三次函数全题型讲义-2027届高三数学一轮复习

三次函数： 图象形状全由导数决定 一、本质原理：三次函数的形状，只是导数的形状 三次函数 是高中阶段唯一一类“能完整画出图象”的多项式函数。它表面上有四个系数、三种长相，但只要对它求一次导，一切立刻塌缩成一个二次函数： 这句话是本讲义的起点：三次函数的所有形状信息，都藏在这个二次函数里。二次函数我们太熟了——开口方向、对称轴、判别式，三样东西就能把它说清楚；而这同样三样东西，正对应着三次函数的朝向、对称中心和极值点个数。 1.1 三句话读懂三次函数的形状 第一句：极值点的个数，就是导数变号零点的个数。 二次函数最多两个零点，所以三次函数最多两个极值点，图象最多“转两次弯”。这一点没有例外——无论系数怎么取，你都不可能画出一个有三个峰谷的三次函数图象。 第二句： 的符号只决定朝向，不决定有几个弯。 的开口方向由 的符号决定，与 同号。当 时， 两侧都为正，于是 在左边趋于 −∞、右边趋于 +∞；当 时正好相反。这个“两端去向”只由 管，与后面有几座“山峰”完全无关。 第三句：有几个弯，只看 的符号。 记 的判别式为 它的正负与 完全一致（差一个正的常数倍 4）。于是： · ： 有两个不同零点，且都变号， 有两个极值点； · ：（ 时），只在一点取到 0，不变号， 没有极值点，在 上严格单调； · ： 恒不为零，没有极值点， 在 上严格单调。 后两种情形的结论相同（都无极值点），区别只在“有没有一处瞬间的停顿”。图 1 把三种形状并列画在一起，注意它们的差别仅仅体现在“转弯次数”上。 图 1: 三种形状：左图两个极值点，中图与右图都没有极值点 1.2 对称中心：三次函数一定中心对称，中心由导数定 三次函数的图象不但是“弯来弯去”的曲线，还一定是一个中心对称图形。这个中心的横坐标，恰好就是导数抛物线的对称轴： 这个结论不需要任何超纲工具，只要把三次多项式按 重新整理即可。设 展开后与 逐项比较： 比较 的系数。 展开式中 的系数是 ，故 比较 的系数。 展开式中 的系数是 ，故 比较常数项。 常数项是 ，它必须等于 ，这等价于 ——把 代入原式，后两项都消失，正好只剩 。 整理好之后，把 与 分别代入： 两式相加，奇次项两两抵消： 这正是“图象关于点 中心对称”的代数表达。于是我们得到本讲义最常用的一条结论： 三次函数的对称中心 设 ，则 的图象关于点 中心对称，且这是唯一的对称中心。 特别地，当 时对称中心在 轴上；当 且 时， 是奇函数，对称中心就是原点。 图 2 以 为例：配方得 ，对称中心是 (1,−2)。图中 与 的横坐标关于 对称，纵坐标之和恒为 −4。 图 2: 曲线关于 中心对称， 与 关于 对称 一个必须记住的“否定结论” 三次函数一定有对称中心，但一定没有对称轴。 理由很干脆：若曲线关于直线 对称，则 对任意 恒成立，两边 的系数一正一负，不可能相等。所以凡是题目里出现“存在 使 是曲线 的对称轴”这类选项，答案一定是“不存在”。 1.3 全篇总纲 把上面两小节压缩成一句话： 一句话总纲 求导看弯，看弯定形，看形数根。 求导之后，二次函数的开口定朝向、判别式定弯数、对称轴定中心；确定形状之后，图象与 轴（或与水平直线 ）交了几次，就是方程有几个根。 二、判断识别：这是哪一类三次函数问题 拿到一道三次函数的题，先别急着求导，先看它问的是什么。三次函数在高考里反复考的其实只有六类问法，每类对应一个模型、一套固定动作。这一节先给出考情与速查表，让你在动笔前就能“认出它是谁”。 2.1 考情梳理 下表列出与三次函数直接相关的高考真题。可以看到：选择题偏爱“极值点、零点、对称中心、切线”四件事的组合判断，解答题偏爱“含参单调性 + 区间最值 + 零点证明”。 表 1: 三次函数高考考情梳理 年份 卷别 题号 考点 所用模型 2014 新课标Ⅰ卷（理） 11 唯一零点与零点位置 模型三 2019 全国Ⅲ卷（理） 20 含参单调性、区间最值 模型一、六 2020 全国Ⅲ卷（理） 21 切线垂直、零点范围证明 模型五、三 2022 新高考Ⅰ卷 10 极值点、零点、对称中心、切线 模型一、二、三、五 2024 新课标Ⅱ卷 10 零点个数、极值点、对称性 模型一、二、三 2.2 六模型速查表 这是全篇最重要的一张表。做三次函数的题，先在这里“对号入座”，再翻到第三节看该模型的标准动作。 表 2: 三次函数六模型速查 模型 一眼认出它的样子 核心动作 例题 模型一 给含参三次函数，问单调区间、极值点个数、极值 求 ，先定 的符号，再定 的符号，最后定两根与区间的位置 例 1 模型二 出现“对称中心”“关于某点对称”，或 中心横坐标取 ；或配方成 例 2 模型三 问“零点个数”“恰有一个零点”“与直线 的交点个数” 算两个极值，看它们的符号；再补一句两端去向 例 3、例 6 模型四 已知有三个零点，或三个不同点的函数值相等 写成 ，展开比较系数 例 4 模型五 “过点 作切线”“切线条数”“切线方程” 设切点 ，写出切线，代入 ，转成关于 的三次方程 例 5 模型六 问“在 上的最大（小）值”“恒成立” 先定极值点是否落在区间内，再让极值与该侧端点比大小 例 7 2.3 三个预警信号 在动笔之前，先用半分钟扫一遍题干，只要出现下面三种情形之一，就要立刻提醒自己别踩坑。 出现这些情形要放慢速度 预警一：题目没有说 的符号。 三次函数题里最常见的失分点，就是默认 画了一个“先增后减再增”的图，而题目里 是可以取负的——此时图象是“反 N 形”，极值点的极大极小关系整个翻转。 预警二：把“极值点个数”当成“零点个数”。 两者毫无关系。两个极值点可以对应 1 个、2 个或 3 个零点，取决于极值在 轴的同侧还是异侧。凡是问零点，最后一定要落到“极值符号”上。 预警三：把“在点 处的切线”读成“过点 的切线”。 前者 就是切点，一条切线；后者 只是切线经过的一个点，切点要另行设成 ，可能有好几条切线。读错一个字，整题归零。 三、常见情形：六类模型逐个拆 以下六个模型按“题目问什么”分类，与第二节的速查表一一对应。每个模型统一讲四件事：结构特征、识别标志、标准动作、易错点。 3.1 模型一：系数定形状——单调性与极值点 结构特征。 题目给出含参三次函数，要求讨论单调性或判断极值点个数。 识别标志。 题干出现“讨论 的单调性”“ 有几个极值点”“ 是否为极值点”。 标准动作。 求 ，按两层顺序处理：第一层看 的符号（决定抛物线开口，从而决定“两端同号”还是“两端异号”）；第二层看 的符号（决定有没有零点）。 时再把两根算出来，与所给区间比位置。 易错点。 时 虽然有零点，但不变号，所以没有极值点，函数仍然严格单调。很多同学看到“导数为零”就写“有极值点”，这是把必要条件当成了充分条件。 3.2 模型二：拐点即中心——对称性 结构特征。 题目直接问对称中心，或者用对称性去求一串函数值之和。 识别标志。 题干出现“对称中心”“图象关于点对称”“ 恒成立”，以及“求 ”这类求和问法。 标准动作。 直接套结论：中心横坐标 （也就是导数抛物线的对称轴），纵坐标 。若题目要求证明，就用配方法写成 ，再用 验证。 易错点。 只记“有对称中心”，忘了“没有对称轴”；以及把中心横坐标错写成 （那是二次函数对称轴）或 （漏了 ）。 3.3 模型三：极值定零点——零点与交点个数 结构特征。 问方程 的实根个数，或 与直线 的交点个数，或“恰有一个零点”求参数范围。 识别标志。 题干出现“零点个数”“恰有一个零点”“三个零点”“图象与直线 的交点”。 标准动作。 求出两个极值点 与相应的极值 、，然后只看这两个数的符号： 表 3: 极值符号与零点个数的对应 极值符号 零点个数 3 个（极值分居 轴两侧） 2 个（有一处极值恰好落在 轴上） 1 个（两个极值同侧，曲线只穿 轴一次） 无 极 值 点 1 个（函数严格单调，必穿一次） 图 3 把这张表画了出来： 的两个极值是 −2 与 2，三条水平直线分别对应“1 个交点”“3 个交点”“1 个交点”。 图 3: 水平直线高度决定交点个数：高于极大值或低于极小值都只有 1 个 易错点。 只算极值符号，不交代“两端去向”。极值符号保证了每一段上恰有一个根，但“每一段”是从 −∞ 到 +∞ 的完整区间，必须明确 时 的走向（由 的符号决定），否则“3 个零点”的论证不完整。 3.4 模型四：三根归一——因式分解与系数比较 结构特征。 已知 有三个实根，或者已知三点函数值相等，要求这些根的和、积或某个对称式的值。 识别标志。 题干出现“三个零点 ”，或“”，或要你求 、。 标准动作。 若 是 的三个根，则 把右边展开，与 逐项比较系数，就得到 这三条不需要背，考场上现推即可，比较系数只需一行。 易错点。 一是符号，三个式子依次是“负、正、负”，最容易在 上丢负号；二是当题目把方程写成 时，常数项已经变成 了，直接套“”就会错——必须先整理成“=0”的形式再比较。 3.5 模型五：切线归零点——过点作切线的条数 结构特征。 求过某一点所作的切线方程，或问这样的切线有几条。 识别标志。 题干出现“过点 作曲线 的切线”“切线条数为 3”等。 标准动作。 设切点为 ，切线方程为 把 代进去，得到一个只含 的方程： 因为 是三次函数、 是二次函数，这个方程整理后恰好是一个三次方程。于是“切线条数”就变成了“这个三次方程有几个实根”——问题原地转成模型三。 易错点。 最常见的是把 的横坐标当成切点横坐标直接代 。“在点 处”与“过点 ”是两个完全不同的条件，前者切点已定，后者切点待定。 3.6 模型六：极值与端点比大小——区间最值 结构特征。 求三次函数在闭区间上的最大值、最小值，或由此反求参数。 识别标志。 题干出现“在区间 上的最大值为……”“最小值为……”，或“恒成立”。 标准动作。 先求出极值点，然后判断它们是否落在给定区间内——这一步决定分类的标准。之后：区间内的极值点、区间的两个端点，全部代入算值，挑最大最小。闭区间上的三次函数，最大值必定在“极大值点”或“端点”处取到，最小值必定在“极小值点”或“端点”处取到。 易错点。 忘记比较端点。极值只是“局部最大”，闭区间上的最大值完全可能出现在端点——例 7 里 与 两种情形，最大值就都出现在端点。 四、应对策略：四步与一张选择表 六个模型的问法不同，但操作流程是同一套。把下面四步练成肌肉记忆，三次函数的题就不会散。 4.1 解题四步 三次函数解题四步 第 1 步 · 认模型： 读题干最后一问，判断它属于第二节速查表里的哪一类。这一步决定后面要算什么，跳过它就会白算。 第 2 步 · 求导数： 写出 ，把 的符号、 的符号、两根（若存在）列清楚。三次函数的一切结论都从这一步出发。 第 3 步 · 定图象： 用第 2 步的信息画一张草图——标出两根（即极值点）、标出极值的大致高低、标出对称中心、标出两端去向。草图不必精细，但四个要素缺一不可。 第 4 步 · 得结论： 把问题翻译成图象语言。零点个数就是交点个数，切线条数就是三次方程实根个数，区间最值就是“极值与端点比高低”。 4.2 条件特征与选用动作 四步之中的第 1 步和第 4 步最需要经验。下表把“看到什么”与“做什么”直接对应起来，做题时可直接查用。 表 4: 条件特征与选用动作对照 题干里的条件特征 选用动作 “讨论单调性”，参数在二次项或一次项 按 的符号分两支，每支再用 分三小类 “对称中心”“关于点对称” 中心横坐标取 ，纵坐标代回原式 “零点个数”“恰有一个零点” 算两个极值的符号，再补两端去向 “三个零点”，或三点函数值相等 展开因式比较系数，拿和、积 “过点作切线”“切线条数” 设切点 ，代入点坐标，转成三次方程数根 “在区间上的最大（小）值” 极值点与区间比位置，极值与端点比大小 五、例题精讲 七道例题中五道取自高考真题，两道为自编题（模型中缺少直接对应的真题，宁可自编也不冒用题号）。每道例题都按第四节的四步展开。 5.1 例题 1（模型一）—— 2019 年全国Ⅲ卷（理）第 20 题（1） 例题 1 已知函数 ，讨论 的单调性。 图 4: 以 为例：极值点在 与 处 第 1 步 · 认模型： 问的是单调性，参数 在二次项上——模型一。 第 2 步 · 求导数： 两根为 0 与 。它们的相对位置由 的符号决定，所以按 分三支。 第 3 步 · 定图象：当 时，，且只在 处取到 0，不变号，故 在 上严格单调递增。 当 时， 开口向上，在两根之外为正、之内为负： 在 (−∞,0) 上递增，在 上递减，在 上递增。 当 时，，两根顺序颠倒，符号也整体翻转： 在 上递增，在 上递减，在 (0,+∞) 上递增。 第 4 步 · 得结论：上述三支即为结论。检验： 时先增后减再增，与图 4 的形状一致； 时把图 4 左右翻转即可，仍有两个极值点，只是极大极小的身份互换。 本题的教训 三支讨论缺一不可。 那一支最容易被跳过，因为很多人写 之后直接说“两根为 0 与 ”，默认了两根不同——而 时两根重合，导函数不变号，没有极值点。 5.2 例题 2（模型二）—— 2022 年新高考Ⅰ卷 第 10 题 例题 2（多选） 已知函数 ，则（） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点 (0,1) 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线 图 5: 曲线关于 中心对称，两个极值点也关于 对称 第 1 步 · 认模型： 四个选项分别对应极值点个数（模型一）、零点个数（模型三）、对称中心（模型二）、切线（模型五），是一道四项综合题。 第 2 步 · 求导数： 两根为 ，，故确有两个极值点。 在 上递增，在 上递减，在 上递增。 第 3 步 · 定图象： 算两个极值： 因为 ，所以两个极值都大于 0。图象整体浮在 轴上方，只在右端穿下去一次。 第 4 步 · 得结论： 逐项判断。 A 项： 两个极值点，正确。 B 项： 两个极值同号（都为正），由模型三的判据，只有一个零点，B 错。 C 项： 这里 ，故对称中心横坐标为 0，纵坐标 ，中心是 (0,1)。也可直接验证：，横坐标关于 0 对称的两点，纵坐标之和恒为 2，正是“关于 (0,1) 中心对称”的定义。C 正确。 D 项： 设切点 。切线斜率为 ，若 是切线，则 ，得 。 时切线为 ，即 ； 时切线为 ，即 。两者都不是 ，D 错。 答案：AC。 D 项的陷阱 的斜率为 2，与 相同——很多同学到这一步就认定“斜率对上了，所以是切线”。但切线还要求切点在直线上： 时曲线上的点是 (1,1)，而 上对应的是 (1,2)，差了一格。斜率相同只是“平行”，不是“相切”。 5.3 例题 3（模型三）—— 2014 年新课标Ⅰ卷（理）第 11 题 例题 3 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，求实数 的取值范围。 （原题为选择题，此处略去选项，只保留结论性问法。） 图 6: 以 为例：极小值仍为正，唯一的零点落在 轴右侧 第 1 步 · 认模型： 问零点个数与零点位置，参数是最高次系数——模型三，但要额外处理“”带来的图象翻转。 第 2 步 · 求导数： 时 ，有两个零点，不合题意，故 。 时两根为 0 与 。 第 3 步 · 定图象： 分两支。 当 时，， 开口向上： 在 (−∞,0) 上递增，在 上递减，在 上递增。极大值为 ，极小值为 若 ，则极小值 ，两个极值同为正， 只有一个零点；又因 时 有 ，这个零点落在 (−∞,0) 内，即 ，与“”矛盾。 若 ，则极小值 ，两个极值异号， 有三个零点，不合“唯一”。 若 ，极小值为 0，曲线在 处与 轴相切，只有两个不同零点，仍不合“唯一”。 所以 无解。 当 时，，两根顺序为 。 开口向下，符号依次为“负、正、负”： 在 上递减，在 上递增，在 (0,+∞) 上递减。此时 是极大值， 是极小值。 第 4 步 · 得结论： 在 (0,+∞) 上 从 1 单调递减到 −∞，恰好有一个零点，且这个零点为正，自动满足 。要保证它是唯一的零点，只需 (−∞,0) 上没有零点，即极小值必须为正： 检验 ：，−1 是二重根，加上一个正零点，共两个不同零点，不合“唯一”，故 不能取。 答案：。 本题的教训 与 的结论完全不同：前者无论怎么取值都没戏，后者只需要一个不等式。真正的分水岭在于极值点的左右顺序—— 换号，两根就换了序，极大极小的身份也跟着换。这就是第三节“预警一”说的那个坑。 5.4 例题 4（模型四）—— 自编题 例题 4 已知函数 。若关于 的方程 有三个不相等的实根 ，求 与 的值（用 表示），并求 的取值范围。 图 7: 直线 与曲线有三个交点时，交点的横坐标就是方程的三个根 第 1 步 · 认模型： 已知三个根，求和与积——模型四，用因式分解比较系数。 第 2 步 · 求导数： 极值点为 −1 与 1，极大值 ，极小值 。 第 3 步 · 定图象： 由模型三的判据，方程 有三个不相等实根，当且仅当 严格介于极小值与极大值之间： （ 时直线与曲线相切于极值点，只有两个不同交点，故不能取等号。） 第 4 步 · 得结论： 把 整理成标准形式： 既然 是它的三个根，就有恒等式 展开右边： 比较 的系数：左边没有 项，故 。 比较常数项：左边是 ，右边是 ，故 。 于是 顺带得到的两个结论 其一，三根之和恒等于对称中心横坐标的 3 倍。 本题 ，对称中心横坐标为 0，而 ——这不是巧合：由 与中心横坐标 ，立刻得到 。 其二，三根“重心”就是对称中心。 若三个零点存在，曲线在对称中心两侧的形态完全相同，三个交点自然以中心横坐标的垂线为“平均位置”。这一条可以用来快速检验答案是否合理。 5.5 例题 5（模型五）—— 自编题 例题 5 已知曲线 ，点 。若过点 可以作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围。 图 8: 以 为例：水平直线与 有三个交点，对应三条切线 第 1 步 · 认模型： 过点作切线且问条数——模型五，最后一定落到“三次方程有几个根”。 第 2 步 · 求导数： 。设切点为 ，则切线为 第 3 步 · 定图象： 把 代入切线方程： 右边展开为 ，移项整理得 于是“过 的切线有三条”等价于“方程 有三个不相等的实根”。这就是模型三。 令 ，则 极值点为 0 与 2： 为极小值， 为极大值。三条切线当且仅当水平直线 与 的图象有三个交点。 第 4 步 · 得结论： 由模型三的判据，三个交点当且仅当 严格介于极小值与极大值之间： 端点不能取： 或 时直线与曲线相切，只有两个交点，对应只有两条切线。 答案：。 本题的教训 “过点 的切线”与“在点 处的切线”差之毫厘、谬以千里。本题中 一般不在曲线上（，只有 时 恰在曲线上），所以切点必须另设为 。若误把 代入 求斜率，得到的只是“在 处”那一条，与“三条”完全对不上。 5.6 例题 6（模型三）—— 2020 年全国Ⅲ卷（理）第 21 题 例题 6 设函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴垂直。 (1) 求 ； (2) 若 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于 1。 图 9: 以 为例：三个零点都落在两条虚线 之间 第 1 步 · 认模型： 第 (1) 问是切线（模型五），第 (2) 问是零点范围证明（模型三）。 第 2 步 · 求导数： 切线与 轴垂直，即切线水平，故 ： 于是 。 第 3 步 · 定图象： ，极值点为 与 ： 设 是 的一个零点且 。由 得 记 ，。，故 在 与 上递减，在 上递增。算得 所以 于是两个极值满足 即极大值不小于 0、极小值不大于 0——曲线必定在极大值左侧、极值之间、极小值右侧各有一个零点（极值恰为 0 时该点本身是重根）。 第 4 步 · 得结论： 用两条虚线 把这三个零点“框住”。注意 情形一：极大值与极小值都不为 0。 此时恰有三个互不相同的零点。 极小值右侧的那个零点： 在 上递增，而 ，故该零点落在 内。 极大值左侧的那个零点： 在 上递增，而 ，故该零点落在 内。 中间那个零点：落在 内。 三个零点全部落在 [−1,1] 内。 情形二：极大值或极小值等于 0。 若 ，则 ，零点为 。 若 ，则 ，零点为 。 两种情形的零点绝对值都不超过 1。 综上， 所有零点的绝对值都不大于 1。 本题的方法价值 第 (2) 问看起来是“证明题”，核心动作却完全是模型三：算两个极值，用极值符号锁定三个零点各自所在的单调区间，再用区间端点值把它们压回 [−1,1]。 这类“先框位置、再算端点”的写法，比反复求根要干净得多，也正是三次函数零点问题的通法。 5.7 例题 7（模型六）—— 2019 年全国Ⅲ卷（理）第 20 题（2） 例题 7 承例题 1，。是否存在 ，使得 在区间 [0,1] 上的最小值为 −1 且最大值为 1？若存在，求出 的所有值；若不存在，说明理由。 图 10: 两组解在 [0,1] 上分别单调递增与单调递减，最值都取自端点 第 1 步 · 认模型： 区间最值反求参数——模型六。关键是先判断极值点 是否落在 [0,1] 内。 第 2 步 · 求导数： 由例题 1，，两根为 0 与 ； 处 ， 处 第 3 步 · 定图象： 极值点 是否在 [0,1] 内，划分出三种情形：（极值点在区间左侧）、（极值点在区间内部）、（极值点在区间右侧）。 第 4 步 · 得结论： 逐情形讨论。 情形一：。 此时 ， 在 [0,1] 上单调递增，最小值 ，最大值 。由 解得 ，满足 。 情形二：。 此时 ， 在 [0,1] 上单调递减，最大值 ，最小值 。由 解得 ，满足 。 情形三：。 此时 ， 在 上递减、在 上递增，故最小值为 最大值为 与 中的较大者，两者都等于 1 不现实，逐一检验： 若 ，则 ，即 ，，与 矛盾； 若 ，把 代入得 ，即 ，，同样矛盾。 故第三种情形无解。 综上，存在满足条件的 ，全部解为 本题的教训 三种情形的分类依据是“极值点与区间的位置关系”，不是“ 的正负”——虽然形式上很像。 与 两支上，最值全在端点取到；只有 这一支才需要考虑极值。若一上来就不分情形直接令极值等于 −1，会漏掉整整两组解。 六、对比总结：按模型归位 七道例题、六个模型，现在放回同一张表里。看这张表时，重点不在结论，而在“判据”那一列——那是每类题的识别核心。 表 5: 六模型对比：判据、问法与易错点 模型 关键判据 典型问法 最易错的一点 模型一 的符号定朝向， 定弯数 讨论单调性 时没有极值点 模型二 中心横坐标为 ，即 的对称轴 求对称中心 三次函数没有对称轴 模型三 两个极值的符号 零点个数、交点个数 忘了交代两端去向 模型四 展开因式后比较系数 三根之和、三根之积 常数项含 时符号出错 模型五 关于 的三次方程实根个数 过点作切线的条数 混淆“在点处”与“过点” 模型六 极值点是否在区间内 区间最值 忘了比较端点值 6.1 三条贯穿全篇的线索 第一条：所有结论都从 出发。 模型一直接看 的符号，模型二看 的对称轴，模型三看 的两根处 的值，模型五把问题转成关于 的三次方程再回到模型三。真正需要“灵机一动”的题，在三次函数这一块几乎没有。 第二条：模型三与模型六是同一件事的两种问法。 “方程有几个根”问的是水平直线与曲线交几次，“区间上最值是多少”问的是曲线在竖条里最高最低在哪。两者都要先画一张标好极值与端点的草图。画图时注意：极值点描出横坐标、极值标出高低、两端去向标出箭头——这四样齐了，题就做完了大半。 第三条：分类讨论的标准永远是“位置”。 例题 1 分 的符号，例题 3 同样分 的符号，例题 7 分“极值点与区间的位置”。三次函数题的分类讨论从不靠猜，标准只有两条：极值点存在吗（）、极值点在哪儿（与区间、与 0 的位置关系）。 6.2 一个容易混淆的边界 “有三个零点”与“有两个零点”之间只隔着一层纸：极值是否恰好为 0。此时曲线与 轴相切于极值点，那个点是重根。例题 3 中 正落在这一层纸上——极小值恰为 0， 成为二重根，零点从三个降为两个，必须单列检验。 另有一类边界不涉及重根，却同样要单列：极值点恰好落在区间端点上。例题 7 中 与 就是如此，此时区间上只剩下单调，最值的取法与前两种情形都不同。两类边界的共同点是：它们不能靠“<”“>”混过去，必须逐个代入验证。 七、巩固练习 练习 1（模型二、三） 已知函数 。 (1) 求曲线 的对称中心； (2) 若方程 有三个不相等的实根，求 的取值范围。 练习 2（模型五） 求过点 (1,0) 且与曲线 相切的直线方程。 练习 3（模型四） 已知函数 。若方程 有三个不相等的实根 ，求 、 的值（用 表示），并求 的取值范围。 参考答案与提示 练习 1：答案：（1）对称中心为 (1,−1)；（2）。 提示：（1）中心横坐标 ，纵坐标 。（2），极大值 ，极小值 ；由模型三，三个交点当且仅当 严格介于二者之间。 练习 2：答案： 或 。 提示：设切点 ，切线为 。代入 (1,0) 得 ，即 或 ，对应 与 。注意 (1,0) 不在曲线上，不能直接取 作斜率。 练习 3：答案：，，。 提示：把 整理为 ，与 比较系数得 、。又 ，极大值 ，极小值 ，故三个不等实根当且仅当 。 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $