第二章 导数 第5节 不等式恒成立问题讲义-2026-2027学年度高三数学一轮总复习

该高中数学讲义聚焦导数应用中的不等式恒成立问题，整合分离参数法、函数最值转化、主元讨论等五大解题方法，按“原理梳理—典例精析—分层训练”逻辑架构知识体系，通过考点分类突破、解题策略归纳、高考真题（如2023届遵义一模）实战演练，帮助学生构建系统解题思路。 讲义以“数学思维”培养为核心，创新采用“一题多解对比+错题归因分析”教学模式，如典例1通过分离参数与函数单调性讨论的对比训练，提升学生逻辑推理与问题转化能力。设置基础巩固到高考真题的分层练习，配合即时方法总结，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第二章导数 第5节不等式恒成立问题 一、分离参数法（先分离参数，再转化为函数最值问题） ox∈[a,b),m≥八)恒成立，则x∈[a,b时，m之月mx； x∈[a,b)],m≤x)恒成立，则x∈[a,]时，m≤mm」 ②若函数y=几)在区间D上为增函数，则()≥0（当且仅当不连续的x使f八）=0 ),再分离参数（注意x∈D). 若函数y=在区间D上为减函数，则八≤0（当且仅当不连续的x使f八=0 ),再分离参数（注意x∈D). ③必要时，需进行二次求导（用来判断导数的符号）. 【典例1】已知函数)=alhx-x2+x+3,a∈R, (1)若函数八)在其定义域上是单调函数，求4的取值范围： (2)当a=3时，)的图象恒在直线y=:+1的下方，求实数k的取值范围. 【针对练习1-1】已知函数()=mnx+br-c在x=1处取得极值-3-c,其 中a,b,c为实数.若对任意>0，不等式)≥-2c恒成立，求c的取值范围. 【针对练习1-2】已知函数升x)=x3-3ax2+3x+1 (1)当a=1时，判断儿)的单调性： (2)当x∈[0，+∞)时，)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 【针对练习1-3】己知函数)=alnx+br(a,b∈R),曲线y=)在点 (1,1)处的切线方程为x-2y-2=0, (1)求几的解析式： I》当1际，切+40 x恒成立，求实数k的取值范围。 【针对练习1-4】已 知九刘=nr-飞 x.若x∈(l,+o),1xKx,求实数k的取值范 围. Ax)=ax-lx 【针对练习1-5】设函数 2 (a∈R). (1)若a>l,求证： )>e*-1 (2)若几)的图象不在x轴的下方，求实数a的取值范围. 【针对练习1-6】(2023届遵义一模文科第21题)已知函数)=e-a(a∈R) (1)讨论函数x)的单调性： 对≥dx-l-h (2)若x 恒成立，求a的取值范围. 3 【针对练习1-7】(2023届遵义一模理科第21题)已知函数)=e-a(a∈R) (1)讨论函数几)的单调性： ≥dxhx+l- (2)若x 恒成立，求a的取值范围. 【针对练习1-7】已知函数八)=e+ar2-x (1)当a=1时，讨论f0的单调性： ≥x+1 (2)当x≥0时， 求a的取值范围. 二、转化为函数最值问题（先转化为函数最值问题，再分类讨论） 常见转化技巧： ①x∈[a,b)],fw)≥c恒成立，则x∈[a,b]时，fx)mm≥c. ②x∈[a,],fx)≥gw)恒成立，则x∈[a,]时，[f()-g(r]m≥0 ®x,x∈[a,,fx)≥g5)恒成立，则，名[a,1时， f(x)nm≥g(xz)nx. ④单调性问题转化为与恒成立问题 若函数y=几)在区间D上为增函数，则()≥0（当且仅当不连续的x使 f八)=0)，只需f八)m≥0，然后用参数表示f八血，必要时对参数进行讨论（注 意x∈D). 若函数y=孔在区间D上为减函数，则f()≤0（当且仅当不连续的x使 f()=0),只需f(x≤0，然后用参数表示(x,必要时对参数进行讨论（注 意x∈D). 【典例2】已知函数)=ax+nx,gx)=a2x2 (1)当a=1时，求函数yy=8图象上的点到直线x-y-1=0的距离的最小值； (2)是否存在正实数“，使f八)≤g)对一切正实数x都成立？若存在，求出Q的 取值范围：若不存在，请说明理由， 【针对练习2-】已知正数几切=。及)=+ ,其中e为自然对数的底 数.若 对任意的∈(0，+⊙)，不等式(m+几x)≤(m-8x)恒成立，则正数m的取值 范 5 围是 =e+1刘= 【针对练习2-2】设函数 x e对任意，∈(0，+o∞），不 等 8x≤x 式kk+1恒成立，则正数k的取值范围是 Ax)=Inx dx)= 【针对练习2-3】已知函数 x, x,对x,3∈(0，+∞)，求 x)-的最小值. 【针对练习24】己知曲线八)=x-ax-a,8,=ar-2,x∈[0，.若 fGxr)的图象恒在gGx)图象的上方，求实数a的取值范围. 6 Ax)=e'Inx-ex2 dx)=-4-Inxa-0) 【针对练习2-5】已知函数 2 ,设 (x)=f(x)-),若x,x∈(0，+∞)，(x)≥gx)恒成立，求证： e 三、主元讨论法 )=xnx-x+x-。 【典例3】已知函数 ,若f()≤-x+r恒成立，求 实数a的取值范围. J(r)=Inx 【针对练习3-1】已知曲线 x. (1)求曲线在点A(,0)处的切线I的方程： (2)求证：除切点A外，曲线y=)总是在切线！的下方. 【针对练习3-2】已知函数)=(x+)lnx-x+1 (1)若()≤x++1,求实数a的取值范围；(2)证明：(x-))≥0， 四、参数讨论法 【典例4】已知函数()=(x2-)-lnx (1)若几)在x=2处取得极小值，求a的值：(2)若)≥0在1，+∞)上恒成 立，求4的取值范围. 【针对练习4-1】已知几)=(x-e (1)求fGr)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，+∞)，都有 ) e,求 实数k的取值范围. 【针对练习4-2】己知函数()=x-时x+) (1)求)的最小值： 8 (2)若对任意x[0,+∞)，不等式 几)≤x-k+) x+1恒成立，求实数k的取值范 围. 五、转化为直线的斜率问题求解 【典例5】已知函数)=ar-l及8)=lnx.若>0时，几的图象总是在 8)图象的上方，求实数a的取值范围. 划=血x 【针对练习5-1】若直线八)=ar-l不在曲线Sx的下方，求实数a的取值范 围 【针对练习5-2】己知函数()={e-1)-ar2 1 a= (1)若2，求)的单调区间： (2)若x≥0时，有)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 【针对练习5-3】已知函数()=2sinx+tanx-ar,a∈R. (1)若曲线y=几)与x轴相切于原点，求Q的值： x∈0， (2)若2时，f)≥0恒成立，求a的取值范围. 10 第二章 导数 第5节 不等式恒成立问题 一、分离参数法（先分离参数，再转化为函数最值问题） ①，恒成立，则时，； ，恒成立，则时，. ②若函数在区间上为增函数，则（当且仅当不连续的使），再分离参数（注意）. 若函数在区间上为减函数，则（当且仅当不连续的使），再分离参数（ 注意）. ③必要时，需进行二次求导（用来判断导数的符号）. 【典例1】已知函数，． （1）若函数在其定义域上是单调函数，求的取值范围； （2）当时，的图象恒在直线的下方，求实数的取值范围． 【解析】（1），因为在其定义域上是单调函数，所以必为减函数，故对恒成立，即，只需，由知，当时，，得，经检验，符合题意，所以实数的取值范围是． （2）当时，由题意有，得，令，则只需．易得，令，则，所以在上为减函数，又，所以当时，，得，所以单调递增；当时， ，得，所以为单调递减． 所以，故，即实数的取值范围是． 【针对练习1-1】已知函数在处取得极值，其中，，为实数.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】由，得，由，得，所以． ，令，则，可知，当时，，为增函数；当时，，为减函数，所以，所以，解得，或，即的取值范围是． 【针对练习1-2】已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）当时，≥恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)时，， 则，当且仅当时，，所以在上为增函数.增区间为． (2)当时，，此时. 当时，由，得，化为，即，令，只需. 由得． 当时，，为减函数；当时，，为增函数， 所以有最小值，所以． 【针对练习1-3】已知函数（，），曲线在点处的切线方程为． （I）求的解析式；（II）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）． （2），令，则，，由的符号知（当且仅当时），则在上单调递增，所以，故，即的取值范围是． 【针对练习1-4】已知.若，求实数的取值范围． 【解析】，令，则， 令，则时，，所以在上为减函数，所以，所以在上为减函数，所以，所以，即的取值范围是． 【针对练习1-5】设函数（）． （1）若，求证：； （2）若的图象不在轴的下方，求实数的取值范围． 【解析】（1）易得，当，时，由的符号知， ，得证． （2）由题意得，即，设，则只需. ，由的符号知，，所以，得或，即实数的取值范围是． 【针对练习1-6】（2023届遵义一模文科第21题）已知函数． （1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）．①当，时，，所以递增． ②当时，令，得，递增；令，得，递减． 综上知，当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减． （2）方法1（同构换元）：，令，，则，所以对恒成立，只需，即． 方法2（同构切线放缩）：， 令，则只需，而，所以，故． 方法3（常规分参）：，令，则只需，由，得时，； 时，；所以在上有最小值，所以． 【针对练习1-7】（2023届遵义一模理科第21题）已知函数． （1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）． ①当，时，，所以递增． ②当时，令，得，递增；令，得，递减． 综上知，当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减． 方法1（分离参数法）：令，则，当时，，递增；当时，，递减，所以． 由恒成立，得，设，则只需． ．当时，，递增；当时，，递减，所以，故． 方法2：（参数讨论法）：由恒成立，得，，令，则，当时，，递增；当时，，递减，所以． ①当时，，，显然成立，故符合题意． ②由，得，令，则只需，由得． 当时，，当时，，递增；当时，，递减，所以，所以． ③当时，，不合题意． 综上知，的取值范围是． 【针对练习1-7】已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，，设， 因为，可得在上递增，即在上递增，因为，所以当时，；当时，，所以的增区间为，减区间为； （2）当时，恒成立． ①当时，不等式恒成立，可得；②当时，得恒成立，设，则，设，可得，，由，可得恒成立，可得在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，，在递增； 时，，在递减，所以，所以，综上可得的取值范围是． 二、转化为函数最值问题（先转化为函数最值问题，再分类讨论） 常见转化技巧： ①，恒成立，则时，. ②，恒成立，则时，. ③，恒成立，则时，． ④单调性问题转化为与恒成立问题 若函数在区间上为增函数，则（当且仅当不连续的使），只需，然后用参数表示，必要时对参数进行讨论（ 注意）． 若函数在区间上为减函数，则（当且仅当不连续的使），只需，然后用参数表示，必要时对参数进行讨论（ 注意）． 【典例2】已知函数，． （1）当时，求函数图象上的点到直线的距离的最小值； （2）是否存在正实数，使对一切正实数都成立？若存在，求出的 取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）方法1：当时，，则．设与直线平行，且与抛物线相切的直线方程为，切点为，则切线的斜率，得，从而，将代入中，得，得两平行直线的距离为，得所求距离的最小值为． 方法2：时，，设是抛物线上任意一点，则点到直线的距离，当时，． （2）由，得，即，设 ，则只需．由得，因为，，由，得，在上为增函数，由，得，在上为减函数，所以，得． 【针对练习2-1】已知函数及，其中为自然对数的底数．若 对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范 围是 ． 【解析】显然，由，得，只需．，当时，，当时，， 所以．，当时，，当时，，所以．所以当时，与分别取得最小和最大值，所以，所以，解得．故填． 【针对练习2-2】设函数，对任意，不等 式恒成立，则正数的取值范围是 ． 【解析】，只需． （当且仅当时取等号）．，由的符号知，．所以，故，即正数的取值范围是． 【针对练习2-3】已知函数，，对，求的最小值． 【解析】，由的符号知， ；，由的符号知，．故． 【针对练习2-4】已知曲线，， ．若的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 【解析】由知，．令，，则只需，函数图象的对称轴方程为． ①当时，由，得，所以； ②当时，，得，所以； ③当时，，得，不合题意． 综上知，． 【针对练习2-5】已知函数，，设， 若，恒成立，求证：． 【解析】由题意知，.易得 ，则，由的符号知，． ，由的符号知.所以，所以，即． 三、主元讨论法 【典例3】已知函数，若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】方法1（主元讨论法）：的定义域为．由，得，即，令，则只需． 易得．当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以，故． 方法2（利用切线）：由，得，令，则．设过点且与相切的直线的斜率为，切点为，则，所以，得，所以，由图知，，故． 【针对练习3-1】已知曲线． （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）求证：除切点外，曲线总是在切线的下方． 【解析】（1）； （2）令，则．当时，，为增函数；当时，，为减函数．所以，所以当且时，，即，故除切点外，曲线总是在切线的下方． 【针对练习3-2】已知函数． （1）若，求实数的取值范围；（2）证明：． 【解析】（1）定义域为，由．当直线与曲线相切时，设切点为，则由，得，故． （2）①当时，显然成立． ②当时，，由知，在上为增函数，则，故． ③当时，，由，得则 ，所以在上为增函数，则，故． 四、参数讨论法 【典例4】 已知函数． （1）若在处取得极小值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围． 【解析】（1），令，得，由，得． （2）若，则，所以在上为减函数，当时， ，不合题意，故． ①当即时，在上为减函数，所以当时，不合题意． ②当即时，，符合题意． 综上知，． 【针对练习4-1 】（理科）已知． （1）求的单调区间；（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 【解析】（1）时，增区间为：，，减区间为：； 时，增区间为：；减区间为：，． （2）． 当时，，不合题意； 当时，，解得． 综上知，实数的取值范围是． 【针对练习4-2 】已知函数． （1）求的最小值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）的定义域为.由得． 当时，，为增函数；当时，，为减函数. 所以在处有极小值，也是最小值，即． （2）对任意，不等式恒成立，等价于在上恒成立.设，则. 当时，（当且仅当，时取等号成立），此时在上单调递增，所以恒成立． 当时，对有，所以在上单调递减． 所以，即当时，存在使，故在不恒成立． 综上可知，实数的取值范围是． 五、转化为直线的斜率问题求解 【典例5】已知函数及．若时，的图象总是在图象的上方，求实数的取值范围． 【解析】方法1（利用斜率）：设过点且与曲线相切的直线的斜率为，切点为，则，得，所以，故． 方法2（参数讨论法）：令，则． 当时，，则在上为减函数，，即，不合题意． 当时，由，得． ①若即，，在上为减函数，在上为增函数，所以，即，故的图象总是在图象的上方. ②若即，当时，，为减函数，所以 ，即，不合题意. 综上知，. 方法3（分离参数法）：由题意，得，化为，令，只需，易得，由的符号知，在上为增函数，在上为减函数，所以，故. 【针对练习5-1】 若直线不在曲线的下方，求实数的取值范围． 【解析】，由的符号知，在上为增函数，在上为减函数，所以在处有极大值. 设过点且与曲线相切的直线的斜率为，切点为，则，所以，易得，故，所以. 【针对练习5-2】已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若时，有恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），由的符号知，的增区间为和，减区间为． （2）方法1：利用斜率）：当时，成立，． 当时，． 先考虑函数与在上的图象，设曲线在处的切线的斜率为，则，所以当时，有成立，即成立，则． 方法2（主元及参数讨论法）：当时，成立，． 当时，，令，即． 若，有，，所以，符合题意． 若，，故在上递增，所以，符合题意． 若，令，得，所以在上递减，所以 ，故在上不恒成立，故不符合题意 ． 综上知，． 【针对练习5-3】已知函数，． （1）若曲线与轴相切于原点，求的值； （2）若时，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由，得，切线的斜率，解得． （2），令，则 ，易得在处的切线的斜率为，又，所以在上为增函数，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $