第13讲一次函数与二元一次方程优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上册
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内容正文：
第13讲·一次函数与二元一次方程·优等生讲义
（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026年苏科版八年级数学上册
参考答案与试题解析
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解一次函数与二元一次方程的对应关系，会把 y=kx+b 与 kx−y+b=0 互相转化
· 掌握「两直线交点坐标即二元一次方程组的解」，能由图象直接写出方程组的解
· 会用图象法解二元一次方程组，并能由方程组的解反推交点坐标与待定系数
· 能借助两直线交点横坐标确定不等式解集，比较函数值大小并判断点所在象限
· 综合运用待定系数法、图象平移与面积分割解决一次函数综合探究题
📚 知识梳理
☆ 1.一次函数与二元一次方程的对应
一次函数 y=kx+b（k≠0）可以改写成二元一次方程 kx−y+b=0；反过来，每个关于 x、y 的二元一次方程，只要 y 的系数不为零，都能化成一次函数。
函数图象上的每一个点 (x，y)，其坐标都满足对应的二元一次方程；反过来，方程的每一组解都对应图象上的一个点。这就是「数形结合」的桥梁。
一个二元一次方程有无数组解，对应一条直线上无数个点；只有再添一个方程组成方程组，解才可能唯一，对应两条直线的唯一交点。
概念辨析例题：把一次函数 y=2x−3 改写成二元一次方程，并判断点 (2，1) 是否在该函数图象上。
答案：2x−y−3=0；点 (2，1) 在图象上。
解析：移项得 2x−y−3=0。把 x=2、y=1 代入：2×2−1−3=0，等式成立，所以该点坐标是方程的一组解，对应点在直线上。
☆ 2.两直线交点与二元一次方程组的解
两条直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的交点 P(x0，y0)，同时满足两个函数解析式，因此 (x0，y0) 就是方程组的一组解。
反过来，若方程组的解为 (m，n)，则两条直线的交点坐标就是 (m，n)。这类「由解反推交点」的题常与待定系数、含参问题结合。
k1=k2 且 b1≠b2 时两直线平行、无交点，对应方程组无解；两直线重合时对应方程组有无数组解。
读图题要先找准公共点，再按「横坐标在前、纵坐标在后」写成有序数对，不要把 x、y 写反。
概念辨析例题：若关于 x、y 的方程组的解为 (2，−1)，则直线 y=x−3 与另一直线的交点坐标是什么？
答案：交点坐标为 (2，−1)。
解析：方程组的解就是两条直线的公共点坐标，直接把解写成点的坐标即可；代入 y=x−3 验证：2−3=−1，与纵坐标一致。
☆ 3.图象法解二元一次方程组
步骤：把两个方程分别化成 y=kx+b 的形式 → 在同一坐标系中画出两条直线 → 读出交点坐标 → 写出方程组的解。
作图中常取「与坐标轴的交点」两点连线：令 x=0 得 y 轴截距，令 y=0 得 x 轴截距，比任取两点更快且不易出错。
图象法的局限是读数可能不精确，交点非整点时通常只能给近似值；求出后应代回原方程组验算。
概念辨析例题：在同一坐标系中画出 y=x+1 与 y=−x+3 的图象，并根据图象写出对应方程组的解。
答案：两直线交于 (1，2)，方程组的解为 x=1、y=2。
解析：联立 x+1=−x+3 得 2x=2，x=1，代回得 y=2，与图象交点一致；再代入两个解析式均成立。
☆ 4.由图象比较函数值与解不等式
不等式 k1x+b1>k2x+b2 的解集，就是直线 y=k1x+b1 位于另一直线上方时 x 的取值范围。
分界点一定是两直线交点的横坐标：在交点左侧与右侧，上下位置关系恰好相反，因此只需判断一侧即可。
严格大于或严格小于时解集不含分界点；含等号时取到分界点。若题目问「无论 x 取何值」，要检查两直线是否平行。
含参数时先由交点横坐标建立关于参数的方程，再结合图象开口方向（此处为直线斜率）确定范围。
概念辨析例题：直线 y=x+1 与 y=−x+3 交于点 (1，2)，则 x+1>−x+3 的解集是什么？
答案：x>1。
解析：交点横坐标为 1，是分界点。取 x=2 代入比较：3>1 成立，说明交点右侧 y=x+1 在上方，故解集为 x>1（不含 1）。
☆ 5.待定系数法、坐标轴交点与图形面积
求解析式：设 y=kx+b，把已知两点坐标代入得二元一次方程组，解出 k、b 再回代。
与 x 轴交点令 y=0，与 y 轴交点令 x=0；直线与两坐标轴围成的直角三角形，两直角边长即两个截距的绝对值。
两条直线与 x 轴围成的三角形，底取两直线 x 轴截距之差的绝对值，高取两直线交点的纵坐标绝对值，S=×底×高。
图象平移：上下平移 m 个单位改常数项 y=kx+b±m；左右平移 n 个单位对 x 整体加减，y=k(x∓n)+b。左加右减、上加下减。
概念辨析例题：直线 y=2x−4 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，求 △AOB 的面积。
答案：S=4。
解析：令 y=0 得 x=2，即 A(2，0)；令 x=0 得 y=−4，即 B(0，−4)。两直角边长分别为 2 与 4，故 S=×2×4=4。
📋 知识总结表
核心概念
定义/结论
关键提醒
函数与方程
y=kx+b ⟺ kx−y+b=0
图象上每点坐标都是方程的一组解
交点与方程组的解
交点 (x0，y0) 即方程组的解
先横后纵，别把坐标写反
平行与无解
k1=k2 且 b1≠b2 时无交点
对应方程组无解；重合则有无数组解
图象法解方程组
画两直线 → 读交点 → 写解
读数可能不精确，需代回验算
由交点定不等式
以交点横坐标为分界，看谁在上方
严格不等号不含分界点
坐标轴交点
y=0 求 x 截距，x=0 求 y 截距
截距可负，面积取绝对值
图形面积与平移
S=×底×高；上移 m 改 b+m
左右平移对 x 整体加减，不是只改常数项
⚠️ 核心考点
【考点1】由图象交点求二元一次方程组的解
· 交点坐标就是方程组的解，先在图上锁定两直线的公共点
· 读坐标时横坐标在前、纵坐标在后，写成 x=…、y=… 的形式
· 题干给「交点横坐标为 a」时，先把 x=a 代入任一解析式求出纵坐标
· 图象中若含网格或标注点，优先用标注点读数，避免估读误差
1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
先求出点的纵坐标，再利用一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系即可求解．
【详解】解：当时，，
∴直线与直线的交点坐标为
∴二元一次方程组的解是，
故选：D．
2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答．
【详解】解：由题图得一次函数与的图象交于点，
二元一次方程组的解是 ．
故选：B．
3．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，直线与相交于点，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．根据两条直线的交点坐标即可得，进而可得出二元一次方程组的解．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴，
∴，
∴方程组的解是，
故选：B
4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查的是两条直线的交点问题，根据定义，“亮点”是一次函数与的交点，联立和解方程组即可．
【详解】解：∵亮点是和的交点，
∴联立方程：，
解得：
∴交点为，即“亮点”为，
故选：B．
5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键．
将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，
，
∴，
∴
则关于、的方程组的解为．
故选：C．
6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
利用一次函数和二元一次方程（组）的关系进行求解即可．
【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，
∴一次函数与的图象交于点，
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
7．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解集为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为；
故选A．
8．（2023·河南驻马店·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解．
先将代入求出的值，再根据题意作答即可．
【详解】将代入得，即
∵直线与直线交于点，
∴关于的方程组的解为，
即关于的方程组的解为，
故选：B
9．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数的图像与的图像交点为，则关于x、y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，明确两个一次函数图像的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题关键，先求出交点的纵坐标，再结合方程组与函数的转化关系得出方程组的解．
【详解】解：∵点在的图像上．
∴将代入得，．
∴两个一次函数图像的交点为．
又∵方程组可变形为．
∴该方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标．
∴方程组的解为．
10．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于的二元一次方程组的解为，则一次函数和的图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组的解即为对应的两个一次函数图象的交点坐标，作答即可．
【详解】解：方程组 可化为，其解为，
因此函数和的图象的交点坐标为．
故选：B．
11．（22-23八年级下·四川眉山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：由图象可知，一次函数与的图象交点为，
则方程组的解为，即方程组的解为．
【考点2】交点与方程组解的互化及不等式解集
· 由方程组的解反推交点：直接把解当作点坐标
· 含参数时把交点坐标代入两个解析式，建立关于参数的方程
· 比较函数值看谁在上方，以交点横坐标为分界写不等式解集
· 判断点所在象限，先由方程组解确定坐标符号，再定象限
12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，随的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤的值每增加1，的值增加．其中正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据两条直线的交点求不等式的解集、判断一次函数的增减性、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键．根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可．
【详解】解：①由图象可知：函数中，随x的增大而减小；
故①正确；
②由图象可知：，，，，
∴，，
∴，
故②正确；
③由图象可知：，，故函数的图象不经过第一象限；
故③正确；
④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为3，，故，故④正确；
⑤当时，，
当时，，
∴，
∴x的值每增加1，的值增加，
故⑤错误．
综上所述，正确的有①②③④，一共4个．
故选：C．
13．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解是
【答案】D
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为，
∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意；
∴不等式的解集为，不等式的解集为，
∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意；
将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线
∴直线与x轴交于点，
∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意；
由题意可知方程组，即方程组的解是，
无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意．
故选：D．
14．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解为________．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查两直线的交点问题，熟练掌握两直线的交点坐标与对应二元一次方程组的解的关系是解答的关键．根据两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可．
【详解】解：直线与相交于点，
、的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
15．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，熟练掌握“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”是解题的关键．
利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标”解决问题即可．
【详解】解：根据题意得，直线与直线相交于点，
则方程组的解是，
故答案为：．
16．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．
方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：把代入，
可得，，
方程组的解为：，
一次函数和的图象的交点坐标为：
故答案为：
17．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标为______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标可得答案．
【详解】解：∵方程组的解为，
即方程组的解为，
∴直线与直线的交点坐标为，
故答案为：．
18．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是_______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与的图象相交于点，
∴方程组的解为：，
故答案为：
19．（24-25八年级下·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为__________．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据两个一次函数的交点坐标即可得出答案．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数与的交点坐标为，
所以关于的方程组的解是，
故答案为：．
20．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为__________．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组的解的关系．
直接根据函数图象作答即可．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴即的解为．
故答案为：．
21．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是________________．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】根据一次函数的图象与的图象相交于点A，得于是得到点，根据交点的意义，得到方程组的解．
本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握关系是解题的关键．
【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点A，
得，
解得
于是得到点，
∴方程组的解为，
故答案为：．
22．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线（为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是交点坐标即可求解．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴，解得，
∴二元一次方程组的解为，
∵二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标，
∴点P的坐标为：．
故答案为：．
23．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为_______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标．
把交点坐标代入直线求解得到的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答．
【详解】解：直线经过，
，
交点坐标为，
方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标，
关于，的方程组的解为．
∵关于x，y的方程组可变形为，
∴关于x，y的方程组的解为．
故答案为：．
24．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象交于点P，则点P位于第_______象限．
【答案】
四
【知识点】判断点所在的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了两条直线的交点问题，联立两函数解析式，解方程组求交点坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可．
【详解】解：联立方程组，
解得，
∴点P的坐标为 ，
∴点P位于第四象限．
故答案为：四．
25．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数的交点的横纵坐标是这两个一次函数的解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数和的图象交于点，
∴关于x、y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
26．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是____________．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组，解题的关键是方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：一次函数与的图象交于点，
则二元一次方程组的解是，
故答案为：．
27．（21-22八年级下·江苏南通·期中）若方程组的解是则直线与直线的交点坐标是_____．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解即为对应两个一次函数图象的交点坐标，结合已知条件即可得到结果．
【详解】解：将直线变形可得，将直线变形可得．
因此，直线与直线的交点坐标就是方程组的解．
已知方程组的解为．
因此交点坐标为．
28．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系．
明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解．
【详解】∵直线与直线交于点，
∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式，
即方程组的解为点A的坐标．
故答案为：．
29．（25-26八年级下·全国·课前预习）在同一个坐标系中画出函数和的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．
【答案】
描点，连线，如图，
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标即为方程组的解．利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：列表，
1
1
3
3
1
观察图象，两直线的交点坐标为，
所以，方程组的解是．
30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数的图像经过经过一次函数、图像的交点，求的值．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数图象的交点问题，图象上点的坐标特征，理解交点的坐标同时满足两个一次函数的方程是解题的关键．
先联立一次函数和，求出交点坐标，再代入一次函数，即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得：，
∴交点为：，
∵一次函数的图像经过，
∴，
解得：．
【考点3】待定系数法求解析式与直线围成的面积
· 设 y=kx+b，代入两个已知点解二元一次方程组
· 与 x 轴交点令 y=0，与 y 轴交点令 x=0
· 围成面积取两 x 截距之差为底、交点纵坐标为高，用 S=×底×高
· 面积一律取正值，底和高都要加绝对值
31．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为．
①一次函数的“关联点”为；
②若一次函数的“关联点”为，则，；
③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则；
④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】①联立，求出的值即可得到答案；
②由定义可知点在直线上，求出，再将点代入即可求出的值；
③将一次函数的“关联点”代入求出k的值即可；
④由题意可得直线与直线平行，从而得出直线为，再求出，，即，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案．
【详解】解：①联立，
解得：，
一次函数的“关联点”为，故①正确；
②∵一次函数的“关联点”为，
∴点在直线上，
，
，
一次函数的“关联点”为，
，
解得：，故②错误；
③∵一次函数的“关联点”为，
∴把代入得：，
解得：，故③正确；
④直线上没有“关联点”，
直线与直线平行，
，
，
当时，，
当时，，解得，
，，
，
∴，
∵，
∴，
设，
，
，
，
解得：或，
或，故④错误；
综上分析可知：正确的是①③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键．
32．（2026·山东济南·一模）小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】运用待定系数法求出小云距A地的距离y与时间x的函数关系式，当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式，联立两个关系式，即可求解．
【详解】解：设小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
由图可得该函数图象过点，
∴，解得，
∴小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为．
当时，设小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
由图可得该函数图象过点，，
∴，解得，
∴当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
解方程组，得，
∴两人相遇的时间为．
33．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论是_______________．(填写序号）
【答案】①③④
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．也考查了一次函数的性质和一次函数与一元一次方程．
直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与的图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限，
∴，所以①正确；
∵一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
∴，
∴，所以②错误；
∵一次函数与的图象的交点坐标为，
∴时，，所以③正确；
把代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
当时，，
解得：，
∴一次函数与x轴的交点坐标为，
∴当时，，
∴当时，，所以④正确．
故答案为：①③④．
34．（23-24八年级下·河北唐山·阶段检测）如图，已知一次函数与相交于点C，现有一次函数，若，，不能围成三角形，则的值为__．
【答案】1或2或
【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，先求出点C的坐标，再分三种情况讨论：①当经过点C时，②当时，③当时，分别求k的值即可求解．
【详解】解：联立方程组，
解得，，
∴点的坐标为；
①当经过点时，，
解得，，
②当时，，
③当时，，
所以，，，不能围成三角形，则k的值为1或2或，
故答案为：1或2或．
35．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）和．
(1)若的图象过点，求的值；
(2)在（1）的条件下，与的图象的交点坐标为__________．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数图象的交点问题，待定系数法求解函数解析式．
（1）将点代入即可求解；
（2）先求出，再与联立求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
与联立得，，
解得，
∴此时交点纵坐标为，
∴与的图象的交点坐标为，
故答案为：．
36．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为．
(1)如图，若．
①求直线、直线与y轴所围成的的面积；
②根据图像直接写出的解集．
(2)若，求整数k的值．
【答案】(1)①面积为；②；
(2)或6
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，图形与坐标的性质，两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
（1）①先用待定系数法求的解析式，再求出点的坐标，最后用三角形面积公式求解即可；
②直接观察图象，找出直线在直线的下面的部分，写出部分对应的自变量的取值范围；
（2）先求交点坐标，再根据建立关于的不等式组，求解即可．
【详解】（1）①当时，，
∴．
将代入，得．
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴的面积为：；
②当时，直线在直线的下面，即，
∴的解集为；
（2），
解得
，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴整数k的值为5、6．
37．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，已知点的纵坐标为3．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积
【分析】本题主要考查了两直线的相交问题、运用待定系数法确定函数的解析式、坐标与图形等知识点，掌握数形结合是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P的坐标，即可求得直线对应的函数表达式；
（2）由直线的解析式，可求得点C的坐标，然后可求出三角形的面积．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴相交于点和点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：．
∵点P的纵坐标为3，且直线经过P点，
∴，
解得：，
∴，
将代入，可得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
（2）解：∵直线的解析式为：，
当时，，
∴点C的坐标为,
∴,
∴的面积为：．
38．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
(1)求一次函数的表达式；
(2)是射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数解析式的确定、一次函数与正比例函数的交点问题以及平面直角坐标系中线段长度的计算，熟练运用待定系数法和数形结合思想是解答本题的关键．
（1）先利用正比例函数解析式求出交点的坐标，再结合已知点的坐标，通过待定系数法求解一次函数的表达式；
（2）先求出一次函数与轴交点的坐标，进而得到的长度，再设出点的横坐标，根据平行于轴的直线上点的坐标特征表示出、的坐标，结合线段长度关系列方程求解点的坐标．
【详解】（1）解：把代入得：，
，
把和代入得：
，
解得：，
一次函数表达式为；
（2）解：把代入得：，
，
，
设点的横坐标为，则，，
，
，
，
，
．
39．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一次函数．当时，；当时，．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，直线与坐标轴围成的三角形面积问题．
（1）运用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先求出直线与坐标轴的交点，即可求解直线与坐标轴围成的三角形面积．
【详解】（1）解：∵一次函数．当时，；当时，
∴，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：对于，当；
当时，，解得，
∴直线与轴、轴交点为和，
∴该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积为．
40．（2025·江苏苏州·模拟预测）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积．
【答案】
【知识点】求直线围成的图形面积
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中直线与坐标轴围成的面积，掌握一次函数交点的计算方法，图形面积的计算方法是解题的关键．根据两条直线相交，可联立方程组求得点的坐标，根据直线与坐标轴有交点可求得点的坐标，如图所示，可得，过点作于点，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意得方程组，解得，
∴，
在直线中，当时，，解得，
∴，
在直线中，当时，，解得，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴．
41．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线过点，
(1)求直线的解析式．
(2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
(3)根据图象，写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小：
利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；
根据图形，找出点C左边的部分的x的取值范围即可．
【详解】（1）解：直线过点，，
，
解方程组得，
直线的解析式为；
（2）直线与直线相交于点C，
联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）由图可知，时，
【考点4】图象平移、几何综合与实际应用探究
· 上下平移改常数项，左右平移对 x 整体加减（左加右减）
· 平移后重新求交点与截距，不要沿用原直线的坐标
· 几何综合常用「分割法」把不规则图形拆成两个三角形
· 行程类图象题看清横轴是时间、纵轴是路程，交点表示相遇
42．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】这是一道关于一次函数的综合题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键．
先将代入，求出点C的坐标；可得一次函数关系式为．再求出分别求出点A，B的坐标，再分两种情况，根据求出坐标即可．
【详解】解：根据题意，将代入，得，
解得，
∴点C的坐标是；
将点代入，得，
解得，
∴一次函数关系式为．
∵当时，；当时，，
∴，；
如图，当点D在直线上方时，设点，
则，
解得，
∴；
如图，当点D在直线下方时，设点，
则，
解得，
∴，
综上，点D的坐标是或．
故选：D．
43．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】A
【知识点】一次函数图象平移问题、求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积．
【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线，
∴直线的解析式为，
即直线的解析式为，
，解得：，
∵直线与直线：交于点，
∴，
，
当时，，解得：，
，
当时，，解得：，
∵直线，分别交轴于点，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故选：A．
44．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，一次函数与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为______．
【答案】
【知识点】一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据题意得出与为与的图象都向下平移1个单位长度，交点为．
【详解】解：∵与的图象交于，
∴与为与的图象都向下平移1个单位长度，交点为，
∴方程组的解为，
故答案为：．
45．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知直线与直线都经过，直线交y轴于点B，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、，则以下结论：
①方程组的解为；
②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，；
③的面积为6；
④当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大；
⑤当的值最小时，点P的坐标为．
其中正确结论的序号是_______________________．
【答案】①②④
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】①由题意得两条直线的交点坐标即为直线表达式组成方程组的解；
②由图象得，当时，直线在直线上面，进而求解即可；
③首先求出已知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出的面积；
④如图所示，作点关于y轴的对称点，连接，得到，当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度，然后由图象即可判断；
⑤首先求出过点A，的直线为，然后将代入求解即可．
【详解】①∵直线与直线都经过
∴ 方程组的解为，故①正确；
②∵直线与直线交于点
∴由图象得，当时，直线在直线上面
∵点是直线上的点，点是直线上的点，
∴当时，，故②正确；
③将代入得，
解得，
∴
∴当时，
∴；
∴当时，
解得
∴
∴
将代入得，
解得，
∴
∴当时，
∴；
∴
∴ 的面积为：，故③错误；
④如图所示，作点关于y轴的对称点，连接，
∴
∴
∴当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度
∴由图象可得，当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大，故④正确；
⑤设过点A，的直线为：
将点A，的坐标代入，得
解得
∴过点A，的直线为，
∴当时，
∴ 点P的坐标为，故⑤错误．
综上所述，其中正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数和几何综合，关键在理解一次函数交点、垂直和对称问题，需要仔细审题．
46．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为___________．
【答案】或
【知识点】一次函数与几何综合、求直线围成的图形面积
【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，注意分类讨论是解题关键．
根据一次函数的性质求出交点，，结合题意，设点，分三种情况分析：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，当点D在的延长线上时，结合图形，列出方程求解即可．
【详解】解：∵ 直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，解得：，
∴；
，当时，，
，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点，
当点D在线段上时，如图所示：
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
当点D在的延长线上时，如图所示：
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
当点D在的延长线上时，不符合题意；
综上可得：点的坐标为或，
故答案为：或．
47．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知一次函数，当时，，且其函数图象平行于正比例函数的图象．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积．
【答案】(1)
(2)4
【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式以及一次函数图象和坐标轴围城的图形面积：
（1）根据一次函数的平移的性质以及待定系数法解答即可；
（2）求出该一次函数的图象与x轴，y轴的交点，即可求解．
【详解】（1）解：∵当时，，且其函数图象平行于正比例函数的图象，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：当时，，当时，，
∴该一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，
∴一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积为．
48．（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践
学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成：
【动手操作】
（1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象．
【观察实践】
（2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标；
【应用迁移】
（3）结合图象，直接写出方程组的解；
（4）结合图象，直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）3；；
两个函数的图象如图所示：
（2）；
（3）；
（4）
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、图象法解二元一次方程组、画一次函数图象、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系．
（1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可；
（2）观察图象，写出交点的坐标即可；
（3）根据交点的坐标即可得到结论；
（4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可．
【详解】解：（1）当时，，
当时，，
故答案为：3；；
（2）观察图象知，交点的坐标为；
（3）观察图象知，交点的坐标为，
∴方程组的解为；
（4）满足时自变量x的取值范围是．
49．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
(1)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，；
(2)若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
解：一次函数的图象如下：
．
(2)且．
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、画一次函数图象、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征；
（1）先画出一次函数图象，再根据函数图象写出不等式解集即可；
（2）先求出一次函数的解析式，然后根据当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为，结合图形，即可求解．
【详解】（1）由图象可知，当时，，
故答案为：．
（2）解：设一次函数解析式为 ，
一次函数的图象经过点，
，
解得
一次函数解析式为；
∴一次函数与x轴的交点坐标为，
函数为常数，的图象和轴的交点坐标为，
该函数与轴交点坐标为，
∵两直线与轴所围成的三角形的面积为，
∴当函数为常数，的图象与轴交点坐标距离有4个单位，
当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为
即或
解得：或，
该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于，
∴且．
50．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知点，在直线l：的图象上，直线l和一次函数的图象交于点B．
(1)求直线l的表达式；
(2)若点B的横坐标是1，求点B的坐标．并直接写出关于 x，y 的方程组的解；
(3)在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】（1）将点，代入得，计算求解，然后作答即可；
（2）将代入得，，则，根据二元一次方程组的解是直线交点的坐标，进行作答即可；
（3）如图，由轴对称的性质可知，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：将点，代入得，
解得，，
∴直线l的表达式为；
（2）解：将代入得，，
∴，
由题意知，关于 x，y 的方程组的解为；
（3）解：如图，点A关于x轴的对称点为，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二元一次方程组的解与直线交点的关系，轴对称的性质，坐标与图形．熟练掌握一次函数解析式，二元一次方程组的解与直线交点的关系，轴对称的性质，坐标与图形是解题的关键．
51．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系．
(1)乙车的速度为______；
(2)分别求线段，C对应的函数表达式；
(3)当取何值时，甲、乙两车相距？
【答案】(1)
(2)，
(3)当为或时，甲、乙两车相距
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中的分段函数，关键是结合图象分析甲、乙两车的行驶状态，利用待定系数法求一次函数解析式，再根据两车距离分情况列方程求解．
（1）乙车为匀速行驶，根据速度公式，用总路程除以总时间即可得到乙车速度；
（2）线段是正比例函数，设解析式为，代入点求解系数；线段是一次函数，设解析式为，代入点和，解二元一次方程组得到系数和；
（3）根据甲的行驶状态分三段讨论：(甲匀速行驶)、(甲静止)、(甲匀速追赶)，分别写出每段甲、乙的行程函数，根据两车距离为列方程，舍去超出取值范围的解，得到符合条件的值．
【详解】（1）解：根据图象，乙车的速度为；
故答案为：；
（2）解：设线段对应的函数表达式为，
∵点在上，
∴将代入，得，解得，
∴线段的函数表达式为；
设线段对应的函数表达式为，
∵点、在上，
∴将两点坐标代入得，解得，
∴线段的函数表达式为；
（3）解：线段的函数表达式为，
分三种情况讨论：
①当时，根据图象，线段的函数表达式为，
两车的距离为，解得，
，不符合的范围，故舍去；
②当时，甲的行程为，
两车的距离为，令，解得，
，符合该范围；
③当时，线段的函数表达式为，
此时两车的距离应为，
令，解得，
，符合该范围．
综上，当或时，甲、乙两车相距；
答：当为或时，甲、乙两车相距．
52．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知函数与．
(1)画这两个函数的图象；
(2)求这两个函数的图象交点的坐标；
(3)当时，x的范围为________．（直接写结果）
【答案】(1)
描点；连线；如图，
(2)
(3)
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、画一次函数图象、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组、画一次函数图象以及利用函数图象确定不等式解集，解题的关键是掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，方程组的解是两函数图象的交点坐标．
（1）根据画函数图象的方法即可；
（2）解二元一次方程组即可；
（3）比较两个函数图象的位置，根据图象在上方时函数值比较大确定自变量的范围．；
【详解】（1）解：列表：
0
2
1
4
3
（2）解：，
解得：，
∴两个函数的图象交点的坐标为；
（3）解：∵一次函数与相交于交点，
观察图像可知，当时，，
故答案为：．
💯 课后巩固
复习建议
· 交点坐标就是方程组的解，读图先找两直线的公共点
· 由方程组解反推交点，直接把解当作坐标 (x，y) 使用
· 比大小看谁在上方，以交点横坐标为分界写不等式解集
· 求解析式用待定系数法；坐标轴交点分别令 y=0 与 x=0
· 围成面积取两截距之差为底、交点纵坐标为高；平移对 x 整体加减
【作业1】（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键．
将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，
，
∴，
∴
则关于、的方程组的解为．
故选：B．
【作业2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．4.5
【答案】D
【知识点】求直线围成的图形面积
【分析】本题考查求一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积．先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算．
【详解】解：根据函数作出图像为：
对于一次函数，
∵当时，，
∴一次函数图像与y轴交点B为；
∵当时，，解得，
∴一次函数图像与x轴交点A为，
∴，，
∴．
故选：D．
【作业3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可．
【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值．
联立两直线解析式：，
解得，代入解析式求得．
故选：D．
【作业4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相同
D．不等式组的解集是
【答案】A
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可．
【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意；
B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意；
C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意；
D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意．
故选：A．
【作业5】（25-26八年级上·全国·课后作业）以方程和的解为坐标的点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】判断点所在的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查解二元一次方程组及判断点所在象限，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
通过解方程组得到点的坐标，分析坐标的符号与参数的关系，判断点可能出现的象限，发现点的横纵坐标不可能同时为负，因此一定不在第三象限，即可得到答案．
【详解】解：联立，
解得，
，
A、当在第一象限，则，解得，存在这样的使在第一象限，不符合题意；
B、当在第二象限，则，解得，存在这样的使在第二象限，不符合题意；
C、当在第三象限，则，不等式组无解，不存在这样的使在第三象限，符合题意；
D、当在第四象限，则，解得，存在这样的使在第四象限，不符合题意；
故选：C．
【作业6】（11-12八年级上·福建漳州·期末）如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是______
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图像的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的解，这是解决此类问题的关键知识点．本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系来求解方程组的解．
【详解】解：直线和直线交于点，
方程组的解就是点的坐标．
故答案为：．
【作业7】（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）直线与相交于点，则方程组的解为______．
【答案】/
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系，熟练掌握方程组的解为两直线的交点坐标是解题的关键．
根据方程组的解即为两直线交点的坐标，求出交点坐标即可．
【详解】解：点在直线上，
则将代入得，解得，
因此交点坐标为，
即方程组的解为，
故答案为．
【作业8】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与相交于点，则二元一次方程组的解是______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据方程组的解就是交点坐标即可求解．
【详解】解：∵直线与相交于点，
把代入，
∴，
∴，
∴，
二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【作业9】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）直线 向上平移个单位后，与直线的交点在第三象限，则m的取值范围是____________ ．
【答案】
【知识点】一次函数图象平移问题、求不等式组的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数、平移、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先求平移后的直线方程，再联立求交点坐标，根据第三象限的点坐标特征列出不等式组求解．
【详解】解：直线 向上平移个单位后，得到新直线： ，
联立得：，
解得：，
∴交点坐标为：，
由于交点在第三象限，则，
由①得：，
；
由②得：，
；
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【作业10】（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________．
【答案】或．
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，关键是计算出的值，注意有两个值，不要漏解．
根据图象经过点，得出，再根据的面积为2，得出，进而算出的值，再计算出，然后把的值代入，即可得到的值，写出函数解析式即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴的交点是，
∴，
即，
∴，，
将，分别代入，
得，，
∴一次函数的表达式是或．
【作业11】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，已知一次函数的图象为，当，，不能围成三角形，则_____．
【答案】或或
【知识点】一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了两直线的交点问题以及平行问题，数形结合、分类讨论是解题的关键．先求出直线的交点，然后分三种情况求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴直线交于点，
当直线经过点时，符合题意，此时，解得；
当直线时，符合题意，则；
当直线时，符合题意，则；
综上：当，，不能围成三角形，则或或，
故答案为：或或．
【作业12】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______．
【答案】
【知识点】图象法解二元一次方程组
【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解．
【详解】解：一次函数和的图象相交于点，
的解为，
故答案为：．
【作业13】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D．
(1)求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标；
(2)连接，若，求t的值；
(3)P是x轴上的一点，连结，若，且，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，一元一次方程，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论．
（1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标；
（2）利用勾股定理求出，根据，即可求得t的值；
（3）过点D作轴于H，设，则可证明，即可得出，分情况讨论m的值，求解即可．
【详解】（1）解：∵直线：分别交y轴，x轴于点A，B，
令，则，
故点A的坐标为，
令，则，
故点B的坐标为，
∵直线：分别交x轴，直线于点C，D．
令，则，
解得：，
∴点C的坐标为，
联立，解得，
故点D的坐标为；
综上，；
（2）解：连接，
则，，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：过点D作轴于H，
设，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
当时，，
解得或（A，D重合舍去），
当时，，
解得或（舍），
综上，或．
【作业14】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ，
(1)如图1：当时，求证：；
(2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？
【答案】(1)
证明：如图所示：过点C作交的角平分线于点M，与相交于E，
，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴设直线：，
∵，，
∴，解得：，
∴直线：，
∵，，
∴同理可求出直线
的解析式：，
∴联立：，解得：，
∴，
∴，，
∴，从而：，
∴；
(2)
的值是：或
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、三角形角平分线的定义、求直线围成的图形面积
【分析】（1）解题思路为：遇到两倍角关系的证明想到角平分线等知识，过点C作交的角平分线于点M，与相交于E，然后证明为等腰三角形即可；
（2）根据B、C两点求出直线的解析式，将D点代入直线解析式中即可求出n的值，然后根据的面积分为与的面积之和为12，即可求出m的值．
【详解】（1）略
（2）∵由（1）可知直线解析式：，
将代入得：，
如图所示：连接，
，
∴
，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数背景下的代数与几何综合题．解题的关键是能够熟练掌握角平分线形成的二倍关系，利用待定系数法求解一次函数解析式，能够用割补法求解平面直角坐标系下的三角形的面积．
【作业15】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数 的图像与一次函数 的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点．
(1)求m，k，b的值：
(2)根据图像，直接写出的解集．
(3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积
【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键．
（1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可；
（3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵点C在一次函数 的图象上，
∴，
解得；
∴，
∵点、在直线上，
∴，
解得：；
（2）解：由图像可得，不等式的解集为；
（3）解：对于，当时，，
解得，，
∴,
由（1）知，，当时，，
解得，
∴，
∴，
∴，
假设存在点P，使的面积是面积的，
∴,
设点的坐标为，
∴，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
【作业16】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知：与成正比例，且时，．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图像并求此直线与坐标轴围成的三角形面积；
(3)若点在这个函数的图象上，求的值；
(4)若该函数图象沿轴向下平移3个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
如图所示：
(3)
(4)
【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了正比例函数的定义、一次函数的表达式、图像与性质及平移变换；解题关键是利用正比例关系建立函数表达式，结合一次函数的相关性质逐步求解．
（1）根据与成正比例，设，代入，求，化简得与的关系式；
（2）找到函数与轴、轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算；
（3）将代入函数关系式，解方程得；
（4）根据平移规律得新函数，令求交点纵坐标．
【详解】（1）解：与成正比例，
设，
当时，，
，
解得，
，
即，
与之间的函数关系式为．
（2）
令则
令则 解得
三角形的面积
（3）解：点在函数的图象上，
，
解得，
．
（4）解：将函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后得到的函数解析式为即，
令 则，
平移后图象与轴的交点坐标为．
【作业17】（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为．
(1)一次函数图象的“星光点”为_____；
(2)关于x的一次函数图象的“星光点”为，求的立方根；
(3)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的交点（即“星光点”）的定义，以及联立方程求解、立方根计算、三角形面积与坐标几何的综合应用；解题的关键是理解“星光点”的定义．
（1）直接联立一次函数与，解方程组得到交点坐标；
（2）根据“星光点”在上，得，求出，再将星光点坐标代入一次函数求，然后计算代数式的立方根；
（3）由“没有星光点”推出，得到函数解析式，进而求出与坐标轴的交点、；利用三角形面积关系，设点坐标，通过面积公式列方程求解；最后用待定系数法求直线的解析式，联立求星光点．
【详解】（1）根据“星光点”的定义得
解得
故答案为．
（2）一次函数图象的“星光点”为
根据“星光点”的定义得
解得
则
∴的立方根为
（3）解：如图，
∵若一次函数没有“星光点”
即与没有交点，
联立，得，
整理得
由于无解，
∴
一次函数的图象分别与轴，轴交于点，
令，，则点
令，，则点
∴
∴
设点，
∵
∴
∴或
∴点，
①当点，
设，
将点，代入得
；解得
则，
联立；解得
∴的“星光点”是．
②当点，
设，
将点，代入得
；解得
则
联立；解得
∴的“星光点”是．
综上，直线的“星光点”为或．
学科网（北京）股份有限公司
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第13讲·一次函数与二元一次方程·优等生讲义
（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026年苏科版八年级数学上册
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解一次函数与二元一次方程的对应关系，会把 y=kx+b 与 kx−y+b=0 互相转化
· 掌握「两直线交点坐标即二元一次方程组的解」，能由图象直接写出方程组的解
· 会用图象法解二元一次方程组，并能由方程组的解反推交点坐标与待定系数
· 能借助两直线交点横坐标确定不等式解集，比较函数值大小并判断点所在象限
· 综合运用待定系数法、图象平移与面积分割解决一次函数综合探究题
📚 知识梳理
☆ 1.一次函数与二元一次方程的对应
一次函数 y=kx+b（k≠0）可以改写成二元一次方程 kx−y+b=0；反过来，每个关于 x、y 的二元一次方程，只要 y 的系数不为零，都能化成一次函数。
函数图象上的每一个点 (x，y)，其坐标都满足对应的二元一次方程；反过来，方程的每一组解都对应图象上的一个点。这就是「数形结合」的桥梁。
一个二元一次方程有无数组解，对应一条直线上无数个点；只有再添一个方程组成方程组，解才可能唯一，对应两条直线的唯一交点。
概念辨析例题：把一次函数 y=2x−3 改写成二元一次方程，并判断点 (2，1) 是否在该函数图象上。
答案：2x−y−3=0；点 (2，1) 在图象上。
解析：移项得 2x−y−3=0。把 x=2、y=1 代入：2×2−1−3=0，等式成立，所以该点坐标是方程的一组解，对应点在直线上。
☆ 2.两直线交点与二元一次方程组的解
两条直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的交点 P(x0，y0)，同时满足两个函数解析式，因此 (x0，y0) 就是方程组的一组解。
反过来，若方程组的解为 (m，n)，则两条直线的交点坐标就是 (m，n)。这类「由解反推交点」的题常与待定系数、含参问题结合。
k1=k2 且 b1≠b2 时两直线平行、无交点，对应方程组无解；两直线重合时对应方程组有无数组解。
读图题要先找准公共点，再按「横坐标在前、纵坐标在后」写成有序数对，不要把 x、y 写反。
概念辨析例题：若关于 x、y 的方程组的解为 (2，−1)，则直线 y=x−3 与另一直线的交点坐标是什么？
答案：交点坐标为 (2，−1)。
解析：方程组的解就是两条直线的公共点坐标，直接把解写成点的坐标即可；代入 y=x−3 验证：2−3=−1，与纵坐标一致。
☆ 3.图象法解二元一次方程组
步骤：把两个方程分别化成 y=kx+b 的形式 → 在同一坐标系中画出两条直线 → 读出交点坐标 → 写出方程组的解。
作图中常取「与坐标轴的交点」两点连线：令 x=0 得 y 轴截距，令 y=0 得 x 轴截距，比任取两点更快且不易出错。
图象法的局限是读数可能不精确，交点非整点时通常只能给近似值；求出后应代回原方程组验算。
概念辨析例题：在同一坐标系中画出 y=x+1 与 y=−x+3 的图象，并根据图象写出对应方程组的解。
答案：两直线交于 (1，2)，方程组的解为 x=1、y=2。
解析：联立 x+1=−x+3 得 2x=2，x=1，代回得 y=2，与图象交点一致；再代入两个解析式均成立。
☆ 4.由图象比较函数值与解不等式
不等式 k1x+b1>k2x+b2 的解集，就是直线 y=k1x+b1 位于另一直线上方时 x 的取值范围。
分界点一定是两直线交点的横坐标：在交点左侧与右侧，上下位置关系恰好相反，因此只需判断一侧即可。
严格大于或严格小于时解集不含分界点；含等号时取到分界点。若题目问「无论 x 取何值」，要检查两直线是否平行。
含参数时先由交点横坐标建立关于参数的方程，再结合图象开口方向（此处为直线斜率）确定范围。
概念辨析例题：直线 y=x+1 与 y=−x+3 交于点 (1，2)，则 x+1>−x+3 的解集是什么？
答案：x>1。
解析：交点横坐标为 1，是分界点。取 x=2 代入比较：3>1 成立，说明交点右侧 y=x+1 在上方，故解集为 x>1（不含 1）。
☆ 5.待定系数法、坐标轴交点与图形面积
求解析式：设 y=kx+b，把已知两点坐标代入得二元一次方程组，解出 k、b 再回代。
与 x 轴交点令 y=0，与 y 轴交点令 x=0；直线与两坐标轴围成的直角三角形，两直角边长即两个截距的绝对值。
两条直线与 x 轴围成的三角形，底取两直线 x 轴截距之差的绝对值，高取两直线交点的纵坐标绝对值，S=×底×高。
图象平移：上下平移 m 个单位改常数项 y=kx+b±m；左右平移 n 个单位对 x 整体加减，y=k(x∓n)+b。左加右减、上加下减。
概念辨析例题：直线 y=2x−4 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，求 △AOB 的面积。
答案：S=4。
解析：令 y=0 得 x=2，即 A(2，0)；令 x=0 得 y=−4，即 B(0，−4)。两直角边长分别为 2 与 4，故 S=×2×4=4。
📋 知识总结表
核心概念
定义/结论
关键提醒
函数与方程
y=kx+b ⟺ kx−y+b=0
图象上每点坐标都是方程的一组解
交点与方程组的解
交点 (x0，y0) 即方程组的解
先横后纵，别把坐标写反
平行与无解
k1=k2 且 b1≠b2 时无交点
对应方程组无解；重合则有无数组解
图象法解方程组
画两直线 → 读交点 → 写解
读数可能不精确，需代回验算
由交点定不等式
以交点横坐标为分界，看谁在上方
严格不等号不含分界点
坐标轴交点
y=0 求 x 截距，x=0 求 y 截距
截距可负，面积取绝对值
图形面积与平移
S=×底×高；上移 m 改 b+m
左右平移对 x 整体加减，不是只改常数项
⚠️ 核心考点
【考点1】由图象交点求二元一次方程组的解
· 交点坐标就是方程组的解，先在图上锁定两直线的公共点
· 读坐标时横坐标在前、纵坐标在后，写成 x=…、y=… 的形式
· 题干给「交点横坐标为 a」时，先把 x=a 代入任一解析式求出纵坐标
· 图象中若含网格或标注点，优先用标注点读数，避免估读误差
1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，直线与相交于点，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南驻马店·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数的图像与的图像交点为，则关于x、y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于的二元一次方程组的解为，则一次函数和的图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23八年级下·四川眉山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点2】交点与方程组解的互化及不等式解集
· 由方程组的解反推交点：直接把解当作点坐标
· 含参数时把交点坐标代入两个解析式，建立关于参数的方程
· 比较函数值看谁在上方，以交点横坐标为分界写不等式解集
· 判断点所在象限，先由方程组解确定坐标符号，再定象限
12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，随的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤的值每增加1，的值增加．其中正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解是
14．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解为________．
15．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是______．
16．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为______．
17．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标为______．
18．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是_______．
19．（24-25八年级下·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为__________．
20．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为__________．
21．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是________________．
22．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线（为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______．
23．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为_______．
24．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象交于点P，则点P位于第_______象限．
25．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________．
26．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是____________．
27．（21-22八年级下·江苏南通·期中）若方程组的解是则直线与直线的交点坐标是_____．
28．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______．
29．（25-26八年级下·全国·课前预习）在同一个坐标系中画出函数和的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．
1
1
3
3
1
30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数的图像经过经过一次函数、图像的交点，求的值．
【考点3】待定系数法求解析式与直线围成的面积
· 设 y=kx+b，代入两个已知点解二元一次方程组
· 与 x 轴交点令 y=0，与 y 轴交点令 x=0
· 围成面积取两 x 截距之差为底、交点纵坐标为高，用 S=×底×高
· 面积一律取正值，底和高都要加绝对值
31．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为．
①一次函数的“关联点”为；
②若一次函数的“关联点”为，则，；
③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则；
④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
32．（2026·山东济南·一模）小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h．
33．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论是_______________．(填写序号）
34．（23-24八年级下·河北唐山·阶段检测）如图，已知一次函数与相交于点C，现有一次函数，若，，不能围成三角形，则的值为__．
35．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，）和．
(1)若的图象过点，求的值；
(2)在（1）的条件下，与的图象的交点坐标为__________．
36．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为．
(1)如图，若．
①求直线、直线与y轴所围成的的面积；
②根据图像直接写出的解集．
(2)若，求整数k的值．
37．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，已知点的纵坐标为3．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求的面积．
38．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
(1)求一次函数的表达式；
(2)是射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标．
39．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一次函数．当时，；当时，．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积．
40．（2025·江苏苏州·模拟预测）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积．
41．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线过点，
(1)求直线的解析式．
(2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
(3)根据图象，写出关于x的不等式的解集．
【考点4】图象平移、几何综合与实际应用探究
· 上下平移改常数项，左右平移对 x 整体加减（左加右减）
· 平移后重新求交点与截距，不要沿用原直线的坐标
· 几何综合常用「分割法」把不规则图形拆成两个三角形
· 行程类图象题看清横轴是时间、纵轴是路程，交点表示相遇
42．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（ ）
A．或 B． C． D．或
43．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ）
A． B．5 C． D．7
44．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，一次函数与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为______．
45．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知直线与直线都经过，直线交y轴于点B，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、，则以下结论：
①方程组的解为；
②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，；
③的面积为6；
④当点P从点O运动到点B时，的值先减小再增大；
⑤当的值最小时，点P的坐标为．
其中正确结论的序号是_______________________．
46．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为___________．
47．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知一次函数，当时，，且其函数图象平行于正比例函数的图象．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积．
48．（24-25八年级上·广西梧州·期中）综合与实践
学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成：
【动手操作】
（1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象．
【观察实践】
（2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标；
【应用迁移】
（3）结合图象，直接写出方程组的解；
（4）结合图象，直接写出当时x的取值范围．
49．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
(1)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，；
(2)若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围．
解得：或，
该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于，
∴且．
50．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知点，在直线l：的图象上，直线l和一次函数的图象交于点B．
(1)求直线l的表达式；
(2)若点B的横坐标是1，求点B的坐标．并直接写出关于 x，y 的方程组的解；
(3)在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求的面积．
51．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系．
(1)乙车的速度为______；
(2)分别求线段，C对应的函数表达式；
(3)当取何值时，甲、乙两车相距？
52．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知函数与．
(1)画这两个函数的图象；
(2)求这两个函数的图象交点的坐标；
(3)当时，x的范围为________．（直接写结果）
0
2
1
4
3
💯 课后巩固
复习建议
· 交点坐标就是方程组的解，读图先找两直线的公共点
· 由方程组解反推交点，直接把解当作坐标 (x，y) 使用
· 比大小看谁在上方，以交点横坐标为分界写不等式解集
· 求解析式用待定系数法；坐标轴交点分别令 y=0 与 x=0
· 围成面积取两截距之差为底、交点纵坐标为高；平移对 x 整体加减
【作业1】（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【作业2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．4.5
【作业3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【作业4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相同
D．不等式组的解集是
【作业5】（25-26八年级上·全国·课后作业）以方程和的解为坐标的点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【作业6】（11-12八年级上·福建漳州·期末）如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是______
【作业7】（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）直线与相交于点，则方程组的解为______．
【作业8】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与相交于点，则二元一次方程组的解是______．
【作业9】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）直线 向上平移个单位后，与直线的交点在第三象限，则m的取值范围是____________ ．
【作业10】（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________．
【作业11】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，已知一次函数的图象为，当，，不能围成三角形，则_____．
【作业12】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______．
【作业13】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D．
(1)求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标；
(2)连接，若，求t的值；
(3)P是x轴上的一点，连结，若，且，求t的值．
【作业14】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ，
(1)如图1：当时，求证：；
(2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？
【作业15】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数 的图像与一次函数 的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点．
(1)求m，k，b的值：
(2)根据图像，直接写出的解集．
(3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【作业16】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知：与成正比例，且时，．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图像并求此直线与坐标轴围成的三角形面积；
(3)若点在这个函数的图象上，求的值；
(4)若该函数图象沿轴向下平移3个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标．
【作业17】（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为．
(1)一次函数图象的“星光点”为_____；
(2)关于x的一次函数图象的“星光点”为，求的立方根；
(3)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”．
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