第二十九章 《圆》单元检测 A卷 2026—2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章 《圆》单元检测A卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：九年级上册数学第二十九章 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 4．每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A． B． C． D． 6．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（　　） A．6 B．5 C．2 D．1 7．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 12．如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 (共84分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．如图，一个直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于点，且过圆心，连接．若的直径为，则弦的长为______． 14．如图，AB是⊙O 的直径，,∠COD=40°，则∠AOE=_______. 15．如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 16．如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为_______． 三、解答题(17～19题每小题8分，20～22题每小题11分，23题15分，共72分) 17．如图，为的直径，弦的延长线相交于点，且 求证：． 18．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 19．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 20．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 21．如图，已知及圆外一点P． (1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长． 22．如图，直角△ACB，∠ACB=90°，∠A=60°，以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF=2，求BC的长. 23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． (1)若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； (2)作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 《圆》单元检测A卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：九年级上册数学第二十九章 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角， 只有选项C符合题意． 2．如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，根据得到，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 3．如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”． 【详解】解：A．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故A不符合题意； B．根据无法判断，故B符合题意； C．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故C不符合题意； D．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故D不符合题意． 故选：B． 4．每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】扇形弧长计算公式，代入求值即可． 【详解】解：将，代入 ． 5．草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径，高， ∴母线长， ∴该模型的侧面积为． 故选：B． 6．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（　　） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，构造直角三角形是求线段长的常用方法． 连接，，作，先证明四边形是矩形，进而得出，再根据勾股定理求出，可得，根据即可得出答案. 【详解】解：连接，，过点O作于点G，交一点E，交于点F． ∵，， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是1cm， 故选：D． 7．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“所对的直角边是斜边的一半”易得，利用勾股定理可得，再根据旋转的性质，得，，，最后根据扇形面积公式和“”，计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 由旋转可得，，， ． 8．如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的推理，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接，先证明，，得到，，则，继而推导出，可得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图， ∵为直径，点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 【详解】解：A、根据题意得：， ， ，故不符合题意； B、连接， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ，故选项错误，符合题意； C、连接，， ， ， ∴，故不符合题意； D、连接，如图所示： ∵， ∴，选项正确，不符合题意． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过连接辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出线段长度，从而确定点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为． 11．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，    得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则， 由内心的定义可得 平分， 可得， 进一步可证明，利用勾股定理可得，设的内切圆半径为， 根据，可求出， 过点作于点，则，解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 点为的内心， 平分， ， 弧 弧， ， 在 中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得； 设的内切圆半径为， 点 为的内心， 点到的三边的距离都等于， ， ， ， ； 如图所示， 过点作于点， 则， 在中，， 是等腰直角三角形 ， ． 第二部分 非选择题 (共84分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．如图，一个直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于点，且过圆心，连接．若的直径为，则弦的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理可得，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵的直径为， ∴． 14．如图，AB是⊙O 的直径，,∠COD=40°，则∠AOE=_______. 【答案】60° 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC=∠COD=∠EOD=40°从而根据平角的定义求得∠AOE的度数． 【详解】解：∵，∠COD=40°， ∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°， ∴∠BOE=120°， ∴∠AOE=180°-∠BOE=60°． 故答案为60° 【点睛】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 15．如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据翻折的性质可知，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，由，联想到位似变换，在 上取点 使得，构造，从而确定点 的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，连接 ，当 三点共线时， 取得最小值，利用勾股定理求出 的长即可求解． 【详解】解： 四边形是矩形， ，，， 点在 边上，， ， 由翻折的性质可知，， 在上取一点 ，使得，连接， ， 在 和中， ，， ， ， ， 点 是定点，长为定值， 点 在以点 为圆心，为半径的圆上运动， 连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，最小值为， 在 中，， ， 根据勾股定理得： ， 的最小值为． 三、解答题(17～19题每小题8分，20～22题每小题11分，23题15分，共72分) 17．如图，为的直径，弦的延长线相交于点，且 求证：． 【答案】 证明：如图：连接AC， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACB=90°，即AC⊥BP. ∵BC=PC， ∴AC为BP的垂直平分线， ∴AB=AP， ∴∠P=∠B， ∴∠BAD=∠P+∠B=2∠P． 【分析】如图：连接AC，根据为的直径可得∠ACB=90°，即AC⊥BP.再根据BC=PC可知AC为BP的垂直平分线可得AB=AP，根据等腰三角形的性质得到∠P=∠B，最后由三角形外角的性质即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂直平分线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，根据题意作出辅助线、构造出圆周角是成为解答本题的关键． 18．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明，得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 19．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鱼，碧波倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 20．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 21．如图，已知及圆外一点P． (1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长． 【答案】(1) (2)截下的的周长为20 【分析】（1）要过圆外一点P作的切线，核心原理是利用“直径所对的圆周角是直角” ．首先连接线段，作线段的垂直平分线，找到的中点，以中点为圆心，到点O为半径画弧，交于A、B两点，连接、，、即为所求的两条切线，点A、B为切点． （2）首先找切线相等关系，设与圆相切于点D，根据切线长定理，从同一点引出的两条切线段长度相等；然后将的边拆分为，然后利用上面的相等关系进行替换即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如答图②，设D是与劣弧相切的点， ∵、是的两条切线， ∴． ∵是的切线，切点为D，且点M在上，点N在上， ∴和是从点M引出的两条切线段，和是从点N引出的两条切线段， ∴，． ∴，， 的周长． 22．如图，直角△ACB，∠ACB=90°，∠A=60°，以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF=2，求BC的长. 【答案】（1）证明：连接OE，∵G为Rt△ABC斜边的中点. ∴AG=CG， 又∵∠A=60° ∴△ACG为等边三角形 ∴∠C=∠AGC=60°. 又∵CO=OE      ∴△OCE是等边三角形. ∴∠AGC=∠OEC=60°. ∴OE∥AB ∵O为AC中点， ∴E为CG的中点. （2）证明：由（1）, E为CG的中点,又∵O为AC中点， ∴OE∥AG ∵ED⊥AG， ∴OE⊥ED， ∴DE是⊙O的切线 （3）12. 【分析】（1）连接OE，利用直角三角形斜边上的中线性质得到AG=CG，则△ACG为等边三角形，再判断△OCE是等边三角形得到∠AGC=∠OEC=60°，所以OE∥AB，锐角利用O为AC中点得到E为CG的中点；（2）利用（1）中OE∥AG得到OE⊥ED，然后根据切线的判定定理得到结论；（3）作GM∥FD交BC于M，如图，先证明CM=2CF，MC=MG，再利用△MGB为30°角的直角三角形得到BM=2MG=2CM=4CF，然后利用BC=6CF进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）做GM∥FD， ∵E为CG的中点， ∴ ∴CF也是⊙O的切线. ∴, ∴MC=MG. ∵△MGB为30°角的直角三角形 ∴  ∴BC=6CF ∴BC=6×2=12. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质．正确运用性质定理是解题的关键. 23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． (1)若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； (2)作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 【答案】(1)①，点的坐标是；②平行四边形面积的最大值为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数综合题（待定系数法求解析式、平行四边形面积最值、定角存在性问题），解题的关键是熟练运用待定系数法、坐标法求图形面积、构造辅助圆解决定角问题． （1）①利用已知点坐标代入解析式，解方程组求出函数表达式，再令解方程求出点B坐标；②由三角形面积关系证得，求出直线的解析式，联立抛物线方程求出点F坐标，设动点E坐标，以铅垂高法表示三角形面积，再由平行四边形面积是对应三角形面积的2倍，配方求最值； （2）由A点坐标得到b、c的关系式，构造以为斜边的等腰直角三角形对应的辅助圆，利用直线与圆的交点个数，求出参数的取值范围． 【详解】（1）解：①抛物线与轴交于，点在该抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式是， 令，即， 解得，， 点的坐标是． ②如图，连接，，过点作轴，交于点． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 又点到轴的距离为， 又， ， ． 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的表达式为． ，可设直线的表达式为，将代入，得， 直线的表达式为． 联立，得， 解得，， 点的坐标为． 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 平行四边形面积的最大值为． （2）解：抛物线与轴交于， 即， ， 令，得（舍去），， 点的坐标为，， 当时，，即点的坐标为， 可得直线的表达式为． 如图，以为斜边作等腰直角和等腰直角， 分别以，为圆心，以和的长为半径作，，与坐标轴的交点分别为，，，． 圆心角， 当点在优弧和优弧上（异于，）时，圆周角， 当直线与优弧和优弧共有两个交点（异于，）时，使的点恰有两个． ，， 当直线与相交时，符合题意． 直线过点或时恰好与相切， 将代入直线的表达式，得， 将代入直线的表达式，得， 的取值范围是或． ， 的取值范围是或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $