第3讲 全等三角形的判定与综合 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册

第3讲 全等三角形的判定与综合 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 思维导图 课程目标 · 掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）并会灵活选用 · 理解尺规作图的基本原理，掌握作一个角等于已知角等基本作图的依据 · 综合运用全等三角形的判定与性质解决线段、角度类问题 · 会在动点问题中用代数式表示运动量，列方程并分类讨论求解 · 掌握手拉手、一线三垂直等经典模型，解决创新与压轴题 知识梳理 🔹 1. 全等三角形的五种判定方法 · SSS：三边分别相等的两个三角形全等。 · SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 · ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；AAS：两角和其中一角的对边分别相等。 · HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（仅限直角三角形）。 【概念辨析·典型例题】 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G。求证：△ABF≌△DCE。 答案：用SAS判定 解析：由BE＝CF得BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；又AB＝DC，∠B＝∠C。两个三角形中两边及其夹角分别相等，依据“边角边（SAS）”即可判定△ABF≌△DCE。 🔹 2. 尺规作图的定义与基本作图 · 只用没有刻度的直尺和圆规作图，叫做尺规作图。 · 五种基本作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线。 · 尺规作图的正确性由作图痕迹构造的全等三角形说明，如“作一个角等于已知角”依据SSS。 【概念辨析·典型例题】 如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图。从作图过程中，能判定两个三角形全等，从而说明∠MBN＝∠PAQ，其依据是（　　） 答案：SSS（三边分别相等） 解析：作图时以点O、A为圆心作弧得到三组相等的线段：AC＝BE、AD＝BF、CD＝EF，两三角形的三边分别相等，依据“SSS”判定全等，由全等三角形对应角相等得∠MBN＝∠PAQ。 🔹 3. 全等三角形的判定与性质综合 · 先判定三角形全等，再利用全等得到对应边相等、对应角相等，实现“边与角”的转化。 · 常见条件组合：平行线（内错角相等）＋中点（线段相等）＋垂直（直角）。 · 需要时添加辅助线构造全等三角形（如倍长中线、过点作垂线）。 【概念辨析·典型例题】 如图，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连接CD、CE。求证：△ADC≌△BCE。 答案：用SAS判定 解析：由AD∥BE得∠A＝∠B（内错角相等）；又AC＝BE，AD＝BC，两边及其夹角分别相等，依据“SAS”判定△ADC≌△BCE，进而可得对应角、对应边相等。 🔹 4. 全等模型与压轴综合 · 手拉手模型：两个等腰（或等边）三角形共顶点旋转，可证一组全等三角形。 · 一线三垂直模型：一条直线上有三个直角，由同角的余角相等找角相等，配合边相等证全等。 · 动点问题：用含t的代数式表示运动路程，由全等对应边相等列方程；对应关系不确定时分类讨论。 【概念辨析·典型例题】 问题情境：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上。求证：△ACD≌△BCE。 答案：用SAS判定 解析：由等边三角形得CA＝CB，CD＝CE；又∠ACB＝∠DCE＝60°，故∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD＝∠BCE。两边及其夹角分别相等，依据“SAS”判定△ACD≌△BCE（手拉手模型）。 📋 知识总结表 核心概念 判定条件 注意事项 SSS 三边分别相等 最直接，条件充分时优先使用 SAS 两边及它们的夹角分别相等 夹角必须是两边的夹角，不能是其中一边的对角 ASA 两角及它们的夹边分别相等 夹边是两角的公共边 AAS 两角及其中一角的对边分别相等 与ASA可互相转化 HL 斜边和一条直角边分别相等（直角三角形） 仅适用于直角三角形 全等性质 对应边相等、对应角相等 判定之后用性质进行边角转化 核心考点 【考点1】全等三角形的判定（第1-14题） · 根据已知边角条件选择判定方法：三条边→SSS，两边夹一角→SAS，两角夹边→ASA等。 · 动点问题：设时间为t，用代数式表示线段长，由对应边相等列方程，注意分类讨论。 · 补充条件开放题：添加使三角形全等的条件，注意条件必须属于五种判定方法。 1．（2025秋•澧县期末）如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 2．（2025秋•祁东县期末）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2026•桑植县一模）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 4．（2025秋•资阳校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，AD＝AE，要使△ABE≌△ACD．需添加的一个条件是 _________________ .（只需写一个，不添加辅助线） 5．（2024•浙江模拟）如图，射线AE平分∠DAC，点B在射线AE上，若使△ABD≌△ABC，则需添加的一个条件是 _________________ .（只填一个即可） 6．（2025秋•浠水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为________ s时，△PEC与△QFC全等． 7．（2024春•高新区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，D是AB的中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点C向点A运动，它们运动的时间为t（s），设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△DBP与△QCP全等，则x的值为 ____________________ ． 8．（2025秋•安庆期末）如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上面点C向点D运动．当点Q的运动速度为 ____________________ cm/s时，能够使△BPE与△CPQ全等． 9．（2025秋•盐城期末）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G．求证：△ABF≌△DCE． 10．（2025春•浦东新区期末）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，说明△ABC≌△EFD．请填写说理过程或理由． 11．（2026•昆明模拟）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF． 12．（2026•新会区校级模拟）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 13．（2025春•崇明区期末）如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于点F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 14．（2025秋•祁阳市校级期末）已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【考点2】作图—尺规作图的定义（第15-19题） · 熟记五种基本作图及作图的几何语言表述。 · 理解作图的正确性：由作图痕迹中的等线段依据SSS证明三角形全等。 · 注意射线、直线、线段的区别，规范作图与描述。 15．（2026春•上海期中）如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图．从作图过程中，能判定△COD≌△C′O′D′的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 16．（2025秋•东港市期末）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．作射线MN＝6cm B．延长直线AB到D C．延长线段AB至C，使AC＝BC D．以点O为圆心，任意长为半径画弧 17．（2026春•环翠区期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 18．（2025秋•思明区校级期末）已知：如图，已知三点A，B，C，请完成以下问题： （1）尺规作图：画直线AB，射线AC；连接BC，并在BC的延长线上取点E，使得CE＝AB+BC；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝1，BC＝2，点F为CE的中点，求线段BF的长． 19．（2026•望城区校级模拟）如图，点A，B，C是不在一条直线上的三个点，过B，C两点作直线，并连接AB，AC． （1）尺规作图：延长CA至D，使得点A为CD的中点，作射线AB，在射线AB上截取AE＝3AB．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若AB＝AC，CD＝10cm，求BE的长． 【考点3】全等三角形的性质与判定（第20-36题） · 先证全等，再用对应边、对应角相等解决问题。 · 结合平行线、角平分线、垂直、中点等条件找边角相等。 · 辅助线策略：倍长中线、作垂线、过点作平行线构造全等。 20．（2025秋•浦东新区期末）如图，C、D两点分别在射线OA，OB上，点P在∠AOB的内部，且CP＝DP，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M、N，且CM＝DN，若DN＝3，CO＝7，则DO的长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．17 21．（2026•高新区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　） A．1 B．12 C．0.8 D．0.6 22．（2025春•乾县期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄AP平分两条伞骨AB、AC所成的角∠BAC，点D、E、F分别在AP、AB、AC上，DE、DF为两条支杆，AE＝AF．若支杆DF断掉需要更换，则只需要测量（　　） A．BE的长度 B．AE的长度 C．DE的长度 D．AD的长度 23．（2025秋•上海校级期中）如图，已知∠AOB＝∠FEG＝90°，OE平分∠AOB，点F、G分别在射线OA、射线OB上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（　　） ①EF＝EG； ②OF+OG的值不变； ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变； ④FG长度不变． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（2026春•辽中区期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A，C作BD的垂线，垂足为E，F．若DE＝3，CF＝BF＝4，则△ABC的面积是_______ ． 25．（2026秋•同步）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为_______ ． 26．（2025秋•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．如果AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，那么△ABC的周长是 _______ ． 27．（2025秋•陇南期末）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，点F为AD上一点，连接CF，作BE∥CF，交AD延长线于点E．若AE＝15，AF＝7，则DE的长度为_____ ． 28．（2025春•锦江区校级期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC和AB边上的高，AD与CE相交于H，若AE＝CE＝7，CH＝3，则BE＝_____ ． 29．（2026春•闵行区校级期中）如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，∠B＝40°则∠2的度数为________ ． 30．（2025春•闵行区校级月考）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD，则AD的长度的取值范围是 ____________ ． 31．（2026春•鄄城县期末）【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，点A，D，E在直线上，若∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，求证：DE＝BD+CE； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积． 32．（2026春•济阳区期末）如图，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连接CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE； （2）若∠A＝50°，∠BCE＝30°，求∠CEB的度数． 33．（2026•苏州模拟）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 34．（2026春•碑林区校级期中）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，且AC＝BF．若已知BC＝8，AD＝5，求AF的长． 35．（2026•张店区二模）如图，已知AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上，∠BAE＝∠BAD+∠B，且AE＝BC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若ED＝5，CD＝6，求线段AB的长． 36．（2026春•渭滨区期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 【考点4】创新及压轴题（第37-42题） · 识别并运用经典模型：手拉手、一线三垂直、旋转型全等。 · 探究线段数量关系：先猜想，再用全等转移线段证明。 · 综合题规范书写完整推理过程，注意多问递进。 37．（2026春•青羊区校级期中）如图，在△ABC和△ADE中，BC＝DE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D＝30°，BC的延长线交AD于点O，交ED于点F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝75°，求∠EFC的大小． 38．（2024秋•长寿区期末）（1）问题提出：如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB＝AC，若另有一个以AD、AE为腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． （2）尝试应用：如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB＝AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N、M，BD与AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求证：MC+NB＝2AM． （3）问题拓展：如图3，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于点H，等边△ABF的边AF与BC相交于G点．若CE＝6，AH＝4，请直接写出BE的长度． 39．（2026春•紫金县校级期中）问题情境：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）小明发现：△ACD≌△BCE，请你帮他写出推理过程； （2）李洪受小明的启发，求出了∠AEB的度数，请直接写出∠AEB为_______ °； （3）轩轩在前面两人的基础上又探索出了CD与BE的位置关系为__________ ； （4）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE的边DE上的高，连接BE，试探究CM，AE，BE之间有怎样的数量关系． 40．（2026春•通川区校级期末）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 _______ ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 41．（2025秋•鲤城区校级期末）四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，点E在AB边上，连接DE交OA于点F． （1）如图（1），若AO＝AD，BE＝DE． ①求证：∠ADF＝∠EAF； ②求证：AF＝OF． （2）如图（2），若∠AOB＝∠ACD，DF＝AB＝9，OF＝3AF＝6，求BC的长． 42．（2026春•泰和县期末）在四边形ABCE中． （1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ABC＝90°，∠AEC＝90°，则线段BC、CE的长度满足的数量关系是 __________ ；（直接填答案） （2）如图（2），C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，说明线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系； （3）如图（3），C是BD边的中点，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？ 随堂检测 【练习 1】（2025秋•镇平县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，AF＝10，则CF＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【练习 2】（2025秋•上海校级期末）如图，已知点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD，若∠AFD＝140°，则∠EDF＝_______ 度． 【练习 3】（2025秋•厦门校级月考）如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF． 课后巩固 ❤复习建议 熟记五种判定方法，根据已知条件快速选择：三边SSS、两边夹一角SAS、两角夹边ASA等。 证得全等后立即转化为对应边相等、对应角相等，实现边角互转。 掌握常用辅助线：倍长中线、作垂线、作平行线、截长补短，构造全等三角形。 动点与压轴题用代数式表示运动量并建立方程，对应关系不确定时分类讨论。 积累“手拉手”“一线三垂直”“旋转型”等经典全等模型，提高解题速度。 【作业 1】（2026春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 ________ s时，CF＝AB． 【作业 2】（2025秋•城区期末）如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、5.1cm，则OC的长度是 ________ cm． 【作业 3】（2026•玉环市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，过点A作AE∥CD交BC于点E，连结BD，交AE于点F，已知∠CDB＝∠ABC，∠BAD＝∠ADB． （1）求证：△ABE≌△BDC． （2）若BD平分∠ADC，CE＝BE，AB＝6，求CD的长． 【作业 4】（2024春•锦江区期末）补充完成下列推理过程： 如图，在△ABC中，D为线段AC中点，AB＝5，BC＝9，求BD的取值范围． 解：作CE∥AB交BD的延长线于点E． ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ACE．（ ________________ ） ∵D为线段AC中点， ∴AD＝CD．（ ____________ ） ∵在△ABD与△CED中， ， ∴△ABD≌△CED，（ ________ ） ∴AB＝CE，BD＝ED．（ ________________ ） 在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE， ∴， ∵，BC＝9，AB＝5， ∴_____ ＜BD＜_____ ． 【作业 5】（2026•鼓楼区校级二模）证明：三边成比例的两个三角形相似． 【作业 6】（2026春•榆树市月考）如图，在多边形ABCDE中，BC⊥CD，BF⊥AE于点F，且BF＝BC，∠CBF＝2∠DBE，∠ABF＝∠CBD． （1）求证：AB＝DB； （2）若DE＝4，BF＝3，求△BDE的面积． 【作业 7】（2025秋•庐江县期中）在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，AD，BE相交于点F，AE＝BE． （1）求证：EF＝EC； （2）连接DE，若DE平分∠ADC，当EC+CD＝AD时，求∠EBC的度数． 【作业 8】综合与实践 为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得∠ACB＝45°． 观测者从B点沿着南偏东80°的方向走到C点，此时恰好测得∠ACB＝40°． 观测者从B点向南走到C点，再沿着南偏东75°的方向走到E点，在CE上取点D，使CD＝CB，测得∠ADC＝58°，∠BEC＝17°． 测量示 意图 （1）第一小组认为要知道河宽AB，最简单的方法是测量线段_______ 的长度； （2）第二小组测得BC＝35米，请你帮他们求出河宽AB； （3）第三小组认为只要测得DE就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 全等三角形的判定与综合 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 思维导图 课程目标 · 掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）并会灵活选用 · 理解尺规作图的基本原理，掌握作一个角等于已知角等基本作图的依据 · 综合运用全等三角形的判定与性质解决线段、角度类问题 · 会在动点问题中用代数式表示运动量，列方程并分类讨论求解 · 掌握手拉手、一线三垂直等经典模型，解决创新与压轴题 知识梳理 🔹 1. 全等三角形的五种判定方法 · SSS：三边分别相等的两个三角形全等。 · SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 · ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；AAS：两角和其中一角的对边分别相等。 · HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（仅限直角三角形）。 【概念辨析·典型例题】 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G。求证：△ABF≌△DCE。 答案：用SAS判定 解析：由BE＝CF得BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；又AB＝DC，∠B＝∠C。两个三角形中两边及其夹角分别相等，依据“边角边（SAS）”即可判定△ABF≌△DCE。 🔹 2. 尺规作图的定义与基本作图 · 只用没有刻度的直尺和圆规作图，叫做尺规作图。 · 五种基本作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线。 · 尺规作图的正确性由作图痕迹构造的全等三角形说明，如“作一个角等于已知角”依据SSS。 【概念辨析·典型例题】 如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图。从作图过程中，能判定两个三角形全等，从而说明∠MBN＝∠PAQ，其依据是（　　） 答案：SSS（三边分别相等） 解析：作图时以点O、A为圆心作弧得到三组相等的线段：AC＝BE、AD＝BF、CD＝EF，两三角形的三边分别相等，依据“SSS”判定全等，由全等三角形对应角相等得∠MBN＝∠PAQ。 🔹 3. 全等三角形的判定与性质综合 · 先判定三角形全等，再利用全等得到对应边相等、对应角相等，实现“边与角”的转化。 · 常见条件组合：平行线（内错角相等）＋中点（线段相等）＋垂直（直角）。 · 需要时添加辅助线构造全等三角形（如倍长中线、过点作垂线）。 【概念辨析·典型例题】 如图，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连接CD、CE。求证：△ADC≌△BCE。 答案：用SAS判定 解析：由AD∥BE得∠A＝∠B（内错角相等）；又AC＝BE，AD＝BC，两边及其夹角分别相等，依据“SAS”判定△ADC≌△BCE，进而可得对应角、对应边相等。 🔹 4. 全等模型与压轴综合 · 手拉手模型：两个等腰（或等边）三角形共顶点旋转，可证一组全等三角形。 · 一线三垂直模型：一条直线上有三个直角，由同角的余角相等找角相等，配合边相等证全等。 · 动点问题：用含t的代数式表示运动路程，由全等对应边相等列方程；对应关系不确定时分类讨论。 【概念辨析·典型例题】 问题情境：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上。求证：△ACD≌△BCE。 答案：用SAS判定 解析：由等边三角形得CA＝CB，CD＝CE；又∠ACB＝∠DCE＝60°，故∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD＝∠BCE。两边及其夹角分别相等，依据“SAS”判定△ACD≌△BCE（手拉手模型）。 📋 知识总结表 核心概念 判定条件 注意事项 SSS 三边分别相等 最直接，条件充分时优先使用 SAS 两边及它们的夹角分别相等 夹角必须是两边的夹角，不能是其中一边的对角 ASA 两角及它们的夹边分别相等 夹边是两角的公共边 AAS 两角及其中一角的对边分别相等 与ASA可互相转化 HL 斜边和一条直角边分别相等（直角三角形） 仅适用于直角三角形 全等性质 对应边相等、对应角相等 判定之后用性质进行边角转化 核心考点 【考点1】全等三角形的判定（第1-14题） · 根据已知边角条件选择判定方法：三条边→SSS，两边夹一角→SAS，两角夹边→ASA等。 · 动点问题：设时间为t，用代数式表示线段长，由对应边相等列方程，注意分类讨论。 · 补充条件开放题：添加使三角形全等的条件，注意条件必须属于五种判定方法。 1．（2025秋•澧县期末）如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 2．（2025秋•祁东县期末）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2026•桑植县一模）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 4．（2025秋•资阳校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，AD＝AE，要使△ABE≌△ACD．需添加的一个条件是 _________________ .（只需写一个，不添加辅助线） 5．（2024•浙江模拟）如图，射线AE平分∠DAC，点B在射线AE上，若使△ABD≌△ABC，则需添加的一个条件是 _________________ .（只填一个即可） 6．（2025秋•浠水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为________ s时，△PEC与△QFC全等． 7．（2024春•高新区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，D是AB的中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点C向点A运动，它们运动的时间为t（s），设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△DBP与△QCP全等，则x的值为 ____________________ ． 8．（2025秋•安庆期末）如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上面点C向点D运动．当点Q的运动速度为 ____________________ cm/s时，能够使△BPE与△CPQ全等． 9．（2025秋•盐城期末）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G．求证：△ABF≌△DCE． 10．（2025春•浦东新区期末）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，说明△ABC≌△EFD．请填写说理过程或理由． 11．（2026•昆明模拟）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF． 12．（2026•新会区校级模拟）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 13．（2025春•崇明区期末）如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于点F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 14．（2025秋•祁阳市校级期末）已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【考点2】作图—尺规作图的定义（第15-19题） · 熟记五种基本作图及作图的几何语言表述。 · 理解作图的正确性：由作图痕迹中的等线段依据SSS证明三角形全等。 · 注意射线、直线、线段的区别，规范作图与描述。 15．（2026春•上海期中）如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图．从作图过程中，能判定△COD≌△C′O′D′的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 16．（2025秋•东港市期末）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．作射线MN＝6cm B．延长直线AB到D C．延长线段AB至C，使AC＝BC D．以点O为圆心，任意长为半径画弧 17．（2026春•环翠区期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 18．（2025秋•思明区校级期末）已知：如图，已知三点A，B，C，请完成以下问题： （1）尺规作图：画直线AB，射线AC；连接BC，并在BC的延长线上取点E，使得CE＝AB+BC；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝1，BC＝2，点F为CE的中点，求线段BF的长． 19．（2026•望城区校级模拟）如图，点A，B，C是不在一条直线上的三个点，过B，C两点作直线，并连接AB，AC． （1）尺规作图：延长CA至D，使得点A为CD的中点，作射线AB，在射线AB上截取AE＝3AB．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若AB＝AC，CD＝10cm，求BE的长． 【考点3】全等三角形的性质与判定（第20-36题） · 先证全等，再用对应边、对应角相等解决问题。 · 结合平行线、角平分线、垂直、中点等条件找边角相等。 · 辅助线策略：倍长中线、作垂线、过点作平行线构造全等。 20．（2025秋•浦东新区期末）如图，C、D两点分别在射线OA，OB上，点P在∠AOB的内部，且CP＝DP，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M、N，且CM＝DN，若DN＝3，CO＝7，则DO的长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．17 21．（2026•高新区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　） A．1 B．12 C．0.8 D．0.6 22．（2025春•乾县期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄AP平分两条伞骨AB、AC所成的角∠BAC，点D、E、F分别在AP、AB、AC上，DE、DF为两条支杆，AE＝AF．若支杆DF断掉需要更换，则只需要测量（　　） A．BE的长度 B．AE的长度 C．DE的长度 D．AD的长度 23．（2025秋•上海校级期中）如图，已知∠AOB＝∠FEG＝90°，OE平分∠AOB，点F、G分别在射线OA、射线OB上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（　　） ①EF＝EG； ②OF+OG的值不变； ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变； ④FG长度不变． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（2026春•辽中区期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A，C作BD的垂线，垂足为E，F．若DE＝3，CF＝BF＝4，则△ABC的面积是_______ ． 25．（2026秋•同步）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为_______ ． 26．（2025秋•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．如果AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，那么△ABC的周长是 _______ ． 27．（2025秋•陇南期末）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，点F为AD上一点，连接CF，作BE∥CF，交AD延长线于点E．若AE＝15，AF＝7，则DE的长度为_____ ． 28．（2025春•锦江区校级期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC和AB边上的高，AD与CE相交于H，若AE＝CE＝7，CH＝3，则BE＝_____ ． 29．（2026春•闵行区校级期中）如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，∠B＝40°则∠2的度数为________ ． 30．（2025春•闵行区校级月考）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD，则AD的长度的取值范围是 ____________ ． 31．（2026春•鄄城县期末）【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，点A，D，E在直线上，若∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，求证：DE＝BD+CE； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积． 32．（2026春•济阳区期末）如图，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连接CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE； （2）若∠A＝50°，∠BCE＝30°，求∠CEB的度数． 33．（2026•苏州模拟）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 34．（2026春•碑林区校级期中）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，且AC＝BF．若已知BC＝8，AD＝5，求AF的长． 35．（2026•张店区二模）如图，已知AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上，∠BAE＝∠BAD+∠B，且AE＝BC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若ED＝5，CD＝6，求线段AB的长． 36．（2026春•渭滨区期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 【考点4】创新及压轴题（第37-42题） · 识别并运用经典模型：手拉手、一线三垂直、旋转型全等。 · 探究线段数量关系：先猜想，再用全等转移线段证明。 · 综合题规范书写完整推理过程，注意多问递进。 37．（2026春•青羊区校级期中）如图，在△ABC和△ADE中，BC＝DE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D＝30°，BC的延长线交AD于点O，交ED于点F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝75°，求∠EFC的大小． 38．（2024秋•长寿区期末）（1）问题提出：如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB＝AC，若另有一个以AD、AE为腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． （2）尝试应用：如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB＝AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N、M，BD与AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求证：MC+NB＝2AM． （3）问题拓展：如图3，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于点H，等边△ABF的边AF与BC相交于G点．若CE＝6，AH＝4，请直接写出BE的长度． 39．（2026春•紫金县校级期中）问题情境：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）小明发现：△ACD≌△BCE，请你帮他写出推理过程； （2）李洪受小明的启发，求出了∠AEB的度数，请直接写出∠AEB为_______ °； （3）轩轩在前面两人的基础上又探索出了CD与BE的位置关系为__________ ； （4）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE的边DE上的高，连接BE，试探究CM，AE，BE之间有怎样的数量关系． 40．（2026春•通川区校级期末）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 _______ ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 41．（2025秋•鲤城区校级期末）四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，点E在AB边上，连接DE交OA于点F． （1）如图（1），若AO＝AD，BE＝DE． ①求证：∠ADF＝∠EAF； ②求证：AF＝OF． （2）如图（2），若∠AOB＝∠ACD，DF＝AB＝9，OF＝3AF＝6，求BC的长． 42．（2026春•泰和县期末）在四边形ABCE中． （1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ABC＝90°，∠AEC＝90°，则线段BC、CE的长度满足的数量关系是 __________ ；（直接填答案） （2）如图（2），C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，说明线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系； （3）如图（3），C是BD边的中点，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？ 随堂检测 【练习 1】（2025秋•镇平县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，AF＝10，则CF＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【练习 2】（2025秋•上海校级期末）如图，已知点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD，若∠AFD＝140°，则∠EDF＝_______ 度． 【练习 3】（2025秋•厦门校级月考）如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF． 课后巩固 ❤复习建议 熟记五种判定方法，根据已知条件快速选择：三边SSS、两边夹一角SAS、两角夹边ASA等。 证得全等后立即转化为对应边相等、对应角相等，实现边角互转。 掌握常用辅助线：倍长中线、作垂线、作平行线、截长补短，构造全等三角形。 动点与压轴题用代数式表示运动量并建立方程，对应关系不确定时分类讨论。 积累“手拉手”“一线三垂直”“旋转型”等经典全等模型，提高解题速度。 【作业 1】（2026春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 ________ s时，CF＝AB． 【作业 2】（2025秋•城区期末）如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、5.1cm，则OC的长度是 ________ cm． 【作业 3】（2026•玉环市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，过点A作AE∥CD交BC于点E，连结BD，交AE于点F，已知∠CDB＝∠ABC，∠BAD＝∠ADB． （1）求证：△ABE≌△BDC． （2）若BD平分∠ADC，CE＝BE，AB＝6，求CD的长． 【作业 4】（2024春•锦江区期末）补充完成下列推理过程： 如图，在△ABC中，D为线段AC中点，AB＝5，BC＝9，求BD的取值范围． 解：作CE∥AB交BD的延长线于点E． ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ACE．（ ________________ ） ∵D为线段AC中点， ∴AD＝CD．（ ____________ ） ∵在△ABD与△CED中， ， ∴△ABD≌△CED，（ ________ ） ∴AB＝CE，BD＝ED．（ ________________ ） 在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE， ∴， ∵，BC＝9，AB＝5， ∴_____ ＜BD＜_____ ． 【作业 5】（2026•鼓楼区校级二模）证明：三边成比例的两个三角形相似． 【作业 6】（2026春•榆树市月考）如图，在多边形ABCDE中，BC⊥CD，BF⊥AE于点F，且BF＝BC，∠CBF＝2∠DBE，∠ABF＝∠CBD． （1）求证：AB＝DB； （2）若DE＝4，BF＝3，求△BDE的面积． 【作业 7】（2025秋•庐江县期中）在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，AD，BE相交于点F，AE＝BE． （1）求证：EF＝EC； （2）连接DE，若DE平分∠ADC，当EC+CD＝AD时，求∠EBC的度数． 【作业 8】综合与实践 为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得∠ACB＝45°． 观测者从B点沿着南偏东80°的方向走到C点，此时恰好测得∠ACB＝40°． 观测者从B点向南走到C点，再沿着南偏东75°的方向走到E点，在CE上取点D，使CD＝CB，测得∠ADC＝58°，∠BEC＝17°． 测量示 意图 （1）第一小组认为要知道河宽AB，最简单的方法是测量线段_______ 的长度； （2）第二小组测得BC＝35米，请你帮他们求出河宽AB； （3）第三小组认为只要测得DE就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 第3讲 全等三角形的判定与综合 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 思维导图 课程目标 · 掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）并会灵活选用 · 理解尺规作图的基本原理，掌握作一个角等于已知角等基本作图的依据 · 综合运用全等三角形的判定与性质解决线段、角度类问题 · 会在动点问题中用代数式表示运动量，列方程并分类讨论求解 · 掌握手拉手、一线三垂直等经典模型，解决创新与压轴题 知识梳理 🔹 1. 全等三角形的五种判定方法 · SSS：三边分别相等的两个三角形全等。 · SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 · ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；AAS：两角和其中一角的对边分别相等。 · HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（仅限直角三角形）。 【概念辨析·典型例题】 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G。求证：△ABF≌△DCE。 答案：用SAS判定 解析：由BE＝CF得BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；又AB＝DC，∠B＝∠C。两个三角形中两边及其夹角分别相等，依据“边角边（SAS）”即可判定△ABF≌△DCE。 🔹 2. 尺规作图的定义与基本作图 · 只用没有刻度的直尺和圆规作图，叫做尺规作图。 · 五种基本作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线。 · 尺规作图的正确性由作图痕迹构造的全等三角形说明，如“作一个角等于已知角”依据SSS。 【概念辨析·典型例题】 如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图。从作图过程中，能判定两个三角形全等，从而说明∠MBN＝∠PAQ，其依据是（　　） 答案：SSS（三边分别相等） 解析：作图时以点O、A为圆心作弧得到三组相等的线段：AC＝BE、AD＝BF、CD＝EF，两三角形的三边分别相等，依据“SSS”判定全等，由全等三角形对应角相等得∠MBN＝∠PAQ。 🔹 3. 全等三角形的判定与性质综合 · 先判定三角形全等，再利用全等得到对应边相等、对应角相等，实现“边与角”的转化。 · 常见条件组合：平行线（内错角相等）＋中点（线段相等）＋垂直（直角）。 · 需要时添加辅助线构造全等三角形（如倍长中线、过点作垂线）。 【概念辨析·典型例题】 如图，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连接CD、CE。求证：△ADC≌△BCE。 答案：用SAS判定 解析：由AD∥BE得∠A＝∠B（内错角相等）；又AC＝BE，AD＝BC，两边及其夹角分别相等，依据“SAS”判定△ADC≌△BCE，进而可得对应角、对应边相等。 🔹 4. 全等模型与压轴综合 · 手拉手模型：两个等腰（或等边）三角形共顶点旋转，可证一组全等三角形。 · 一线三垂直模型：一条直线上有三个直角，由同角的余角相等找角相等，配合边相等证全等。 · 动点问题：用含t的代数式表示运动路程，由全等对应边相等列方程；对应关系不确定时分类讨论。 【概念辨析·典型例题】 问题情境：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上。求证：△ACD≌△BCE。 答案：用SAS判定 解析：由等边三角形得CA＝CB，CD＝CE；又∠ACB＝∠DCE＝60°，故∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD＝∠BCE。两边及其夹角分别相等，依据“SAS”判定△ACD≌△BCE（手拉手模型）。 📋 知识总结表 核心概念 判定条件 注意事项 SSS 三边分别相等 最直接，条件充分时优先使用 SAS 两边及它们的夹角分别相等 夹角必须是两边的夹角，不能是其中一边的对角 ASA 两角及它们的夹边分别相等 夹边是两角的公共边 AAS 两角及其中一角的对边分别相等 与ASA可互相转化 HL 斜边和一条直角边分别相等（直角三角形） 仅适用于直角三角形 全等性质 对应边相等、对应角相等 判定之后用性质进行边角转化 【考点1】全等三角形的判定（第1-14题） · 根据已知边角条件选择判定方法：三条边→SSS，两边夹一角→SAS，两角夹边→ASA等。 · 动点问题：设时间为t，用代数式表示线段长，由对应边相等列方程，注意分类讨论。 · 补充条件开放题：添加使三角形全等的条件，注意条件必须属于五种判定方法。 1．（2025秋•澧县期末）如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意； B、由AB∥DE推出∠A＝∠CDE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意； C、AC＝DE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意； D、∠B＝∠DCE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 2．（2025秋•祁东县期末）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】由BF⊥AE于点F，得∠AFB＝90°，而AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①正确；由AD⊥BC于点D，得∠ADE＝90°，则∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，即可根据“ASA”证明△AFG≌△BFE，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出AG＝BE，EF＝GF，所以AG+CE＝BE+CE＝BC，由∠GAF＝∠CAE，得∠EBF＝∠CAE，推导出∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，则BC＝AC，所以AG+CE＝AC，可判断③正确；得出BG+2GF＝AE，即可判断④． 【解答】解：∵BF⊥AE于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝45°， 故①正确； ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠AFG＝∠BFE＝∠ADE＝90°， ∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB， 在△AFG和△BFE中， ∴△AFG≌△BFE（ASA）， 故②正确； ∴AG＝BE， ∴AG+CE＝BE+CE＝BC， ∵AE平分∠CAD交BC于点E， ∴∠GAF＝∠CAE， ∴∠EBF＝∠CAE， ∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB， ∴BC＝AC， ∴AG+CE＝AC， 故③正确； ∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，又AE＜AC＝BC， ∴BC＞BG+2GF，故④正确． 综上，正确结论的序号为①②③④． 故选：D． 【点评】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（2026•桑植县一模）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【分析】根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解． 【解答】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF， ∴△ACD≌△BEF（SSS）， ∴∠MBN＝∠PAQ， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，正确理解题中的作图是解题的关键． 4．（2025秋•资阳校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，AD＝AE，要使△ABE≌△ACD．需添加的一个条件是 AB＝AC（答案不唯一）　 .（只需写一个，不添加辅助线） 【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴要使△ABE≌△ACD．需添加的一个条件是AB＝AC（答案不唯一）． 故答案为：AB＝AC（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 5．（2024•浙江模拟）如图，射线AE平分∠DAC，点B在射线AE上，若使△ABD≌△ABC，则需添加的一个条件是 AD＝AC（答案不唯一）　 .（只填一个即可） 【分析】根据三角形全等的判定条件即可解决问题． 【解答】解：∵射线AE平分∠DAC， ∴∠DAB＝∠CAB． 又∵AB＝AB， ∴当添加AD＝AC时，可根据SAS得出△ABD≌△ABC． 故答案为：AD＝AC（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的条件是解题的关键． 6．（2025秋•浠水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为　2或4　 s时，△PEC与△QFC全等． 【分析】根据全等三角形的性质得到CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝10﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣10，Q在AC上，列方程即可得出答案． 【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等， ∴斜边CP＝CQ， 有2种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上， CP＝6﹣t，CQ＝10﹣3t， ∴6﹣t＝10﹣3t， ∴t＝2． ②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合， ∴CP＝6﹣t＝3t﹣10， ∴t＝4． 综上所述，点P运动时间为2或4秒时，△PEC与△QFC全等， 故答案为：2或4． 【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 7．（2024春•高新区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，D是AB的中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点C向点A运动，它们运动的时间为t（s），设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△DBP与△QCP全等，则x的值为 　2或　 ． 【分析】用t表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论即可． 【解答】解：∵AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，点D为AB的中点， ∴BD10＝5cm， 设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t（cm）， PC＝（6﹣2t）cm， ①当BD＝PC时， 6﹣2t＝5， 解得：t， 则BP＝CQ＝2t＝1cm， 故点Q的运动速度为：12（cm/s）； ②当BP＝PC时， ∵BC＝6cm， ∴BP＝PC＝3cm， ∴t＝3÷2（s）， 故点Q的运动速度为5（cm/s）； 故答案为：2或． 【点评】本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键． 8．（2025秋•安庆期末）如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上面点C向点D运动．当点Q的运动速度为 　3cm/s或cm/s cm/s时，能够使△BPE与△CPQ全等． 【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP＝3tcm，CQ＝vtcm，CP＝（8﹣3t）cm，求出BE＝6cm，根据全等三角形的判定得出当BE＝CP，BP＝CQ或BE＝CQ，BP＝CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可． 【解答】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP＝3tcm，CQ＝vtcm，CP＝（8﹣3t）cm， ∵E为AB的中点，AB＝12cm， ∴BE＝AE＝6cm， ∵∠B＝∠C， ∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE＝CP，BP＝CQ或BE＝CQ，BP＝CP， 当BE＝CP，BP＝CQ时，6＝8﹣3t，3t＝vt， 解得：t，v＝3，即点Q的运动速度是3cm/s， 当BE＝CQ，BP＝CP时，6＝vt，3t＝8﹣3t， 解得：t，v，即点Q的运动速度是cm/s， 综合上述，当点Q的运动速度为3cm/s或cm/s时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 故答案为：3cm/s或cm/s． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 9．（2025秋•盐城期末）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G．求证：△ABF≌△DCE． 【分析】先求出BF＝CE，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等即可． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， 即BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判断方法是解题的关键． 10．（2025春•浦东新区期末）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，说明△ABC≌△EFD．请填写说理过程或理由． 【分析】根据平行线的性质、线段的和差求出∠ACB＝∠EDF，BC＝FD，利用SAS证明△ABC≌△EFD即可． 【解答】解析：∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠EDF， ∵BD＝FC， ∴BF﹣BD＝BF﹣FC， 即BC＝FD， 在△ABC与△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（SAS）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 11．（2026•昆明模拟）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF． 【分析】根据“SSS”直接证明全等即可． 【解答】解：∵点A、B、E、D在同一条直线上，AE＝BD， ∴AE﹣BE＝BD﹣BE， ∵AB＝AE﹣BE，DE＝BD﹣BE， ∴AB＝DE． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 12．（2026•新会区校级模拟）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 【分析】根据∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，再根据SAS即可证明． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过∠BAD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE． 13．（2025春•崇明区期末）如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于点F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，求证：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 【分析】（1）先证明BG＝CF，然后根据“ASA”判断△BDG≌△CEF； （2）先利用△BDG≌△CEF得到BD＝CE，DG＝EF，再根据“SAS”证明△BEF≌△CDG；所以BE＝CD，接着利用“SSS”证明△BCE≌△CBD，然后证明∠EBO＝∠DCO，则可根据“SAS”证明△BOE≌△COD，利用“AAS”证明△BAD≌△CAE． 【解答】（1）证明：∵FE⊥BC，GD⊥BC， ∴∠BGD＝∠CFE＝90°， ∵BF＝CG， ∴BF+FG＝FG+CG， 即BG＝CF， 在△BDG和△CEF中， ， ∴△BDG≌△CEF（ASA）； （2）解：∵△BDG≌△CEF， ∴BD＝CE，DG＝EF， 在△BEF和△CDG中， ， ∴△BEF≌△CDG（SAS）； ∴BE＝CD， 在△BCE和△CBD中， ， ∴△BCE≌△CBD（SSS）； ∴∠EBC＝∠DCB， ∵∠OBC＝∠OCB ∴∠EBO＝∠DCO，OB＝OC ∴∠EBO＝∠DCO， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD（SAS）； 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（AAS）， 综上所述，图中全等的三角形为△BEF≌△CDG，△BCE≌△CBD，△BOE≌△COD，△BAD≌△CAE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了全等三角形的性质． 14．（2025秋•祁阳市校级期末）已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当t＝1时，依题意得∠A＝∠B＝90°，AP＝BQ＝2cm，进而得AC＝BP＝10cm，由此可依据“SAS”判定△ACP和△BPQ全等得PC＝PQ，∠C＝∠BPQ，再根据∠C+∠APC＝90°得∠BPQ+∠APC＝90°，继而得∠CPQ＝90°，则PC⊥PQ； （2）依题意得AP＝2tcm，BQ＝vtcm，则BP＝（12﹣2t）cm，再根据∠A＝∠B＝60°得当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS），由AC＝BP得10＝12﹣2t，解得t＝1，由AP＝BQ，得2t＝vt，将t＝1代入得v＝2，②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS），由AP＝BP得2t＝12﹣2t，解得t＝3，由AC＝BQ得10＝vt，将t＝3代入得v，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等， 线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，数量关系是：PC＝PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动， ∴AP＝2cm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝10（cm）， ∴AC＝BP＝10cm， 又∵且点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ∴BQ＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴PC＝PQ，∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝2tcm，BQ＝vtcm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm， 又∵∠A＝∠B＝60°， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS）， 由AC＝BP，得：10＝12﹣2t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：2t＝vt， ∵t＝1， ∴v＝2， 即当t＝1s，v＝2cm/s时，△ACP与△BPQ全等； ②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：2t＝12﹣2t， 解得：t＝3， 由AC＝BQ，得：10＝vt， ∵t＝3， ∴v， 即当t＝3s，v＝10/3cm/s时，△ACP与△BPQ全等， 综上所述：v，t的值分别为t＝1s，v＝2cm/s或t＝3s，vcm/s． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 【考点2】作图—尺规作图的定义（第15-19题） · 熟记五种基本作图及作图的几何语言表述。 · 理解作图的正确性：由作图痕迹中的等线段依据SSS证明三角形全等。 · 注意射线、直线、线段的区别，规范作图与描述。 15．（2026春•上海期中）如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图．从作图过程中，能判定△COD≌△C′O′D′的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【分析】由三角形全等的判定来解题． 【解答】解：由作图痕迹得， 在△COD和△C′O′D′中， ， 故△COD≌△C′O′D′（SSS）， 故选：D． 【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图的定义，三角形全等的判定，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 16．（2025秋•东港市期末）下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．作射线MN＝6cm B．延长直线AB到D C．延长线段AB至C，使AC＝BC D．以点O为圆心，任意长为半径画弧 【分析】结合射线、直线、线段的定义逐项判断即可． 【解答】解：射线没有长度， 故A选项说法不正确，不符合题意； 直线可以向两端无限延伸，而延长直线AB的说法不对， 故B选项说法不正确，不符合题意； 延长线段AB至C，此时AC＞BC， 故C选项说法不正确，不符合题意； 以点O为圆心，任意长为半径画弧，说法正确， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查作图—尺规作图的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（2026春•环翠区期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 【分析】（1）在射线AF上截取AP＝b，在射线PF上截取PB＝a，则AB＝a+b，在射线AE上截取AQ＝a，在线段QA上截取QC＝b，则AC＝a﹣b； （2）根据线段中点的性质得出，即可求解． 【解答】解：（1）在射线AF上截取AP＝b，在射线PF上截取PB＝a，则AB＝a+b， 在射线AE上截取AQ＝a，在线段QA上截取QC＝b，则AC＝a﹣b； 如图所示，AB，AC即为所求； （2）∵AB＝a+b，AC＝a﹣b，M、N分别是AB、AC的中点， ∴，， ∴． 【点评】本题考查了作线段等于已知线段，线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 18．（2025秋•思明区校级期末）已知：如图，已知三点A，B，C，请完成以下问题： （1）尺规作图：画直线AB，射线AC；连接BC，并在BC的延长线上取点E，使得CE＝AB+BC；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝1，BC＝2，点F为CE的中点，求线段BF的长． 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先计算出CE＝3，再根据线段中点的定义计算出CF，然后计算BC+CF即可． 【解答】解：（1）如图，直线AB，射线AC和点E为所作； （2）∵AB＝1，BC＝2， ∴CE＝1+2＝3， ∵点F为CE的中点， ∴CFCE， ∴BF＝BC+CF＝2． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了直线、射线、线段和两点之间的距离． 19．（2026•望城区校级模拟）如图，点A，B，C是不在一条直线上的三个点，过B，C两点作直线，并连接AB，AC． （1）尺规作图：延长CA至D，使得点A为CD的中点，作射线AB，在射线AB上截取AE＝3AB．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若AB＝AC，CD＝10cm，求BE的长． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据线段中点的定义得到AC＝ADCD＝5cm，得到AB＝5cm，根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，点D，射线AB，线段AE即为所求； （2）∵A为CD的中点， ∴AC＝ADCD＝5cm， ∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝5cm， ∵AE＝3AB， ∴AE＝3×5＝15（cm）， ∴BE＝AE﹣AB＝15﹣5＝10（cm）． 【点评】本题考查了作图﹣尺规作图的定义，直线，射线，线段，正确地作出图形是解题的关键． 【考点3】全等三角形的性质与判定（第20-36题） · 先证全等，再用对应边、对应角相等解决问题。 · 结合平行线、角平分线、垂直、中点等条件找边角相等。 · 辅助线策略：倍长中线、作垂线、过点作平行线构造全等。 20．（2025秋•浦东新区期末）如图，C、D两点分别在射线OA，OB上，点P在∠AOB的内部，且CP＝DP，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M、N，且CM＝DN，若DN＝3，CO＝7，则DO的长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．17 【分析】利用全等三角形的判定与性质求出OM＝ON，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB， ∴△CPM、△DPN、△OPM、△OPN是直角三角形， 在Rt△CPM和Rt△DPN中， ， ∴Rt△CPM≌Rt△DPN（HL）， ∴PM＝PN， 在Rt△OPM和Rt△OPN中， ， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL）， ∴OM＝ON， ∴DO＝ON+DN＝OM+DN＝CO+DN+DN＝CO+2DN， ∵DN＝3，CO＝7， ∴DO＝13， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（2026•高新区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　） A．1 B．12 C．0.8 D．0.6 【分析】由“ASA”可证△AEF≌△CEB，可得EB＝EF＝3，由三角形的面积公式可求解． 【解答】解：如图，连接BF， ∵∠BAC＝45°，CE⊥AB， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AE＝CE， ∵AB＝7，BE＝3， ∴AE＝4＝CE， ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°＝∠B+∠BCE， ∴∠BAD＝∠BCE， ∴△AEF≌△CEB（ASA）， ∴EB＝EF＝3， ∴CF＝1， ∵BE＝3，CE＝4， ∴BC5， ∵S△BCFCF•BEBC•DF， ∴1×3＝5DF， ∴DF＝0.6， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22．（2025春•乾县期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄AP平分两条伞骨AB、AC所成的角∠BAC，点D、E、F分别在AP、AB、AC上，DE、DF为两条支杆，AE＝AF．若支杆DF断掉需要更换，则只需要测量（　　） A．BE的长度 B．AE的长度 C．DE的长度 D．AD的长度 【分析】如图，连接DF，证明∠EAD＝∠FAD，而AD＝AD，AE＝AF，可得△EAD≌△FAD，从而可得结论． 【解答】解：如图，连接DF， ∵伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC， ∴AE＝AF，AD＝AD，∠EAD＝∠FAD， ∴△EAD≌△FAD（SAS）， ∴DE＝DF， ∴若支杆DF断掉需要更换，则只需要测量DE的长度． 故选：C． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明△EAD≌△FAD是解本题的关键． 23．（2025秋•上海校级期中）如图，已知∠AOB＝∠FEG＝90°，OE平分∠AOB，点F、G分别在射线OA、射线OB上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（　　） ①EF＝EG； ②OF+OG的值不变； ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变； ④FG长度不变． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】过点E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，根据角平分线的性质得出EM＝EN，根据ASA证明△EMF≌△ENG，得出EF＝EG，MF＝NG，即可判断①；根据AAS证明△EMO≌△ENO，得出OM＝ON，即可判断②；根据全等三角形的性质得出S△EMF＝S△ENG，S△EMO＝S△ENO，即可判断③；根据勾股定理即可判断④． 【解答】解：过点E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N， ∵OE平分∠AOB， ∴EM＝EN， ∵∠AOB＝90°，EM⊥OA，EN⊥OB， ∴∠MEN＝90°， 又∠FEG＝90°， ∴∠MEN＝∠FEG， ∴∠MEF＝∠NEG， 在△EMF和△ENG中， ， ∴△EMF≌△ENG（ASA）， ∴EF＝EG，MF＝NG， 故①正确； ∵OE平分∠AOB， ∴∠EOM＝∠EON， 又∠EMO＝∠ENO＝90°，OE＝OE， ∴△EMO≌△ENO（AAS）， ∴OM＝ON， 又∵MF＝NG， ∴OF+OG＝OM﹣MF+ON+NG＝2ON， ∴OF+OG的值不变， 故②正确； ∵△EMF≌△ENG，△EMO≌△ENO， ∴S△EMF＝S△ENG，S△EMO＝S△ENO， ∴S四边形OFGE＝S△OEF+S△OEG＝S△OME﹣S△MEF+S△OEN+S△GEN＝2S△OME， ∴以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变， 故③正确； 根据勾股定理，得 ， ∵OF随点F的位置变化而变化， ∴FG长度改变， 故④错误， 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 24．（2026春•辽中区期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A，C作BD的垂线，垂足为E，F．若DE＝3，CF＝BF＝4，则△ABC的面积是　28　 ． 【分析】结合题意，先证△AED≌△CFD得DF＝3、AE＝4，算出BD＝7；分别求出△ABD与△CBD面积相加，得到△ABC面积为28． 【解答】解：已知AE⊥BD， CF⊥BD， 所以∠E＝∠CFD＝90°， D是AC中点， 故AD＝CD． ∠ADE＝∠CDF（对顶角相等）． 根据AAS全等判定：△AED≌△CFD． ∵DF＝DE＝3， AE＝CF＝4． ∴BD＝DF+BF， 已知DF＝3， BF＝4， ∴BD＝3+4＝7． ∴S△ABD•BD•AE7×4＝14． S△CBD•BD•CF7×4＝14． S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝14+14＝28． 故答案为：28． 【点评】题目考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 25．（2026秋•同步）如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为　16　 ． 【分析】设正方形DEFG的边DG、正方形IKPQ的边PK及正方形EHIJ的顶点H都在直线l上，则∠EDH＝∠EHI＝∠HKI＝90°，EH＝HI，推导出∠DEH＝∠KHI，可根据“AAS”证明△DEH≌△KHI，得DE＝KH，因为正方形A，C的面积分别为5和11，所以DE2＝KH2＝5，IK2＝11，则HI2＝KH2+IK2＝16，所以正方形B的面积为16，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，∵四边形DEFG、四边形EHIJ、四边形IKPQ都是正方形， ∴∠EDG＝∠EHI＝∠IKP＝90°，EH＝HI， ∵正方形DEFG的边DG、正方形IKPQ的边PK及正方形EHIJ的顶点H都在直线l上， ∴∠EDH＝∠HKI＝90°， ∵∠DEH+∠DHE＝90°，∠KHI+∠DHE＝90°， ∴∠DEH＝∠KHI， 在△DEH和△KHI中， ， ∴△DEH≌△KHI（AAS）， ∴DE＝KH， ∵正方形A，C的面积分别为5和11， ∴DE2＝KH2＝5，IK2＝11， ∴HI2＝KH2+IK2＝5+11＝16， ∴正方形B的面积为16， 故答案为：16． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确理解和应用全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识是解题的关键． 26．（2025秋•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．如果AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，那么△ABC的周长是 　32　 ． 【分析】根据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，结合角平分线的定义可推得∠B＝∠C，根据等角对等边得出AB＝AC，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明△AEF≌△CFG，根据全等三角形的性质得出CG的长，然后可求得BC的长，即可解答． 【解答】解：∵AE∥BC， ∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC＝10， ∵F是AC的中点， ∴AF＝CF， ∵AE∥BC， ∴∠C＝∠CAE， 在△AFE和△CFG中， ， ∴△AFE≌△CFG（ASA）， ∴AE＝GC＝8， ∵GC＝2BG， ∴BG＝4， ∴BC＝BG+GC＝8+4＝12， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27．（2025秋•陇南期末）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，点F为AD上一点，连接CF，作BE∥CF，交AD延长线于点E．若AE＝15，AF＝7，则DE的长度为　4　 ． 【分析】由点D为边BC的中点，得BD＝CD，由BE∥CF，得∠E＝∠CFD，而∠BDE＝∠CDF，可根据“AAS”证明△BDE≌△CDF，由AE＝15，AF＝7，求得EF＝8，则DE＝DFEF＝4，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点D为边BC的中点， ∴BD＝CD， ∵点F为AD上一点，BE∥CF，交AD延长线于点E， ∴∠E＝∠CFD， ∵AE＝15，AF＝7， ∴EF＝AE﹣AF＝15﹣7＝8， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DFEF8＝4， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出BD＝CD，∠E＝∠CFD，进而证明△BDE≌△CDF是解题的关键． 28．（2025春•锦江区校级期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC和AB边上的高，AD与CE相交于H，若AE＝CE＝7，CH＝3，则BE＝　4　 ． 【分析】由△ABC的高AD、CE交于点H，得∠ADB＝∠AEH＝∠CEB＝90°，则∠EAH＝∠ECB＝90°﹣∠B，而AE＝CE，即可根据“ASA”证明△AEH≌△CEB，因为CE＝7，CH＝3，所以HE＝BE＝4，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC的高AD、CE交于点H， ∴AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠ADB＝∠AEH＝∠CEB＝90°， ∴∠EAH＝∠ECB＝90°﹣∠B， 在△AEH和△CEB中， ， ∴△AEH≌△CEB（ASA）， ∵CE＝7，CH＝3， ∴HE＝BE＝CE﹣CH＝7﹣3＝4， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEH≌△CEB是解题的关键． 29．（2026春•闵行区校级期中）如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，∠B＝40°则∠2的度数为　25°　 ． 【分析】先利用SSS证明两个三角形全等，得到对应角相等，推导出∠DAB与∠1相等；再设交点，借助对顶角相等与三角形内角和定理，消去相等的∠D和∠B，证得∠2等于∠DAB，求出角度． 【解答】解：在△ABC 与△ADE 中， ， ∴△ABC≌△ADE（SSS）， ∴∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B， ∵∠BAC＝∠1+∠BAE，∠DAE＝∠DAB+∠BAE， ∴∠DAB＝∠1＝25°， 设AB与DE 相交于点 O， 在△AOD中， ∠D+∠DAB+∠AOD＝180°， 在△BOE 中，∠B+∠2+∠BOE＝180°， ∵∠AOD＝∠BOE， ∴∠D+∠DAB＝∠B+∠2， ∵∠D＝∠B， ∴∠2＝∠DAB＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．（2025春•闵行区校级月考）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD，则AD的长度的取值范围是 　7＜AD＜13　 ． 【分析】延长AC至E，使CE＝AC，证明△ACB≌△ECD，根据全等三角形的性质得到ED＝AB＝3，再根据三角形的三边关系计算即可． 【解答】解：如图，延长AC至E，使CE＝AC， 在△ACB和△ECD中， ， ∴△ACB≌△ECD（SAS）， ∴ED＝AB＝3， ∵AC＝5， ∴AE＝10， 在△AED中，AE﹣DE＜AD＜AE+AD，即10﹣3＜AD＜10+3， ∴7＜AD＜13， 故答案为：7＜AD＜13． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 31．（2026春•鄄城县期末）【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，点A，D，E在直线上，若∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，求证：DE＝BD+CE； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积． 【分析】（1）根据垂直定义得∠BDA＝∠AEC＝90°，则∠DAB+∠DBA＝90°，再根据∠BAC＝90°得∠DAB+∠EAC＝90°，由此得∠DBA＝∠EAC，进而可依据“AAS”判定△ABD和△CAE全等； （2）根据三角形外角性质得∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA，再根据∠ADB＝∠BAC得∠EAC＝∠DBA，进而可依据“AAS”判定△EAC和△DBA全等得CE＝AD，AE＝BD，由此可证明DE＝BD+CE的结论； （3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，则∠AGB＝∠M＝90°，进而得∠ABG+∠BAG＝90°，再根据∠BAD＝90°得∠BAG+∠DAM＝90°，由此得∠ABG＝∠DAM，进而可依据“AAS”判定△ABG和△DAM全等，则DM＝AG，同理可证明△ADC和△ENA全等得EN＝AG，则DM＝EN＝AG，然后再根据三角形的面积公式即可得S△DAE． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）证明：∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示：∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠M＝90°，∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ，∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG，同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN＝AG， ∵S△DAE＝S△AHD+S△AHE AH•DMAH•EN， ＝AH×2DM ＝AH×AG ＝5×12 ＝60 ∴△ADE的面积等于60． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 32．（2026春•济阳区期末）如图，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连接CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE； （2）若∠A＝50°，∠BCE＝30°，求∠CEB的度数． 【分析】（1）由AD∥BE得∠A＝∠B，而AC＝BE，AD＝BC，可根据“SAS”证明△ADC≌△BCE，则∠ADC＝∠BCE． （2）由∠A＝∠B＝50°，∠BCE＝30°，根据三角形内角和定理求得∠CEB＝180°﹣∠B﹣∠BCE＝100°． 【解答】（1）证明：∵AD∥BE，点C在线段AB上， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BCE． （2）解：∵∠A＝50°，且∠A＝∠B， ∴∠B＝50°， ∵∠CEB+∠B+∠BCE＝180°，且∠BCE＝30°， ∴∠CEB＝180°﹣∠B﹣∠BCE＝180°﹣50°﹣30°＝100°， ∴∠CEB的度数是100°． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠A＝∠B，进而证明△ADC≌△BCE是解题的关键． 33．（2026•苏州模拟）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 【分析】（1）由SAS可证△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠B，由等腰三角形的性质可求∠ADB＝∠B＝80°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC与△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠BAD＝20°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝80°， ∴∠ADE＝80°， ∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 34．（2026春•碑林区校级期中）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，且AC＝BF．若已知BC＝8，AD＝5，求AF的长． 【分析】依题意得∠ADC＝∠BDF＝∠BEC＝90°，证明∠DAC＝∠DBF，进而依据“ASA”判定△DAC和△DBF全等得AD＝BD＝5，DC＝DF，由此得DC＝DF＝BC﹣BD＝3，然后根据AF＝AD﹣DF可得AF的长． 【解答】解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEC＝90°， 在△BEC中，∠BEC＝90°， ∴∠DBF+∠C＝90°， 在△ADC中，∠DAC+∠C＝90°， ∴∠DAC＝∠DBF， 在△DAC和△DBF中， ， ∴△DAC≌△DBF（AAS）， ∴AD＝BD，DC＝DF， ∵AD＝5， ∴AD＝BD＝5 ∵BC＝8， ∴DC＝DF＝BC﹣BD＝8﹣5＝3， ∴AF＝AD﹣DF＝5﹣3＝2， 即AF的长为2． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 35．（2026•张店区二模）如图，已知AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上，∠BAE＝∠BAD+∠B，且AE＝BC． （1）求证：△ABC≌△DAE； （2）若ED＝5，CD＝6，求线段AB的长． 【分析】（1）根据平行线的性质及角的等量代换．即可证明△ABC≌△DAE（AAS）． （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠D， ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠B， ∴∠DAE＝∠B， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△DAE， ∴AC＝DE，AB＝AD， ∵ED＝5， ∴AC＝5， ∵点A、C、D在同一条直线上， ∴AD＝AC+CD， ∵CD＝6． ∴AD＝5+6＝11， ∴AB＝11， 答：线段AB的长为11． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 36．（2026春•渭滨区期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长． 【分析】（1）直接利用SAS证明△ACE≌△BDF即可； （2）根据全等三角形的性质得到BD＝AC＝2，则AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【解答】（1）证明：∵AD＝BC， ∴AD﹣CD＝BC﹣CD，即AC＝BD， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（SAS）； （2）解：∵△ACE≌△BDF，AC＝2， ∴BD＝AC＝2， 又∵AB＝8， ∴CD＝AB﹣BD﹣AC＝8﹣2﹣2＝4． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第37-42题） · 识别并运用经典模型：手拉手、一线三垂直、旋转型全等。 · 探究线段数量关系：先猜想，再用全等转移线段证明。 · 综合题规范书写完整推理过程，注意多问递进。 37．（2026春•青羊区校级期中）如图，在△ABC和△ADE中，BC＝DE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D＝30°，BC的延长线交AD于点O，交ED于点F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝75°，求∠EFC的大小． 【分析】（1）先证明∠BAC＝∠DAE，再由AAS证明△ABC≌△ADE即可； （2）由三角形内角和定理求出∠AOB＝75°，则∠DOF＝∠AOB＝75°，再由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）解：∵∠BAD＝75°，∠B＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴∠DOF＝∠AOB＝75°， ∴∠EFC＝∠D+∠DOF＝30°+75°＝105°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 38．（2024秋•长寿区期末）（1）问题提出：如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB＝AC，若另有一个以AD、AE为腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． （2）尝试应用：如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB＝AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N、M，BD与AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求证：MC+NB＝2AM． （3）问题拓展：如图3，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于点H，等边△ABF的边AF与BC相交于G点．若CE＝6，AH＝4，请直接写出BE的长度． 【分析】（1）首先证明∠BAE＝∠CAD，即可解决问题； （2）延长MC至G，使CG＝BN，连接AG，证明△ABN≌△ACG（SAS），得∠BAN＝∠CAG，然后证明∠MAG＝90°，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题； （3）过A作AM⊥BC于M，连接EF，证明△ACE≌△AFE（SAS），得CE＝EF＝6，∠AEC＝∠AEF，证明△BEH≌△BEF（ASA），得EH＝EF＝6，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵△AED是以AD、AE为腰的等腰三角形， ∴AE＝AD， ∵∠BAC＝∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）证明：延长MC至G，使CG＝BN，连接AG，如图2， ∵∠BAK＝90°＝∠CDK，∠AKB＝∠DKC， ∴∠ABK＝∠DCK， ∴∠ABN＝∠ACG， 在△ABN和△ACG中， ， ∴△ABN≌△ACG（SAS）， ∴∠BAN＝∠CAG， ∵∠CAG+∠BAG＝90°， ∴∠BAN+∠BAG＝90°， ∴∠NAG＝90°， ∴∠MAG＝90°， ∵∠M＝60°， ∴∠G＝90°﹣60°＝30°， ∴MG＝2AM， ∵MG＝MC+CG＝MC+NB， ∴MC+NB＝2AM； （3）解：BE的长度为16，理由如下： 如图3，过A作AM⊥BC于M，连接EF． ∵△ABF为等边三角形， ∴BF＝AF＝AB＝AC，∠AFB＝∠ABF＝60°＝∠BDA＝∠BEA， ∵∠AHD＝∠BHE， ∴∠DBE＝∠CAE， ∵∠AGE＝∠BGF， ∴∠4＝∠1， ∵∠AEB＝60°＝∠C+∠2，∠ABF＝60°＝∠ABC+∠4， ∴∠C+∠CAE＝∠ABC+∠FBE， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠2＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 在△ACE和△AFE中， ， ∴△ACE≌△AFE（SAS）， ∴CE＝EF＝6，∠AEC＝∠AEF， ∵∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝∠AEF＝120°， ∴∠BEF＝∠AEF﹣∠AEB＝60°＝∠AEB， ∵∠3＝∠4，BE＝BE， ∴△BEH≌△BEF（ASA）， ∴EH＝EF＝6， ∴AE＝AH+EH＝4+6＝10， ∵AM⊥BC，∠AEM＝60°， ∴∠MAE＝30°， ∴EMAE＝5， ∴CM＝EM+CE＝6+5＝11， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝11， ∴BE＝BM+EM＝11+5＝16． 【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABN≌△ACG． 39．（2026春•紫金县校级期中）问题情境：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）小明发现：△ACD≌△BCE，请你帮他写出推理过程； （2）李洪受小明的启发，求出了∠AEB的度数，请直接写出∠AEB为　60　 °； （3）轩轩在前面两人的基础上又探索出了CD与BE的位置关系为CD∥BE ； （4）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE的边DE上的高，连接BE，试探究CM，AE，BE之间有怎样的数量关系． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，CD＝CE，结合图形得到∠ACD＝∠BCE，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE； （2）根据全等三角形的性质得到∠CEB＝∠CDA＝120°，根据等边三角形的性质、结合图形计算，得到答案； （3）根据内错角相等、两直线平行解答； （4）根据直角三角形的性质得到DE＝2CM，证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质证明结论． 【解答】（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：∠AEB为60°；理由如下： ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠CDA＝120°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CEB＝∠CDA＝120°， ∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CEA＝60°， 故答案为：60； （3）解：CD与BE的位置关系为CD∥BE；理由如下： ∵∠CDE＝∠AEB＝60°， ∴CD∥BE， 故答案为：CD∥BE； （4）解：AE＝BE+2CM； 证明：∵△DCE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴∠DCM＝∠ECM＝45°， ∴∠CDE＝∠DCM，∠CED＝∠ECM， ∴DM＝CM＝ME， ∴DE＝2CM， 同理可知△ACD≌△BCE，则AD＝BE， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 40．（2026春•通川区校级期末）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 　30　 ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）证明△AEC和△BDA全等得AE＝BD，进而得AD+BD＝AD+AE＝DE，由此即可得出AD、BD、DE之间的数量关系； （2）证明△BDA和△AEC全等得BD＝AE，AD＝CD，再根据BD＝12，DE＝7得BD＝AE＝12，EC＝5，再根据三角形的面积公式即可得出△ACE的面积； （3）在CA上截取CF＝CE，连接EF，证明△CDF是等腰直角三角形得∠AFE＝135°，证明△AFE和△EBD全等得∠AFD＝∠EBD＝135°，进而得∠ABD＝90°，由此即可得出线段AB与线段BD的位置关系． 【解答】解：（1）AD、BD、DE之间的数量关系是：AD+BD＝DE，证明如下： 如图1所示： ∵△ABC是直角三角形，且AC＝AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵△ADB和△ACE都是直角三角形，且直角顶点都在直线l上， ∴∠AEC＝∠BDA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△AEC和△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（AAS）， ∴AE＝BD， ∴AD+BD＝AD+AE＝DE； （2）如图2所示： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠1+∠2＝90°， ∵BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠BDA＝∠E＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝∠1， 在△BDA和△AEC中， ， ∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵DE＝AE﹣AD＝BD﹣EC， ∵BD＝12，DE＝7， ∴BD＝AE＝12，7＝12﹣EC， ∴EC＝12﹣7＝5， ∴△ACE的面积为：CE•AE5×12＝30， 故答案为：30； （3）线段AB与线段BD的位置关系是：AB⊥BD，证明如下： 在CA上截取CF＝CE，连接EF，如图3所示： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝45°，AE＝DE，∠1+∠AEC＝90°，∠2+∠AEC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝CE，∠ACB＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠3＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠3＝135°， ∵AC﹣CF＝BC﹣CE， ∴AF＝EB， 在△AFE和△EBD中， ， ∴△AFE≌△EBD（SAS）， ∴∠AFE＝∠EBD＝135°， ∴∠ABD＝∠EBD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， ∴AB⊥BD． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 41．（2025秋•鲤城区校级期末）四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，点E在AB边上，连接DE交OA于点F． （1）如图（1），若AO＝AD，BE＝DE． ①求证：∠ADF＝∠EAF； ②求证：AF＝OF． （2）如图（2），若∠AOB＝∠ACD，DF＝AB＝9，OF＝3AF＝6，求BC的长． 【分析】（1）①根据AO＝AD得∠ADO＝∠3，进而得∠ADF+∠1＝∠EAF+∠2，再根据BE＝DE得∠1＝∠2，据此即可得出结论； ②过点A作AP∥BD，交DE的延长线于点P，先证明△OBA和△APD全等得OB＝AP＝OD，进而可判定△ODF和△APF全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）过B作BQ⊥AC于点Q，过点D作DH⊥AC于点H，证明△OQB和△OHD全等得OQ＝OH，BQ＝DH，设OQ＝OPH＝a，证明△DOC是等腰三角形得CH＝OH＝a，进而得CQ＝3a，FQ＝6﹣a，FH＝6+a，AQ＝8﹣a，再证明Rt△ABQ和Rt△FDH全等得AQ＝FH，则8﹣a＝6+a，由此解出a＝1得AQ＝8﹣a＝7，CQ＝3a＝3，在Rt△ABQ中，由勾股定理求出BQ＝ ，进而在Rt△BCQ中，由勾股定理可求出BC的长． 【解答】（1）①证明：如图（1）①所示： ∵AO＝AD， ∴∠ADO＝∠3， ∵∠3是△AOB的外角， ∴∠3＝∠EAF+∠2， 又∵∠ADO＝∠ADF+∠1， ∴∠ADF+∠1＝∠EAF+∠2， ∵BE＝DE， ∴∠1＝∠2， ∴∠ADF＝∠EAF； ②证明：过点A作AP∥BD，交DE的延长线于点P，如图（1）②所示： ∴∠1＝∠P， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠P， 由（1）可知：∠ADF＝∠EAF， ∴∠OAB＝∠ADP， 在△OBA和△APD中， ， ∴△OBA≌△APD（AAS）， ∴OB＝AP， ∵OB＝OD， ∴OD＝AP， 在△ODF和△APF中， ， ∴△ODF≌△APF（AAS）， ∴OF＝AF， 即AF＝OF； （2）解：过点B作BQ⊥AC于点Q，过点D作DH⊥AC于点H，如图（2）所示： ∴∠OQB＝∠OHD＝90°， 在△OQB和△OHD中， ， ∴△OQB≌△OHD（AAS）， ∴OQ＝OH，BQ＝DH， 设OQ＝OPH＝a， ∵∠AOB＝∠DOC，∠AOB＝∠ACD， ∴∠DOC＝∠ACD， ∴OD＝CD， ∴△DOC是等腰三角形， 又∵DH⊥AC于点H， ∴CH＝OH＝a， ∴CQ＝CH+OH+OQ＝3a， ∵OF＝3AF＝6， ∴OF＝6，AF＝2， ∴FQ＝OF﹣OQ＝6﹣a，FH＝OF+OH＝6+a， ∴AQ＝AF+FQ＝2+6﹣a＝8﹣a， ∵DF＝AB＝9， ∴AB＝DF， ∵DH⊥AC于点H，BQ⊥AC于点Q， ∴△ABQ和△FDH，△BCQ都是直角三角形， 在Rt△ABQ和Rt△FDH中， ， ∴Rt△ABQ≌Rt△FDH（HL）， ∴AQ＝FH， ∴8﹣a＝6+a， 解得：a＝1， ∴AQ＝8﹣a＝7，CQ＝3a＝3， 在Rt△ABQ中，由勾股定理得：BQ， 在Rt△BCQ中，由勾股定理得：BC． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 42．（2026春•泰和县期末）在四边形ABCE中． （1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ABC＝90°，∠AEC＝90°，则线段BC、CE的长度满足的数量关系是 BC＝CE ；（直接填答案） （2）如图（2），C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，说明线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系； （3）如图（3），C是BD边的中点，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？ 【分析】（1）根据AC平分∠BAE得∠BAC＝∠EAC，进而依据“AAS”判定△ABC和△AEC全等，再根据全等三角形性质即可得出线段BC、CE的长度满足的数量关系； （2）连接AE，在AE上截取AE＝AB，连接CE，先证明△AEC和△ABC全等得∠ECA＝∠BCA，FC＝BC，再证明∠ECF＝∠DCE，BC＝DC＝FC，进而依据“SAS”判定△ECF和△DCE全等得FE＝DE，由此可得出线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系； （3）连接AE，在AE上截取AP＝AB，EH＝DE，连接CP，CH，先证明△PAC和△BAC全等得∠PCA＝∠BCA，PC＝BC，再证明△HEC和△DEC全等得∠HCE＝∠DCE，HC＝DC，然后证明PC＝HC，∠PCH＝60°得△PCH是等边三角形，进而得PH＝PC＝BC＝1/2BD，由此即可得出线段AB、BD、DE、AE的长度满足的数量关系． 【解答】解：（1）线段BC、CE的长度满足的数量关系是：BC＝CE，理由如下： ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAC， 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴BC＝CE； （2）线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系是：AE＝AB+DE，理由如下： 连接AE，在AE上截取AE＝AB，连接CE，如图（2）所示： ∵C平分∠BAE， ∴∠EAC＝∠BAC， 在△AFC和△ABC中， ， ∴△AFC≌△ABC（SAS）， ∴∠FCA＝∠BCA，FC＝BC， ∵∠ACE＝90°， ∴∠FCA+∠ECF＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°， ∴∠ECF＝∠DCE， ∵点C是BD的中点， ∴BC＝DC， 又∵FC＝BC， ∴FC＝DC， 在△ECF和△DCE中， ， ∴△ECF≌△DCE（SAS）， ∴FE＝DE， ∴AE＝AF+FE＝AB+DE； （3）线段AB、BD、DE、AE的长度满足的数量关系是：ABBD+DE＝AE，理由如下： 连接AE，在AE上截取AP＝AB，EH＝DE，连接CP，CH，如图（3）所示： ∵AC平分∠BAE， ∴∠PAC＝∠BAC， 在△PAC和△BAC中， ， ∴△PAC≌△BAC（SAS）， ∴∠PCA＝∠BCA，PC＝BC， 同理证明：△HEC≌△DEC（SAS）， ∴∠HCE＝∠DCE，HC＝DC， ∵∠ACE＝120°， ∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣∠ACE＝60°， ∴∠PCA+∠HCE＝∠BCA+∠DCE＝60°， ∴∠PCH＝∠ACE﹣（∠PCA+∠HCE）＝60°， ∵点C是BD边的中点， ∴BC＝DCBD， 又∵PC＝BC，HC＝DC， ∴PC＝HC， ∴△PCH是等边三角形， ∴PH＝PC＝BCBD， ∴AE＝AP+PH+HE＝ABBD+DE， 即ABBD+DE＝AE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 随堂检测 【练习 1】（2025秋•镇平县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，AF＝10，则CF＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先由勾股定理求出AE＝8，再证△ECB≌△FAE（AAS），得出CE＝AE＝8，即可得出答案． 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BEC＝∠FEA＝∠ADB＝90°， ∵∠BAD+∠B＝90°，∠ECB+∠B＝90°， ∴∠ECB＝∠EAF， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE8， 在△ECB和△FAE中， ， ∴△ECB≌△FAE（AAS）， ∴CE＝AE＝8， ∴CF＝CE﹣FE＝8﹣6＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由AAS证得△ECB≌△FAE是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•上海校级期末）如图，已知点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD，若∠AFD＝140°，则∠EDF＝　50　 度． 【分析】利用HL证明Rt△BED≌Rt△CDF得到∠B＝∠C，利用三角形外角的性质求出∠C的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【解答】解：∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠BED＝∠CDF， 在Rt△BED和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C，∠BDE＝∠CFD， ∵∠AFD＝140°＝∠C+∠CDF， ∴∠C＝∠AFD﹣∠CDF＝50°， ∴∠B＝∠C＝50°， ∵∠BDE+∠EDF＝∠FDB＝∠C+∠DFC， ∴∠EDF＝∠C＝50°． 故答案为：50． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明Rt△BED≌Rt△CDF得到∠B＝∠C，∠BDE＝∠CFD是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•厦门校级月考）如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF． 【分析】证明△ACB≌△FDE（AAS），得∠B＝∠F，再根据平行线的判定即可解决问题． 【解答】证明：∵BD＝CF， ∴BD+CD＝CF+CD， ∴BC＝FD， ∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠FDE， 在△ACB和△FDE中， ， ∴△ACB≌△FDE（AAS）， ∴∠B＝∠F， ∴AB∥EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACB≌△FDE． 课后巩固 ❤复习建议 熟记五种判定方法，根据已知条件快速选择：三边SSS、两边夹一角SAS、两角夹边ASA等。 证得全等后立即转化为对应边相等、对应角相等，实现边角互转。 掌握常用辅助线：倍长中线、作垂线、作平行线、截长补短，构造全等三角形。 动点与压轴题用代数式表示运动量并建立方程，对应关系不确定时分类讨论。 积累“手拉手”“一线三垂直”“旋转型”等经典全等模型，提高解题速度。 【作业 1】（2026春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　7或3　 s时，CF＝AB． 【分析】设点E运动的时间为ts，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线BC方向运动，可证明△CFE≌△ABC，则CE＝AC＝15cm，而BC＝6cm，且BE＝BC+CE，所以3t＝6+15，求得t＝7；二是点E从点B出发沿射线CB方向运动，可证明△CFE≌△ABC，则CE＝AC＝15cm，此时BE＝CE﹣BC，所以3t＝15﹣6，求得t＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：设点E运动的时间为ts， 如图1，点E从点B出发沿射线BC方向运动， ∵CD为AB边上的高， ∴CD⊥AB， ∵∠ACB＝90°，EF⊥BC， ∴∠CEF＝∠ACB＝∠BDC＝90°， ∴∠FCE＝∠BCD＝90°﹣∠ABC＝∠A， 在△CFE和△ABC中， ， ∴△CFE≌△ABC（AAS）， ∴CE＝AC＝15cm， ∵BC＝6cm，且BE＝BC+CE， ∴3t＝6+15， 解得t＝7； 如图2，点E从点B出发沿射线CB方向运动，则∠CEF＝∠ACB＝90°，∠FCE＝∠A＝90°﹣∠ABC， 在△CFE和△ABC中， ， ∴△CFE≌△ABC（AAS）， ∴CE＝AC＝15cm， ∵BC＝6cm，且BE＝CE﹣BC， ∴3t＝15﹣6， 解得t＝3， 综上所述，当点E运动7s或3s时，CF＝AB， 故答案为：7或3． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明△CFE≌△ABC是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•城区期末）如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、5.1cm，则OC的长度是 　3.2　 cm． 【分析】过点P作PF⊥OB于点F，依题意得PC＝5.1﹣1.9＝3.2（cm），PE＝PF，∠OEP＝∠OFP＝90°，由此可依据“HL”判定Rt△OEP和Rt△OFP全等，则∠EOP＝∠FOP，再根据CP∥OF得∠CPO＝∠FOP，则∠EOP＝∠CPO，进而得OC＝CP＝3.2cm，据此即可得出答案． 【解答】解：过点P作PF⊥OB于点F，如图所示： ∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、5.1cm， ∴PC＝5.1﹣1.9＝3.2（cm）， ∵两把直尺的宽度相同， ∴PE＝PF，∠OEP＝∠OFP＝90°， 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）， ∴∠EOP＝∠FOP， ∵CP∥OF， ∴∠CPO＝∠FOP， ∴∠EOP＝∠CPO， ∴OC＝CP＝3.2（cm）， ∴OC的长度是3.2cm． 故答案为：3.2． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【作业 3】（2026•玉环市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，过点A作AE∥CD交BC于点E，连结BD，交AE于点F，已知∠CDB＝∠ABC，∠BAD＝∠ADB． （1）求证：△ABE≌△BDC． （2）若BD平分∠ADC，CE＝BE，AB＝6，求CD的长． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠AEB＝∠C，再根据等角对等边得到AB＝BD，结合∠CDB＝∠ABC，利用AAS即可证明； （2）证明△BEF∽△BCD，推出DF＝3，再证明△ADF∽△BAD，推出，设EF＝x，由（1）知△ABE≌△BDC，得到BE＝CD＝2x，，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AE∥CD， ∴∠AEB＝∠C． ∵∠BAD＝∠ADB， ∴AB＝BD． ∵∠CDB＝∠ABC， ∴△ABE≌△BDC（AAS）； （2）解：∵AE∥CD， ∴△BEF∽△BCD， ∴， ∵CE＝BE， ∴， ∴，CD＝2EF， ∵AB＝BD，AB＝6， ∴， ∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC， ∵AE∥CD， ∴∠BDC＝∠AFD， ∴∠ADB＝∠AFD， ∵∠BAD＝∠ADB． ∴∠ADB＝∠BAD＝∠AFD，即∠ADF＝∠BAD，∠AFD＝∠ADB， ∴△ADF∽△BAD， ∴， ∴， 设EF＝x， ∴CD＝2EF＝2x，， 由（1）知△ABE≌△BDC， ∴BE＝CD＝2x，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 4】（2024春•锦江区期末）补充完成下列推理过程： 如图，在△ABC中，D为线段AC中点，AB＝5，BC＝9，求BD的取值范围． 解：作CE∥AB交BD的延长线于点E． ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ACE．（ 　两直线平行，内错角相等　 ） ∵D为线段AC中点， ∴AD＝CD．（ 　线段中点的定义　 ） ∵在△ABD与△CED中， ， ∴△ABD≌△CED，（ ASA ） ∴AB＝CE，BD＝ED．（ 　全等三角形的对应边相等　 ） 在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE， ∴， ∵，BC＝9，AB＝5， ∴　2　 ＜BD＜　7　 ． 【分析】作CE∥AB交BD的延长线于点E，根据“两直线平行，内错角相等”得∠A＝∠ACE，根据线段的中点的定义得AD＝CD．而∠ADE＝∠CDE，即可由“ASA”证明△ABD≌△CED，根据“全等三角形的对应角相等”证明AB＝CE，BD＝ED．由BC﹣CE＜BE＜BC+CE，得（BC﹣AB）BE（BC+AB），则2＜BD＜7，于是得到问题的答案． 【解答】解：作CE∥AB交BD的延长线于点E， ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ACE．（ 两直线平行，内错角相等） ∵D为线段AC中点， ∴AD＝CD．（线段中点的定义） 在△ABD与△CED中， ， ∴△ABD≌△CED，（ASA） ∴AB＝CE，BD＝ED．（全等三角形的对应边相等） 在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE， ∴（BC﹣AB）BE（BC+AB）， ∵BD＝EDBE，BC＝9，AB＝5， ∴2＜BD＜7． 故答案为：两直线平行，内错角相等，线段中点的定义，ASA，全等三角形的对应边相等，2，7． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABD≌△CED是解题的关键． 【作业 5】（2026•鼓楼区校级二模）证明：三边成比例的两个三角形相似． 【分析】在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，如图：根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，则，因为，则，所以DE＝B′C′，AE＝A′C′，判定△ADE≌△A′B′C′（SSS），则△ABC∽△A′B′C′． 【解答】证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，如图： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴DE＝B′C′，AE＝A′C′， 在△ADE和△A′B′C′中， ， ∴△ADE≌△A′B′C′（SSS）， ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2026春•榆树市月考）如图，在多边形ABCDE中，BC⊥CD，BF⊥AE于点F，且BF＝BC，∠CBF＝2∠DBE，∠ABF＝∠CBD． （1）求证：AB＝DB； （2）若DE＝4，BF＝3，求△BDE的面积． 【分析】（1）根据BC⊥CD，BF⊥AE得∠AFB＝∠C＝90°，据此可依据“AAS”判定△BFA和△BCD全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）先根据∠CBF＝2∠DBE得∠CBD+∠EFB＝∠DBE，再根据∠ABF＝∠CBD可得∠ABE＝∠DBE，结合（1）的结论可依据“SAS”判定△ABE和△DBE全等，根据全等三角形的性质得S△ABE＝S△DBE，AE＝DE＝4，由此可得S△ABEAE•BF＝6，进而可得△DBE的面积． 【解答】（1）证明：∵BC⊥CD，BF⊥AE， ∴∠AFB＝∠C＝90°， 在△BFA和△BCD中， ∠AFB＝∠C＝90°，∠ABF＝∠CBD，BF＝BC， ∴△BFA≌△BCD（AAS）， ∴AB＝BD， （2）解：∵∠CBF＝2∠DBE， ∴∠CBD+∠DBF+∠EFB＝2∠DBE， 即∠CBD+∠EFB＝∠DBE， ∵∠ABF＝∠CBD， ∴∠ABF+∠EFB＝∠DBE， 即∠ABE＝∠DBE， 在△ABE和△DBE中， AB＝BD，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△DBE（SAS）， ∴S△ABE＝S△DBE，AE＝DE， ∵DE＝4，BF＝3， ∴AE＝DE＝4， ∴S△ABEAE•BF4×3＝6， ∴S△DBE＝6． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等、面积相等是解决问题的关键． 【作业 7】（2025秋•庐江县期中）在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，AD，BE相交于点F，AE＝BE． （1）求证：EF＝EC； （2）连接DE，若DE平分∠ADC，当EC+CD＝AD时，求∠EBC的度数． 【分析】（1）依题意得∠AEF＝∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，则∠EAF+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，由此得∠EAF＝∠EBC，进而可依据“ASA”判定△AEF和△BEC全等，再根据全等三角形性质即可得出结论； （2）在AD上截取HD＝CD，连接EH，则AD＝AH+CD＝EC+CD，由此得AH＝EC，证明△DEH和△DEC全等得EH＝EC＝AH，∠DHE＝∠C，进而得∠EAF＝∠HEA，根据三角形外角性质得∠DHE＝∠EAF+∠HEA＝2∠EAF＝∠C＝2∠EAF，再根据∠EAF＝∠EBC得∠C＝2∠EBC，在Rt△BEC中，根据∠C+∠EBC＝90°可得∠EBC的度数． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高， ∴∠AEF＝∠BEC＝90°，∠ADC＝90°， ∴△ADC和△BEC都是直角三角形， ∴∠EAF+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°， ∴∠EAF＝∠EBC， 在△AEF和△BEC中， ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）， ∴EF＝EC； （2）解：在AD上截取HD＝CD，连接EH，如图所示： ∴AD＝AH+HD＝AH+CD， ∵EC+CD＝AD， ∴AH+CD＝EC+CD， ∴AH＝EC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠HDE＝∠CDE， 在△DEH和△DEC中， ， ∴△DEH≌△DEC（SAS）， ∴EH＝EC，∠DHE＝∠C， ∴AH＝EH， ∴∠EAF＝∠HEA， ∵∠DHE是△HAE的外角， ∴∠DHE＝∠EAF+∠HEA＝2∠EAF， ∴∠C＝2∠EAF， ∵∠EAF＝∠EBC， ∴∠C＝2∠EBC， 在Rt△BEC中，∠C+∠EBC＝90°， ∴2∠EBC+∠EBC＝90°， ∴∠EBC＝30°， 即∠EBC的度数为30°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【作业 8】综合与实践 为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得∠ACB＝45°． 观测者从B点沿着南偏东80°的方向走到C点，此时恰好测得∠ACB＝40°． 观测者从B点向南走到C点，再沿着南偏东75°的方向走到E点，在CE上取点D，使CD＝CB，测得∠ADC＝58°，∠BEC＝17°． 测量示 意图 （1）第一小组认为要知道河宽AB，最简单的方法是测量线段BC 的长度； （2）第二小组测得BC＝35米，请你帮他们求出河宽AB； （3）第三小组认为只要测得DE就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【分析】（1）根据题意易证△ABC是等腰直角三角形，即可作答； （2）由题意可知，∠DBC＝80°，利用三角形外角的性质，得出∠BAC＝∠ACB＝40°，进而得到AB＝BC，即可得解； （3）由题意可知，∠ACE＝105°，利用三角形内角和定理，得到∠CAD＝∠BEC＝17°，进而证明△ACD≌△ECB（AAS），得到AC＝EC，从而推出AB＝DE即可． 【解答】解：（1）∵A恰好在B的正北方向， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC， 即第一小组认为要知道河宽AB，最简单的方法是测量线段BC的长度， 故答案为：BC； （2）由题意可知，∠DBC＝80°， ∵∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝∠DBC﹣∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∵BC＝35米， ∴AB＝35米； （3）第三小组的方案可行，证明如下： 由题意可知，∠ACE＝180°﹣75°＝105°， ∵∠ADC＝58°，∠BEC＝17°． ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝17°， ∴∠CAD＝∠BEC， 在△ACD和△ECB中， ， ∴△ACD≌△ECB（AAS）， ∴AC＝EC， ∴AC﹣CB＝EC﹣CD， ∴AB＝DE， ∴第三小组的方案可行． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理和外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $