导数与三次函数讲义-2027届高三数学一轮复习

导数与三次函数有关的问题 一、知识归纳： 三次函数在高中数学教材中没有作专门的介绍，然而，关于三次函数的问题在高考、强基和模拟试题中经常出现，它是高考考查的一个十分重要的函数．熟悉三次函数的图象和性质，有助于我们了解此类问题的命题背景，在解决问题中做到游刃有余． 本节我们对三次函数的图象、性质及应用作一个系统的梳理． 1．单调性 对于三次函数，其导函数，判别式． (1)若，则在上为增函数； (2)若，令，则此方程有两个不等实根，不妨设，则在和上为增函数，在上为减函数． 2．图象 下图中，为函数的两个极值点，为二阶导数的零点． 3．极值 由(1)可得以下结论：三次函数， (1)若，则在上无极值； (2)若，则在上有两个极值； 且在处取得极大值，在处取得极小值． 4．零点个数 对于三次函数， (1)若，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点； (2)若，且，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点； (3)若，且，则方程有两个不等实根，函数有两个零点； (4)若，且，则方程有三个不等实根，函数有三个零点． 【注】若方程的解为， 则有 右边展开，再比较系数可得： 这个结论叫做三次方程的韦达定理． 5．对称性 定理：三次函数的图象关于点对称． 证法1： 注意到可化为： ． 令，则， 易知是奇函数，其图象关于原点对称，所以图象关于点对称． 证法2： 设的图象关于点对称， 取图象上任一点， 则关于的对称点也在图象上， 所以， 所以 与比较系数， 可得解得 故图象关于点对称． 【注】事实上，，令．结论说明：任意一个三次函数都有对称中心，且对称中心横坐标就是导函数的对称轴，又是两个极值点的中点，也是二阶导数的零点(拐点就是对称中心)． 6．三次函数解析式 (1)一般形式：． (2)已知函数图象的对称中心为，则． (3)已知函数图象与轴的三个交点的横坐标，则． (4)已知函数图象与轴的一个交点的横坐标为，则． 7．切割线性质 定理：如图所示，设三次曲线，点在曲线上，过作直线与曲线切于，和不重合；过作割线，与曲线交于另外两点。则成等差数列，即． 【证明】设① 直线② 直线③ 联立(1)(2)，得 由韦达定理得：④ 联立(1)(3)，可得 同理，可得：⑤ 由(4)(5)得：，即， 故成等差数列，且． 推论1：如左下图所示，设是图象上任意一点（非对称中心和极值点），过点作函数图象的一条切线(为切点)，在点处作函数图象的一条切线(为切点)，则成等差数列，即． 推论2：如右上图所示，为函数的两个极值点，方程有二重根，第三个根,为图象的对称中心，则按从小到大构成等差数列，即区间被和三等分． 对于方程也有类似的结论，证明过程请读者自行完成． 二、常见考点： 考点一　三次函数的零点 [例1]　(1)（贵阳一中高三2026届11月考）（多选）函数，下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．是奇函数 C．在区间上的值域为 D．若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 （2）已知函数f(x)=x3-x2-x-1的图象与直线y=c有3个不同的交点,求实数c的取值范围. ❙方法总结❙ 1.若三次函数f(x)没有极值点,则f(x)有1个零点. 2.若三次函数f(x)有2个极值点x1,x2,则当f(x1)f(x2)>0时f(x)有1个零点;当f(x1)f(x2)=0时f(x)有2个零点;当f(x1)f(x2)<0时f(x)有3个零点. 1.(2024·全国文科甲卷)当x>0时,曲线y=x3-3x与曲线y=-(x-1)2+a有两个交点,则a的取值范围是　　　　　.  2.已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二　三次函数的单调性与极值 [例2]　已知函数f(x)=x3-x2-ax+2在x=1处取得极值. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的极值. [例3].（2025年新高考二卷）　若是函数的极值点，则　 ． ❙方法总结❙ 三次函数f(x) 的极值点就是二次函数f'(x)的零点,所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”的关系,同时结合三次函数图象求解. 2.已知函数f(x)=x3+x2-3x+1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)的极值. 考点三　三次函数的对称性 [例4]　(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 (　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 ❙方法总结❙ 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一定有对称中心.其对称中心的横坐标为x=-,即f'(x)=3ax2+2bx+c的顶点的横坐标,也即f″(x)=6ax+2b的零点,即三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c的图象的对称轴上.若三次函数f(x)有极值,那么它的对称中心是两个极值点的中点. 3.(多选)已知函数f(x)=x3-4x+6,则 (　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有3个零点 C.点(0,6)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线x+y-6=0是曲线y=f(x)的切线 考点四　三次函数的切线 [例5]（贵阳市一中2026届高三期中试卷第19题）已知函数. (1)求证：的图象关于对称； (2)若过点可作出曲线的三条切线，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，其中，求的值. ❙方法总结❙ 一般地,如图,过三次函数f(x)图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论: (1)过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作曲线f(x)的切线,有且仅有3条; (2)过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作曲线f(x)的切线,有且仅有1条; (3)过切线L或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作曲线f(x)的切线,有且仅有2条. 4.过点P(1,-2)且与曲线y=2x3-3x相切的不同直线共有 (　　) A.0条　　　B.1条　　　C.2条　　　D.3条 三．过关检测： [基础保分练] 1.函数f(x)=x3-3x+2的零点的个数为 (　　) A.0个　　　　　　　 B.1个 C.2个 D.3个 2.已知函数f(x)=x3+x2+c有3个零点,则c的取值范围是 (　　) A.(-,0) B.(-∞,-)∪(0,+∞) C.(-,0) D.(-∞,-)∪(0,+∞) 3.点P在曲线y=x3-x+上,设曲线在点P处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 (　　) A.[0,) B.[0,)∪[,π) C.[,π) D.[0,]∪[,π) 4.过点P(2,t)可向曲线y=x-x3引三条不同的切线,则t的取值范围为 (　　) A.-6<t<2 B.-2<t<6 C.-4<t<4 D.-4<t<6 5.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现,任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=-x2+,则g()+g()+g()+…+g()= (　　) A. B. C.17 D.34 6.已知函数f(x)=-x3+3x-1,则下列说法错误的是(　　) A.f(x)在x=-1处取得极小值 B.f(x)有3个零点 C.f(x)在区间(-2,2)上的值域为(-3,1) D.曲线y=f(x)的对称中心为(0,-1) 7.(多选)已知函数f(x)=x3-4x,则 (　　) A.f(x)有3个零点 B.f(x)在原点处的切线方程为y=-x C.f(x)的图象关于点(0,0)对称 D.f(x)在[0,3]上的最大值为4 8.函数f(x)=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为　　　　.  9.已知曲线f(x)=x3-3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若点P的纵坐标为1,则点Q的纵坐标为　　　　.  [能力提升练] 10.过y轴上一点(0,a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线,则a的取值范围是 (　　) A.(-,0) B.(-,0) C.(-,0) D.(-,-) 11.曲线y=f(x)=x3-5x2-25x-1过点(0,1)的切线条数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 12.(多选)已知函数f(x)=x3-mx-n(m,n∈R),则下列说法正确的是 (　　) A.当m≤0时,f(x)在R上单调递增 B.函数y=f(x)的对称中心为(0,-n) C.∃m∈R,使得y=±x-n与曲线y=f(x)的公共点中存在四点能连接成正方形 D.∀m>0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线y=f(x)都相切 13.(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=(x-1)2·(x-4),则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 14.已知直线l与曲线y=x3-x+1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且|AB|=|AC|,则(xi+yi)=　　　　.  1 学科网（北京）股份有限公司 $ 　导数与三次函数有关的问题 一、知识归纳： 三次函数在高中数学教材中没有作专门的介绍，然而，关于三次函数的问题在高考、强基和模拟试题中经常出现，它是高考考查的一个十分重要的函数．熟悉三次函数的图象和性质，有助于我们了解此类问题的命题背景，在解决问题中做到游刃有余． 本节我们对三次函数的图象、性质及应用作一个系统的梳理． 1．单调性 对于三次函数，其导函数，判别式． (1)若，则在上为增函数； (2)若，令，则此方程有两个不等实根，不妨设，则在和上为增函数，在上为减函数． 2．图象 下图中，为函数的两个极值点，为二阶导数的零点． 3．极值 由(1)可得以下结论：三次函数， (1)若，则在上无极值； (2)若，则在上有两个极值； 且在处取得极大值，在处取得极小值． 4．零点个数 对于三次函数， (1)若，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点； (2)若，且，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点； (3)若，且，则方程有两个不等实根，函数有两个零点； (4)若，且，则方程有三个不等实根，函数有三个零点． 【注】若方程的解为， 则有 右边展开，再比较系数可得： 这个结论叫做三次方程的韦达定理． 5．对称性 定理：三次函数的图象关于点对称． 证法1： 注意到可化为： ． 令，则， 易知是奇函数，其图象关于原点对称，所以图象关于点对称． 证法2： 设的图象关于点对称， 取图象上任一点， 则关于的对称点也在图象上， 所以， 所以 与比较系数， 可得解得 故图象关于点对称． 【注】事实上，，令．结论说明：任意一个三次函数都有对称中心，且对称中心横坐标就是导函数的对称轴，又是两个极值点的中点，也是二阶导数的零点(拐点就是对称中心)． 6．三次函数解析式 (1)一般形式：． (2)已知函数图象的对称中心为，则． (3)已知函数图象与轴的三个交点的横坐标，则． (4)已知函数图象与轴的一个交点的横坐标为，则． 7．切割线性质 定理：如图所示，设三次曲线，点在曲线上，过作直线与曲线切于，和不重合；过作割线，与曲线交于另外两点。则成等差数列，即． 【证明】设① 直线② 直线③ 联立(1)(2)，得 由韦达定理得：④ 联立(1)(3)，可得 同理，可得：⑤ 由(4)(5)得：，即， 故成等差数列，且． 推论1：如左下图所示，设是图象上任意一点（非对称中心和极值点），过点作函数图象的一条切线(为切点)，在点处作函数图象的一条切线(为切点)，则成等差数列，即． 推论2：如右上图所示，为函数的两个极值点，方程有二重根，第三个根,为图象的对称中心，则按从小到大构成等差数列，即区间被和三等分． 对于方程也有类似的结论，证明过程请读者自行完成． 二、常见考点： 考点一　三次函数的零点 [例1]　(1)（贵阳一中高三2026届11月考）（多选）函数，下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．是奇函数 C．在区间上的值域为 D．若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断A,利用的解析式可判断B，利用三次函数的单调性求值域可判断C，利用函数零点个数可判断D. 【详解】对于A，由， 当，得或，即在上单调递增， 当，得，即在上单调递减， 从而可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误； 对于B，由， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以在区间上的值域为，故C错误； 对于D，由在上单调递增，在上单调递减， 且，当，，当，， 所以方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：BD （2）已知函数f(x)=x3-x2-x-1的图象与直线y=c有3个不同的交点,求实数c的取值范围. 解:∵f(x)=x3-x2-x-1,∴f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 当x∈(-∞,-)时f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,-)上单调递增, 当x∈(-,1)时f'(x)<0,函数f(x)在(-,1)上单调递减, 当x∈(1,+∞)时f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增, 则f(x)的极大值为f(-)=-,极小值为f(1)=-2,又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞, 根据题意可得实数c的取值范围为(-2,-). ❙方法总结❙ 1.若三次函数f(x)没有极值点,则f(x)有1个零点. 2.若三次函数f(x)有2个极值点x1,x2,则当f(x1)f(x2)>0时f(x)有1个零点;当f(x1)f(x2)=0时f(x)有2个零点;当f(x1)f(x2)<0时f(x)有3个零点. 1.(2024·全国文科甲卷)当x>0时,曲线y=x3-3x与曲线y=-(x-1)2+a有两个交点,则a的取值范围是　　　　　.  [答案]　(-2,1) [解析]　令x3-3x=-(x-1)2+a, 即a=x3+x2-5x+1, 令g(x)=x3+x2-5x+1(x>0), 则g'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1), 令g'(x)=0(x>0)得x=1, 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 又当x→0时,g(x)→1,当x→+∞时,g(x)→+∞,而. 作出y=g(x)的大致图象如图. 要使曲线y =x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个交点,等价于直线y=a与函数y=g(x)的图象有两个交点,所以a∈(-2,1). 2.已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ，即， 得，代入得， ∵， ，解得， 设三次函数的零点式为， 比较系数得， 所以. 故选：D. 考点二　三次函数的单调性与极值 [例2]　已知函数f(x)=x3-x2-ax+2在x=1处取得极值. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的极值. [解]　(1)f'(x)=3x2-2x-a,由题意得f'(1)=0,即3-2-a=0,解得a=1, 故f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),令f'(x)>0得x>1或x<-,令f'(x)<0得-<x<1, 故x=1为极小值点,满足要求. (2)由(1)可知,f(x)=x3-x2-x+2,当x>1或x<-时,f'(x)>0,当-<x<1时,f'(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),(-∞,-),单调递减区间为(-,1), 所以f(x)的极小值为f(1)=1-1-1+2=1, 极大值为f(-)=(-)3-(-)2++2=. [例3].（2025年新高考二卷）　若是函数的极值点，则　 ． 【解析】：解法一：由已知得：，所以， 由题意得， 解得，经检验符合题意，所以．故答案为：． 解法二：结合数轴标根法，由题可知，当时，2为的异号零点(即在的两侧附近函数值异号)，此时2肯定不是的极值点，故,，故答案为：． ❙方法总结❙ 三次函数f(x) 的极值点就是二次函数f'(x)的零点,所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”的关系,同时结合三次函数图象求解. 2.已知函数f(x)=x3+x2-3x+1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)的极值. 解:(1)由题知,f(x)的定义域为R,则f'(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1), 令f'(x)>0,得x>1或x<-3,令f'(x)<0,得-3<x<1, 所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞)和(-∞,-3),f(x)的单调递减区间为(-3,1). (2)由(1)知,f(x)在(1,+∞)和(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减, 所以f(x)的极小值为f(1)=+1-3+1=- ,极大值为f(-3)=×(-27)+9-3×(-3)+1=10. 考点三　三次函数的对称性 [例4]　(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 (　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 [答案]　AD [解析]　A选项,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>1, 故当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 则f(x)在x=0处取得极大值,在x=a处取得极小值, 由f(0)=1>0,f(a)=1-a3<0, 则f(0)f(a)<0, 根据函数零点存在定理知f(x)在(0,a)上有一个零点, 又f(-1)=-1-3a<0,f(2a)=4a3+1>0, 则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0, 则f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点,于是当a>1时,f(x)有三个零点,A选项正确. B选项,f'(x)=6x(x-a),a<0, 当x∈(a,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 此时f(x)在x=0处取得极小值,B选项错误. C选项,假设存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴, 即存在a,b,使得f(x)=f(2b-x), 即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1, 根据二项式定理,等式右边2(2b-x)3的展开式中含有x3的项为2(2b)0(-x)3=-2x3, 等式左右两边x3的系数不相等,原等式不可能恒成立,所以不存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴,C选项错误; D选项,法一(利用对称中心的表达式化简):f(1)=3-3a,若存在a,使得点(1,3-3a)为曲线y=f(x)的对称中心, 则f(x)+f(2-x)=6-6a, 又f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a, 于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a, 即解得a=2,即存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D选项正确. 法二(直接利用拐点结论):任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是其二阶导数的零点, f(x)=2x3-3ax2+1,f'(x)=6x2-6ax,f″(x)=12x-6a, 由f″(x)=0⇔x=,得该三次函数图象的对称中心为(,f()), 由题意(1,f(1))为其图象的对称中心,故=1⇔a=2,即存在a=2,使得点(1,f(1))是曲线y=f(x)的对称中心,D选项正确. ❙方法总结❙ 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一定有对称中心.其对称中心的横坐标为x=-,即f'(x)=3ax2+2bx+c的顶点的横坐标,也即f″(x)=6ax+2b的零点,即三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c的图象的对称轴上.若三次函数f(x)有极值,那么它的对称中心是两个极值点的中点. 3.(多选)已知函数f(x)=x3-4x+6,则 (　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有3个零点 C.点(0,6)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线x+y-6=0是曲线y=f(x)的切线 答案:AC 解析:由题,f'(x)=x2-4,令f'(x)>0得x>2或x<-2, 令f'(x)<0得-2<x<2,所以f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减, 所以x=±2是f(x)的极值点,故A正确; 因为f(-2)=-+8+6>0,f(2)=-8+6=>0,即f(-2)×f(2)>0,所以函数f(x)有一个零点,故B错误; 令h(x)=x3-4x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)3-4(-x)=-x3+4x=-h(x), 则h(x)是奇函数,(0,0)是h(x)的对称中心,将h(x)的图象向上平移6个单位长度得到f(x)的图象,所以点(0,6)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确; 令f'(x)=x2-4=-1,可得x=±,又f()=6-3,f(-)=6+3, 当切点为(,6-3)时,切线方程为y=-x+6-2, 当切点为(-,6+3)时,切线方程为y=-x+6+2,故D错误. 考点四　三次函数的切线 [例5]（贵阳市一中2026届高三期中试卷第19题）已知函数. (1)求证：的图象关于对称； (2)若过点可作出曲线的三条切线，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，其中，求的值. 【分析】（1）由， 构造函数，进而证明的图象关于原点对称可得； 令， 又，所以的图象关于原点对称， 且的图象是的图象向左平移1个单位，再向上平移个单位而得到. 所以的图象关于对称． （2）将曲线的三条切线问题转化为与有三个交点问题可得； （3）由存在极值点得及可得. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以， 设切点为， 则切线的斜率， 切线方程为 因切线过点，可得 ， 令， 由条件可知与有三个交点， 令， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 当，，所以在上单调递减， 当时，取得极小值；当时，取得极大值．如图： 因为过点可作出曲线的三条切线， 所以． （3）解：， 当，在R上单调递增，无极值； 当，由，解得或； 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，因为存在极值点，所以，得， 由，即 ， ， ， ， 因为，得，即. 所以. ❙方法总结❙ 一般地,如图,过三次函数f(x)图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论: (1)过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作曲线f(x)的切线,有且仅有3条; (2)过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作曲线f(x)的切线,有且仅有1条; (3)过切线L或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作曲线f(x)的切线,有且仅有2条. (4)切线条数问题也可以转化为方程组的根的问题处理。 4.过点P(1,-2)且与曲线y=2x3-3x相切的不同直线共有 (　　) A.0条　　　B.1条　　　C.2条　　　D.3条 答案:D 解析:设切点为(x0,2-3x0),y'=6x2-3,则切线的斜率为6-3,又切线过点P(1,-2), 所以2-3x0+2=(6-3)(x0-1),则4-6+1=0,设g(x0)=4-6+1, 则g'(x0)=12-12x0,令g'(x0)=0,解得x0=0或x0=1, 当x0∈(-∞,0)或x0∈(1,+∞)时g'(x0)>0,函数g(x0)单调递增, 当x0∈(0,1)时g'(x0)<0,函数g(x0)单调递减, 又g(-1)=-4-6+1=-9<0,g(0)=1>0,g(1)=4-6+1=-1<0,g(2)=4×8-6×4+1=9>0, 所以存在x1∈(-∞,0),g(x1)=0;x2∈(0,1),g(x2)=0;x3∈(1,+∞),g(x3)=0, 所以g(x0)与x轴有3个交点,则过点P(1,-2)有3条直线与曲线y=2x3-3x相切. 三、过关检测： [基础保分练] 1.函数f(x)=x3-3x+2的零点的个数为 (　　) A.0个　　　　　　　 B.1个 C.2个 D.3个 答案:C 解析:f(x)=x3-3x+2的定义域为R,且f'(x)=3x2-3, 当x>1或x<-1时,f'(x)=3x2-3>0,当-1<x<1时,f'(x)=3x2-3<0, 故f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 又f(-1)=-1+3+2=4>0,f(1)=1-3+2=0,f(-1)·f(1)=0, 故函数f(x)=x3-3x+2的零点的个数为2. 2.已知函数f(x)=x3+x2+c有3个零点,则c的取值范围是 (　　) A.(-,0) B.(-∞,-)∪(0,+∞) C.(-,0) D.(-∞,-)∪(0,+∞) 答案:C 解析:函数f(x)=x3+x2+c,则f'(x)=3x2+9x,令f'(x)=0得x=-3或x=0, 令f'(x)>0,解得x>0或x<-3;令f'(x)<0,解得-3<x<0, 所以f(x)在(-∞,-3)和(0,+∞)上单调递增,在(-3,0)上单调递减, 又f(-3)=+c,f(0)=c,要使f(x)有3个不同的零点,则c<0<c+, 解得-<c<0. 3.点P在曲线y=x3-x+上,设曲线在点P处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 (　　) A.[0,) B.[0,)∪[,π) C.[,π) D.[0,]∪[,π) 答案:B 解析:y'=3x2-1,设P(m,n),则曲线在点P处切线的斜率为3m2-1≥-1, 则tan α≥-1,又α∈[0,π),切线斜率存在,故α≠,则α∈[0,)∪[,π). 4.过点P(2,t)可向曲线y=x-x3引三条不同的切线,则t的取值范围为 (　　) A.-6<t<2 B.-2<t<6 C.-4<t<4 D.-4<t<6 答案:A 解析:设切点为Q(x0,x0-),其中x0≠2,由y=x-x3求导得y'=1-3x2, 则 kPQ==1-3,即2-6+2-t=0,依题意,方程2-6+2-t=0有三个不同的解. 设f(x)=2x3-6x2+2-t,则该函数有三个不同的零点. 因为f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),由f'(x)=0,得x=0或x=2, 令f'(x)>0,则x<0或x>2,令f'(x)<0,则0<x<2, 则f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,则函数f(x)在x=0时取得极大值f(0)=2-t,在x=2时取得极小值f(2)=-6-t, 又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞, 所以解得-6<t<2. 5.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现,任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=-x2+,则g()+g()+g()+…+g()= (　　) A. B. C.17 D.34 答案:C 解析:由函数g(x)=-x2+,可得g'(x)=x2-2x,所以g″(x)=2x-2, 令g″(x)=2x-2=0,可得x=1,又g(1)=-1+=1,即函数g(x)的对称中心为(1,1),所以 g(x)+g(2-x)=2,则g()+g()+g()+…+g()=[g()+g()+g()+g()+…+g()+g()]=×2×17=17. 6.已知函数f(x)=-x3+3x-1,则下列说法错误的是(　　) A.f(x)在x=-1处取得极小值 B.f(x)有3个零点 C.f(x)在区间(-2,2)上的值域为(-3,1) D.曲线y=f(x)的对称中心为(0,-1) 答案:C 解析:由f(x)=-x3+3x-1,可得f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1), 当x<-1或x>1时,f'(x)<0,当-1<x<1时,f'(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增. 对于A,由以上分析知f(x)在x=-1处取得极小值,故A正确; 对于B,结合以上分析,因为f(-2)=1>0,f(-1)=-3<0,f(1)=1>0,f(2)=-3<0, 由零点存在定理知,f(x)有3个零点,故B正确; 对于C,因为f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, 而f(-2)=f(1)=1,f(-1)=f(2)=-3,故f(x)在区间(-2,2)上的值域为[-3,1],故C错误; 对于D,因为f(-x)+f(x)=-(-x)3+3(-x)-1+(-x3+3x-1)=x3-3x-1+(-x3+3x-1)=-2,即f(-x)=-2-f(x), 故曲线y=f(x)的对称中心为(0,-1),故D正确. 7.(多选)已知函数f(x)=x3-4x,则 (　　) A.f(x)有3个零点 B.f(x)在原点处的切线方程为y=-x C.f(x)的图象关于点(0,0)对称 D.f(x)在[0,3]上的最大值为4 答案:AC 解析:对于A,令f(x)=x3-4x=0,则x1=0,x2=2,x3=-2,A正确; 对于B,f'(x)=x2-4,f'(0)=-4,则f(x)的图象在原点处的切线方程为y=-4x,B错误; 对于C,由f(-x)=(-x)3-4(-x)=-x3+4x=-f(x)得f(x)为定义在R上的奇函数,可知f(x)的图象关于点(0,0)对称,C正确; 对于D,f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f'(x)>0得x<-2或x>2,令f'(x)<0得-2<x<2,则f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,又f(0)=0,f(3)=-3,所以f(x)在[0,3]上的最大值为0,D错误. 8.函数f(x)=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为　　　　.  答案:(1,2) 解析:法一:由题意设对称中心的坐标为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对任意x∈R成立,代入函数解析式得, 2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1, 整理得2b=(6a-6)x2+2a3-6a2+10a-2, 所以即对称中心为(1,2). 法二:因为f'(x)=3x2-6x+5,则f″(x)=6x-6, 令f″(x)=6x-6=0 ,解得x=1, 将x=1代入得f(x)得f(1)=2, 所以对称中心为(1,2). 9.已知曲线f(x)=x3-3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若点P的纵坐标为1,则点Q的纵坐标为　　　　.  答案:11 解析:法一:f(x)=x3-3x2+6x+2,则f'(x)=3x2-6x+6, 设P(m,1),Q(n,f(n)),依题意f'(m)=f'(n),所以3m2-6m+6=3n2-6n+6, 则m2-n2=2(m-n),显然m≠n,则m+n=2. 因为f″(x)=6x-6,令f″(x)=0,得x=1,又f(1)=6,所以f(x)的图象关于点(1,6)中心对称, 所以点P与点Q关于点(1,6)对称,所以=6,则f(n)=11,所以点Q的纵坐标为11. 法二:f(x)=x3-3x2+6x+2,则f'(x)=3x2-6x+6. 因为f'(x)=3(x-1)2+3>0,所以f(x)在R上单调递增, 令x3-3x2+6x+2=1,设其根为xP,则-3+6xP=-1. 因为f(x)在点P处的切线与在点Q处的切线平行,设切线斜率为k, 所以f'(x)=k存在两实根,其中一个为xP,设另一个为xQ. 即3x2-6x+6=k的两根为xP,xQ,由根与系数的关系得xP+xQ=2,则xQ=2-xP, 所以f(xQ)=-3+6xQ+2=(2-xP)3-3(2-xP)2+6(2-xP)+2=-(-3+6xP)+10=11, 所以点Q的纵坐标为11. [能力提升练] 10.过y轴上一点(0,a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线,则a的取值范围是 (　　) A.(-,0) B.(-,0) C.(-,0) D.(-,-) 答案:A 解析:因为f(x)=x3+x2-x,所以f'(x)=3x2+2x-1, 设切点为(x0,+-x0),则切线方程为y=(3+2x0-1)(x-x0)++-x0, 又切线过(0,a),将(0,a)代入方程得到a=-2-,令g(x)=-2x3-x2,原题意等价于直线y=a与g(x)的图象有3个不同的交点,又g'(x)=-6x2-2x, 令g'(x)<0,x∈(-∞,-)∪(0,+∞),此时g(x)单调递减, 令g'(x)>0,x∈(-,0),此时g(x)单调递增,故g(x)的极小值为g(-)=-,极大值为g(0)=0,则a∈(-,0). 11.曲线y=f(x)=x3-5x2-25x-1过点(0,1)的切线条数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:D 解析:因为f(0)=-1≠1,所以点(0,1)不在函数y=f(x)的图象上. 由题意知,f'(x)=3x2-10x-25,设过点(0,1)的切线的切点为(a,f(a)), 则f'(a)=3a2-10a-25,① f(a)=a3-5a2-25a-1,② 切线的方程为y-f(a)=f'(a)(x-a). 因为切线过点(0,1),代入切线方程1-f(a)=f'(a)(-a),③ 由①②③得1-(a3-5a2-25a-1)=-a(3a2-10a-25),整理得2a3-5a2+2=0. 设g(x)=2x3-5x2+2,则g'(x)=6x2-10x, 令g'(x)<0⇒0<x<,令g'(x)>0⇒x<0或x>, 所以g(x)在(0,)上单调递减,在(-∞,0),(,+∞)上单调递增, 则g(x)的极大值为g(0)=2>0,极小值为g()=-<0, 且当x→-∞时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→+∞, 故g(x)的图象与x轴有3个不同的交点,即方程2a3-5a2+2=0有3个不同的根, 所以曲线过点(0,1)的切线有3条. 12.(多选)已知函数f(x)=x3-mx-n(m,n∈R),则下列说法正确的是 (　　) A.当m≤0时,f(x)在R上单调递增 B.函数y=f(x)的对称中心为(0,-n) C.∃m∈R,使得y=±x-n与曲线y=f(x)的公共点中存在四点能连接成正方形 D.∀m>0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线y=f(x)都相切 答案:ABD 解析:因为f(x)=x3-mx-n,所以f'(x)=3x2-m, 当m≤0时,f'(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在R上单调递增,故A正确; 因为f(x)+f(-x)=x3-mx-n+(-x)3+mx-n=-2n, 所以y=f(x)的对称中心为(0,-n),故B正确; 由B项可知,函数f(x)的对称中心为(0,-n)且y=±x-n也关于(0,-n)对称, 假设y=±x-n与曲线y=f(x)的公共点中存在四点能连接成正方形, 即y=±x-n与曲线y=f(x)有四个交点,即x3-mx-n=±x-n, 即x3-mx=±x除去0以外还有四个解,即x2=m±1,所以m>1, 设y=x-n和y=-x-n与曲线y=f(x)的交点分别为A,C,B,D, 所以|AC|=|BD|,即=,无解,假设不成立,故C错误; 设两直线与曲线y=f(x)的切点分别为(x1,y1),(x2,y2), 则f'(x1)+f'(x2)=0,即3-m+3-m=0,所以+=, ∀m>0,总存在x1,x2,使得上式成立,即∀m>0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线y=f(x)都相切,故D正确. 13.(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=(x-1)2·(x-4),则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 答案:ACD 解析:对于A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故x=3是函数f(x)的极小值点,正确; 对于B,当0<x<1时,x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 所以f(x)>f(x2),错误; 对于C,当1<x<2时,1<2x-1<3,而由上可知,函数f(x)在(1,3)上单调递减, 所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0,正确; 对于D,当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)=(1-x)2·(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),正确. 14.已知直线l与曲线y=x3-x+1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且|AB|=|AC|,则(xi+yi)=　　　　.  答案:3 解析:由题意,函数y=x3-x是奇函数,则函数y=x3-x的图象关于原点对称, 所以函数y=x3-x+1的函数图象关于点(0,1)对称. 因为直线l与曲线y=x3-x+1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 且|AB|=|AC|,所以A为函数的对称中心点,即A(0,1),且B,C两点关于点A(0,1)对称, 所以x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=3,于是(xi+yi)=3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $