微专题圆锥曲线焦点三角形之双余弦定理综合应用导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：圆锥曲线焦点三角形之双余弦定理综合应用 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：教材在椭圆、双曲线的简单几何性质之后安排焦点三角形，学生在余弦定理的使用上已有基础，但多停在「求顶角」一步。本专题把同一条定理用第二次：一次在顶角处定出两条焦半径之积，一次在底角处把该乘积与焦距挂钩，两式联立即把图形的三个角与离心率连成一体。 考查形式：考查形式为选填与解答第（1）问：给顶角求面积与高、给顶角与焦半径之比求离心率、给顶角求底角的余弦或正切、由两个角反求离心率。双曲线一类的算式与椭圆只差一个符号，差值定值与和值定值对应不同的面积式，这一处分清即可通用。 第二部分　记·模型与结论 一、第一次余弦：在顶角处定出乘积 设 在椭圆 上，，，。由 与余弦定理相减，得乘积式 这一次使用把角换成了乘积，此后 不再出现。面积随之确定：；高也随之确定：由 解出 。 二、第二次余弦：在底角处接上焦距 在 中对 再用一次余弦定理，注意该角的两邻边是 与 ： 顶角为直角时 ，上式立刻化为 ，同理 。两个底角的余弦与两条焦半径成正比，这是本专题最省力的一条，凡题给底角余弦、又给顶角为直角，直接用它可以跳过解方程。 三、顶角与焦半径之比：两式联立定离心率 设 ，由定义把两条焦半径写成 的倍数，再代回余弦定理， 约去，只剩 。以 、 为例：，，代入 得 ，。 比值的另一条用法是范围： 与 分别落在 内，比值 只能取 中的值，据此可判题目所给比值是否可能。 四、双曲线：同一条定理，符号换位 在右支时 ，把余弦定理与差的平方相减，得 底角一式的形式不变（仍是 、 与 三边），故顶角为直角时同样有 。代入数值前先核对 ，双曲线的焦半径有下界，椭圆没有这一限制。 五、两处常见断点 一是把 的三边写错：该角的两邻边是 与 ，对边是 ，写成 、 与 的顺序便成了另一个角。 二是解出 后不回验：椭圆须有 ，双曲线须有 ，越界说明所给的角或比值根本取不到，答案应为不存在。 第三部分　破·典型题型 题型一　顶角一次余弦：面积、高与周长 【解题技巧】题给顶角，先写 ，再乘 得面积，最后用 换出高。三步之中只有第一步依赖角，后两步都是几何量的换算，写的时候不必再提余弦定理。 【教学提醒】板书按「角—乘积—面积—高」四格并列，让全班看清每一步只改一个量。典例 1-1 的角为锐角，变式 1-1 为直角，变式 1-2 换双曲线，恰好把 与 的差别逼出来，可让三名学生各写一格。 【典例1-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上且 。（1）求 与 的面积；（2）求点 到 轴的距离。 解析：由方程得 ，，，。代入乘积式：。 ，与 一致。 （2）由 得 ，该值小于 ，点确在椭圆上。 回验：，，两条焦半径是 的两根，即 ，均在 内。 参考答案：（1），；（2）。 【学情易错提醒】由 直接开方写成 。两条焦半径一般不相等，只有短轴端点处才相等，此处的两根是 。 【变式1-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上，。（1）求 ；（2）求 的面积与点 到 轴的距离。 解析：由方程得 ，，，。，故 。 ；（2）由 得 ，小于 ，合法。 回验：，，两根为 ，均在 内；又 ，顶角确为直角。 参考答案：（1）；（2），距离为 。 【变式1-2】（原创改编） 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，。求 与 的面积。 解析：由方程得 ，，。双曲线用差值式：。 ，与 一致。 回验：，，故 ，，后者大于 ，点确在右支上。 参考答案：，。 【学情易错提醒】照搬椭圆的 ，得 ，代回后 与 不符。差为定值时，分母是 。 题型二　顶角与焦半径之比：两式联立定离心率 【解题技巧】先由比值与定义把两条焦半径写成 的倍数，再代回余弦定理， 必然约去，只剩 与 的关系。算完用两个判据回验：椭圆须 ，双曲线须 ，不合则说明该顶角取不到。 【教学提醒】这一组的运算只有三行，难在设元。可要求全班统一把较短的焦半径设为 ，并当场写出 与 两行对照，避免把椭圆的关系套到双曲线上。变式 2-2 的角为钝角，须先确认该角可以取到，再动笔。 【典例2-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上，，且 。求该椭圆的离心率。 解析：设 ，则 ，由 得 ，即 ，。 在顶角处用余弦定理：。 故 ，。回验： 成立；又 ，该角可以取到。 参考答案：。 【变式2-1】（原创改编） 双曲线 的右支上一点 满足 ，且 。求该双曲线的离心率。 解析：设 ，，由 得 ，即 ，。 顶角为直角，故 ，即 ，。 回验： 与 比较，，点确在右支上。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 写成 ，得到的 小于 ，与双曲线不符。设元之前先写明是椭圆还是双曲线。 【变式2-2】（原创改编） 椭圆的两个焦点为 、，点 在椭圆上，，且 。求该椭圆的离心率，并判断这样的点是否存在。 解析：设 ，，由 得 ，，。 ，故 ，。 存在性：，成立，故这样的点存在（关于 轴对称的两个点）。 参考答案：，点存在，共两个。 【学情易错提醒】只算 而不答存在性，末问丢分。钝角能否取到由 判定，本题恰好取到边界内。 题型三　底角：第二次余弦定理的对象 【解题技巧】底角的两邻边是焦半径与焦距，不要把两条焦半径当邻边。顶角为直角时有一个捷径：、，两条焦半径与该余弦成正比，正切随之可求，不必解二次方程。 【教学提醒】先在黑板上把 的三个角与三条边一一对应标出，再让全班判断 的分子应是 还是 ，这一问对了，后面不会错。变式 3-1 用两个底角互余收尾，与顶角为直角互为因果。 【典例3-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上且 。求 与 。 解析：由方程得 ，，，。顶角为直角，故 ，又 ，得 ，。 在底角处再用一次余弦定理：。 捷径核对：顶角为直角时该余弦等于 ，一致。由 得 ，故 。 参考答案：，。 【学情易错提醒】把分子写成 。这是 的余弦，两个底角的余弦互换，本题会得到 。 【变式3-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上且 。（1）求 与 ；（2）判断两个底角是否互余，并求点 的坐标。 解析：由方程得 ，，，。顶角为直角，故 ，又 ，得 ，。 （1）由 、 得两个余弦分别为 与 。 （2）两个余弦之积为 ，之和为 。前一式即 ，后一式即 。由 知后者是前者的余弦，故两角互余。 求坐标：，代回椭圆方程得 ，。 参考答案：（1） 与 ；（2）互余，。 【变式3-2】（原创改编） 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上且 。（1）求 ；（2）求该双曲线的离心率。 解析：由方程得 ，，。顶角为直角，故 ，又 ，解得 ，。 （1）顶角为直角时 。 （2）。回验：该余弦 ，对应角约 ，与顶角 相加后另一底角约 ，三角形成立；，点在右支上。 参考答案：（1）；（2）。 题型四　顶角与底角联立：反求离心率 【解题技巧】两角各给一个条件，就用两次余弦定理：底角的余弦先化成 （或 ）与 的比，另一条焦半径由顶角的余弦定理或勾股关系解出，最后由定义回到 。顶角为直角时这一步最简， 已是一条现成的关系。 【教学提醒】板书只留三行：底角余弦、顶角勾股、定义求和。可先让学生用具体数（如 ）走一遍，再抽象成字母，避免一上来就被 、 两个符号绕住。变式 4-2 换成双曲线，符号由加变减，正好与本讲第四部分对照。 【典例4-1】（原创改编） 椭圆的两个焦点为 、，点 在椭圆上，，。求该椭圆的离心率。 解析：顶角为直角，故 ，即 。 由 得 ，。 由定义 ，故 ，。回验：，直角可以取到。 参考答案：。 【变式4-1】（原创改编） 椭圆的两个焦点为 、，点 在椭圆上，，。求该椭圆的离心率。 解析：顶角为直角，，故 。 由 得 ，于是 ，。 回验：，，直角可取；此时 恰等于焦距的一半，几何上 到 的距离等于半焦距。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 直接写成 ，漏掉了 这一步。离心率由两条焦半径之和决定，不是由其中一条决定。 【变式4-2】（原创改编） 双曲线的两个焦点为 、，点 在右支上，，。求该双曲线的离心率。 解析：顶角为直角，，即 。 由 得 。 双曲线用差：，故 ，。回验： 与 比较，，点在右支上。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 写成 。双曲线的定义是差，写成和后得到 ，与双曲线矛盾。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 上一点 满足 ，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 解析：，，。 参考答案：A． 2．（单选）已知椭圆的焦点三角形中 ，且 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：顶角为直角，故 ，。于是 ，，。 参考答案：C． 3．（单选）椭圆上一点 与两焦点 、 构成焦点三角形，若 且 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，，则 ，；，，。 参考答案：B． 4．（单选）双曲线右支上一点 满足 ，且 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：，，；，，。 参考答案：D． 5．（多选）椭圆 的焦点三角形 中，，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的面积为 C． 的周长为 D．两个底角相等 解析：，，。；；周长 。 、 是 的两根，即 ，不相等，故两底角不等，D 错。 参考答案：ABC 6．（填空）双曲线 的右支上一点 满足 ，则 的面积为　　　　． 解析：，，。；用乘积式核对：，。 参考答案： 7．（解答）椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上，。（1）求 与 的面积；（2）求点 到 轴的距离。 解析：（1），，，。，。 （2）由 得 ，小于 ，合法。 回验：，且 ，直角可取。 参考答案：（1），；（2）。 二、培优小练（15 分钟） 1．（单选）椭圆上一点 与两焦点构成焦点三角形，若 且 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：设 ，，，；，，。 参考答案：C． 2．（单选）双曲线右支上一点 使 且 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：，，，；，，。 参考答案：B． 3．（多选）椭圆 的焦点三角形 中，，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的面积为 C． 的周长为 D． 的最大值为 解析：，，。；（B 项的 错）；周长 ；顶角最大值满足 ，即 。 参考答案：ACD 4．（填空）双曲线 的右支上一点 满足 ，则 的面积为　　　　． 解析：，，。，。回验：，两焦半径为正根，，点存在。 参考答案： 5．（解答）椭圆上一点 与两焦点 、 满足 ，。（1）求椭圆的离心率；（2）求 。 解析：（1）设 ，，则 ，。由 得 ，。 （2）。在底角处用余弦定理：。 该角为 ，与顶角 相加后另一底角为 ，三角形为直角三角形。 参考答案：（1）；（2）。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：圆锥曲线焦点三角形之双余弦定理综合应用 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：教材在椭圆、双曲线的简单几何性质之后安排焦点三角形，学生在余弦定理的使用上已有基础，但多停在「求顶角」一步。本专题把同一条定理用第二次：一次在顶角处定出两条焦半径之积，一次在底角处把该乘积与焦距挂钩，两式联立即把图形的三个角与离心率连成一体。 考查形式：考查形式为选填与解答第（1）问：给顶角求面积与高、给顶角与焦半径之比求离心率、给顶角求底角的余弦或正切、由两个角反求离心率。双曲线一类的算式与椭圆只差一个符号，差值定值与和值定值对应不同的面积式，这一处分清即可通用。 第二部分　记·模型与结论 一、第一次余弦：在顶角处定出乘积 设 在椭圆 上，，，。由 与余弦定理相减，得乘积式 这一次使用把角换成了乘积，此后 不再出现。面积随之确定：；高也随之确定：由 解出 。 二、第二次余弦：在底角处接上焦距 在 中对 再用一次余弦定理，注意该角的两邻边是 与 ： 顶角为直角时 ，上式立刻化为 ，同理 。两个底角的余弦与两条焦半径成正比，这是本专题最省力的一条，凡题给底角余弦、又给顶角为直角，直接用它可以跳过解方程。 三、顶角与焦半径之比：两式联立定离心率 设 ，由定义把两条焦半径写成 的倍数，再代回余弦定理， 约去，只剩 。以 、 为例：，，代入 得 ，。 比值的另一条用法是范围： 与 分别落在 内，比值 只能取 中的值，据此可判题目所给比值是否可能。 四、双曲线：同一条定理，符号换位 在右支时 ，把余弦定理与差的平方相减，得 底角一式的形式不变（仍是 、 与 三边），故顶角为直角时同样有 。代入数值前先核对 ，双曲线的焦半径有下界，椭圆没有这一限制。 五、两处常见断点 一是把 的三边写错：该角的两邻边是 与 ，对边是 ，写成 、 与 的顺序便成了另一个角。 二是解出 后不回验：椭圆须有 ，双曲线须有 ，越界说明所给的角或比值根本取不到，答案应为不存在。 第三部分　破·典型题型 题型一　顶角一次余弦：面积、高与周长 【解题技巧】题给顶角，先写 ，再乘 得面积，最后用 换出高。三步之中只有第一步依赖角，后两步都是几何量的换算，写的时候不必再提余弦定理。 【典例1-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上且 。（1）求 与 的面积；（2）求点 到 轴的距离。 【变式1-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上，。（1）求 ；（2）求 的面积与点 到 轴的距离。 【变式1-2】（原创改编） 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，。求 与 的面积。 题型二　顶角与焦半径之比：两式联立定离心率 【解题技巧】先由比值与定义把两条焦半径写成 的倍数，再代回余弦定理， 必然约去，只剩 与 的关系。算完用两个判据回验：椭圆须 ，双曲线须 ，不合则说明该顶角取不到。 【典例2-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上，，且 。求该椭圆的离心率。 【变式2-1】（原创改编） 双曲线 的右支上一点 满足 ，且 。求该双曲线的离心率。 【变式2-2】（原创改编） 椭圆的两个焦点为 、，点 在椭圆上，，且 。求该椭圆的离心率，并判断这样的点是否存在。 题型三　底角：第二次余弦定理的对象 【解题技巧】底角的两邻边是焦半径与焦距，不要把两条焦半径当邻边。顶角为直角时有一个捷径：、，两条焦半径与该余弦成正比，正切随之可求，不必解二次方程。 【典例3-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上且 。求 与 。 【变式3-1】（原创改编） 椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上且 。（1）求 与 ；（2）判断两个底角是否互余，并求点 的坐标。 【变式3-2】（原创改编） 双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上且 。（1）求 ；（2）求该双曲线的离心率。 题型四　顶角与底角联立：反求离心率 【解题技巧】两角各给一个条件，就用两次余弦定理：底角的余弦先化成 （或 ）与 的比，另一条焦半径由顶角的余弦定理或勾股关系解出，最后由定义回到 。顶角为直角时这一步最简， 已是一条现成的关系。 【典例4-1】（原创改编） 椭圆的两个焦点为 、，点 在椭圆上，，。求该椭圆的离心率。 【变式4-1】（原创改编） 椭圆的两个焦点为 、，点 在椭圆上，，。求该椭圆的离心率。 【变式4-2】（原创改编） 双曲线的两个焦点为 、，点 在右支上，，。求该双曲线的离心率。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 上一点 满足 ，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知椭圆的焦点三角形中 ，且 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）椭圆上一点 与两焦点 、 构成焦点三角形，若 且 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）双曲线右支上一点 满足 ，且 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）椭圆 的焦点三角形 中，，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的面积为 C． 的周长为 D．两个底角相等 6．（填空）双曲线 的右支上一点 满足 ，则 的面积为　　　　． 7．（解答）椭圆 的左、右焦点为 、，点 在椭圆上，。（1）求 与 的面积；（2）求点 到 轴的距离。 二、培优小练（15 分钟） 1．（单选）椭圆上一点 与两焦点构成焦点三角形，若 且 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）双曲线右支上一点 使 且 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）椭圆 的焦点三角形 中，，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的面积为 C． 的周长为 D． 的最大值为 4．（填空）双曲线 的右支上一点 满足 ，则 的面积为　　　　． 5．（解答）椭圆上一点 与两焦点 、 满足 ，。（1）求椭圆的离心率；（2）求 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $