甘肃省天水市第九中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

参考答案 1.A 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.ABD 10.AB 11.AD 12# 13.48m 14.[85-8,4 15.解：(（1)由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为号×专×幸×言=元 (②)甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题.且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为克×号×(1-)×(1-言)+(1-)×(1-号)××(1-号)=言 (③)若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题。 甲答辩成功的概率为(1-支)×(1-专)×年×言=品， 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题 甲答辩成功的概率为(1-)×青××号+×(1-专)×幸×言+竞×寺×(1幸)×=六 (1)可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为品十六十0=最。 16.解：()由点P(4,-3),得d=V42+(3)2=5, 所以sin=-寻，cos=专，tana=-子， tar(π+a）=tana=-是，sin2=2 sinacosa=-等， 2)由sin(a+)=,得co(a+)=±y1-sin(a+B)=±号， 因此cosB=cos[(&+F)-ad]=cos(a+β)cosa+sin(a+β))sina, 当coa+同=最时，cosB=号×青+最×()=器 第1页，共6页 当cos(a+)=-号时，cosB=()×寺+是×()=-器， 所以c0sB的值为器或-器， 17.解：(1)证明：：PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, ÷PA⊥CD, :CD⊥AD,PA∩AD=A,PA ADC平面PAD, :CD⊥平面PAD, 又CDc平面PCD, ÷平面PCD⊥平面PAD; (②)：AP=AD,E为PD中点， AE⊥PD, :CD⊥平面PAD,AEC平面PAD, ·CD⊥AE, :AE⊥PD,AE⊥CD,PD∩CD=D,PDC平面PCD,CDC平面PCD, :AE⊥平面PCD, 又EFc平面PCD,则AE⊥EF, 因此∠FEP即为二面角F-AE-P的平面角， 由AD=CD=2,可得AC=VAD2+CD2=2N2, 因此PC=VPA2+AC=2N5, :器=，PF=2渠，且PE=PD=V反， 因CD⊥平面PAD,PDC平面PAD, 则CD⊥PD 所以oO8EPF=是-最=9. 在△PEF中，由余弦定理，EF2=PE2+PF2-2PE·PF,cos_EPF=号， 因tEF=9, 再由余弦定理，Q0sPEF=PrPP=241=互 2PEEF 2xW2×号 3， 第1页，共6页 因t=面角F-AB-P的余张值为号， (③)证明：设Q为PC中点，由题意得器=哭=子， 可得GQ//BC,因此GQ//AD, 同时GQ=号BC=2,因此GQ=AD, 故四边形ADQG为平行四边形，·AG/DQ, 由E为PD中点，则EF//QD,因此AG//EF, 又AG,EF无公共点，因此AE,F,G四点共面. l8.解：(1)证明：法一：因为函数g(x)=sin(x+a)=cosasinx+sinacosx, 所以其“源向量”oM=(cosa,sina),显然oM=Vcos2a+sin2a=1, 即M轨迹为单位圆， 由正三角形的性质可知0dA=2=o=|6d,OA+0B+0元=0， 所以MA42+品2+c2=(0A-M+(0-0M+(0c-)2 =042+0品2+02+32-2M-(0A+d+0c)=12+3=15, 为定值； 法二：由题意可知M(cosa,sin,A-5,-1,B(3,-,C0,2), 所以Ma=(-V5-cosa,-1-sina, N=(3-cosa,-1-sina).Nc=(-cosa,2-sina). 所以Ma2=3+2W3cosx+cos2a+1+2sinu+sin2a, NB2=3-2V3 cosa+cos2a+1+2sina+sin2a. 第1页，共6页 Mc2=cos2a+4-4cosa+sin2a 所以2+2+-15，是定值； (②)因为向量OA=(2,0)为函数g(x)的“源向量”， 所以h(x)=2sinx 则方程2sinx=k+1-2V3cosX在[0,2m]上有且仅有四个不相等的实数根， 所以k=2snx+2V5cosX-1在[0,2元]上有且仅有四个不相等的实数根， 令1x)=2sinx+2W3cosx-1,xe[0,2m小， ①当x∈[0]U[变，2]时， Ix)=2sinx+2/3 cosx-1=4sinx+)-1. ②当xe（,)时， &)=2simx-23cosx-1=4si(x-）-1, 4si&-)-1∈（贤，） 所以 4si(x+)-1x∈[0，]U[受，2m 其图象为： v=k C YB 2πx v=l(x 结合A0,25-1,B(,)c2m,25-, 故当k=2simx+2W3cosX-1在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为1,23-1U(25-1,3): )法-：由题意得，P)=c0sx,则cost=号 在三角形ABC中，C0SA= 0=cast=号，因此A=手， 因为设P是△ABC外心，所以pA==P=r, 第1页，共6页 ∠APB=2LACB,∠APC=2∠ABC, 设∠ABC=,∠ACB=B,则LAPB=2B,∠APC=2x, 因为器·+器·c=入， 所以器(-+(c-=入， 所以器()a+器（民-）a=A 所以器a+器Ca=A+器a函+器aA, 所以器r2coS-APB+-器r2 cOS-APC=-r2+器r2+器r2, 所以器c0s2B+盟器cos2a=-1+器+器.， 所以器(cos2B-+(cos2.)=-, 所以器(1-2sim2B-1)+=(1-2sin2a-1)=-1, 所以2(cosasinB+cosBsina)=λ， 所以2sin(u+B)=, 又sin(a+)=sin(LABC+LACB)=sinBAC,因为∠BAC=, 所以7=2si=V2: 法二：由器·+脂Ac=入 可得器B+器·Ac=入·B, 由向量的数量积公式可得是.c2+品器·b~c·c0s4=号c2, 即·c+器，b:c0sA=c, 由正弦定理可得c0sB+C0sC·c0sA=号s1C, 即号=s8+4=C+)+cs8Ccm盟 sinC sinC 21 所以1=V2, 19.(1)证明：由题意函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称，对任意x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y): 第1页，共6页 令x=y=0,则f0+0)=fo)+f(o)=2f(o), 故f0)=0. 令y=-x,则fx-x)=f(x+f-x)=0, 故f(-x)=-fx). 故f(x)为奇函数. (②)任取X1x2∈R,且1>X2. 由题意x1-x2>0，f(x1x2)<0,fx)=fx1x2+x=fx1x)+f(x), 故f(1)-f(2)=f(x1x2)<0,即f(1)<f(x2), 又X1>X2, 故f(x)在R上为减函数. 因为f(-1)=1, 所以f(1)=-1,f(2)=f(1+1)=-1-1=-2, 故f(x2+2x)-f(2-x)>-2 即f(x2+2x)+f(x-2)>f(2), 即x2+2x+x-2<2, 化简可得x2+3x-4<0, 解得x∈(4,1)· (3)(②)知f(x)在[-1,1]上为减函数， 故f(x)在[-1,1]上最大值为f(-1)=1· 要使f(x)≤m2-5mt-5对任意的x∈[-1,1]，tE[-1,1]恒成立， 则m2-5mt-5≥1，即-5mt+m2-6≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. 又y=-5mt+m2-6是关于t的一次函数， |-5m×(-1)+m2-620 故只需{-5m×1+m2-6≥0 1(m-1)(m+6)≥0 即{(m-6)(m+1)≥0， 解得m∈(-∞，-6]U[6,+o). 第1页，共6页 绝密★启用前 甘肃省天水市第九中学2025-2026学年高三上学期期中 数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，且的元素个数为，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.已知的内角的对边分别为，且，则(    ) A. B. C. D. 3.在平行四边形中，，则(    ) A. B. C. D. 4.将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 5.若不等式，且在内恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7.已知，则(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的部分图象如图所示，则(    ) A. B. 将的图象上所有点横坐标变为原来倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为， D. 若，且，则 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在长方体中，，动点在长方体的表面上运动含边界，且，点的轨迹形成的封闭图形为，则(    ) A. 点的轨迹长度为 B. 与所在平面所成角的正弦值为 C. 所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为 D. 若与所在的平面交于点，则 10.已知的内角所对的边分别为，则(    ) A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 11.如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”则下列函数为“函数”的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，，乙的卡片上分别标有数字，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后的轮次中不能使用，则四轮比赛后，甲的总得分为的概率为          ． 13.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为          ． 14.如图，某公园内有一块边长为个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为其中，分别在边，上，则的取值范围          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某次答辩活动有道题目，第题分，第题分，第题分，第题分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． 求甲得分的概率； 求甲得分的概率； 若参加者的答辩分数大于分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 16.本小题分 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． 求，，的值； 若角满足，求的值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在线段上，且． 求证：平面平面； 给出二面角的平面角，并说明理由，求出二面角的余弦值； 设点在线段上，且，点，，，是否共面？如，，，四点共面，请证明：如果不共面，请说明理由． 18.本小题分 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．    若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正顶点恰好在轴的正半轴上，求证：为定值； 已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； 已知向量为函数的“源向量”，在时的取值为设是外心，若，且，求实数的值． 19.本小题分 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：；对任意，都有；当时，． 证明：为奇函数． 解不等式． 若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 第4页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $