精品解析：吉林省长春市朝阳区长春高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度上学期长春新区吉大慧谷学校第二次质量检测八年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握“无理数是无限不循环小数”是解题的关键． 依据无理数“无限不循环小数”的定义，逐一判断各选项是否符合无理数特征． 【详解】解：是分数，分数属于有理数； ，5是整数，整数属于有理数； ∵是无限不循环小数（无理数），无理数加有理数仍为无理数， ∴ 是无理数； 是有限小数，有限小数属于有理数； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算（同类项合并、同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方），熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．根据整式运算（同类项合并、幂的运算）的规则，逐一判断每个选项的计算是否正确． 【详解】解：与不同类项，不能合并，，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 带根号的数一定是无理数 D. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法的步骤、逆命题的真假判断、无理数的定义及等边三角形的判定，熟练掌握这些知识的概念与性质是解题的关键． 逐一分析每个选项，结合反证法、逆命题、无理数、等边三角形的相关知识，判断其正误． 【详解】解：证明“”时，应假设“”，故A项正确，不符合题意． ∵“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”， ∴该逆命题是真命题，故B项正确，不符合题意． ∵带根号的数不一定是无理数（如是有理数）， ∴带根号的数一定是无理数的说法错误，故C项错误，符合题意． ∵等腰三角形有一个角为时，其余两角也均为， ∴该三角形是等边三角形，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 4. 下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握“因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式”是解题的关键． 根据因式分解的定义（将多项式化为几个整式的乘积形式），逐一判断每个选项是否符合该定义． 【详解】∵因式分解要求左边为多项式，右边为整式的乘积． 选项A：右边为，是差的形式，不是乘积； 选项B：左边是单项式，不是多项式； 选项C：右边中含有，不是整式； 选项D：左边是多项式，右边是整式的乘积． ∴属于因式分解的是D． 故选：D． 5. 如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查整式除以的应用，完全平方公式的计算，由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：， 解得，， 故选：C． 6. 如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 7. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在上，折痕为，且点落在点处，，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练运用勾股定理是解决本题的关键． 根据长方形的性质可得，，，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴在中，． 设， 由折叠可得，，， ∴，， ， ∴在中，， 即 ， 解得， ∴的长为， 故选D． 8. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，其中、为直角边、为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是（） A. 7 B. 17 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式的应用，熟练掌握勾股定理及完全平方公式的变形是解题的关键． 先根据个直角三角形的面积与白色区域面积求出五边形相关图形的面积，再结合勾股定理求出，进而得到的长度． 【详解】解：∵每个直角三角形的面积为，个直角三角形的面积为，白色部分面积为， ∴由图形可知． ∵由勾股定理得， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 10. 如图，为原点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与数轴上的点表示数，运用数形结合思想．解题关键是先利用勾股定理求出的长度（即的长度），再结合点A的位置计算点C表示的数；易错点是对与数轴上点的位置关系判断错误，导致数的符号或数值计算出错．首先在中，根据勾股定理计算的长度：．其次因为以A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于C，所以．最后点A表示的数是2，则点C表示的数为． 【详解】解：在中，，，根据勾股定理： ． 由题意得． 由图可知点C表示的数为：． 故答案为：． 11. 若，，则的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 12. 若关于的多项式展开后不含有二次项，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．利用多项式乘多项式的法则展开后，使二次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵乘积不含二次项， ∴二次项系数， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 【答案】西北 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 14. 如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交、、于、、，交的延长线于，连接、，则下列结论：①；②；③图中有对全等三角形；④．其中正确的结论有_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握这些性质定理并进行角的等量代换是解题的关键． 通过角平分线、垂直平分线的性质，结合平行线判定、角的等量代换等知识，逐一验证结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是的垂直平分线 ∴， ∴， 由①知，且， ∴，， 又， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴（） ∵，， ∴（） ∵、， ∴，，， ∴（）， ∵，，， ∴（）， ∵，，， ∴（），共对全等三角形，图中不存在对全等三角形，故③错误． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（共78分） 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根定义，将方程转化为两个一元一次方程求解； （2）先整理方程，再利用立方根的定义求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 当时，， 当时，， ∴或； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解方法（提取公因式法、公式法、十字相乘法），熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）通过十字相乘法，将二次三项式分解为两个一次式的乘积． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算与代数式求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 先展开并化简中括号内的整式，再进行除法运算，最后代入的值计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在正方形网格中，其顶点称为格点，点、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： （1）在图1中画出，使，且． （2）在图2中画出，使，且． （3）在图3中画出，使，且非直角三角形，该的面积为________． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析，． 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中的等腰直角三角形构造、勾股定理的应用及三角形面积的计算，熟练掌握网格的边长特征与勾股定理是解题的关键． （1）取格点，连接、，则点为所求； （2）取格点，连接、，则点为所求； （3）取格点，连接、，则点为所求，利用割补法求出面积即可； 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 证明：，，， ∴．， ∴． 【小问2详解】 解：如图，点为所求； 证明：，，， ∴．， ∴． 【小问3详解】 解：如图，点即为所求； ∵，， ∴． 的面积为． 19. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连结AE并延长交BC的延长线于F，连结BE． （1）求证：AD＝CF； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过AAS证明△ADE和△FCE全等，可得到AD＝CF； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的“三线合一”的性质可得出结论. 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE． ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE． 在△ADE和△FCE中 ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AD． （2）∵CF＝AD，AB＝BC+AD， ∴AB＝BF， ∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF， ∴BE⊥AF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 20. 若，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）17； （2）． 【解析】 【分析】（1）由再代入求值可得答案； （2）由再代入计算，再利用平方根的含义可得答案. 小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 ∵， . 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，掌握“完全平方公式的变形”是解本题的关键. 21. 如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元． （1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． （2）若a＝10，b＝5，计算草坪的造价． 【答案】（1）24ab-6b2；（2）31500元． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，用大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积即可求解． （2）把a＝10，b＝5及草坪的造价为每平米30元代入代数式即可求解． 【详解】解：（1）∵阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积， ∴草坪（阴影）面积为：6a×6a﹣4×b××b﹣（6a﹣2b）2=24ab-6b2． （2）当a＝10，b＝5时， 草坪的造价为：（24×10×5-6×52）×30=31500（元）． 【点睛】本题考查了整式的应用和求整式的值，根据题意正确列出整式是解题的关键． 22. [阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求的最小值． 解：原式 ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，则______． （2）用配方法因式分解：． （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、因式分解（配方法+平方差公式）、代数式的最值问题，熟练掌握配方法的应用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的结构，确定中间项系数与首尾项的关系，进而求出的值． （2）通过配凑常数项，将多项式转化为完全平方式与常数的差，再用平方差公式因式分解． （3）先提取二次项系数，再配凑完全平方式，利用平方的非负性求最小值． 【小问1详解】 解：∵是完全平方式， ∴， 即， 故． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴，即的最小值为． 23. 著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的推导与应用、方程思想（利用勾股定理列方程）．熟练掌握“双求法”表示图形面积、勾股定理的实际应用是解题的关键． （1）用“双求法”表示梯形面积，一方面直接用梯形面积公式，另一方面拆分为三个三角形面积和，列等式推导勾股定理． （2）设，利用勾股定理列方程求，再计算． （3）设，用勾股定理表示（分别通过和），列方程求，再求． 【详解】解：（1）梯形面积：，三个三角形面积和：， ∵梯形面积三个三角形面积和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴千米， 故答案为：； （3）设，则， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴． 24. 如图，在中，，，，交于点D，点P从点A出发，沿折线向终点C运动，在边上的速度为每秒5个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，连结，设点P的运动时间为t秒． （1）的长为______，的长为______． （2）当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示） （3）以为边构造的正方形面积为，用含t的代数式表示S． （4）直接写出当是等腰三角形时t的值． 【答案】（1）， （2） （3） （4），，，． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积可以求出； （2）点P在边上运动运动时间为秒，则，整理即可； （3）分两种情况计算，点P在边上时，利用勾股定理先求出，再利用，点P在边上时，由（2）可以直接得到； （4）分情况逐一列出方程求解即可 【小问1详解】 在中，，， ， ， ， 故答案：，； 【小问2详解】 当点P在边上运动时， 故答案为：； 【小问3详解】 当点P在边上运动时， 在中， ， ，， 在中， ， ， ， 当点P在边上运动时， ， ， ∴ 【小问4详解】 ，，，． 点P在边上时，， ①当，即， 解得：， ②当，即， 解得：， ③当，， 解得：或0（舍去）， 当点P在边上运动时，， ①，不成立； ②当， 解得：， ③当，不成立， 综上所述：是等腰三角形时，，，，． 【点睛】本题考查二次函数，勾股定理，等腰三角形，解题的关键是运用分类讨论的进行计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期长春新区吉大慧谷学校第二次质量检测八年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 带根号的数一定是无理数 D. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 4. 下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在上，折痕为，且点落在点处，，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 5 8. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，其中、为直角边、为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是（） A. 7 B. 17 C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 10. 如图，为原点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是________． 11. 若，，则值是___________. 12. 若关于的多项式展开后不含有二次项，则的值为__________． 13. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 14. 如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交、、于、、，交的延长线于，连接、，则下列结论：①；②；③图中有对全等三角形；④．其中正确的结论有_____． 三、解答题（共78分） 15. 解方程： （1） （2） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在正方形网格中，其顶点称为格点，点、、、、均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： （1）在图1中画出，使，且． （2）在图2中画出，使，且． （3）在图3中画出，使，且非直角三角形，该的面积为________． 19. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连结AE并延长交BC的延长线于F，连结BE． （1）求证：AD＝CF； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 20. 若，求下列各式的值． （1）； （2）． 21. 如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元． （1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． （2）若a＝10，b＝5，计算草坪的造价． 22. [阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求最小值． 解：原式 ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，则______． （2）用配方法因式分解：． （3）求的最小值． 23. 著名赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 24. 如图，在中，，，，交于点D，点P从点A出发，沿折线向终点C运动，在边上的速度为每秒5个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，连结，设点P的运动时间为t秒． （1）的长为______，的长为______． （2）当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示） （3）以为边构造的正方形面积为，用含t的代数式表示S． （4）直接写出当是等腰三角形时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $