数学一模模拟·必刷卷04（浙江专用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

■■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则集合内的最小元素为（   ） A．2 B．6 C．10 D．14 2．已知复数满足，则 的虚部为（   ） A． B．2 C． D．5 3．已知向量，，则ABC=（ ） A．30° B．45° C．60° D．150° 4．（新考法）已知球，，两两外切，且，，则这三个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 5．（热点）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．某武术比赛中，共有12位评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分．已知选手甲原始得分的平均分为90.5分，方差为17.75，去掉一个最高分96分，去掉一个最低分80分，则选手甲剩余10个分数的平均数和方差分别为（    ） A．90.5，7 B．91，7 C．91，9.75 D．91，97.75 7．已知双曲线的左焦点为，离心率为，平行于轴的直线交于，两点（在的左侧），延长至点，使得，连接交轴于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 8．（改编题）已知正项数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（     ） A．数列为严格递减数列 B．数列从第项开始，各项均满足 C．数列中存在某一项为最大项 D．任意正整数，均有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 10．对，，定义若函数，则下列四个结论中正确的有（     ） A．是以为周期的函数 B．当且仅当时，取得最小值 C．图象的对称轴为直线 D．当且仅当时， 11．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，椭圆的离心率为，过椭圆上一点作斜率为的直线，恰好平分的外角，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，直线的斜率为，则（） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为数列的前项和，若，则______． 13．（经典题）若不等式对任意的恒成立，且，则的最小值为__________． 14．四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，． (1)证明：； (2)若为钝角，，的面积为，求的值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点E是棱的中点． (1)证明：平面； (2)设点F在平面内，且满足． （i）求点F的轨迹方程； （ii）求直线与平面所成角正弦值的最大值． 17．（15分）某通信系统传输二进制信号，每个比特出错的概率为（），且各比特相互独立，为提高可靠性，采用“三重冗余”：每个比特发送3次，接收端按“多数表决”（取出现次数多的值）判决，定义“误码率”为判决错误的概率. (1)求单个比特直接传输的误码率； (2)求三重冗余下的误码率（用表示）； (3)证明：当时，三重冗余能降低误码率；并讨论时的情形，据此说明冗余设计的适用条件. 18．（17分）给定正实数m和定点，已知 P，N两点分别在x轴和y 轴上运动，且满足 O为坐标原点. (1)求动点 Q的轨迹方程(用m 表示)； (2)过点 作直线与点 Q的轨迹交于A，B两点. （i）求 的最小值; （ii）过点 E作的垂线与点Q的轨迹交于C，D 两点，求 的取值范围(用m 表示). 19．（17分）（新情景）已知函数的定义域为，值域为，当时，则称是上的自缩函数．（参考数据：，，，，仅供比较大小时参考） (1)若，判断是否是上的自缩函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，且是上的自缩函数， （Ⅰ）若，证明：在上单调递增； （Ⅱ）证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则集合内的最小元素为（   ） A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【解析】，， 所以内的最小元素为10． 2．已知复数满足，则 的虚部为（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【解析】由可得， 则，故，其虚部为. 3．已知向量，，则ABC=（ ） A．30° B．45° C．60° D．150° 【答案】D 【解析】由题意得，∴，， 又∵ABC与与夹角的补角，∴ABC=150°． 4．（新考法）已知球，，两两外切，且，，则这三个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球，，的半径分别为，，，由题干知，解得， 可得三个球体积之和． 5．（热点）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵为偶函数，∴， ∴，即函数周期，且， ∴，又， 代入可得， 此时，∴． 6．某武术比赛中，共有12位评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分．已知选手甲原始得分的平均分为90.5分，方差为17.75，去掉一个最高分96分，去掉一个最低分80分，则选手甲剩余10个分数的平均数和方差分别为（    ） A．90.5，7 B．91，7 C．91，9.75 D．91，97.75 【答案】B 【详解】设这12个得分由低到高为， 因为选手甲原始得分的平均分为90.5分， 所以原始总分为分, 剩余10个分数的总分为分， 所以剩余分数的平均分为分， 由方差的计算公式：， 因为原始方差为17.75，所以有， 所以， 去掉最高分96和低分80后的平方和， 所以剩下10个数据的方差为. 7．已知双曲线的左焦点为，离心率为，平行于轴的直线交于，两点（在的左侧），延长至点，使得，连接交轴于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设的横坐标分别为，则，由离心率，得， 由双曲线的焦半径公式：左支上点到左焦点的距离为， 右支上点到左焦点的距离为， 依题意，延长至，即三点顺次共线，且， 所以，， 因为直线平行于轴，而都在轴上，所以， 在中，在边上，在边上，且，由三角形相似的判定定理，得，于是对应边成比例：，代入，，， 得， 因此. 8．（改编题）已知正项数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（     ） A．数列为严格递减数列 B．数列从第项开始，各项均满足 C．数列中存在某一项为最大项 D．任意正整数，均有 【答案】D 【解析】因为对任意的正整数，均有，所以， 所以，即， 所以. 对选项D：用导数可证明当时，（当时取等号）. 由得， 整理可得. 则有，… ，， 所以， 因为，所以，则， 即.又，所以对任意的正整数，.选项D正确； 对选项A：由上面推导可知，且 所以，，即， 所以数列为严格递增数列. 选项A错误； 对选项B：由得， 所以， 设，则， 所以在上单调递增，从而. 令，则，不一定满足.选项B错误； 对选项C：因为已推得数列为严格递增数列，且，所以数列中不存在某一项为最大项. 选项C错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，由组合数的性质得,所以等式右边为, 而等式左边为,两者一般不相等,故A错误. 对于B,因为, 所以,故B错误. 对于C,由排列数公式得,, 所以,故C正确. 对于D,由组合数公式得, 所以,故D正确. 10．对，，定义若函数，则下列四个结论中正确的有（     ） A．是以为周期的函数 B．当且仅当时，取得最小值 C．图象的对称轴为直线 D．当且仅当时， 【答案】ACD 【分析】根据已知得，由正弦，余弦函数的性质可得选项． 【详解】函数的最小正周期为，故A正确； 作出图象如下图所示： 当时，， 当时，， 当或时，取得最小值；故B错误； 所以的对称轴方程为，故C正确； 当且仅当时，，的最大值为， 所以，故D正确. 11．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，椭圆的离心率为，过椭圆上一点作斜率为的直线，恰好平分的外角，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，直线的斜率为，则（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A，设椭圆左右焦点为、，满足，离心率，由椭圆的定义得，因直线是的外角平分线，作 关于直线的对称点 ， 由角平分线的对称性，可得点落在直线的延长线上，；垂足是线段 的中点， 是 的中位线，因此 ， 故，，A正确； 选项B，作关于直线的对称点，由角平分线的对称性，点必在直线的延长线上，且； 由对称性质，垂足是线段的中点，因此， 又是中点，是中点，由三角形中位线定理得，， 由（即），，得直线的斜率为，倾斜角为，即， 直线斜率为（倾斜角），是外角平分线，故直线、与直线的夹角相等， 设直线斜率为，由两直线夹角公式得， 代入、，解得，即直线倾斜角为， 在中，，由内角和得，B错误； 选项C，在中，由正弦定理得， 代入、、、， 得，解得，， 结合椭圆的定义得， 因此离心率，C正确； 选项D，因、，故等于向量在直线方向上的投影长度， 直线的方向向量取，单位方向向量为，向量， 则，由，代入得，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为数列的前项和，若，则______． 【答案】 【解析】因为， 所以，， 所以. 13．（经典题）若不等式对任意的恒成立，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】两个因式的符号必须始终一致. 若，则对所有成立，此时需对一切恒成立， 但当时，不可能恒成立，故； 同理，若，则对所有成立，此时需对一切恒成立， 但当时，不可能恒成立，故； 故. ，，， 两因式的正零点分别为与，若两零点不重合， 则位于两零点之间的区间内，两个因式异号，乘积为负，与“恒大于等于零”矛盾， 因此两零点必须重合，即； 令，，则条件变为，而对应， 则， ，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 此时联立与，得， 即，满足， 故的最小值为. 14．四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为________． 【答案】 【解析】四面体中，，其余棱长都为2， 取的中点，连接，，则，， 故为二面角的平面角， 因为等边三角形，，故，故， 设到的距离为，则，化简得，， 故点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在三角形内部（含边界）的一段弧， 如图建立平面直角坐标系，则，，， 则抛物线的方程为，直线的方程为：， 联立，得，解得或（舍去）， 故圆弧与的交点横坐标为， 则到的最大距离.故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，． (1)证明：； (2)若为钝角，，的面积为，求的值． 【解析】（1）已知， 则， 又，则， 又，则或（舍），所以. （2）为钝角，过作垂直交于点，的面积为， 则，即， 设，则，， 则，， 又，则，所以， 又，则，即， 则． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点E是棱的中点． (1)证明：平面； (2)设点F在平面内，且满足． （i）求点F的轨迹方程； （ii）求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【解析】（1）连接，交于点O，由底面是正方形，则是的中点， 连接，在中，E是棱的中点，则为中位线，故， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理，得平面． （2）（i）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ， 设点，则， 由得，化简整理得， 故F的轨迹是平面内，以为圆心、半径为1的圆； （ii）取平面内向量，设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为，， 则， 令，则， 令，，设，求导得， 在区间上，，故， 即在区间内单调递增，， 故． 17．（15分）某通信系统传输二进制信号，每个比特出错的概率为（），且各比特相互独立，为提高可靠性，采用“三重冗余”：每个比特发送3次，接收端按“多数表决”（取出现次数多的值）判决，定义“误码率”为判决错误的概率. (1)求单个比特直接传输的误码率； (2)求三重冗余下的误码率（用表示）； (3)证明：当时，三重冗余能降低误码率；并讨论时的情形，据此说明冗余设计的适用条件. 【解析】（1）单个比特直接传输时，只有1次发送和接收， 根据题意，每个比特出错的概率为，因此， 单个比特直接传输的误码率即为出错的概率，即为； （2）采用“三重冗余”即每个比特发送3次，并按“多数表决”判决， 由于各比特相互独立，设出错的次数为，则， 发生“判决错误”（即误码）的情况是：3次传输中至少有2次出错 （即2次出错或3次出错），因此，三重冗余下的误码率为： ； (3)证明：比较三重冗余的误码率 与直接传输的误码率，作差得：， 当时，、、，故差 ，即， 这说明当时，三重冗余能降低误码率; 当时，、、， 故差，即 这说明当时，三重冗余不仅不能降低误码率， 反而会使误码率升高，降低可靠性； 若，则，误码率不变； 综上所述，当时，三重冗余可以降低误码率，提升传输可靠性； 当时，三重冗余反而会增大误码率，降低可靠性； 当时，误码率保持不变， 因此三重冗余多数判决方案的适用条件是单次比特出错概率满足. 18．（17分）给定正实数m和定点，已知 P，N两点分别在x轴和y 轴上运动，且满足 O为坐标原点. (1)求动点 Q的轨迹方程(用m 表示)； (2)过点 作直线与点 Q的轨迹交于A，B两点. （i）求 的最小值; （ii）过点 E作的垂线与点Q的轨迹交于C，D 两点，求 的取值范围(用m 表示). 【解析】（1）设，，． 由，得，． 由，得． 又，且，所以，即，． 代入，得，所以的轨迹方程为． 反之，对任意满足的点，取、，则、满足题设两个向量条件，故轨迹没有遗漏． （2）（i）将轨迹参数化为，其中． 设直线的方程为，其中不同时为． 要使与抛物线交于两个不同点，须； 若，则为轴，只与抛物线交于一点． 将参数点代入，得．设两根为，则． 于是． 由，得，所以，其中． 当时取等，此时，为直线，与抛物线交于、，故最小值为． （ii）若为竖直线，则为轴，只与抛物线交于一点； 若为轴，则也只交于一点． 因此可设为斜率的直线，的方向向量可分别取、，且、． 设，，，． 由及抛物线方程，是方程的两根，故； 是方程的两根，故． 这两个方程的判别式均为正，所表示的交点确为两两不同的实点． 由、及，得． 因为，所以，且的取值范围为． 故，从而． 当时取得最大值，故所求取值范围为． 19．（17分）（新情景）已知函数的定义域为，值域为，当时，则称是上的自缩函数．（参考数据：，，，，仅供比较大小时参考） (1)若，判断是否是上的自缩函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，且是上的自缩函数， （Ⅰ）若，证明：在上单调递增； （Ⅱ）证明：． 【解析】(1)是上的自缩函数，证明如下. 当时，， ，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此在处取得最小值为， ， ， 比较得最大值为，即值域为，定义域为A=， 由，，， 得，， 所以，是上的自缩函数； (2)（Ⅰ），. 反证法：假设在上不单调递增， 因为在上单调递增，令，得，即，得， 当，，单调递减，当，，单调递增，所以是唯一极值点，也是极小值点， ， 若在上不单调递增， 时，在上的最小值为， 由自缩函数定义，值域最小值不小于定义域左端点，即 ， 结合，得，与矛盾， 时，得，， 而自缩函数要求，故，得，与矛盾， 因此假设不成立，必有，即在上恒成立，故在上单调递增； （Ⅱ）分三类情况讨论： ①当时，，因此，不等式显然成立； ②当在上单调递减时，，值域为，故， 由单调递减得，代入，得 ， 由得，同①，不等式成立； ③当且单调递增时，由（Ⅰ）知单调递增，值域为， 故，整理得，因此有， 令，则， ，故在递减，在递增，最小值， 若，由及在递增，得，与矛盾，故必有，即， 要证，等价于证， 当时，，而，不等式显然成立； 当时，，等价于证， 因在递增，且，设满足，则，故只需证，即证， ，需证，即证， 即证， 令，， 当时，，，故，单调递增， 因此，即成立， 故，结合在递增，得，，则，从而，即.综上，所有情况均满足，命题得证. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则集合内的最小元素为（   ） A．2 B．6 C．10 D．14 2．已知复数满足，则 的虚部为（   ） A． B．2 C． D．5 3．已知向量，，则ABC=（ ） A．30° B．45° C．60° D．150° 4．（新考法）已知球，，两两外切，且，，则这三个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 5．（热点）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．某武术比赛中，共有12位评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分．已知选手甲原始得分的平均分为90.5分，方差为17.75，去掉一个最高分96分，去掉一个最低分80分，则选手甲剩余10个分数的平均数和方差分别为（    ） A．90.5，7 B．91，7 C．91，9.75 D．91，97.75 7．已知双曲线的左焦点为，离心率为，平行于轴的直线交于，两点（在的左侧），延长至点，使得，连接交轴于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 8．（改编题）已知正项数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（     ） A．数列为严格递减数列 B．数列从第项开始，各项均满足 C．数列中存在某一项为最大项 D．任意正整数，均有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 10．对，，定义若函数，则下列四个结论中正确的有（     ） A．是以为周期的函数 B．当且仅当时，取得最小值 C．图象的对称轴为直线 D．当且仅当时， 11．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，椭圆的离心率为，过椭圆上一点作斜率为的直线，恰好平分的外角，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，直线的斜率为，则（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为数列的前项和，若，则______． 13．（经典题）若不等式对任意的恒成立，且，则的最小值为__________． 14．四面体中，，其余棱长都为2，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则Q到BC的最大距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，． (1)证明：； (2)若为钝角，，的面积为，求的值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点E是棱的中点． (1)证明：平面； (2)设点F在平面内，且满足． （i）求点F的轨迹方程； （ii）求直线与平面所成角正弦值的最大值． 17．（15分）某通信系统传输二进制信号，每个比特出错的概率为（），且各比特相互独立，为提高可靠性，采用“三重冗余”：每个比特发送3次，接收端按“多数表决”（取出现次数多的值）判决，定义“误码率”为判决错误的概率. (1)求单个比特直接传输的误码率； (2)求三重冗余下的误码率（用表示）； (3)证明：当时，三重冗余能降低误码率；并讨论时的情形，据此说明冗余设计的适用条件. 18．（17分）给定正实数m和定点，已知 P，N两点分别在x轴和y 轴上运动，且满足 O为坐标原点. (1)求动点 Q的轨迹方程(用m 表示)； (2)过点 作直线与点 Q的轨迹交于A，B两点. （i）求 的最小值; （ii）过点 E作的垂线与点Q的轨迹交于C，D 两点，求 的取值范围(用m 表示). 19．（17分）（新情景）已知函数的定义域为，值域为，当时，则称是上的自缩函数．（参考数据：，，，，仅供比较大小时参考） (1)若，判断是否是上的自缩函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，且是上的自缩函数， （Ⅰ）若，证明：在上单调递增； （Ⅱ）证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D B A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）已知， 则，（2分） 又，则， 又，则或（舍），所以.（5分） （2） 为钝角，过作垂直交于点，的面积为，则， 即， 设，则，， 则，，（8分） 又，则，所以， 又，则，即，（11分） 则．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）连接，交于点O，由底面是正方形，则是的中点， 连接，在中，E是棱的中点，则为中位线，故， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理，得平面．（4分） （2）（i）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ， 设点，则， 由得，化简整理得， 故F的轨迹是平面内，以为圆心、半径为1的圆；（8分） （ii）取平面内向量，设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为，， 则，（10分） 令，则， 令，，设，求导得，（12分） 在区间上，，故， 即在区间内单调递增，， 故．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）单个比特直接传输时，只有1次发送和接收， 根据题意，每个比特出错的概率为，因此， 单个比特直接传输的误码率即为出错的概率，即为；（4分） （2）采用“三重冗余”即每个比特发送3次，并按“多数表决”判决， 由于各比特相互独立，设出错的次数为，则， 发生“判决错误”（即误码）的情况是：3次传输中至少有2次出错 （即2次出错或3次出错），因此，三重冗余下的误码率为： ；（8分） (3)证明：比较三重冗余的误码率 与直接传输的误码率，作差得：， 当时，、、，故差 ，即， 这说明当时，三重冗余能降低误码率; 当时，、、， 故差，即 这说明当时，三重冗余不仅不能降低误码率， 反而会使误码率升高，降低可靠性； 若，则，误码率不变；（13分） 综上所述，当时，三重冗余可以降低误码率，提升传输可靠性； 当时，三重冗余反而会增大误码率，降低可靠性； 当时，误码率保持不变， 因此三重冗余多数判决方案的适用条件是单次比特出错概率满足.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设，，． 由，得，． 由，得． 又，且，所以，即，． 代入，得，所以的轨迹方程为． 反之，对任意满足的点，取、，则、满足题设两个向量条件，故轨迹没有遗漏．（5分） （2）（i）将轨迹参数化为，其中． 设直线的方程为，其中不同时为． 要使与抛物线交于两个不同点，须； 若，则为轴，只与抛物线交于一点． 将参数点代入，得．设两根为，则．（7分） 于是． 由，得，所以，其中． 当时取等，此时，为直线，与抛物线交于、，故最小值为．（9分） （ii）若为竖直线，则为轴，只与抛物线交于一点； 若为轴，则也只交于一点． 因此可设为斜率的直线，的方向向量可分别取、，且、． 设，，，． 由及抛物线方程，是方程的两根，故； 是方程的两根，故．（12分） 这两个方程的判别式均为正，所表示的交点确为两两不同的实点． 由、及，得． 因为，所以，且的取值范围为． 故，从而． 当时取得最大值，故所求取值范围为．（17分） 19．（17分） 【解析】(1)是上的自缩函数，证明如下. 当时，， ，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此在处取得最小值为， ， ， 比较得最大值为，即值域为，定义域为A=， 由，，， 得，， 所以，是上的自缩函数；（4分） (2)（Ⅰ），. 反证法：假设在上不单调递增， 因为在上单调递增，令，得，即，得， 当，，单调递减，当，，单调递增，所以是唯一极值点，也是极小值点， ， 若在上不单调递增， 时，在上的最小值为， 由自缩函数定义，值域最小值不小于定义域左端点，即 ， 结合，得，与矛盾， 时，得，， 而自缩函数要求，故，得，与矛盾， 因此假设不成立，必有，即在上恒成立，故在上单调递增；（9分） （Ⅱ）分三类情况讨论： ①当时，，因此，不等式显然成立； ②当在上单调递减时，，值域为，故， 由单调递减得，代入，得 ， 由得，同①，不等式成立；（11分） ③当且单调递增时，由（Ⅰ）知单调递增，值域为， 故，整理得，因此有， 令，则， ，故在递减，在递增，最小值， 若，由及在递增，得，与矛盾，故必有，即， 要证，等价于证， 当时，，而，不等式显然成立； 当时，，等价于证， 因在递增，且，设满足，则，故只需证，即证， ，需证，即证， 即证， 令，， 当时，，，故，单调递增， 因此，即成立， 故，结合在递增，得，，则，从而，即.综上，所有情况均满足，命题得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $