________ 【答案】 ## 【解析】 【详解】因为事件、互斥， 所以，又，， 所以. 四．解答题（本题有5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在三角形ABC中，． （1）求； （2），，求AB的长及三角形ABC面积． 【答案】（1）. （2），三角形的面积为. 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和、诱导公式、二倍角的余弦公式化简得，即可求解. （2）利用正弦定理得，结合，得，则，再利用两角和的正弦公式得，由正弦定理得，进而代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 故，得，即， 结合，得. 【小问2详解】 由，，得. 由正弦定理得，即，解得， 所以，解得，则. 又， 由正弦定理得，解得. 所以三角形的面积为 . 16. 某学校对高一年级学生进行“学校食堂午餐”满意度调查，在随机抽取的名学生中，有名学生表示非常满意，名学生表示一般，名学生表示不满意． （1）从这名学生中随机选取名学生，已知其中至少有一名学生非常满意，求另一名学生不是非常满意的概率； （2）若以这名学生的满意度情况来估计所有学生满意度情况，且以频率作为概率，现从该校所有高一年级学生中随机抽取名学生，设不满意的学生人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 ． 【解析】 【小问1详解】 记事件为“随机选取的名学生中至少有一名学生非常满意”， 事件为“随机选取的名学生中另一名学生不是非常满意”. 从名学生中随机选取名，基本事件总数为. 事件的对立事件为“两名学生都不是非常满意”， 其中“不是非常满意”的学生共有人， 则. 事件表示“选取的名学生中，一人非常满意，另一人不是非常满意”， 其基本事件数为. 故所求概率. 【小问2详解】 抽到“不满意”学生的频率为. 由题意，从该校高一年级中随机抽取名学生，抽到“不满意”的概率. 现从所有学生中随机抽取4名学生，则， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以． 17. 已知椭圆的焦距为2，离心率， （1）求椭圆C的标准方程； （2）动点P在椭圆C上，直线与x轴交于点N，于点M（M，N不重合），线段中点为S，试问在x轴上是否存在定点T，使得点P关于直线的对称点在x轴上，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）; （2）存在，T的坐标为 【解析】 【分析】（1）由焦距与离心率分别求出与，再由算出，即可写出标准方程； （2）设出、与对称点的坐标，用“中点在上、”两个条件联立消去，再令所得等式对任意点恒成立，即可解出. 【小问1详解】 由焦距，得，由离心率，得， ， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设在椭圆上，因题设M，N不重合，故， 则　（*） 由且在直线上，得；又为的中点，故， 设，点关于直线的对称点为， 则直线是线段的垂直平分线，即的中点在直线上，且， 直线的方向向量为， 由在直线上，可设，比较纵坐标得，因，故； 再比较横坐标得，整理得　①， 由得，即，整理得　② 联立①②得， 将（*）代入，并两边同乘，得， 整理得，即， 该等式对所有满足，即任意的椭圆上的点恒成立， 因此必须满足，故， 综上，在轴上存在唯一定点，使得点P关于直线的对称点在x轴上. 18. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）因为平面，，所以以为原点，分别以、、 的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由，，且，得各点坐标： . 由为的中点，为的中点，得. . 因为， 故与共面；又 平面 ，平面 ， 因此 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由底面且，三条棱两两垂直，从而建系；把待证直线的方向向量表示为平面内两个不共线向量的线性组合，由共面条件证线面平行； （2）分别求两平面的法向量，用法向量夹角公式求二面角的余弦； （3）用“平面内一点与该点连成的向量在法向量上的投影绝对值”求点到平面的距离. 【详解】（1）略. （2）设平面 的法向量为，由， 所以，即，取，则 . 设平面的法向量为.在该平面内取. 所以，即，取，则. 设两平面所成二面角为 ，则. （3）平面过点，其法向量为 ，又， 故点到平面的距离. 19. 已知． （1）若，求不等式的解； （2）若，求函数的单调区间； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）增区间为，减区间为； （3）． 【解析】 【分析】（1），化简不等式得到，构造函数，求导判断函数单调性，利用函数单调性求解即可； （2）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性即可； （3）根据，分类讨论结合导函数正负得出单调性及极值点计算求解． 【小问1详解】 ，则， 不等式， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 的定义域为，     ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，为函数的极大值点，不合题意；     下面分析的情形： 令，解得或， 当时，在区间上恒成立，不合题意；     当时，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以为函数的极大值点，不合题意；     当时，， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 为函数的极小值点，符合题意；     综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年普通高中高三上学期期中质量检测 数 学 一．选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 已知集合，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知两定点，，点是轴正半轴上的一动点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位后，在区间内恰有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 一段楼梯共有15级台阶，记第级台阶的高度为，已知第1级台阶的高度，第15级台阶的高度，且，，，是公差为1的等差数列，，，，是公差为3的等差数列，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 下列结论错误的是（） A. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D. 由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、有关，且该推断犯错误的概率不超过0.1 8. 若定义在上的可导函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中至少有一个符合要求，全部选对得6分部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且该垂线与的左支交于点，恰好是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 的渐近线方程为 B. C. 的面积为4 D. 若，点是右支上的动点，则的最小值为5 10. 已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 11. 已知函数，，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 有5个零点 C. 的所有极大值之和为12 D. 若方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是 三．填空题（本题有3个小题，共15分.） 12. 函数在处的切线方程为__________． 13. 设函数，若有且只有一个，使得函数取得最小值，则的取值范围是________ 14. 若事件、互斥，且、，则________ 四．解答题（本题有5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在三角形ABC中，． （1）求； （2），，求AB的长及三角形ABC面积． 16. 某学校对高一年级学生进行“学校食堂午餐”满意度调查，在随机抽取的名学生中，有名学生表示非常满意，名学生表示一般，名学生表示不满意． （1）从这名学生中随机选取名学生，已知其中至少有一名学生非常满意，求另一名学生不是非常满意的概率； （2）若以这名学生的满意度情况来估计所有学生满意度情况，且以频率作为概率，现从该校所有高一年级学生中随机抽取名学生，设不满意的学生人数为，求的分布列和数学期望． 17. 已知椭圆的焦距为2，离心率， （1）求椭圆C的标准方程； （2）动点P在椭圆C上，直线与x轴交于点N，于点M（M，N不重合），线段中点为S，试问在x轴上是否存在定点T，使得点P关于直线的对称点在x轴上，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由． 18. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知． （1）若，求不等式的解； （2）若，求函数的单调区间； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $