微专题圆锥曲线齐次式秒杀斜率问题导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：圆锥曲线齐次式秒杀斜率问题 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 / 二轮补漏专项 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜结·方法总结｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：北师大版（2019）选择性必修第一册第二章把直线与圆锥曲线的位置关系压成一条固定流程：设直线、联立、消元、用韦达定理。教材的例题与习题停在这一步，凡是涉及「弦的中点」「弦长」「面积」的问题，都在这条流程里解决。当条件换成两条动弦的斜率之和、斜率之积时，流程要多走一段：把两个斜率写成分式，通分，分子展开成四项，再逐项代韦达。齐次化把这一段折起来——平移把定点搬到原点，一次项乘一次式，方程变成二次齐次，两边同除横坐标的平方，两根直接就是两条弦的斜率。 考查形式：考法有三种。其一，选择、填空给一个定值，问直线 的斜率或定点坐标，两三行能出结果，区分度靠「会不会这一手」。其二，解答题第二问「证明直线 过定点」，条件是 或 为定值，落点是一个具体坐标。其三，压轴处把条件写成和与积的组合，例如 、，要先化成和与积的线性关系再往下走。失分集中在三处：一是平移之后把一次项丢了，方程永远齐次不了；二是直线设成 ，竖直弦被排除在外，条件恰在竖直位置时不成立；三是不核对适用边界，定点不在曲线上的题照搬公式，写出来的定点验不回去。 第二部分　记·模型与结论 一、先认清：齐次化管的是哪一类题 三个条件同时具备，才值得动齐次化：定点 在曲线上；、 也在同一条曲线上；条件只涉及 与 。少一条，这条路就不通—— 不在曲线上，平移后常数项不为零，方程没法齐次；条件里出现 、 的面积、中点坐标，齐次化给不出坐标。 判别只需一句话：看条件碰的是「两条线的倾斜程度」，还是「点在哪儿」。前者用齐次化，后者回联立。 二、第一步 平移：把定点搬到原点 记 、，把 搬到原点。因为 在曲线上，代入后常数项恰好为零，曲线方程只剩两块：二次齐次部分与一次部分。以椭圆为例， 常数项为零不是巧合，是「 在曲线上」的直接后果。 一旦离开曲线，常数项就回来，后面同除 得到的也不再是两条弦的斜率。这一行是整个方法的地基。 三、第二步 一次项乘一次式 直线 不过 （即不过新原点），总可以设成 。把曲线的一次部分整体乘上 ，方程两边都升到二次齐次： 合法性只有一句话：在直线 上 ，乘它等于乘 ，方程在 上与原曲线同解，在那条直线之外的正负则无关紧要。 四、第三步 同除横向的平方 方程已是二次齐次，两边同除 ，并记 。 就是 上一点与 连线的斜率，而方程的两根恰是 、： 韦达定理一步给出和与积，两项都是 、 的一次式之比。和是定值，约完剩下 、 的一次方程，解出来是一条直线系，必有定点；积是定值同理。整段计算比通法少六到八行，省下的正是通分与展开。 五、结论卡：椭圆 椭圆 上一点 ，、 也在椭圆上，则 （1） 时， 的斜率为定值 ； （2） 时， 过原点； （3） 时， 过定点 ； （4）（）时， 过定点 。 （1）（2）是第三定义的两个方向；（3）出现在以 为直角顶点的内接直角三角形里；（4）是通用式， 取 时纵坐标恰为零，定点落在 轴上的 。四个式子都由同一次齐次化得到，记不住就现推，推一次两三行。 六、结论卡：抛物线 上一点 ： 时 过 ； 时 过 。 上一点 ： 时 过 ；但 ，条件只定斜率，给不出定点。 两种开口方向的结论形状不同，根源在同除的方向上：开口向右的同除 ，两根是 ；开口向上的仍同除 ，但一次项只有 、 各一条，比值里 、 的位置对调，条件的齐次性跟着改变。这一条不核对，整道题会白算。 七、通法长什么样，慢在哪 设 ，联立得 、，再算 通分后的分子是 ，把 代进去展开，六项以上，再逐项换成韦达。齐次化省掉的正是这两步，代价是必须站在曲线上看问题。 取舍要看问题落在哪里：条件只碰和与积，齐次化两三行；一旦还要算 、 的面积、中点坐标，齐次化拿不出坐标，仍要回到联立。它是看关系的工具，不是求坐标的工具。 八、三处边界与书写顺序 其一，定点必须在曲线上，这是前提，不是可以绕开的细节。 其二，直线不能过定点，否则 设不出来，这类直线本就在条件之外。 其三，同除 要求弦的两端点与 的连线都不垂直于 轴；遇到竖直情形，单独交代一句，或改用 的设法。 卷面四行，一行不省：第一行连同平移一起写，点明常数项为零；第二行设 ，写出齐次化后的方程；第三行同除 ，写出关于 的二次方程；第四行韦达、代条件、收口一句「故直线 过定点」。 平移不写在卷面上，阅卷看见 、 会判来源不明。这一行占不到两分，却决定后面整段能不能被读懂。 第三部分　破·典型题型 题型一　斜率之和为定值 【解题技巧】和为 与和不为 是两回事。和为 时齐次方程的一次项系数为零，两根互为相反数，等价于 的斜率取定值，整族直线平行；和不为 时一次项系数不为零，整族直线交于一点。先看清落点是斜率还是点，再动笔。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 的斜率为定值，并求出该定值； （2）若直线 在 轴上的截距为 ，求 。 【变式1-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 【变式1-2】（原创改编） 已知双曲线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）判断直线 能否与 轴垂直，并说明理由。 题型二　斜率之积为定值 【解题技巧】积为定值时，齐次方程的常数项与二次项系数之比等于定值，、 同时出现在这个比值里，约完是一条直线系，所以一定有定点。两个特殊值要熟： 过原点， 过 。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过原点； （2）求 的最小值。 【变式2-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 与 轴垂直，求 。 【变式2-2】（原创改编） 已知双曲线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过原点； （2）求点 到直线 距离的最大值。 题型三　抛物线中的齐次化 【解题技巧】抛物线只有平方项与一次项，平移后没有交叉项，齐次化最干净。开口向右与开口向上要分开算：前者和与积都给定点，后者和只给斜率。抛物线的定点常落在准线上，算出 这类结果不必回头改。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并说明该点与准线的关系； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 【变式3-1】（原创改编） 已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 【变式3-2】（原创改编） 已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 题型四　组合条件与定点之后的收尾 【解题技巧】两条线。条件写成和与积的组合（如 、）时，先用韦达把和与积换成 、 的一次式，再合并，仍得一次关系，定点照样落地。定点落地之后，最值问题变成「过定点的弦」：弦长最长看中心，点到直线的距离最大看垂线。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）求 的最大值。 【变式4-1】（原创改编） 已知双曲线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 【变式4-2】（原创改编） 已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）判断直线 是否过定点，并说明理由； （2）求直线 的斜率。 第四部分　结·方法总结 这一讲的四个题型共用一套动作：平移把常数项清零，一次项乘 把方程升到二次齐次，同除横坐标的平方让两根变成两条弦的斜率。动作只有三步，难在判断该不该用。 一句总纲 定点在曲线上、条件只碰斜率的和与积，齐次化值得动；少一条，回到联立。这句话决定整道题用哪种写法，比四个公式本身更管用。 三步动作 平移（、，常数项归零）→ 一次项乘 （方程齐次）→ 同除 （两根即两斜率）。三步之间不插别的计算，插进去就乱。 椭圆三条 给斜率 ； 过原点； 过 。和不为零时用通用式 。 抛物线两条 上：和给 ，积给 。 上：积给 ，和只给斜率 。后一句是全篇最容易失分的地方。 分工 要关系用齐次化，要坐标用联立。弦长、面积、中点一出场，齐次化退场。两边都会，才知道什么时候该换手；只会一边，题目一变就卡住。 三处边界 定点在曲线上；直线不过定点；竖直弦单独交代。三条各占一分，少一条答案就验不回去。技巧再快，也快不过一次验算。 收口一句——齐次化把「通分四次、展开十几项」换成「同除一次、韦达两行」，代价是必须站在曲线上看问题。题面出现定点在曲线上、条件只碰斜率，这把工具才合槽；一旦要坐标，它连门都开不了。把它当成一条捷径，不如当成一个判别：先看条件碰的是什么，再决定动哪支笔。 第五部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（填空）已知椭圆 上一点 ，、 是椭圆上异于 的两点，且 ，则直线 的斜率为＿＿＿． 2．（填空）已知抛物线 上一点 ，、 是抛物线上异于 的两点，且 ，则直线 恒过定点＿＿＿． 3．（解答）已知椭圆 上一点 ，、 是椭圆上异于 的两点，且 。证明直线 过原点。 4．（填空）椭圆 上一点 ，过 的直线交椭圆于 、，则 ＿＿＿． 5．（填空）已知双曲线 上一点 ，、 是双曲线上异于 的两点，且 ，则直线 恒过定点＿＿＿． 6．（填空）已知抛物线 上一点 ，、 是抛物线上异于 的两点，且 ，则直线 恒过定点＿＿＿． 7．（填空）抛物线 上的点 ，过 的直线交于 、，则 ＿＿＿． 二、培优小练（20 分钟） 8．（解答）已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。证明直线 过定点，并求出该定点。 9．（解答）已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。（1）证明直线 过定点，并求出该定点；（2）求 的最大值。 10．（解答）已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。（1）证明直线 过定点，并求出该定点；（2）求线段 中点的轨迹方程。 11．（解答）已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 （）。（1）求直线 所过定点的坐标（用 表示）；（2）说明当 变化时，该定点落在哪条定直线上。 12．（解答）已知双曲线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。（1）证明直线 过原点；（2）求 的最小值。 齐次式处理斜率和积 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：圆锥曲线齐次式秒杀斜率问题 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 / 二轮补漏专项 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜结·方法总结｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：北师大版（2019）选择性必修第一册第二章把直线与圆锥曲线的位置关系压成一条固定流程：设直线、联立、消元、用韦达定理。教材的例题与习题停在这一步，凡是涉及「弦的中点」「弦长」「面积」的问题，都在这条流程里解决。当条件换成两条动弦的斜率之和、斜率之积时，流程要多走一段：把两个斜率写成分式，通分，分子展开成四项，再逐项代韦达。齐次化把这一段折起来——平移把定点搬到原点，一次项乘一次式，方程变成二次齐次，两边同除横坐标的平方，两根直接就是两条弦的斜率。 考查形式：考法有三种。其一，选择、填空给一个定值，问直线 的斜率或定点坐标，两三行能出结果，区分度靠「会不会这一手」。其二，解答题第二问「证明直线 过定点」，条件是 或 为定值，落点是一个具体坐标。其三，压轴处把条件写成和与积的组合，例如 、，要先化成和与积的线性关系再往下走。失分集中在三处：一是平移之后把一次项丢了，方程永远齐次不了；二是直线设成 ，竖直弦被排除在外，条件恰在竖直位置时不成立；三是不核对适用边界，定点不在曲线上的题照搬公式，写出来的定点验不回去。 第二部分　记·模型与结论 一、先认清：齐次化管的是哪一类题 三个条件同时具备，才值得动齐次化：定点 在曲线上；、 也在同一条曲线上；条件只涉及 与 。少一条，这条路就不通—— 不在曲线上，平移后常数项不为零，方程没法齐次；条件里出现 、 的面积、中点坐标，齐次化给不出坐标。 判别只需一句话：看条件碰的是「两条线的倾斜程度」，还是「点在哪儿」。前者用齐次化，后者回联立。 二、第一步 平移：把定点搬到原点 记 、，把 搬到原点。因为 在曲线上，代入后常数项恰好为零，曲线方程只剩两块：二次齐次部分与一次部分。以椭圆为例， 常数项为零不是巧合，是「 在曲线上」的直接后果。 一旦离开曲线，常数项就回来，后面同除 得到的也不再是两条弦的斜率。这一行是整个方法的地基。 三、第二步 一次项乘一次式 直线 不过 （即不过新原点），总可以设成 。把曲线的一次部分整体乘上 ，方程两边都升到二次齐次： 合法性只有一句话：在直线 上 ，乘它等于乘 ，方程在 上与原曲线同解，在那条直线之外的正负则无关紧要。 四、第三步 同除横向的平方 方程已是二次齐次，两边同除 ，并记 。 就是 上一点与 连线的斜率，而方程的两根恰是 、： 韦达定理一步给出和与积，两项都是 、 的一次式之比。和是定值，约完剩下 、 的一次方程，解出来是一条直线系，必有定点；积是定值同理。整段计算比通法少六到八行，省下的正是通分与展开。 五、结论卡：椭圆 椭圆 上一点 ，、 也在椭圆上，则 （1） 时， 的斜率为定值 ； （2） 时， 过原点； （3） 时， 过定点 ； （4）（）时， 过定点 。 （1）（2）是第三定义的两个方向；（3）出现在以 为直角顶点的内接直角三角形里；（4）是通用式， 取 时纵坐标恰为零，定点落在 轴上的 。四个式子都由同一次齐次化得到，记不住就现推，推一次两三行。 六、结论卡：抛物线 上一点 ： 时 过 ； 时 过 。 上一点 ： 时 过 ；但 ，条件只定斜率，给不出定点。 两种开口方向的结论形状不同，根源在同除的方向上：开口向右的同除 ，两根是 ；开口向上的仍同除 ，但一次项只有 、 各一条，比值里 、 的位置对调，条件的齐次性跟着改变。这一条不核对，整道题会白算。 七、通法长什么样，慢在哪 设 ，联立得 、，再算 通分后的分子是 ，把 代进去展开，六项以上，再逐项换成韦达。齐次化省掉的正是这两步，代价是必须站在曲线上看问题。 取舍要看问题落在哪里：条件只碰和与积，齐次化两三行；一旦还要算 、 的面积、中点坐标，齐次化拿不出坐标，仍要回到联立。它是看关系的工具，不是求坐标的工具。 八、三处边界与书写顺序 其一，定点必须在曲线上，这是前提，不是可以绕开的细节。 其二，直线不能过定点，否则 设不出来，这类直线本就在条件之外。 其三，同除 要求弦的两端点与 的连线都不垂直于 轴；遇到竖直情形，单独交代一句，或改用 的设法。 卷面四行，一行不省：第一行连同平移一起写，点明常数项为零；第二行设 ，写出齐次化后的方程；第三行同除 ，写出关于 的二次方程；第四行韦达、代条件、收口一句「故直线 过定点」。 平移不写在卷面上，阅卷看见 、 会判来源不明。这一行占不到两分，却决定后面整段能不能被读懂。 第三部分　破·典型题型 题型一　斜率之和为定值 【解题技巧】和为 与和不为 是两回事。和为 时齐次方程的一次项系数为零，两根互为相反数，等价于 的斜率取定值，整族直线平行；和不为 时一次项系数不为零，整族直线交于一点。先看清落点是斜率还是点，再动笔。 【教学提醒】定点横坐标 只与 的位置和定值 有关，与 、 无关；纵坐标那一项才带着 。课堂上把这两句点破，学生在考场上敢直接报数。 【典例1-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 的斜率为定值，并求出该定值； （2）若直线 在 轴上的截距为 ，求 。 解析：令 、，代入 得 。常数项恰好消掉，这是 在 上的结果。 设 。把一次部分整体乘上 ，方程在 上与原曲线同解，且两边都是二次齐次：。 两边同除 ，记 ，得 ，两根就是 、。 由 得 ，即 。代回所设：，即 。斜率恒为 ，与 无关。 （2）截距为 ，直线为 。代入 ：，化简得 ， 或 。两端点为 、，故 。 参考答案：（1）；（2）。 【学情易错提醒】三处。其一，平移后写成 ，把一次项 丢了；一次项正是齐次化的原料，丢了它方程永远齐次不了。其二，第（2）问用 时把 直接当成弦长，少乘了 ，答案变成 。其三，解出 就收笔，没有回到 、 坐标，「斜率为定值」这句话落不了地。 【变式1-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，，解得 ，即 。 代回所设：，整理成 。它对任意 成立，只需 、，即 。定点在平移后的坐标里是 ，换回原坐标得 。 （2）斜率 且过 ，直线为 。代入 ：，得 ，，。故 。 参考答案：（1）；（2）。 【学情易错提醒】两处。其一， 的右边漏掉负号，解出 ，定点跑到 ，换回原坐标是 。其二， 里只让 就收笔，没让 ；两条缺一条，定点定不下来。 【变式1-2】（原创改编） 已知双曲线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）判断直线 能否与 轴垂直，并说明理由。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，。去分母得 ，即 。 定点在平移后的坐标里满足 ，与 对照得 。换回原坐标：，，定点为 。 （2）若 与 轴垂直，方程为 。代入 ：，即 ，无实数解。故 不可能与 轴垂直。 参考答案：（1）；（2）不能，理由见解析。 【学情易错提醒】三处。其一， 前面的负号漏掉， 的系数写成 ，和的值符号整体反了。其二，算出 后直接用 当定点，忘了归一化，定点被放大 倍。其三，第（2）问只凭「定点在 轴上」就断言竖直弦存在；此处 ，竖直线根本不与双曲线相交。 题型二　斜率之积为定值 【解题技巧】积为定值时，齐次方程的常数项与二次项系数之比等于定值，、 同时出现在这个比值里，约完是一条直线系，所以一定有定点。两个特殊值要熟： 过原点， 过 。 【教学提醒】 就是第三定义， 是以 为直角顶点的内接直角三角形。前者过中心，后者过 。这两句话讲完，学生能把自己的答案当堂验回来，比事后批改有效。 【典例2-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过原点； （2）求 的最小值。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，。去分母得 ，即 。 在平移后的坐标里， 过 ：把 、 代入 得 ，与 一致。换回原坐标，定点为 ，即 过原点。 （2） 过中心，弦长随方向在长短轴之间摆动，最长 ，最短 。故 的最小值为 ，此时 与短轴所在直线重合。 参考答案：（1）证明见解析， 过原点；（2）。 【学情易错提醒】两处。其一， 里的 、 记反，用成 ，解出的定点不再是原点。其二，第（2）问把最短弦当成通径；椭圆的通径长 ，而过中心的弦里最短的是短轴，长 。 【变式2-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 与 轴垂直，求 。 解析：令 、，代入 得 。 设 。 即 ，齐次化后同除 得 。 由韦达，，两边乘 得 ，即 。 平移后的定点满足 ，取方向 并归一化：。换回原坐标：，，定点为 。 （2） 与 轴垂直时 ，代入 得 ，，故 。 参考答案：（1）；（2）。 【学情易错提醒】三处。其一，乘 时把 乘成 ，多出一个因子 ，定点整体错位。其二，只算出 、 的关系就写「定点为 」，把方向向量当成了点。其三， 的通式里把 的负号丢了，得 。 【变式2-2】（原创改编） 已知双曲线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过原点； （2）求点 到直线 距离的最大值。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，，即 ，得 。 平移后的定点满足 ，取方向 归一化：，换回原坐标即原点，故 过原点。 （2） 过原点， 到 的距离不超过 。当 时取等： 的斜率为 ， 的斜率为 ，其绝对值大于渐近线斜率 ，该直线与双曲线确有两个交点。故最大值为 。 参考答案：（1）证明见解析， 过原点；（2）。 【学情易错提醒】两处。其一， 的符号处理错，把 的系数写成 ，积的方程解不出 这种形状。其二，第（2）问直接写「最大值为 」就收笔，没有核对 时这条直线是否真与双曲线相交；此处斜率 的绝对值大于渐近线斜率，取等才成立。 题型三　抛物线中的齐次化 【解题技巧】抛物线只有平方项与一次项，平移后没有交叉项，齐次化最干净。开口向右与开口向上要分开算：前者和与积都给定点，后者和只给斜率。抛物线的定点常落在准线上，算出 这类结果不必回头改。 【教学提醒】 那一题算出 ，正是准线与 轴的交点，学生常以为算错，敢报这个答案的人不多。开讲时先把这件事说破，后面两道变式才敢下笔。 【典例3-1】（原创改编） 已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并说明该点与准线的关系； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 解析：令 、，代入 得 。平移后一次项有两条，一条带 、一条带 ，这是抛物线和平移后的椭圆不同的地方。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，，得 ，即 。 代回所设：，整理成 。只需 、，即 、。换回原坐标得 ，它恰是准线 与 轴的交点。 （2）斜率为 且过 ，直线为 。代入 得 ，，。故 。 参考答案：（1），在准线上；（2）。 【学情易错提醒】三处。其一，平移后写成 ，把 丢了；抛物线平移后一次项是两条，只留一条就齐次化不成。其二， 去分母时负号只带了一半，解出 ，定点变成 。其三，第（2）问设成 ，斜率为 时 的形式设不出，硬套会把弦长算在 的差上。 【变式3-1】（原创改编） 已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，，得 。 代回：，整理成 。取 、，得 。换回原坐标：。 （2）斜率为 且过 ，直线为 。代入 得 ，，。故 。 参考答案：（1）；（2）。 【学情易错提醒】两处。其一， 的系数写成 ，、 的关系解成 ，定点横坐标变成 。其二，第（2）问算出 后忘了乘 ，答案写成 。 【变式3-2】（原创改编） 已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 解析：令 、，代入 得 。这一次一次项落在 上，与开口向右的那两题位置相反。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，，得 。 代回：，整理成 。取 、，得 。换回原坐标：。 （2）斜率为 且过 ，直线为 。代入 得 ，，。故 。 参考答案：（1）；（2）。 【学情易错提醒】两处。其一，开口向上的抛物线照搬开口向右的结论，把积的条件当成和来处理，算出的定点验不回去。其二， 看成 ，平移式写成 ，整道题算到另一条抛物线上。 题型四　组合条件与定点之后的收尾 【解题技巧】两条线。条件写成和与积的组合（如 、）时，先用韦达把和与积换成 、 的一次式，再合并，仍得一次关系，定点照样落地。定点落地之后，最值问题变成「过定点的弦」：弦长最长看中心，点到直线的距离最大看垂线。 【教学提醒】这一型的门槛有两处：一处是把组合式拆成和与积， 这一步要当堂写出来；另一处是定点出来之后的收尾，学生算出定点就停笔，后面的最值又回去联立。两句口诀提前给出，剩下的时间留给书写。 【典例4-1】（原创改编） 已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）求 的最大值。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，，得 ，即 。 代回：。取 、，换回原坐标得 。 （2）过定点的弦里，过中心的那条最长。中心在原点， 与中心的连线就是 轴，交椭圆于 ，故 。 参考答案：（1）；（2）。 【学情易错提醒】两处。其一， 的系数写成 ，少除了一个 ，、 的关系解成 ，定点横坐标变成 。其二，第（2）问回到联立去求最值，算了三行判别式；过定点的弦最长时过中心，一句话即可。 【变式4-1】（原创改编） 已知双曲线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，齐次化后同除 ：。 条件左边先合并：。由韦达，这个比值等于 。 令它等于 ：，化简得 。 平移后的定点满足 ，取方向 归一化得 ，换回原坐标得 。 （2）斜率为 且过 ，直线为 。由 得 ，，。故 。 参考答案：（1）；（2）。 【学情易错提醒】三处。其一，把 当成 ，条件写成一个数等于 ，方程无从下手。其二，合并后的比值分子分母同含 ，约分时把负号带丢，解出 ，定点翻到第一象限。其三，第（2）问代回时用 ，忘了右边是 ， 的方程整体差一个倍数。 【变式4-2】（原创改编） 已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。 （1）判断直线 是否过定点，并说明理由； （2）求直线 的斜率。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，齐次化后同除 ：。 由韦达，，得 ，即 。 这个条件对 、 是齐次的，归一化之后只剩一个比值，没有常数项可用，解不出定点，只解出方向的比。代回所设：，即 ，斜率恒为 。故 不过定点。 （2）由（1）， 的斜率为 。也可用通式核对： 上一点 满足 ，本题 ，故 ，两法一致。 参考答案：（1）不过定点，理由见解析；（2）。 【学情易错提醒】两处。其一，照搬 的结论，把 套上来，算出 当定点；开口向上的抛物线，和的条件给不出定点。其二，见到条件里没有常数项就以为算错，把 硬解成 ，硬造出一个定点。 第四部分　结·方法总结 这一讲的四个题型共用一套动作：平移把常数项清零，一次项乘 把方程升到二次齐次，同除横坐标的平方让两根变成两条弦的斜率。动作只有三步，难在判断该不该用。 一句总纲 定点在曲线上、条件只碰斜率的和与积，齐次化值得动；少一条，回到联立。这句话决定整道题用哪种写法，比四个公式本身更管用。 三步动作 平移（、，常数项归零）→ 一次项乘 （方程齐次）→ 同除 （两根即两斜率）。三步之间不插别的计算，插进去就乱。 椭圆三条 给斜率 ； 过原点； 过 。和不为零时用通用式 。 抛物线两条 上：和给 ，积给 。 上：积给 ，和只给斜率 。后一句是全篇最容易失分的地方。 分工 要关系用齐次化，要坐标用联立。弦长、面积、中点一出场，齐次化退场。两边都会，才知道什么时候该换手；只会一边，题目一变就卡住。 三处边界 定点在曲线上；直线不过定点；竖直弦单独交代。三条各占一分，少一条答案就验不回去。技巧再快，也快不过一次验算。 收口一句——齐次化把「通分四次、展开十几项」换成「同除一次、韦达两行」，代价是必须站在曲线上看问题。题面出现定点在曲线上、条件只碰斜率，这把工具才合槽；一旦要坐标，它连门都开不了。把它当成一条捷径，不如当成一个判别：先看条件碰的是什么，再决定动哪支笔。 第五部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（填空）已知椭圆 上一点 ，、 是椭圆上异于 的两点，且 ，则直线 的斜率为＿＿＿． 解析：令 、，代入得 。 设 ，同除 后 的系数为 ， 的系数为 。由和为 得 ，即 。 代回得 ，斜率为 。 参考答案： 2．（填空）已知抛物线 上一点 ，、 是抛物线上异于 的两点，且 ，则直线 恒过定点＿＿＿． 解析：由 知 。令 、，代入得 。 和为定值时定点为 ，代入 、、、 得 。 参考答案： 3．（解答）已知椭圆 上一点 ，、 是椭圆上异于 的两点，且 。证明直线 过原点。 解析：令 、，代入得 。 设 ，同除 得 。 由 得 ，即 。 平移后的定点满足 ，取方向 归一化得 ，换回原坐标即 。故 过原点。 参考答案：证明见解析。 4．（填空）椭圆 上一点 ，过 的直线交椭圆于 、，则 ＿＿＿． 解析：过 即过 ，此时 。 故 。也可由定点通式反解：，同样得 。 参考答案： 5．（填空）已知双曲线 上一点 ，、 是双曲线上异于 的两点，且 ，则直线 恒过定点＿＿＿． 解析：令 、，代入得 。 设 ，同除 得 。 由和为 ：，得 ，即 。 代回：，取 、，得 ，换回原坐标即 。 参考答案： 6．（填空）已知抛物线 上一点 ，、 是抛物线上异于 的两点，且 ，则直线 恒过定点＿＿＿． 解析：由 知 。开口向上的抛物线，积为定值时定点为 。 代入 、、、 得 。 参考答案： 7．（填空）抛物线 上的点 ，过 的直线交于 、，则 ＿＿＿． 解析：由 知 。直线过 ，而 ，这正是「和为定值」时定点落在 轴上的位置。 由通式 得 ，另由 得 ，两式一致。 故 。 参考答案： 二、培优小练（20 分钟） 8．（解答）已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。证明直线 过定点，并求出该定点。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，同除 ：。 条件的左边是 ，右边是 ，两边同除以 的系数后得 ，即 ，化简得 。 平移后的定点满足 ，取方向 归一化得 ，换回原坐标得 。 参考答案： 9．（解答）已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。（1）证明直线 过定点，并求出该定点；（2）求 的最大值。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，同除 后由和等于 ：，得 ，两边乘 得 。 平移后的定点满足 ，取方向 归一化得 ，换回原坐标得 。 （2）过定点的弦里，过中心的那条最长。 与中心的连线是 轴，交椭圆于 ，故 。 参考答案：（1）；（2）。 10．（解答）已知抛物线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。（1）证明直线 过定点，并求出该定点；（2）求线段 中点的轨迹方程。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，同除 得 。由和等于 ：，得 ，即 。 代回：，取 、，得 ，换回原坐标得定点 。 （2）设 ，代入 得 ，中点 满足 、，消去 得 。 由 得 ，故 ，轨迹为 中 的部分。 参考答案：（1）；（2）（）。 11．（解答）已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 （）。（1）求直线 所过定点的坐标（用 表示）；（2）说明当 变化时，该定点落在哪条定直线上。 解析：令 、，代入 得 。 设 ，同除 得 。 由 得 ，去分母整理成 。 平移后的定点满足 ，取方向 归一化得 ，换回原坐标即 。 （2）定点的纵、横坐标之比恒为 ，故随 变化，定点落在定直线 上； 时即为原点。 参考答案：（1）；（2）。 12．（解答）已知双曲线 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 。（1）证明直线 过原点；（2）求 的最小值。 解析：令 、，代入 得 ；设 ，同除 得 。 由 得 ，即 ；取方向 归一化得 ，换回原坐标即原点。 （2）最短的一类弦沿实轴，长 ；此时 、，、，积为 ，符合题设。 参考答案：（1）证明见解析；（2）。 齐次式处理斜率和积 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $