精品解析：吉林省长春市朝阳区吉林大学附属中学2026-2027学年度上学期期中测试八年级数学试题

吉林大学附属中学2026-2027学年度上学期期中测试 八年级 数学试题 总分：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列四个数中，负数是【 】 A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. 2a3•a4=2a7 B. a3+a4=a7 C. （2a4）3=8a7 D. a3÷a4=a 4. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 5. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） ①②③④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边上的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 10. 计算：__________． 11. 已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是________________． 12. 计算：_________． 13. 计算：__________． 14. 等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是_____________．（请填写序号） 三、解答题（满分78分） 15. 分解因式 （1）； （2）． 16. 计算下列各题 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知满足． （1）若有意义，则的取值范围是_______________；在这个条件下将去掉绝对值符号，则________________． （2）根据（1）的分析，求的值． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中的边上找到格点D，连接，使平分的面积； （2）在图②中画，使，且点E与点A不重合； （3）在图③中画，使与全等． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. ； ； ； ；… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． （1）猜想：_____________________（为正整数）． （2）利用（1）的猜想计算：________________． （3）在实数范围内，若，求的值． 22. 如图，在中，． （1）作图：在边上有一点，连接并延长，在的延长线上取点，使，连接，作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 23. 阅读材料：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形． ①____________，_______________（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 24. 等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 （1）如图①，在中，，．点C正好落在直线l上，直线l与直线的交点不在边上，分别作于点F，于点E，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 （2）如图②，与均为等腰直角三角形，，且C、F、D在同一直线上，连接．已知，，则__________． （3）在中，，，，．直线l经过的直角顶点C交斜边于点E，，，动点F在直线l上，动点B在所在直线上．若以点B、C、F为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林大学附属中学2026-2027学年度上学期期中测试 八年级 数学试题 总分：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 2. 下列四个数中，负数是【 】 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】实数的运算，正数和负数，绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根． 根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解： A、|-2|=2，是正数，故本选项错误；B、=4，是正数，故本选项错误； C、 ＜0，是负数，故本选项正确；D、=2，是正数，故本选项错误． 故选C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. 2a3•a4=2a7 B. a3+a4=a7 C. （2a4）3=8a7 D. a3÷a4=a 【答案】A 【解析】 【详解】选项A，2a3•a4=2a7，本选项正确； 选项B，a3和a4不是同类项不能合并，本选项错误；选项C，（2a4）3=8a12，本选项错误；选项D，a3÷a4=a-1，本选项错误；故选A． 点睛：本题考查了合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力． 4. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． ∵，∴B错误． ∵，∴C错误． ∵，∴D正确． 5. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） ①②③④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用图形面积解释相应的代数恒等式，根据图形用两种不同的方法表示同一个图形的面积即可求解． 【详解】解：①大正方形的面积为：， 大正方形由四个小图形组成面积为：， 故，正确； ②大正方形的面积为：， 大正方形由三个小图形组成面积为：， ∴ 故，正确； ③上方大长方形的面积为：， 将上方右侧小长方形拼到下方，得到面积为：， 故，正确； ④大正方形的面积为：， 大正方形有五个小图形组成面积为： 故，正确； 故选：A． 6. 把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先提取公因式x，再根据平方差公式分解即可． 【详解】， 故选C． 【点睛】本题要用到二次分解因式，分解因式时一定要分解彻底． 7. 如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 8. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边上的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ，， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 10. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式运算法则计算即可求解，掌握多项式除以单项式运算法则是解题的关键． 根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加，可得答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11. 已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将已知幂的运算结果与的数值建立联系，推导指数间的等量关系． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 12. 计算：_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，正确计算是解题的关键． 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式，完全平方公式将式子化简求值即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 14. 等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是_____________．（请填写序号） 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，，，判定为等边三角形；利用内错角相等判定平行；利用线段代换求的周长；通过角度范围判断角相等是否成立． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到  ， 是等边三角形，  ，故①正确；  是等边三角形，  ，  ，  ，  ，故②正确；  是等边三角形，  ，    ，  的周长，故③正确； 是的外角 ， ，  在中，， ，  ，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③． 三、解答题（满分78分） 15. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（１）直接使用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，然后使用完全平方公式因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 计算下列各题 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）将方程整理为平方项等于非负常数的形式，利用平方根定义求解； （2）将方程整理为立方项等于常数的形式，利用立方根定义求解． 【小问1详解】 解：方程两边同乘9，得， 开平方，得或， 解得或； 【小问2详解】 解：移项，得， 两边同除以，得， 开立方，得， 解得． 18. 已知满足． （1）若有意义，则的取值范围是_______________；在这个条件下将去掉绝对值符号，则________________． （2）根据（1）的分析，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式的含义，可知的取值范围，再根据绝对值的意义进行化简即可； （2）结合（１）中的结果，化简题目中的式子计算即可． 【小问1详解】 解：有意义时，，解得； 此时，，则； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 解得， 则． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中的边上找到格点D，连接，使平分的面积； （2）在图②中画，使，且点E与点A不重合； （3）在图③中画，使与全等． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）都是长为2，宽为1的长方形的对角线，可得，则点D为的中点，根据三角形中线的性质，可得平分的面积； （2）根据，得到，再由，可推导出，即可解答； （3）点M可看作由点C向下平移1得到，将点B，A也向下平移1，分别得到点P，N，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，图略； 【小问2详解】 解：如图所示，图略； 【小问3详解】 解：如图所示，图略； 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】－4；－11． 【解析】 【详解】试题分析：原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式==， 当，时，原式=1﹣12=﹣11． 考点：整式的混合运算—化简求值． 21. ； ； ； ；… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． （1）猜想：_____________________（为正整数）． （2）利用（1）的猜想计算：________________． （3）在实数范围内，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察已知等式的次数变化规律，归纳一般结论； （2）将所求式子转化为两个符合规律的和式的差，利用（1）的结论计算； （3）利用（1）的结论推导，结合已知条件确定x的取值，再计算的值． 【小问1详解】 解：观察已知等式：， ，， …… 由此猜想：． 【小问2详解】 解：由（1）的结论可得： ， ， 两式相减得：， 化简得， ． 【小问3详解】 解：由（1）的结论可知：， ， ， 即， 当时，，不符合题意，故， 在实数范围内，由且，得， ． 22. 如图，在中，． （1）作图：在边上有一点，连接并延长，在的延长线上取点，使，连接，作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1）如图， （2）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先在上取点，连接并延长；以为圆心、长为半径画弧，和延长线交于；连接，再用尺规作的角平分线，交于，保留痕迹即可． （2）先由，得到；由角平分线得到；用证明，得到；再由得，等量代换证出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 23. 阅读材料：若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形． ①____________，_______________（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）1 （2）①，；②28 【解析】 【分析】（1）设，，可以直接得到与的值，再利用完全平方公式的变形，整体代入求出平方和； （2）①根据正方形边长相等、长方形对边相等，利用线段的和差关系，用含的代数式表示、； ②由长方形面积得到a，b的乘积，已知的值，先通过完全平方公式求出，再借助平方差公式，整体求出两个正方形的面积差，也就是阴影面积． 【小问1详解】 解：设，， 则，， ． 【小问2详解】 ① 正方形的边长为，，， 四边形是长方形， ， ． ②解：由题意，长方形面积为48，即， 阴影面积为两个正方形面积之差：． 设，， 则，． ， 又， 故， ． 阴影部分的面积为28． 24. 等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 （1）如图①，在中，，．点C正好落在直线l上，直线l与直线的交点不在边上，分别作于点F，于点E，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 （2）如图②，与均为等腰直角三角形，，且C、F、D在同一直线上，连接．已知，，则__________． （3）在中，，，，．直线l经过的直角顶点C交斜边于点E，，，动点F在直线l上，动点B在所在直线上．若以点B、C、F为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】（1）， 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）6 （3）或或 【解析】 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据求出，则．过点A作，交的延长线于点E，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）先利用直角三角形面积法求出斜边上的高，结合比例算出，长度；按B，F在上方、下方两类，分两种全等对应关系、讨论，求出全部符合条件的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：， ， ， ，即， ． ， ， ， ， ． 若以点B、C、F为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ① 若点，均在点上方： ， 存在或． 若， 则， ． 若， 则， ． ② 若点，均在点下方： ， 存在或． 若， 则， ． 若， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $