第5章专题复习讲义 一次函数中的等腰与直角三角形存在性问题 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

一次函数中的等腰与直角三角形存在性问题 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 专题复习讲义 学生版 复习导航 求点的坐标前，先分清相等的两条边或直角所在的顶点；求出候选后，再逐一检查位置范围、点是否重合、三点是否共线，并合并重复答案。 板块 练习重点 A、基础通关 识别三角形条件与坐标表示 B、难点突破 分类求点、检查范围与重复答案 C、综合进阶 多个条件、运动过程与候选个数 D、中考真题精选 等腰直角、位置分类与网格作图 内容目录 一、坐标轴上的等腰三角形 2 二、直线上的等腰三角形 4 三、指定直角顶点求点 6 四、未指定直角顶点求点 9 五、等腰直角三角形的三种位置 11 六、运动中的等腰与直角三角形 13 七、附加条件下的存在性问题 16 A、基础通关 19 B、难点突破 22 C、综合进阶 25 D、中考真题精选 29 一、坐标轴上的等腰三角形 判断是否为等腰三角形，要依次考虑没有指定哪一边是腰时，不能只考虑其中一种。 若已知为腰，则另一腰可能是也可能是且为底的情形不能直接收进答案。 点在轴上可设为在轴上可设为作垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理表示边长的平方；两条边相等时，它们的平方也相等。 每个候选点都要核对：是否在指定范围，是否与已有顶点重合，三个点是否在同一直线上。同一点由不同分支得到，只记一次。 如：在轴上、作出的直角三角形两条直角边长为和所以 【典例精讲】例1、已知点在轴上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 变式1-1、已知点在轴上，是以为腰的等腰三角形。 求的坐标。 变式1-2、已知点在坐标轴上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 变式1-3、已知在点中，能与组成等腰三角形的点共有____个。 二、直线上的等腰三角形 点在直线上，可设横、纵坐标由同一个确定，不能分别任意取值。 仍按三种边相等分类。先从勾股定理写出三边的平方，再列等式；相同的平方项能消去时先消去，原式为一个平方等于非负数时可直接开方。 点在线段或射线上时，必须把几何范围写成坐标范围再筛选。有时一种边角色没有符合条件的位置，这不是漏解。 如：在上，则可写作不是 【典例精讲】例2、已知点在直线上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 变式2-1、已知点在线段上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 变式2-2、已知点在直线上，且是以为腰的等腰三角形。符合条件的点有____个。 变式2-3、已知点在直线上，是以为底、腰长为的等腰三角形。求的值。 三、指定直角顶点求点 直角顶点已给出时，先认清哪条边是斜边。若斜边是应列不能只看到“直角三角形”就固定把当斜边。 固定边水平或竖直时，可先利用垂直关系确定的一个坐标。固定边倾斜时，可从勾股定理表示三边的平方，再按指定直角列式。 若只给为直角边，直角顶点既可能是也可能是两种都要检查。求得位置还要满足题设直线、射线或线段的范围。 如：水平且则竖直，与的横坐标相同。 【典例精讲】例3、已知点在直线上，且 求的坐标。 变式3-1、已知点在直线上，且 求的坐标。 变式3-2、已知点在直线上， 为以为直角边的直角三角形。 求的坐标。 变式3-3、已知点在直线位于轴上方的部分上，且符合条件的点有____个。 四、未指定直角顶点求点 没有指定直角顶点时，分别考虑直角在三种情况。对应的斜边分别为 每一分支先列正确的勾股等式，再代入三边的平方。动点处为直角的分支不能漏掉。 在两个坐标轴上找点时，分轴计算后把相同点合并；对直接得到的情况，有两个实数候选，只有一个，没有实数候选。还须检查候选是否真能组成三角形。 如：一个分支得到时，和都要考虑；若题设才只保留 【典例精讲】例4、已知点在轴上。 求使为直角三角形的所有点的坐标。 变式4-1、已知点在坐标轴上。 求使为直角三角形的所有点的坐标。 变式4-2、已知点在线段上，且为直角三角形。 求的坐标。 变式4-3、已知其中点在轴上，为直角三角形。分别求时，符合条件的点的个数。 五、等腰直角三角形的三种位置 等腰直角三角形的两条直角边相等。判断时必须同时满足等长与垂直，不是等腰点、直角点任取其一。 给定两点而未指定的角色时，按直角在分类。每种情况分直线两侧，一般有两个位置。若指定为直角边，只保留前两类；指定为斜边，只保留最后一类。 直角在时，取中点等腰三线合一给垂直再由角得到作平行于坐标轴的垂线，利用角的关系证明三角形全等，再由对应边相等求点坐标。 求得几何候选后，再代入指定直线或范围；若要求确定一次函数，还要排除竖直直线，以及的水平直线。一次函数要求 如：若为以为斜边的等腰直角三角形，则中点垂直轴且因此或 【典例精讲】例5、已知点在直线上。求使为等腰直角三角形的所有点的坐标。 变式5-1、已知点在直线上， 是以为斜边的等腰直角三角形。 求的坐标。 变式5-2、已知点在直线上，是以为直角边的等腰直角三角形。 求的坐标。 变式5-3、已知点使为等腰直角三角形，且直线是某个一次函数的图像。求所有符合条件的一次函数表达式。 六、运动中的等腰与直角三角形 先写运动时间的范围，再用同一个时间表示所有动点的位置。点向左或向下运动时，对应坐标通常减小；经过转折点后，仍使用从开始运动起的总时间。 点到达终点停止时，要检查终点是否允许。两个动点相遇后不能把重合位置当三角形。 运动中满足条件的时间不一定只有几个数；若一段运动始终保持两边相等，答案可能包含一整段时间。 往返运动中，同一个位置可能被经过两次；应分别由去程、回程的位置关系求时间，再核对各自阶段，不能把不同时间当重复答案删除。 如：点从沿轴向下以每秒个单位运动，运动秒后的坐标为向下运动改变的是纵坐标，不能写成 【典例精讲】例6、在平面直角坐标系中，为原点，从沿轴向原点运动，从沿轴正方向运动，两点速度均为每秒个单位。两点同时出发，到达原点时运动结束。设运动时间为秒，求为等腰直角三角形时的值。 变式6-1、在平面直角坐标系中，为原点，点从沿轴正方向运动，点从沿水平方向向右运动。两点同时出发，速度均为每秒个单位，秒后同时停止。设运动时间为秒，求为等腰三角形的所有时刻 变式6-2、点从沿轴向右运动，点从沿轴向左运动，速度均为每秒个单位。两点同时出发，运动秒后停止。已知求使为以为底的等腰三角形的时刻若不存在，填“不存在”。 变式6-3、已知点从出发，先沿水平方向向右运动到再沿轴向上运动到速度始终为每秒个单位。仅研究运动过程，设从出发起经过秒，求为等腰三角形时的所有取值。 七、附加条件下的存在性问题 同时给出三角形类型与其他条件时，先求类型允许的候选，再逐个核对附加条件；也可先用能直接确定位置的条件缩小范围。两类条件都要满足。 面积条件需从底和对应高列式；不能把点的纵坐标直接当高而不看点在底边哪一侧。 有两个三角形共用动点时，两组等长关系要同时成立。涉及参数与点的个数时，先列出所有几何候选，再检查它们何时落在对应直线上，重复点只计一次。 反求参数时，几个不同的几何点可能给出同一个参数值，要分清问题统计的是点、时刻还是参数。同一个等腰候选若还须为锐角或直角三角形，应继续核验角的条件。 如：底边长为底边在轴上时，三角形面积为只有题设明确在轴上方时，才可写为 【典例精讲】例7、已知点在直线上且位于轴上方。为等腰三角形，面积大于 求的坐标。 变式7-1、已知点在直线上，为等腰直角三角形， 面积为 求的坐标。 变式7-2、已知点同时满足：为等腰三角形且为等腰三角形且 求的坐标。 变式7-3、已知一次函数的图像上恰有两个点使为等腰直角三角形，其中求的所有值。 A、基础通关 A1、是以为腰的等腰三角形，则一定成立的是（ ）。 ． ．或 ．且 ．且 A2、在中，则正确的等式是（ ）。 ． ． ． ． A3、已知点在正比例函数的图像上且位于第一象限，则的坐标为（ ）。 ． ． ． ． A4、点从沿轴向左运动，速度为每秒个单位，到达原点时停止。在运动过程中，经过秒后，的坐标为____。 A5、已知是以为斜边的等腰直角三角形，则的坐标为____。 A6、已知点在轴上且 求的坐标。 A7、已知使为等腰三角形的的取值范围是____。 A8、已知是以为斜边的等腰直角三角形，在轴上方。求过与的一次函数表达式。 B、难点突破 B1、已知点在直线上。 求使为直角三角形的所有点的坐标。 B2、已知是以为底的等腰三角形，且点在一次函数的图像上，则的值为（ ）。 ． ． ．或 ． B3、已知点在轴上且若恰有一个点使为以为腰的等腰三角形，求的取值范围。 B4、已知为原点。使为等腰直角三角形的为（ ）。 ． ． ． ． B5、直线与轴、轴分别交于点在轴负半轴上，为直角三角形，则的坐标为____。 B6、已知点在直线上，为锐角等腰三角形，则的坐标为____。 B7、已知点在坐标轴上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 B8、已知直线上存在点使为等腰直角三角形，求的所有值。 C、综合进阶 C1、已知直线上恰有三个点使为等腰三角形，则的值为____。 C2、已知点在轴上。若与都是等腰三角形，则的坐标为____。 C3、已知点从出发，以每秒个单位的速度水平向右运动到随即以每秒个单位的速度原路返回仅研究整个运动过程，设从出发起经过秒，求为等腰三角形的所有时刻。 C4、已知一次函数的图像随增大而上升， 与线段的内部相交。 （图像上有两个不同点使均为等腰直角三角形，求所有符合条件的函数表达式； （在（中再要求这两个三角形都以为直角边，求符合条件的函数表达式。 C5、点从原点沿正比例函数的图像向第一象限运动，速度为每秒个单位；点同时从沿轴向原点运动，速度为每秒个单位。设运动时间为秒，使为等腰直角三角形的为（ ）。 ．只有 ．只有 ．或 ．不存在 C6、在平面直角坐标系中，为原点。已知在轴正半轴上有两个不同点分别使为直角三角形，且 求以及的坐标。 C7、已知点在直线上，且若恰有两个点使为等腰三角形，求的取值范围。 C8、在平面直角坐标系中，为原点，点从沿轴正方向运动，点从沿水平方向向右运动，速度均为每秒个单位。两点同时出发。若在的过程中，为等腰三角形的时刻恰有一个，为直角三角形的时刻也恰有一个，求的取值范围。 D、中考真题精选 D1、（2025年西藏中考第15题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点交轴于点以原点为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点交轴于点分别以点为圆心，大于的一半的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点作射线交于点则点的坐标是______。 D2、（2025年黑龙江省哈尔滨市中考第18题）在中，点在射线上，连接则______度。 D3、（2026年吉林省长春市中考第23题）如图，在中，为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点以为斜边构造等腰直角三角形点和点在直线的同侧。 （______； （连接求证： （当点在边上时，求的长； （是边上一点，连接当且时， 直接写出的长。 D4、（2026年吉林省中考第16题（1））图①是×的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上。只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图。 在图①中，找一个格点画一个以点为顶点的等腰三角形。 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数中的等腰与直角三角形存在性问题 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 专题复习讲义 教师详解版 复习导航 求点的坐标前，先分清相等的两条边或直角所在的顶点；求出候选后，再逐一检查位置范围、点是否重合、三点是否共线，并合并重复答案。 板块 练习重点 A、基础通关 识别三角形条件与坐标表示 B、难点突破 分类求点、检查范围与重复答案 C、综合进阶 多个条件、运动过程与候选个数 D、中考真题精选 等腰直角、位置分类与网格作图 内容目录 一、坐标轴上的等腰三角形 2 二、直线上的等腰三角形 5 三、指定直角顶点求点 9 四、未指定直角顶点求点 11 五、等腰直角三角形的三种位置 14 六、运动中的等腰与直角三角形 19 七、附加条件下的存在性问题 22 A、基础通关 26 B、难点突破 30 C、综合进阶 36 D、中考真题精选 43 一、坐标轴上的等腰三角形 判断是否为等腰三角形，要依次考虑没有指定哪一边是腰时，不能只考虑其中一种。 若已知为腰，则另一腰可能是也可能是且为底的情形不能直接收进答案。 点在轴上可设为在轴上可设为作垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理表示边长的平方；两条边相等时，它们的平方也相等。 每个候选点都要核对：是否在指定范围，是否与已有顶点重合，三个点是否在同一直线上。同一点由不同分支得到，只记一次。 如：在轴上、作出的直角三角形两条直角边长为和所以 【典例精讲】例1、已知点在轴上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 【解析】设作垂线并用勾股定理，得 当时，解得 当时，即得 当时，得 五个候选互不相同。每个都不与重合，且在轴上、和在直线上，因此每一组均不共线，均能组成三角形。 变式1-1、已知点在轴上，是以为腰的等腰三角形。 求的坐标。 【解析】设由勾股定理， 为腰，故只需或前者给得后者给得两点均有效。 得到的并不满足与另一边等长，不能计入。 变式1-2、已知点在坐标轴上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 【解析】先设 给给给其中时与重合，应舍去。故轴上得到 在轴上 再设同理得到 在轴上 原点被两次得到，只计一次，其余点均有效，共点。 变式1-3、已知在点中，能与组成等腰三角形的点共有____个。 【解析】与重合；与共线，都不能组成三角形。 到的距离相等；满足满足 对三边平方分别为互不相等。故符合条件的点有个。 二、直线上的等腰三角形 点在直线上，可设横、纵坐标由同一个确定，不能分别任意取值。 仍按三种边相等分类。先从勾股定理写出三边的平方，再列等式；相同的平方项能消去时先消去，原式为一个平方等于非负数时可直接开方。 点在线段或射线上时，必须把几何范围写成坐标范围再筛选。有时一种边角色没有符合条件的位置，这不是漏解。 如：在上，则可写作不是 【典例精讲】例2、已知点在直线上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 【解析】设由勾股定理， 时，消去相同二次项得 时，得两处正负号对应。 时，其中时与重合，舍去；给 与重合，舍去 其余四个候选均不与重合，且每个都不在所在的轴上，因此每一组都能组成三角形。 变式2-1、已知点在线段上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 【解析】设 得得只保留得只保留 三个候选均在线段上。每个都不在所在的轴上，因此分别与组成符合条件的三角形。 舍去线段外的点 舍去线段外的点 变式2-2、已知点在直线上，且是以为腰的等腰三角形。符合条件的点有____个。 【解析】过作轴，垂足为点到轴的距离为由勾股定理因此和都大于 不能与或等长，所以没有符合条件的点。 变式2-3、已知点在直线上，是以为底、腰长为的等腰三角形。求的值。 【解析】设作垂线并比较两边平方可得故 故两种情况均能组成三角形。 三、指定直角顶点求点 直角顶点已给出时，先认清哪条边是斜边。若斜边是应列不能只看到“直角三角形”就固定把当斜边。 固定边水平或竖直时，可先利用垂直关系确定的一个坐标。固定边倾斜时，可从勾股定理表示三边的平方，再按指定直角列式。 若只给为直角边，直角顶点既可能是也可能是两种都要检查。求得位置还要满足题设直线、射线或线段的范围。 如：水平且则竖直，与的横坐标相同。 【典例精讲】例3、已知点在直线上，且 求的坐标。 【解析】分别过作轴、轴，垂足分别为设由勾股定理表示距离平方： 直角在故代入后两边相同的平方项相消，得所以 与均不重合；三边平方满足故由勾股定理逆定理可回验直角确在 变式3-1、已知点在直线上，且 求的坐标。 【解析】平行于轴。因为垂直所以的横坐标为 代入得纵坐标为 与不同，故符合条件。 变式3-2、已知点在直线上， 为以为直角边的直角三角形。 求的坐标。 【解析】为直角边，直角可能在或水平。 直角在时，的横坐标为代入得直角在时，的横坐标为代入得 两点均不与固定顶点重合，故均有效。 直角在 直角在 变式3-3、已知点在直线位于轴上方的部分上，且符合条件的点有____个。 【解析】设题设要求 直角在列消去相同二次项得 不符合所以没有符合条件的点。 四、未指定直角顶点求点 没有指定直角顶点时，分别考虑直角在三种情况。对应的斜边分别为 每一分支先列正确的勾股等式，再代入三边的平方。动点处为直角的分支不能漏掉。 在两个坐标轴上找点时，分轴计算后把相同点合并；对直接得到的情况，有两个实数候选，只有一个，没有实数候选。还须检查候选是否真能组成三角形。 如：一个分支得到时，和都要考虑；若题设才只保留 【典例精讲】例4、已知点在轴上。 求使为直角三角形的所有点的坐标。 【解析】设 直角在时，水平、竖直，所以直角在时，同理得 直角在 直角在 直角在时，得即故 直角在 四点互不相同，都不在直线上，也不与重合。 变式4-1、已知点在坐标轴上。 求使为直角三角形的所有点的坐标。 【解析】若在轴上，设直角在分别得直角在时，得即原点。 若在轴上，设直角不可能在或因为相应竖线分别为直角在时，故或 原点重复得到，只计一次。共四点。 在轴上 在轴上；原点只计一次 变式4-2、已知点在线段上，且为直角三角形。 求的坐标。 【解析】设直角在时超出范围；直角在时符合范围。 直角在时，得不可能。 所以只有 直角在候选在线段外 直角在候选在线段内 变式4-3、已知其中点在轴上，为直角三角形。分别求时，符合条件的点的个数。 【解析】不论取何正数，直角在的两点始终为 直角在时，设由勾股定理得即 时另有两个点；时另有原点；时此分支无点。由于前两个点不会与这个分支重合。 所以三种情况总个数依次为 （以示意） （以示意） 五、等腰直角三角形的三种位置 等腰直角三角形的两条直角边相等。判断时必须同时满足等长与垂直，不是等腰点、直角点任取其一。 给定两点而未指定的角色时，按直角在分类。每种情况分直线两侧，一般有两个位置。若指定为直角边，只保留前两类；指定为斜边，只保留最后一类。 直角在时，取中点等腰三线合一给垂直再由角得到作平行于坐标轴的垂线，利用角的关系证明三角形全等，再由对应边相等求点坐标。 求得几何候选后，再代入指定直线或范围；若要求确定一次函数，还要排除竖直直线，以及的水平直线。一次函数要求 如：若为以为斜边的等腰直角三角形，则中点垂直轴且因此或 【典例精讲】例5、已知点在直线上。求使为等腰直角三角形的所有点的坐标。 【解析】（直角在时，垂直且作垂直轴，先考虑在第二象限的情形，作垂直轴，垂足为由垂直垂直可得又故于是得在的反向射线上，等距离的另一点为两点均不在上。 直角在的辅助图 两点都不在给定直线上 （直角在时，垂直且作垂直过的水平线，先考虑在右下方的情形，作垂直该水平线，垂足为由垂直垂直可得结合两直角及得于是得反向射线上的对应点为代入所给直线，只保留 直角在的辅助图 只有在给定直线上 （直角在时，是斜边。取中点由等腰三线合一可得垂直故作垂直过的水平线，先考虑在左上方的情形，作垂直该水平线，垂足为由垂直垂直可得结合两直角及得于是得反向射线对应只保留 直角在的辅助图 只有在给定直线上 每类都是在过对应点的垂线上取两个方向，并按指定长度各确定一个点，三类已经找全。回验：对应对应故答案为 变式5-1、已知点在直线上， 是以为斜边的等腰直角三角形。 求的坐标。 【解析】为斜边，取其中点由等腰三线合一及角可得垂直 作垂直过的水平线，所以先考虑在左上方，作垂直这条水平线。由垂直垂直可得结合两直角及证得于是得反向射线的对应点是 由全等三角形求坐标 代入只有符合。 只有在给定直线上 回验因此两腰相等，且由勾股定理逆定理知直角确在 变式5-2、已知点在直线上，是以为直角边的等腰直角三角形。 求的坐标。 【解析】由可知与坐标轴的夹角均为且 若直角在垂直的两个方向分别是向左上方、向右下方，与坐标轴也成因此相对的水平距离与竖直距离相等；设这两个距离均为由勾股得故两点均不在上。 若直角在仍有垂直同理相对的水平距离与竖直距离均为两个方向分别给两点均在所给直线上。 已指定为直角边，不考虑直角在的情形。故答案为 直角在两点均不符合 直角在两点均符合 变式5-3、已知点使为等腰直角三角形，且直线是某个一次函数的图像。求所有符合条件的一次函数表达式。 【解析】直角在时，或为轴， 不能表示为一次函数的图像。 直角在时，或与联立求式分别得 直角在时，或分别得四条直线互不相同。 直角在所得直线竖直 直角在 直角在 六、运动中的等腰与直角三角形 先写运动时间的范围，再用同一个时间表示所有动点的位置。点向左或向下运动时，对应坐标通常减小；经过转折点后，仍使用从开始运动起的总时间。 点到达终点停止时，要检查终点是否允许。两个动点相遇后不能把重合位置当三角形。 运动中满足条件的时间不一定只有几个数；若一段运动始终保持两边相等，答案可能包含一整段时间。 往返运动中，同一个位置可能被经过两次；应分别由去程、回程的位置关系求时间，再核对各自阶段，不能把不同时间当重复答案删除。 如：点从沿轴向下以每秒个单位运动，运动秒后的坐标为向下运动改变的是纵坐标，不能写成 【典例精讲】例6、在平面直角坐标系中，为原点，从沿轴向原点运动，从沿轴正方向运动，两点速度均为每秒个单位。两点同时出发，到达原点时运动结束。设运动时间为秒，求为等腰直角三角形时的值。 【解析】在内，直角始终在 等腰直角只需即得该时间在规定范围内。 时的位置 变式6-1、在平面直角坐标系中，为原点，点从沿轴正方向运动，点从沿水平方向向右运动。两点同时出发，速度均为每秒个单位，秒后同时停止。设运动时间为秒，求为等腰三角形的所有时刻 【解析】过作轴，垂足为两点同速同向运动，它们的水平距离始终为竖直距离始终为所以即另有 若则不是运动时间，超过停止时刻，都应舍去。 若则因为所以得符合范围。 若则消去相同平方项得不符合范围。 时，互不重合且不共线，所以只有秒。 时的位置；始终为 变式6-2、点从沿轴向右运动，点从沿轴向左运动，速度均为每秒个单位。两点同时出发，运动秒后停止。已知求使为以为底的等腰三角形的时刻若不存在，填“不存在”。 【解析】以为底要求 由勾股定理，消去相同二次项得即 此时都在两点重合，不能组成三角形。因此不存在符合条件的时刻。 时与重合，舍去 变式6-3、已知点从出发，先沿水平方向向右运动到再沿轴向上运动到速度始终为每秒个单位。仅研究运动过程，设从出发起经过秒，求为等腰三角形时的所有取值。 【解析】第一阶段设则 给即给两值均不在给只保留即 第二阶段位于的垂直平分线上且不在上，始终有故整个都符合条件。 两阶段的只记一次，答案为或 转弯前水平段只有一个位置；从转弯点起竖直段各点均符合 七、附加条件下的存在性问题 同时给出三角形类型与其他条件时，先求类型允许的候选，再逐个核对附加条件；也可先用能直接确定位置的条件缩小范围。两类条件都要满足。 面积条件需从底和对应高列式；不能把点的纵坐标直接当高而不看点在底边哪一侧。 有两个三角形共用动点时，两组等长关系要同时成立。涉及参数与点的个数时，先列出所有几何候选，再检查它们何时落在对应直线上，重复点只计一次。 反求参数时，几个不同的几何点可能给出同一个参数值，要分清问题统计的是点、时刻还是参数。同一个等腰候选若还须为锐角或直角三角形，应继续核验角的条件。 如：底边长为底边在轴上时，三角形面积为只有题设明确在轴上方时，才可写为 【典例精讲】例7、已知点在直线上且位于轴上方。为等腰三角形，面积大于 求的坐标。 【解析】设 给给只保留正号根给其中时与重合，舍去，剩 底长且在轴上方，面积就是的纵坐标。面积等于不满足严格大于其余两点面积分别为符合条件。 面积等于不符合 符合面积条件 符合面积条件 在轴下方，不符合 变式7-1、已知点在直线上，为等腰直角三角形， 面积为 求的坐标。 【解析】若为直角边，另一条直角边也长面积为与题意不符。 因此必为斜边。 取中点等腰三线合一和角给垂直故或 代入只有符合。 直角在 候选不在直线上 直角在 线上的候选不符合面积条件 直角在 符合全部条件 变式7-2、已知点同时满足：为等腰三角形且为等腰三角形且 求的坐标。 【解析】设由勾股定理表示两边平方得化简为所以在直线上。 代入给得或 相应两点都不在固定点所在直线上，因此两个三角形均能成立。 第一种位置 第二种位置 变式7-3、已知一次函数的图像上恰有两个点使为等腰直角三角形，其中求的所有值。 【解析】直角在时，或直角在时，或直角在时，或共六个互异候选。 始终在上；始终不在。其余四点分别代入得到 这四个互不相同，所以每次恰多一个候选在直线上，总数恰为其余非零只有一个点。故 A、基础通关 A1、是以为腰的等腰三角形，则一定成立的是（ ）。 ． ．或 ．且 ．且 【解析】为腰，另一腰可能是也可能是因此或仅有时，可能是底，不够。 A2、在中，则正确的等式是（ ）。 ． ． ． ． 【解析】直角顶点是对边是斜边，故 A3、已知点在正比例函数的图像上且位于第一象限，则的坐标为（ ）。 ． ． ． ． 【解析】过作轴，垂足为设由勾股定理得负值不符合第一象限。 A4、点从沿轴向左运动，速度为每秒个单位，到达原点时停止。在运动过程中，经过秒后，的坐标为____。 【解析】向左走过个单位，横坐标为纵坐标仍为运动范围 A5、已知是以为斜边的等腰直角三角形，则的坐标为____。 【解析】取中点由三线合一及角，垂直且故在的上方或下方个单位。 在轴上方 在轴下方 A6、已知点在轴上且 求的坐标。 【解析】过作平行于轴的直线，分别过作这条直线的垂线，垂足分别为设 直角在列消去相同二次项得 与均不同，三边平方为回验成立。 A7、已知使为等腰三角形的的取值范围是____。 【解析】任意都满足等长。但时三点共线，不能组成三角形。其余均有效。 上下两位置示意；原点不符合 A8、已知是以为斜边的等腰直角三角形，在轴上方。求过与的一次函数表达式。 【解析】取的中点所以 设由得由得故 B、难点突破 B1、已知点在直线上。 求使为直角三角形的所有点的坐标。 【解析】直线与所在直线交于以为基准，设则 直角在时，竖直，直角在时，竖直， 直角在时，得得 四个候选均与不重合；它们均不在上，勾股等式分别成立，故都是有效点。 直角在 直角在 直角在 B2、已知是以为底的等腰三角形，且点在一次函数的图像上，则的值为（ ）。 ． ． ．或 ． 【解析】两底角均为所以直角在取的中点得或 分别代入得或一次函数要求故只能 符合 不能表示一次函数 B3、已知点在轴上且若恰有一个点使为以为腰的等腰三角形，求的取值范围。 【解析】设给给只有这两个几何候选。 区间包含的条件为包含的条件为 恰包含其中一个：只含时只含时 所以∈或∈和都同时包含两个点，不能取。 B4、已知为原点。使为等腰直角三角形的为（ ）。 ． ． ． ． 【解析】因此两边始终相等。时与重合，时共线，都无效。 非共线时竖直，若直角在或则相应点的纵坐标必须为 这只会得到的重合情形。 故直角只能在由得即解得此时三边平方回验成立。 与重合 三点共线 符合 B5、直线与轴、轴分别交于点在轴负半轴上，为直角三角形，则的坐标为____。 【解析】设竖直。直角在要求水平，不成立；直角在要求水平，只会得到不在负半轴。 直角在时，即解得代入可得三边平方成立。 B6、已知点在直线上，为锐角等腰三角形，则的坐标为____。 【解析】设得得得其中时与重合，舍去。四个有效候选为 时时均不属于锐角三角形。 其余两点都满足由于所在直线为正向候选使其余两角均为符合；负向候选使不符合。 故只保留 直角三角形，舍去 锐角三角形，保留 钝角三角形，舍去 直角三角形，舍去 B7、已知点在坐标轴上。 求使为等腰三角形的所有点的坐标。 【解析】若在轴上，设始终等长；仅时三点共线。因此都符合。 若在轴上，设给此点已列入轴情形。给给 这四个轴点均与组成三角形，且互不相同。答案为轴上除外的全部点，以及上述四点。 轴上的上下位置示意 B8、已知直线上存在点使为等腰直角三角形，求的所有值。 【解析】按直角在分类，六个几何候选依次为 代入依次得到不同点可能给相同不能重复记参数。 故这四个值每个都有至少一个有效几何点在对应直线上。 直角在 直角在 直角在重复的值只计一次 C、综合进阶 C1、已知直线上恰有三个点使为等腰三角形，则的值为____。 【解析】设始终给或分别给 时，后两式无解，只有一个点；时，分别给加上恰有三个点。 时，令候选横坐标为每组两根不同；不同组之间或与重复，只有这一种情况，得到共三个点。 时其余时五个点互不相同。由于每个候选都与组成三角形。 时有个候选 时有个候选 时有个候选 时有个候选 C2、已知点在轴上。若与都是等腰三角形，则的坐标为____。 【解析】先从这一组入手，设给给给 依次检查时成立；时为和而三边互不相等。 因此只有两个三角形的底边分别在上，不在其上，均有效。 先由求候选 再检查仅原点符合 C3、已知点从出发，以每秒个单位的速度水平向右运动到随即以每秒个单位的速度原路返回仅研究整个运动过程，设从出发起经过秒，求为等腰三角形的所有时刻。 【解析】先按位置求候选。设 得得只保留得只保留因为 去程有因此三个时间为回程有因此三个时间为 六个时间互不相同且都在各自阶段内。每个几何位置往返各经过一次，不能只记去程。 三个位置分别对应去程、回程两个时刻 C4、已知一次函数的图像随增大而上升， 与线段的内部相交。 （图像上有两个不同点使均为等腰直角三角形，求所有符合条件的函数表达式； （在（中再要求这两个三角形都以为直角边，求符合条件的函数表达式。 【解析】六个几何候选为用辅助图按横坐标分列，不把不同点对漏掉。 函数递增，两个所选点的横坐标增加时纵坐标必须增加；同横坐标点不能确定一次函数，同纵坐标点给水平线，也不符合。满足递增的点对仅为 其中均在或上，分别与轴交于或交点不是内部，排除。 其余三对分别给与轴交点的横坐标为都在内。每条都经过两个有效候选，故（为这三条。 （为直角边时，只保留三条中只有经过两个这样的点，故仅 直线符合 直线符合 直线符合 直线经过舍去 直线经过舍去 六个等腰直角三角形候选点 C5、点从原点沿正比例函数的图像向第一象限运动，速度为每秒个单位；点同时从沿轴向原点运动，速度为每秒个单位。设运动时间为秒，使为等腰直角三角形的为（ ）。 ．只有 ．只有 ．或 ．不存在 【解析】沿方向运动，走过个单位，水平和竖直距离均为所以且两点均不与重合。始终为直角不在 若直角在竖直，得此时 若直角在另两角均为作垂直轴，则且在右侧、故由得 两时刻都在规定范围内，故或 时，直角在 时，直角在 C6、在平面直角坐标系中，为原点。已知在轴正半轴上有两个不同点分别使为直角三角形，且 求以及的坐标。 【解析】直角在得到不在正半轴；直角在始终得到若直角在动点，设其横坐标为勾股给 要有两个正半轴上的点，必须另一点为横坐标严格小于 决定较远点是所以得由 代回得两个点不同，分别对应和动点处的直角，全部条件成立。 C7、已知点在直线上，且若恰有两个点使为等腰三角形，求的取值范围。 【解析】设 得得只能保留正的得其中时与重合，且不在非负范围，舍去，只保留 三个可能的非负横坐标依次为互不相同。始终在内。恰有两个点，须中间值不超过最大值超过即且 所以左端时三个点都在范围内，不能取；右端中间点恰在可取。 时的位置示意；超出横坐标范围 C8、在平面直角坐标系中，为原点，点从沿轴正方向运动，点从沿水平方向向右运动，速度均为每秒个单位。两点同时出发。若在的过程中，为等腰三角形的时刻恰有一个，为直角三角形的时刻也恰有一个，求的取值范围。 【解析】 时三点始终不共线。 等腰分类：给给（负根舍去）；给舍去。因此等腰时刻为 直角分类：直角在要求竖直，只会得到已排除；直角在要求竖直，但横坐标相差不可能。 直角在时，得解得代回三边平方满足勾股关系且各点不同，成立。 中等腰恰一次要求直角恰一次要求取共同范围，得 第一次等腰 第二次等腰，须排除 直角在 D、中考真题精选 D1、（2025年西藏中考第15题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点交轴于点以原点为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点交轴于点分别以点为圆心，大于的一半的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点作射线交于点则点的坐标是______。 【解析】由尺规作图可知，平分所以过作轴于则为等腰直角三角形，因此的横、纵坐标相等。 设直线的解析式为由得再由得故 令代入得所以故 D2、（2025年黑龙江省哈尔滨市中考第18题）在中，点在射线上，连接则______度。 【解析】所以 若在线段内部，则 若在的延长线上，则 不能与重合（，也不能与重合（否则不能为。两类位置均能实现，答案为或 在线段内部 在的延长线上 D3、（2026年吉林省长春市中考第23题）如图，在中，为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点以为斜边构造等腰直角三角形点和点在直线的同侧。 （______； （连接求证： （当点在边上时，求的长； （是边上一点，连接当且时， 直接写出的长。 【解析】（由勾股定理，所以 （由对称知又根据等腰三角形三线合一，且所以 第（问辅助图 （以为原点、射线为轴正半轴，点所在一侧为轴正方向建立平面直角坐标系。这里原题中的仍是的中点，不是坐标原点。于是 设作到轴的垂线，由勾股定理得两式相减，得所以进而因此直线的表达式为 由（知在过且垂直的直线上。设则且在上时，故 第（问：在上 （先判断的方向。射线夹角为平分这个角。若在内部，两角之和为若在的反向射线所夹的角内，两角之和为均不符合题意。射线若与射线或重合，两角和为若与它们的反向射线重合，两角和为也不符合题意。 其余两个区域中，与相差结合两角之和为可得两角分别为和因此分别位于的左侧或右侧，且都与垂直，即平行 第（问：在左侧 第（问：在右侧 仍设在直线上，且与纵坐标相等，所以由得故或于是或 两值均满足且所以相应的均在边内部。分别回验，左、右两位置的与分别为或均满足角和条件。 D4、（2026年吉林省中考第16题（1））图①是×的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上。只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图。 在图①中，找一个格点画一个以点为顶点的等腰三角形。 【解析】取左边界上与处在同一条水平网格线上的格点连接 把每个小正方形的边长记为由网格中的水平、竖直距离，所以为等腰三角形。与不重合，且三点不在同一直线上。 一种画法 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $