培优课 圆锥曲线的综合问题 第1课时 最值、范围及证明问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦圆锥曲线综合问题，第一课时围绕最值、范围及证明展开，通过抛物线焦点相关最值问题导入，连接圆锥曲线定义与性质，搭建从基础到综合应用的学习支架。 资料按题型分类呈现典例与通性通法，提炼解题逻辑培养数学思维，一题多解激发创新意识发展数学眼光，跟踪训练强化模型应用提升数学语言表达，助力学生提升运算与推理能力，适合教师引导自主探究。

圆锥曲线的综合问题 1.理解和掌握圆锥曲线中求最值（范围）问题的基本方法（数学运算）. 2.掌握圆锥曲线中定点、定值问题与探索性问题的基本解题思路（逻辑推理、数学运算）. 第一课时　最值、范围及证明问题 　　 题型一　最值问题 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且直线l⊥MF，设直线MF与抛物线C的另一个交点为K，求·的最小值. 尝试解答 通性通法 　　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P（，）在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 题型二　范围问题 已知P（0，）和Q（，1）为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上的两点. （1）求椭圆C的方程和离心率； （2）设直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围. 尝试解答 通性通法 　　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的三个方面 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式或其他不等关系构造不等式，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 　已知双曲线－y2＝1，若过点B（0，1）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线为m，则直线m在y轴上的截距的取值范围为　　　　. 题型三　证明问题 〔一题多解〕（2024·全国甲卷20题）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MF⊥x轴. （1）求C的方程； （2）过点P（4，0）的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴. 尝试解答 通性通法 圆锥曲线中证明问题的常见类型 （1）位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等； （2）数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明. 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且C的右焦点F到渐近线的距离为. （1）求C的标准方程； （2）过点F作直线l与C的右支相交于A，B两点，O为原点，证明：∠AOB为锐角. 完成课后作业　第二章　培优课　第一课时 答案 第一课时　最值、范围及证明问题 【典例研析】 【例1】　解：由题意知F（1，0），直线l的斜率k存在且不为0， 设l的方程为y＝k（x－1）， 由可得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1. 因为直线l⊥MF，所以直线MF的斜率为－. 设M（x3，y3），K（x4，y4），同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. 故·＝（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋· ＝｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜ ＝（x1＋1）（x2＋1）＋（x3＋1）（x4＋1） ＝x1x2＋x1＋x2＋1＋x3x4＋x3＋x4＋1 ＝8＋4≥8＋4×2＝16， 当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16. 跟踪训练 解：由已知可得点A（－6，0），点B（6，0），点P. 直线AP的方程是x－y＋6＝0， 设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是， 于是＝｜m－6｜， 又－6≤m≤6，解得m＝2. 由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d， 得d2＝（x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝＋15，－6≤x≤6， 由f（x）＝＋15的图象可知， 当x＝时，d取最小值，且最小值为. 【例2】　解：（1）因为P（0，）和Q（，1）为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上的两点， 所以解得又因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2.所以椭圆C的方程为＋＝1，离心率e＝＝. （2）联立方程 消去y得（1＋2k2）x2＋4kx－2＝0，因为Δ＝（4k）2－4×（1＋2k2）×（－2）＝32k2＋8＞0， 所以设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以｜AB｜＝＝×. 又因为点O到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝， 所以△AOB的面积S＝×d×｜AB｜＝××× ＝＝＝，令t＝4k2＋1（t≥1），则S＝＝≤＝（当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立），也就是当k＝0时，△AOB的面积取最大值， 又因为当｜k｜→＋∞时，S→0，所以△AOB面积的取值范围是（0，]. 跟踪训练 （4，＋∞）　解析：设过点M，N的直线方程为y＝kx＋1（k≠0）， 代入－y2＝1，可得（1－3k2）x2－6kx－6＝0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝－，则线段MN的中点为， 可得线段MN的垂直平分线方程为y－＝－，令x＝0，可得y＝， 由Δ＝36k2＋24（1－3k2）＞0，解得3k2＜2， 又＜0，解得3k2＜1， 综上可得，0＜3k2＜1，即有的范围是（4，＋∞）， 可得直线m在y轴上的截距的取值范围为（4，＋∞）. 【例3】　解：（1）法一（直接法）　由题意知得 所以椭圆C的方程为＋＝1. 法二　由题意知得 所以椭圆C的方程为＋＝1. 法三（巧用椭圆的定义）　设F'为C的左焦点，连接MF'，则｜MF｜＝，｜FF'｜＝2， 在Rt△MFF'中，｜MF'｜＝＝＝， 由椭圆的定义知2a＝｜MF'｜＋｜MF｜＝4， 2c＝｜FF'｜＝2， 所以a＝2，c＝1， 又a2＝b2＋c2，所以b＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）证明：分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴. 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（1，n）， 联立方程得 消去x得（3t2＋4）y2＋24ty＋36＝0，Δ＞0， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为N为线段FP的中点，F（1，0），所以N（，0）. 由N，Q，B三点共线，得kBN＝kNQ，即＝，得－y2＝n（x2－），得n＝， 所以n－y1＝－y1＝－y1＝＝＝0， 所以n＝y1，所以AQ⊥y轴. 跟踪训练 解：（1）设F（c，0）（c＞0），则a2＋b2＝c2，易知C的渐近线方程为y＝±x， 由对称性知焦点到两条渐近线的距离相同，即＝＝b， 又＝＝⇒a＝2，则双曲线方程为－＝1. （2）证明：由（1）知c＝3，不妨设l的方程为x＝ty＋3及A（x1，y1），B（x2，y2）， 显然t≠±，y1，y2异号， 则＝（x1，y1），＝（x2，y2），∠AOB＝＜，＞， 联立整理得（5t2－4）y2＋30ty＋25＝0，Δ＝400（t2＋1）＞0， 则 易知·＝x1x2＋y1y2＝（t2＋1）y1y2＋3t（y1＋y2）＋9＝， 而y1，y2异号，则5t2－4＜0， 所以·＞0，即cos＜，＞＝＞0， 即∠AOB＝＜，＞为锐角，得证. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $