专题02 指数函数21种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册
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内容正文：
专题02 指数函数
（题型突破·举一反三）
题型 01 指数函数的概念辨析
题型 02 利用指数函数概念求参
题型 03 求指数函数的解析式或值
题型 04 含指数函数的分段函数求值
题型 05 指数型函数的定义域问题
题型 06 指数型函数的值域问题
题型 07 指数型函数的恒过定点问题
题型 08 根据指数函数的图象判断底数大小
题型 09 指数型函数图像识别
题型 10 根据指数函数图像求参数取值范围
题型 11 指数函数图像的应用
题型 12 判断指数型函数的单调性
题型 13 求指数型函数的单调区间
题型 14 比较指数幂的大小
题型 15 解指数型不等式
题型 16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围
题型 17 指数型函数的奇偶性问题
题型18 指数型函数的最值问题
题型19 指数函数的恒成立和存在问题
题型20 指数函数的实际应用
题型21 指数型函数性质的综合应用
▌题型01 指数函数的概念辨析
1. 【核心逻辑】
严格对照定义；三个关键点：① 底数；② 指数位置是自变量；③ 前面系数为1。系数不为1、指数不是、底数为负数，都不是指数函数。
2. 【解题步骤】
① 逐条核对三要素；
② 排除变形后系数不为1、指数不是的函数；
③ 统计符合定义的函数个数。
3. 【易错提醒】
• 系数不为1，不是指数函数；
• 指数是，不是自变量本身，不属于指数函数。
【例1】（26-27高一·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________．
【答案】1
【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数，
则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是101．故答案为101．
【变式1-1】（26-27高一·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1，
由，A不满足要求，
由中前有负号，B不满足要求，
由中前系数不为1，C不满足要求，
而中且指数式的系数为1，D满足.
【变式1-2】（26-27高一·全国·课堂例题）（多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】ACD
【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断：
选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合；
选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合；
选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合；
选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合.
【变式1-3】（26-27高一·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）.
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且.
【答案】①④⑦
【分析】由指数函数的定义逐一判断即可.
【详解】因为形如且的函数称为指数函数，
所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数.
▌题型02 利用指数函数概念求参
1. 【核心逻辑】
若是指数函数，则同时满足：底数，前面的系数等于1，列等式与不等式联立求解参数。
2. 【解题步骤】
① 令函数前面系数等于；
② 同时满足底数大于0且不等于1；
③ 解方程组，舍去不符合不等式的解。
3. 【易错提醒】
只解方程，忽略底数且的限制，直接保留增根。
【例2】（26-27高二·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．，且
【答案】C
【分析】根据指数函数的概念，即可求解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得，满足，且.
【变式2-1】（26-27高一·全国·课堂例题）已知函数是指数函数．求的表达式.
【答案】
【详解】函数是指数函数，且，
，
可得或舍去，
【变式2-2】（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值．
【详解】函数是指数函数，可得，解得．
【变式2-3】（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．1或
【答案】A
【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值.
【详解】因为函数是指数函数，所以且，
即且，解得.
故选：A.
▌题型03 求指数函数的解析式或值
1. 【核心逻辑】
指数函数形式固定，只有底数未知；使用待定系数法，代入图像经过的点求出，再计算函数值。
2. 【解题步骤】
① 设；
② 将图像上已知点坐标代入，解出底数；
③ 得到解析式，代入自变量求函数值。
3. 【易错提醒】
代入坐标计算指数幂运算出错；忘记舍去负的底数。
【例3】（26-27高一·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______．
【答案】
【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值.
【详解】由题知，即，，，.
【变式3-1】（2026高二·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____．
【答案】/
【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解.
【详解】设的图象过点，
解得．
【变式3-2】（2026高一·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【分析】运用代入法进行求解即可.
【详解】因为函数且的图象过点，
所以，或舍去，
故.
【变式3-3】（2026高二·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为______.
【答案】3
【分析】将点代入函数解析式计算即可求解.
【详解】因为指数函数的图象经过点，
所以，解得.
故答案为：3
▌题型04 含指数函数的分段函数求值
1. 【核心逻辑】
分段函数求值关键：根据自变量取值，选对对应分段解析式；多层嵌套求值，由内向外逐层计算。
2. 【解题步骤】
① 判断自变量属于哪一段定义域；
② 代入该段解析式计算；
③ 遇到嵌套，先算内层，结果再代入外层。
3. 【易错提醒】
自变量归属分段区间判断错误；嵌套求值由外向内计算。
【例4】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则______.
【答案】
【详解】，
，
．
【变式4-1】（2026高一·湖南娄底·期末）函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】D
【分析】应用分段函数解析式求解函数值.
【详解】函数，则.
故选：D.
【变式4-2】（2026高一·上海嘉定·期末）已知函数，则________．
【答案】
【分析】根据解析式代入求解即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：
【变式4-3】（专题03 函数与函数（期末真题汇编，广东专用）高三数学上学期人教A版）已知函数，则=________.
【答案】7
【分析】代值计算即可.
【详解】由.
故答案为：7
▌题型05 指数型函数的定义域问题
1. 【核心逻辑】
指数函数本身定义域；指数型复合函数定义域受分母、根号、零次幂限制：分母；偶次被开方数；零次幂底数。
2. 【解题步骤】
① 指数部分本身无限制；
② 列出分母、根式、零次幂对应的不等式；
③ 解不等式得到定义域。
3. 【易错提醒】
把指数本身当成限制条件；混淆指数函数与复合指数型函数定义域。
【例5】（2026高一·全国·阶段检测）（多选）下列各组函数为同一函数的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【分析】根据同一函数的对应法则和定义域均相同，依次判断各项是否为同一函数即可.
【详解】A，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，不符合；
B，与定义域和对应关系均相同，是同一函数，符合；
C，，的定义域、对应关系、值域都相同，是同一函数，符合；
D，，定义域不同，不是同一函数，不符合.
故选：BC
【变式5-1】（2026高一·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域
(1)；
(2)．
【答案】(1)定义域为，值域为.
(2)定义域为，值域为
【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可.
（2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可.
【详解】（1）由，得，
函数的定义域为．
，
．的值域为．
（2）函数的定义域为．
．
故的值域为．
【变式5-2】（2026高一·河南·阶段检测）函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式.
【详解】根据题意，函数，
则函数，即，
所以.
故选：C
【变式5-3】（26-27高一·北京昌平·期中）函数 的定义域是________.
【答案】
【详解】由题意可得且，解得且，
故定义域为.
▌题型06 指数型函数的值域问题
1. 【核心逻辑】
恒成立；先求内层取值范围，再结合外层单调性，求出整体值域。
常见：二次型，先求二次函数范围，再求范围。
2. 【解题步骤】
① 令内层，求的取值集合；
② 根据底数的范围，判断单调性；
③ 把范围代入，得到函数值域。
3. 【易错提醒】
忽略；内层范围求错；不讨论与直接写值域。
【例6】（26-27高三·陕西商洛·阶段检测）已知函数，则的值域为_______．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质结合反比例函数的性质求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以，
所以的值域为.
故答案为：.
【变式6-1】（26-27高一·广东深圳·期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】由指数函数的性质可得，所以，
即函数的值域是
【变式6-2】（26-27高一·广东广州·期中）函数的最小值是_____．
【答案】/
【详解】令，，则.
该二次函数开口向上，对称轴为，满足，
将代入函数，得，故最小值为.
【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ，
当时，一次函数的斜率，
函数单调递减，最大值为，
当时 ，故值域为 ，，，
所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数，
值域不为，不符合题意.
当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ，
时，一次函数斜率，函数单调递减，
最大值为 ，当时 ，故值域为 ，
若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足，
由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得.
综上所述，的取值范围是.
▌题型07 指数型函数的恒过定点问题
1. 【核心逻辑】
恒过定点：令指数部分，解出，此时，算出对应，得到定点坐标；不受底数变化影响。
2. 【解题步骤】
① 令指数整体等于0，解；
② 把代入原式，计算；得到定点。
3. 【易错提醒】
直接令；解析式存在常数平移时，忘记加上常数。
【例7】（26-27高一·甘肃庆阳·期中）函数（，且）的图象恒过定点，则点坐标为______．
【答案】
【详解】令，则.故，所以恒过定点，即.
【变式7-1】（26-27高一·天津滨海新区·期中）若函数，且的图象恒过定点，则点的坐标为___________________________________．
【答案】
【分析】利用指数函数恒过的性质，令指数部分为0求出对应x值，再计算函数值即可得到定点坐标.
【详解】对于函数，令, 解得,
将代入函数表达式： ，
这说明，无论取何满足条件的值，当时，函数值恒为，
因此函数图象恒过定点.
【变式7-2】（26-27高一·广东清远·期中）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______.
【答案】 9
【分析】由过定点，又，得，解得，即可算出定点的坐标，把点坐标代入，利用“”的妙用和基本不等式即可求出答案.
【详解】由恒过定点，对于，有，则，
解得，即点的坐标为，
因点也在一次函数的图象上，则，
又，则得，，
由，
当且仅当时，即，时等号成立，
所以取得最小值为109.
【变式7-3】（26-27高一·上海静安·期中）函数（且）的图象恒过定点的坐标为_____．
【答案】
【详解】由于，
当时，，
所以函数恒过定点.
▌题型08 根据指数函数的图象判断底数大小
1. 【核心逻辑】
作直线，直线与各指数函数交点纵坐标就是底数；
• 轴右侧：底大图高；
• 轴左侧：底大图低。
图像上升；图像下降。
2. 【解题步骤】
① 画竖线读取函数值，即为底数；
② 纵坐标越大，底数越大；
③ 区分底数大于1、小于1两类图像。
3. 【易错提醒】
轴左侧，错误认为底大图高；混淆递增、递减图像。
【例8】（2026高一·全国·随堂练习）已知三个指数函数，，的图象如图．
(1)试比较a、b、c的大小；
(2)指数函数的底数越大，它的图象与直线的交点的纵坐标是越大还是趋近于0？
【答案】(1)
(2)越大
【分析】（1）（2）根据直线与指数函数图象交点的纵坐标即可判断，
【详解】（1）不妨取，则三个指数函数，，对应的函数值分别为，
根据图象可知
（2）当，指数函数对应的函数值为其底数，故指数函数的底数越大，它的图象与直线的交点的纵坐标越大.
【变式8-1】（2026高一·山东济宁·期末）如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【分析】作直线，根据图象得出答案.
【详解】设曲线C1，C2，C3，C4对应解析式的底数为，作直线，如下图所示
由图可知，，即曲线C1，C2，C3，C4，依次为，，，
故选：D
【变式8-2】（2026高一·全国·课后作业）图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图像，而a∈ ，则图像C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
【答案】
【分析】根据指数函数图像与底数的关系判断C1，C2，C3，C4对应的函数的底数.
【详解】由底数变化引起指数函数图像变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．
则C2的底数C1的底数1C4的底数C3的底数，而< <<π，
故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.
故答案为：，，π，
【变式8-3】如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【答案】
【分析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律，在轴右侧，底大图高，在轴左侧，底大图低，从而可求得答案
【详解】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4的底数＜C3的底数．
因为
所以图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是，，，，
故答案为：，，，，
▌题型09 指数型函数图像识别
1. 【核心逻辑】
识图四把工具：定义域、奇偶性、特殊点函数值、单调性、函数值正负；排除法做题。复合指数看内层函数变化。
2. 【解题步骤】
① 判断奇偶性，排除部分选项；
② 代入特殊值，判断正负；
③ 分析单调性，进一步筛选；
④ 最终锁定图像。
3. 【易错提醒】
忽略奇偶性快速排除；特殊点代入计算出错。
【例9】（2026高一·安徽亳州·期中）（多选）函数（，且）的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】首先判断出为偶函数，再对分类讨论即可.
【详解】函数的定义域为，且，
则是偶函数，故D错误；
，
当时，在上单调递增，且，故A正确，B错误；
当时，在上单调递减，且，故C正确．
【变式9-1】（26-27高一·甘肃兰州·期中）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过判断函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定最终选项.
【详解】由，得，故函数的定义域为 ，关于原点对称，因为 ，
所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除选项 B、D；
当 时，，，即 ， 所以 ，排除选项 C.
【变式9-2】（26-27高一·全国·课后作业）（多选）函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合；
当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合．
【变式9-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断；
【详解】设，
的定义域为，
且，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D，
又，
当时，，，，，即，排除C，
在上单调递减，排除B．
▌题型10 根据指数函数图像求参数取值范围
1. 【核心逻辑】
结合图像平移变换、单调性、渐近线，观察图像升降、定点、与坐标轴交点，建立关于参数不等式求解。如渐近线。
2. 【解题步骤】
① 由图像升降判断底数还是；
② 观察定点、渐近线、交点列出不等式；
③ 解出参数范围。
3. 【易错提醒】
平移变换方向搞反；分不清渐近线含义。
【例10】（26-27高一·甘肃庆阳·期中）若函数（，且）的图像不经过第一象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先将函数变形为指数型函数，结合指数函数的单调性与图像平移规律，根据“图像不经过第一象限”的约束条件推导参数和的取值范围．
【详解】，
当时，指数函数单调递增，图像会经过第一象限，不合题意；
所以只有，此时必过点，
要使图像不经过第一象限，则，
所以当，时，的图像不经过第一象限．
【变式10-1】（26-27高一·河南南阳·期中）若函数，且)的图象不经过第一象限，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】按分类讨论，结合指数函数的性质判断.
【详解】时，，此时无论取何值，函数均会经过第一象限；
时，由于经过定点，且时，，
此时函数向下平移至少一个单位可使其不经过第一象限，如图所示，即.
【变式10-2】（26-27高三·四川成都·阶段检测）若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值.
【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，，
令，则，即，则，
【变式10-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】由图象可知，函数为减函数，所以，
，
因为，所以，所以.
▌题型11 指数函数图像的应用
1. 【核心逻辑】
数形结合：方程解的个数转化两个函数图像交点个数；不等式解集转化图像上下位置关系。
2. 【解题步骤】
① 在同一坐标系画出函数图像；
② 交点个数对应方程解的个数；图像在上则函数值更大；
③ 读出解集或者参数范围。
3. 【易错提醒】
画图不准确；分不清图像上下对应的不等号方向。
【例11】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围.
【详解】由题意知函数的图象如下图所示：
如图与函数的图象有且仅有两个交点，
所以.
【变式11-1】（2026高三·海南·期末）已知函数，当时，有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，如图所示：
由时，则与矛盾，故A错误；
选项B，如图所示：
由时，则与矛盾，故B错误；
对于C，如图所示：
由时，，但是此时，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
若时，有，则，无法确定，
如图所示：
由，则，即，
由，所以，故D正确.
【变式11-2】（2026高一·新疆克拉玛依·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．与图像有两个公共点 B．的解集为
C．的解集为 D．有最大值和最小值
【答案】AC
【分析】在同一坐标系中作出函数，的草图，数形结合，判断各选项的正确性.
【详解】在同一坐标系中作出函数，的草图如下：
对A：由图可知，函数与的图象仅有，两个公共点，故A正确；
对B：由图可知，不等式的解集为，故B错误；
对C：由图可知，不等式的解集为，故C正确；
对D：由图可知，当和时，，无最大值，故D错误.
故选：AC
【变式11-3】（2026高一·北京昌平·期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由的图象和的图象的交点可求的解集.
【详解】的解集即的解集，
也就是的图象在的图象的下方的点的横坐标的全体，
而的图象和的图象如图所示：
由图可得的解集为，
故选：B.
▌题型12 判断指数型函数的单调性
1. 【核心逻辑】
复合函数，同增异减：
，外层递增，复合函数单调性与内层完全相同；
，外层递减，复合函数单调性与内层相反。
2. 【解题步骤】
① 分清底数还是；
② 判断内层函数单调性；
③ 同增异减判断整体增减。
3. 【易错提醒】
不区分底数大小直接套用同增异减。
【例12】（26-27高一·北京昌平·期中）设 ，则 的大小关系一定是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】根据可分三种情况讨论：，根据指数函数的单调性分析出每一种情况下的大小关系.
【详解】当时，代入等式得，整理得，解得，此时，即时等式成立；
当时，因为单调递增，所以，即，
由于底数，所以；
当时，因为单调递增，所以，即，
由于底数，所以；
故 的大小关系无法确定.
【变式12-1】（26-27高一·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，指数函数是上的减函数，所以在区间上单调递减，不符合题意；
对于B，，根据二次函数的图象可知在区间上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于C，幂函数在区间上单调递增，符合题意；
对于D，对勾函数在区间上单调递减，在上单调递增，不符合题意.
【变式12-2】（26-27高三·广东惠州·期中）“幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求出两个命题成立时的取值范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】设命题：幂函数在单调递增，当为真命题时，，
命题：指数函数 在上单调递增，当为真命题时，，
判断充分性：若成立即，取，此时指数函数 在上单调递减，
即不成立，充分性不成立.
判断必要性：若成立即，则命题成立，必要性成立.
综上所述，是的必要不充分条件.
【变式12-3】（26-27高一·辽宁·期中）下列函数中在定义域上是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，根据幂函数的图象和性质可得，在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，故A错误；
对于B，由指数函数图象和性质可得，为减函数，故B错误；
对于C，由二次函数图象和性质可得，在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，由幂函数的图象和性质可得为增函数，故D正确.
▌题型13 求指数型函数的单调区间
1. 【核心逻辑】
复合函数，先求定义域；再拆内层，外层，同增异减，单调区间必须是定义域子集。
2. 【解题步骤】
① 先求函数定义域；
② 拆内层函数，写出内层单调区间；
③ 结合外层底数，同增异减；
④ 最终单调区间必须包含在定义域内。
3. 【易错提醒】
不写定义域直接求单调区间；区间写成集合或者不等式，不用区间形式。
【例13】（26-27高一·天津和平·期中）函数的单调递减区间为______．
【答案】
【分析】本题为复合函数单调性求解问题，需先确定函数定义域，再依据复合函数“同增异减”的判定规则，逐层分析各层函数的单调性，最终结合定义域取交集得到目标单调递减区间.
【详解】即 ，解得或，因此原函数的定义域为，
令，，则，
外层在定义域上为单调递减函数；
中间层在定义域上为单调递增函数；
内层，开口向上，对称轴为，因此该函数在上单调递减，在上单调递增；
因此原函数的单调递减区间为.
【变式13-1】（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________．
【答案】
【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是.
【变式13-2】（2026高一·甘肃兰州·期中）已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)的减区间为，增区间为
(2)
【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域.
【详解】（1），
在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上单调递减，
所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为.
（2）令，则，
则，即的值域为.
【变式13-3】（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，
是指数函数，且在上单调递增，
是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．.
▌题型14 比较指数幂的大小
1. 【核心逻辑】
三类思路：
① 同底不同指：利用指数函数单调性比较；
② 同指不同底：借助图像或者中间量；
③ 既不同底也不同指：找中间量（0，1）搭桥。
2. 【解题步骤】
① 看底数是否相同，同底直接用单调性；
② 指数相同，看底数大小；
③ 都不同，找中间值分组。
3. 【易错提醒】
分不清底数大于1还是小于1，单调性用反。
【例14】（26-27高一·北京通州·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 令，该函数在定义域上单调递增，
因为，故，即；
令，该函数在上单调递减，
因为，故，即，
综上可得.
【变式14-1】（26-27高一·福建厦门·期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的底数，所以在上单调递增，
因为，所以，即；
因为函数的底数满足，因此在上单调递减，
因为，所以，即.
【变式14-2】（26-27高一·广东东莞·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为指数函数在上单调递增，且，
所以，即.
因为，且，
所以.
综上所述，.
【变式14-3】（26-27高一·全国·课堂例题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】， 在单调递减，
，
， 在单调递增，
，
， 在单调递增，，
，
综上：.
▌题型15 解指数型不等式
1. 【核心逻辑】
时，；
时，，不等号方向改变。
2. 【解题步骤】
① 化为左右两边同底数指数形式；
② 判断底数还是；
③ 去掉指数，转化普通不等式求解；
④ 写出解集。
3. 【易错提醒】
时，忘记改变不等号方向；不等号两边底数不相同直接去掉指数。
【例15】（26-27高一·浙江温州·期中）若，则x的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】将转化为，再考虑函数单调性，进一步转化为，求解该不等式即可.
【详解】由，可得，
因为在定义域单调增，
所以等价于，
，即，
解得.
【变式15-1】（26-27高三·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得.
【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数．
因为，所以在上单调递增，
由，可得，即．
因为在上单调递增，所以，解得，
故不等式的解集为．
【变式15-2】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是__________．
【答案】
【分析】先移项化简不等式，结合指数函数的值域判断不等式无实解，进而得到解集.
【详解】依题意，与对任意实数，均有矛盾，所以原不等式的解集是.
【变式15-3】（2026高三·全国·专题练习）若实数x满足不等式，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造，利用其单调性解不等式求参数范围.
【详解】由，得，
构造函数，即
因为、是R上的增函数，则是R上的增函数，
所以，整理得，解得或，
即的取值范围是.
▌题型16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围
1. 【核心逻辑】
复合函数，已知整体单调，反推底数或者内层里面的参数；同增异减反向使用；分段指数函数要保证分段点处也满足单调性。
2. 【解题步骤】
① 区分外层底数范围；
② 利用同增异减，得到内层函数需要满足的单调性；
③ 列出不等式，求解参数；分段函数额外比较分段端点函数值。
3. 【易错提醒】
分段指数忽略端点处大小关系；不讨论底数两种情况。
【例16】（2026高一·云南昆明·阶段检测）如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围.
【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增，
要让整体在上单调，只需保证在上单调即可，
令，则函数开口向上，对称轴为，
单调递减区间是，单调递增区间是，
在上单调，只需满足对称轴不在内部，
即：或，解得或，
故的取值范围.
【变式16-1】（2026高一·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______.
【答案】2
【详解】设，
因为函数的对称轴为，其单调递增区间为，
且函数为上增函数，
则依题意可得，解得.
【变式16-2】（2026高一·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解．
【详解】令，由于底数 ，
所以指数函数在上单调递减，
因此的单调性与的单调性相反，
要使在上单调递减，
需使在区间上单调递增，
二次函数开口向上，对称轴为，
要使在区间上单调递增，
需满足对称轴在区间的左侧，
所以．
【变式16-3】（26-27高三·江苏扬州·开学考试）已知且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意得，，得，
故实数的取值范围是.
▌题型17 指数型函数的奇偶性问题
1. 【核心逻辑】
奇偶性定义：定义域关于原点对称；
奇函数；偶函数；指数型奇偶函数常出现结构。
2. 【解题步骤】
① 第一步判断定义域是否关于原点对称；
② 计算；
③ 对比、，判断奇偶；已知奇偶性，代入等式求参数。
3. 【易错提醒】
跳过定义域直接判断奇偶；指数负指数幂运算出错。
【例17】（26-27高一·北京东城·阶段检测）若函数的定义域为，则（ ）
A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数
C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数
【答案】C
【分析】先化简函数表达式，再依据奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数单调性规律判断单调性即可确定选项
【详解】根据题意， ，定义域为，关于原点对称
对任意，有 ，
因此为奇函数，排除B、D选项；
因为为上的增函数，故为上的增函数，且恒成立；
所以，为上的减函数，为上的增函数；
所以，为上的增函数，排除A选项，
所以，为奇函数，且为上的增函数.
【变式17-1】（2026高一·福建厦门·期中）已知都是上的奇函数，，且当时，，则（ ）
A．2 B．4 C．－2 D．－4
【答案】C
【分析】先利用上奇函数满足求出参数，再结合的奇函数性质和时的解析式计算得到.
【详解】已知是定义在上的奇函数，满足，
即，解得，经检验符合题意，
已知是上的奇函数，因此满足，即，
当时，，所以，
因此，即.
【变式17-2】（26-27高三·上海闵行·阶段检测）若函数是上的奇函数，则_________.
【答案】0
【详解】因为函数是上的奇函数，所以在处有定义，
可得，得到，解得，
当时，得到，，
可得，此时函数是奇函数，符合题意.
【变式17-3】（2026·湖南常德·模拟预测）已知函数为奇函数，则实数______．
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为对定义域内的任意恒成立，即可求解.
【详解】由题意可得对定义域内的任意恒成立，故，因此，
化简可得：对定义域内的任意恒成立，
由于是变化的，因此，故.
▌题型18 指数型函数的最值问题
1.【核心逻辑】
指数型函数求最值主流手段：换元法，令内层，先求出的取值范围，再把原函数转化为关于的函数（指数函数、二次函数、对勾函数等），在的取值区间上求最值。
重要隐含条件：；
•若外层单纯是：时，随增大而增大；时，随增大而减小；
•若换元后是二次型：如，令，化为，在的区间求二次函数最值，注意对称轴是否落在取值范围内。
2.【解题步骤】
①换元：设内层，根据的定义域，求出的取值范围；
②把原函数改写为关于的函数；
③分析关于的函数单调性/对称轴；
④在的取值区间求出最大、最小值；
⑤回代，写出原函数的最值。
3.【易错提醒】
•换元后忘记的取值范围，直接在全体实数上求二次函数最值；
•底数分两种情况讨论遗漏（与单调性相反）；
•二次型换元，恒大于0，不能取负数；
•求完对应的最值，部分同学忘记求对应的。
【例18】（2026高一·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________.
【答案】
【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可．
【详解】设，，它是增函数，且，，
，它在上递增，在上递减，
因此在上递增，在上递减，
∴．
【变式18-1】（2026高一·广东惠州·阶段检测）函数在区间上的最小值为______．
【答案】
【分析】通过判断函数在区间上的单调性，确定函数在区间上的最小值.
【详解】设，则.
因为函数是增函数，是增函数，所以函数是增函数.
所以函数在区间上的最小值为.
故答案为：.
【变式18-2】（26-27高一·上海虹口·期中）设且，若函数在区间上的最大值为21，则实数的值为_______．
【答案】或
【分析】通过换元法令将指数型函数转化为二次函数，结合指数函数的单调性，讨论与两种情况即可求解.
【详解】令，则
当时，在区间上单调递增，故，
函数在区间上单调递增，，
解得 或（舍）；
当时，在区间上单调递减，故，
函数在区间上单调递增，，
解得 或（舍）；
综上，实数的值为或.
【变式18-3】（2026·上海浦东新·模拟预测）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，分类讨论函数值情况，根据最值定义，求解不等式即可.
【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增，
因此此时函数最大值为，当时，函数为，
若，则函数在上单调递增，
此时函数不存在最大值，
当时，函数在上单调递减，
则此时，取不到最大值，
此时若该函数有最大值，应有，解得.
▌题型19 指数函数的恒成立和存在问题
1. 【核心逻辑】
恒成立：
，；
，；
存在性：
，；
，；
常换元 转化为二次函数在 上最值。
2. 【解题步骤】
① 换元 ，得到 取值范围（）；
② 转化为熟悉函数求最值；
③ 根据恒成立/存在性翻译最值不等式；
④ 解参数范围。
3. 【易错提醒】
• 恒成立、存在性搞反，最大值最小值用错；
• 换元之后 取值范围写错。
【例19】（26-27高一·北京丰台·期中）已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为.若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题意对变量范围合理讨论，进而得到，再利用分离参数法求解参数范围即可.
【详解】由题意得，且恒成立，
即或至少有一个成立，
不妨令，则，解得，
此时无需对做限制即可满足题意，
当时，令，则，化简得，
可得或，令，，
当时，，由一次函数性质得在上单调递增，
得到，即，
当时，由一次函数性质得在上单调递增，无最大值，与题意不符，
综上可得，的取值范围是，故B正确.
【变式19-1】（26-27高一·宁夏陕西·期中）若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】设，则，所以问题转化为，恒成立．
因为 在上单调递减，所以 所以．
【变式19-2】（2026·河北保定·模拟预测）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答.
【详解】函数，
令函数，即，
，故是奇函数，
因为是上的增函数，
所以是上的减函数，是上的减函数，
因此是上的减函数，也是上的减函数，
将代入不等式，
即，化简可得，
因为是奇函数，所以，
代入可得，
因为是减函数，，所以，
令，，故，，
是对勾函数，在上单调递增，
因此当时，，当时，，
即，则，
在上有解，即大于在上的下确界，
因此实数的取值范围是.
【变式19-3】（2026高一·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可.
【详解】，即.
令，由可得，则对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
所以，即.
令，易知在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以在上的最大值为.
所以，因为函数为增函数，当时，，
因此.即实数的取值范围为.
▌题型20 指数函数的实际应用
1. 【核心逻辑】
指数增长模型：， 初始量， 增长率；
指数衰减模型：， 衰减率； 为时间/周期。
2. 【解题步骤】
① 识别增长还是衰减，确定模型；
② 代入初始条件求出参数；
③ 代入时间求函数值；或者已知函数值反求时间。
3. 【易错提醒】
• 混淆增长与衰减，括号内写反；
• 的单位周期理解错误；
• 实际问题结果要符合现实意义，取合理数值。
【例20】（2026·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（ ）
A．3天 B．4天 C．5天 D．6天
【答案】B
【分析】列出不等式，验证选项即可.
【详解】由题意，，整理得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，又，所以.
故选：B
【变式20-1】（2026高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（ ）
A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时
【答案】B
【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案.
【详解】由题意得，即，其中，所以，
当时，.
故选：B
【变式20-2】（2026高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍．
【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍，
故，即，即．
24天后该植物的长度是，即为原来的倍，
又，
所以24天后该植物的长度是原来的倍．
方法2 设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是，
24天后，该植物的长度是，
即24天后该植物的长度是原来的倍．
故选：C
【变式20-3】（2026高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于102.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于105.8，则常数b的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出.
【详解】由题意得，当时，①，
当时，②，
②-①得，，解得，负值舍去，
所以，解得.
故选：A.
▌题型21 指数型函数性质的综合应用
1. 【核心逻辑】
函数形如 ， 是一次、二次、对勾函数；考察定义域、值域、单调性、最值。换元 ，先求 范围，再利用指数函数 性质求解。
2. 【解题步骤】
① 令内层 ，求 的值域；
② 根据底数 或 ，分析 单调性；
③ 得到原函数值域、最值；复合单调区间用同增异减。
3. 【易错提醒】
• 对勾函数求值域漏掉部分区间；
• 忽略内层函数自身定义域限制。
【例21】（26-27高一·广东东莞·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．为奇函数 D．函数在上单调递增
【答案】AD
【分析】先对给定函数做代数变形，再结合指数函数的基本性质，依次从定义域、值域、奇偶性、单调性四个维度判断每个选项的正误.
【详解】对于A，因为对任意，，所以，
故函数的定义域为，选项A正确；
对于B，，，
所以的值域为，选项B错误；
对于C，，则，
所以不是奇函数，选项C错误；
对于D，，且，
则，
所以函数在上单调递增，选项D正确.
【变式21-1】（26-27高一·河南南阳·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象恒过点
B．当时，是偶函数
C．若的值域为，则
D．若，则在上单调递增
【答案】AC
【分析】选项A，代入直接计算，验证是否恒等于;
选项B，当时化简为，检验是否成立;
选项C，的值域为等价于最小值为，即有实根，转化为判别式求解;
选项D，时开口向下，分析在上的分段单调性，结合外层的递增性判断.
【详解】选项A，，与无关，故A正确；
选项B，当时，，取得，，不满足偶函数定义，故B错误；
选项C，令，则，由于恒成立，，
要使值域恰为，需能取到，即有实根，
当时，有解；
当时，，即.综上，故C正确；
选项D，时开口向下，对称轴，且，有两个零点，
在上，且单调递减，递减，故递减;
在上，且单调递减，递增，故递增，
因此在上先减后增，并非单调递增，故D错误.
【变式21-2】（26-27高三·山东济南·阶段检测）（多选）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．
C．的单调递减区间为 D．的值域
【答案】ABD
【分析】由函数解析式求定义域判断选项A；利用奇函数的性质求的值判断选项B；求复合函数单调区间判断选项C；结合函数单调性和奇偶性求出值域判断选项D.
【详解】A选项，由得，所以的定义域为，A选项正确；
B选项， 因为函数是定义域为的奇函数，所以，
即，解得，
则有，函数定义域为，
，
所以函数为奇函数，符合题意，B选项正确；
C选项，当时，，且在上递增，则在上递减，
所以在上递减，又是奇函数，
所以的单调递减区间为和，C选项错误；
D选项，由选项B可知，，当时，，则，
所以，又是奇函数，当时，，
所以的值域，D选项正确.
【变式21-3】（26-27高一·全国·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
【答案】BCD
【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D.
【详解】由题意可得：函数的定义域为，
对于选项A：因为，，
即，函数不是偶函数，故A错误；
对于选项B：因为，
所以函数是奇函数，故B正确；
对于选项C：函数在上单调递增，
则函数在上是增函数，故C正确；
对于选项D：因为，则，可得，
即，所以的值域为，故D正确.
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专题02 指数函数
（题型突破·举一反三）
题型 01 指数函数的概念辨析
题型 02 利用指数函数概念求参
题型 03 求指数函数的解析式或值
题型 04 含指数函数的分段函数求值
题型 05 指数型函数的定义域问题
题型 06 指数型函数的值域问题
题型 07 指数型函数的恒过定点问题
题型 08 根据指数函数的图象判断底数大小
题型 09 指数型函数图像识别
题型 10 根据指数函数图像求参数取值范围
题型 11 指数函数图像的应用
题型 12 判断指数型函数的单调性
题型 13 求指数型函数的单调区间
题型 14 比较指数幂的大小
题型 15 解指数型不等式
题型 16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围
题型 17 指数型函数的奇偶性问题
题型18 指数型函数的最值问题
题型19 指数函数的恒成立和存在问题
题型20 指数函数的实际应用
题型21 指数型函数性质的综合应用
▌题型01 指数函数的概念辨析
1. 【核心逻辑】
严格对照定义；三个关键点：① 底数；② 指数位置是自变量；③ 前面系数为1。系数不为1、指数不是、底数为负数，都不是指数函数。
2. 【解题步骤】
① 逐条核对三要素；
② 排除变形后系数不为1、指数不是的函数；
③ 统计符合定义的函数个数。
3. 【易错提醒】
• 系数不为1，不是指数函数；
• 指数是，不是自变量本身，不属于指数函数。
【例1】（26-27高一·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________．
【变式1-1】（26-27高一·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（26-27高一·全国·课堂例题）（多选）下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（ ）
A． B．
C． D．且
【变式1-3】（26-27高一·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）.
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且.
▌题型02 利用指数函数概念求参
1. 【核心逻辑】
若是指数函数，则同时满足：底数，前面的系数等于1，列等式与不等式联立求解参数。
2. 【解题步骤】
① 令函数前面系数等于；
② 同时满足底数大于0且不等于1；
③ 解方程组，舍去不符合不等式的解。
3. 【易错提醒】
只解方程，忽略底数且的限制，直接保留增根。
【例2】（26-27高二·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．，且
【变式2-1】（26-27高一·全国·课堂例题）已知函数是指数函数．求的表达式.
【变式2-2】（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【变式2-3】（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．1或
▌题型03 求指数函数的解析式或值
1. 【核心逻辑】
指数函数形式固定，只有底数未知；使用待定系数法，代入图像经过的点求出，再计算函数值。
2. 【解题步骤】
① 设；
② 将图像上已知点坐标代入，解出底数；
③ 得到解析式，代入自变量求函数值。
3. 【易错提醒】
代入坐标计算指数幂运算出错；忘记舍去负的底数。
【例3】（26-27高一·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______．
【变式3-1】（2026高二·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____．
【变式3-2】（2026高一·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（ ）
A． B．3 C． D．9
【变式3-3】（2026高二·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为______.
▌题型04 含指数函数的分段函数求值
1. 【核心逻辑】
分段函数求值关键：根据自变量取值，选对对应分段解析式；多层嵌套求值，由内向外逐层计算。
2. 【解题步骤】
① 判断自变量属于哪一段定义域；
② 代入该段解析式计算；
③ 遇到嵌套，先算内层，结果再代入外层。
3. 【易错提醒】
自变量归属分段区间判断错误；嵌套求值由外向内计算。
【例4】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则______.
【变式4-1】（2026高一·湖南娄底·期末）函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【变式4-2】（2026高一·上海嘉定·期末）已知函数，则________．
【变式4-3】（专题03 函数与函数（期末真题汇编，广东专用）高三数学上学期人教A版）已知函数，则=________.
▌题型05 指数型函数的定义域问题
1. 【核心逻辑】
指数函数本身定义域；指数型复合函数定义域受分母、根号、零次幂限制：分母；偶次被开方数；零次幂底数。
2. 【解题步骤】
① 指数部分本身无限制；
② 列出分母、根式、零次幂对应的不等式；
③ 解不等式得到定义域。
3. 【易错提醒】
把指数本身当成限制条件；混淆指数函数与复合指数型函数定义域。
【例5】（2026高一·全国·阶段检测）（多选）下列各组函数为同一函数的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式5-1】（2026高一·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域
(1)；
(2)．
【变式5-2】（2026高一·河南·阶段检测）函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（26-27高一·北京昌平·期中）函数 的定义域是________.
▌题型06 指数型函数的值域问题
1. 【核心逻辑】
恒成立；先求内层取值范围，再结合外层单调性，求出整体值域。
常见：二次型，先求二次函数范围，再求范围。
2. 【解题步骤】
① 令内层，求的取值集合；
② 根据底数的范围，判断单调性；
③ 把范围代入，得到函数值域。
3. 【易错提醒】
忽略；内层范围求错；不讨论与直接写值域。
【例6】（26-27高三·陕西商洛·阶段检测）已知函数，则的值域为_______．
【变式6-1】（26-27高一·广东深圳·期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（26-27高一·广东广州·期中）函数的最小值是_____．
【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
▌题型07 指数型函数的恒过定点问题
1. 【核心逻辑】
恒过定点：令指数部分，解出，此时，算出对应，得到定点坐标；不受底数变化影响。
2. 【解题步骤】
① 令指数整体等于0，解；
② 把代入原式，计算；得到定点。
3. 【易错提醒】
直接令；解析式存在常数平移时，忘记加上常数。
【例7】（26-27高一·甘肃庆阳·期中）函数（，且）的图象恒过定点，则点坐标为______．
【变式7-1】（26-27高一·天津滨海新区·期中）若函数，且的图象恒过定点，则点的坐标为___________________________________．
【变式7-2】（26-27高一·广东清远·期中）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______.
【变式7-3】（26-27高一·上海静安·期中）函数（且）的图象恒过定点的坐标为_____．
▌题型08 根据指数函数的图象判断底数大小
1. 【核心逻辑】
作直线，直线与各指数函数交点纵坐标就是底数；
• 轴右侧：底大图高；
• 轴左侧：底大图低。
图像上升；图像下降。
2. 【解题步骤】
① 画竖线读取函数值，即为底数；
② 纵坐标越大，底数越大；
③ 区分底数大于1、小于1两类图像。
3. 【易错提醒】
轴左侧，错误认为底大图高；混淆递增、递减图像。
【例8】（2026高一·全国·随堂练习）已知三个指数函数，，的图象如图．
(1)试比较a、b、c的大小；
(2)指数函数的底数越大，它的图象与直线的交点的纵坐标是越大还是趋近于0？
【变式8-1】（2026高一·山东济宁·期末）如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【变式8-2】（2026高一·全国·课后作业）图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图像，而a∈ ，则图像C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
【变式8-3】如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
▌题型09 指数型函数图像识别
1. 【核心逻辑】
识图四把工具：定义域、奇偶性、特殊点函数值、单调性、函数值正负；排除法做题。复合指数看内层函数变化。
2. 【解题步骤】
① 判断奇偶性，排除部分选项；
② 代入特殊值，判断正负；
③ 分析单调性，进一步筛选；
④ 最终锁定图像。
3. 【易错提醒】
忽略奇偶性快速排除；特殊点代入计算出错。
【例9】（2026高一·安徽亳州·期中）（多选）函数（，且）的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（26-27高一·甘肃兰州·期中）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（26-27高一·全国·课后作业）（多选）函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
▌题型10 根据指数函数图像求参数取值范围
1. 【核心逻辑】
结合图像平移变换、单调性、渐近线，观察图像升降、定点、与坐标轴交点，建立关于参数不等式求解。如渐近线。
2. 【解题步骤】
① 由图像升降判断底数还是；
② 观察定点、渐近线、交点列出不等式；
③ 解出参数范围。
3. 【易错提醒】
平移变换方向搞反；分不清渐近线含义。
【例10】（26-27高一·甘肃庆阳·期中）若函数（，且）的图像不经过第一象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式10-1】（26-27高一·河南南阳·期中）若函数，且)的图象不经过第一象限，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【变式10-2】（26-27高三·四川成都·阶段检测）若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【变式10-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
▌题型11 指数函数图像的应用
1. 【核心逻辑】
数形结合：方程解的个数转化两个函数图像交点个数；不等式解集转化图像上下位置关系。
2. 【解题步骤】
① 在同一坐标系画出函数图像；
② 交点个数对应方程解的个数；图像在上则函数值更大；
③ 读出解集或者参数范围。
3. 【易错提醒】
画图不准确；分不清图像上下对应的不等号方向。
【例11】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2026高三·海南·期末）已知函数，当时，有，则（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2026高一·新疆克拉玛依·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．与图像有两个公共点 B．的解集为
C．的解集为 D．有最大值和最小值
【变式11-3】（2026高一·北京昌平·期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
▌题型12 判断指数型函数的单调性
1. 【核心逻辑】
复合函数，同增异减：
，外层递增，复合函数单调性与内层完全相同；
，外层递减，复合函数单调性与内层相反。
2. 【解题步骤】
① 分清底数还是；
② 判断内层函数单调性；
③ 同增异减判断整体增减。
3. 【易错提醒】
不区分底数大小直接套用同增异减。
【例12】（26-27高一·北京昌平·期中）设 ，则 的大小关系一定是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【变式12-1】（26-27高一·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（26-27高三·广东惠州·期中）“幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式12-3】（26-27高一·辽宁·期中）下列函数中在定义域上是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
▌题型13 求指数型函数的单调区间
1. 【核心逻辑】
复合函数，先求定义域；再拆内层，外层，同增异减，单调区间必须是定义域子集。
2. 【解题步骤】
① 先求函数定义域；
② 拆内层函数，写出内层单调区间；
③ 结合外层底数，同增异减；
④ 最终单调区间必须包含在定义域内。
3. 【易错提醒】
不写定义域直接求单调区间；区间写成集合或者不等式，不用区间形式。
【例13】（26-27高一·天津和平·期中）函数的单调递减区间为______．
【变式13-1】（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________．
【变式13-2】（2026高一·甘肃兰州·期中）已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的值域．
【变式13-3】（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
▌题型14 比较指数幂的大小
1. 【核心逻辑】
三类思路：
① 同底不同指：利用指数函数单调性比较；
② 同指不同底：借助图像或者中间量；
③ 既不同底也不同指：找中间量（0，1）搭桥。
2. 【解题步骤】
① 看底数是否相同，同底直接用单调性；
② 指数相同，看底数大小；
③ 都不同，找中间值分组。
3. 【易错提醒】
分不清底数大于1还是小于1，单调性用反。
【例14】（26-27高一·北京通州·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-1】（26-27高一·福建厦门·期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（26-27高一·广东东莞·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-3】（26-27高一·全国·课堂例题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
▌题型15 解指数型不等式
1. 【核心逻辑】
时，；
时，，不等号方向改变。
2. 【解题步骤】
① 化为左右两边同底数指数形式；
② 判断底数还是；
③ 去掉指数，转化普通不等式求解；
④ 写出解集。
3. 【易错提醒】
时，忘记改变不等号方向；不等号两边底数不相同直接去掉指数。
【例15】（26-27高一·浙江温州·期中）若，则x的取值范围是_____________．
【变式15-1】（26-27高三·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是__________．
【变式15-3】（2026高三·全国·专题练习）若实数x满足不等式，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
▌题型16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围
1. 【核心逻辑】
复合函数，已知整体单调，反推底数或者内层里面的参数；同增异减反向使用；分段指数函数要保证分段点处也满足单调性。
2. 【解题步骤】
① 区分外层底数范围；
② 利用同增异减，得到内层函数需要满足的单调性；
③ 列出不等式，求解参数；分段函数额外比较分段端点函数值。
3. 【易错提醒】
分段指数忽略端点处大小关系；不讨论底数两种情况。
【例16】（2026高一·云南昆明·阶段检测）如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式16-1】（2026高一·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______.
【变式16-2】（2026高一·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式16-3】（26-27高三·江苏扬州·开学考试）已知且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
▌题型17 指数型函数的奇偶性问题
1. 【核心逻辑】
奇偶性定义：定义域关于原点对称；
奇函数；偶函数；指数型奇偶函数常出现结构。
2. 【解题步骤】
① 第一步判断定义域是否关于原点对称；
② 计算；
③ 对比、，判断奇偶；已知奇偶性，代入等式求参数。
3. 【易错提醒】
跳过定义域直接判断奇偶；指数负指数幂运算出错。
【例17】（26-27高一·北京东城·阶段检测）若函数的定义域为，则（ ）
A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数
C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数
【变式17-1】（2026高一·福建厦门·期中）已知都是上的奇函数，，且当时，，则（ ）
A．2 B．4 C．－2 D．－4
【变式17-2】（26-27高三·上海闵行·阶段检测）若函数是上的奇函数，则_________.
【变式17-3】（2026·湖南常德·模拟预测）已知函数为奇函数，则实数______．
▌题型18 指数型函数的最值问题
1.【核心逻辑】
指数型函数求最值主流手段：换元法，令内层，先求出的取值范围，再把原函数转化为关于的函数（指数函数、二次函数、对勾函数等），在的取值区间上求最值。
重要隐含条件：；
•若外层单纯是：时，随增大而增大；时，随增大而减小；
•若换元后是二次型：如，令，化为，在的区间求二次函数最值，注意对称轴是否落在取值范围内。
2.【解题步骤】
①换元：设内层，根据的定义域，求出的取值范围；
②把原函数改写为关于的函数；
③分析关于的函数单调性/对称轴；
④在的取值区间求出最大、最小值；
⑤回代，写出原函数的最值。
3.【易错提醒】
•换元后忘记的取值范围，直接在全体实数上求二次函数最值；
•底数分两种情况讨论遗漏（与单调性相反）；
•二次型换元，恒大于0，不能取负数；
•求完对应的最值，部分同学忘记求对应的。
【例18】（2026高一·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________.
【变式18-1】（2026高一·广东惠州·阶段检测）函数在区间上的最小值为______．
【变式18-2】（26-27高一·上海虹口·期中）设且，若函数在区间上的最大值为21，则实数的值为_______．
【变式18-3】（2026·上海浦东新·模拟预测）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________．
▌题型19 指数函数的恒成立和存在问题
1. 【核心逻辑】
恒成立：
，；
，；
存在性：
，；
，；
常换元 转化为二次函数在 上最值。
2. 【解题步骤】
① 换元 ，得到 取值范围（）；
② 转化为熟悉函数求最值；
③ 根据恒成立/存在性翻译最值不等式；
④ 解参数范围。
3. 【易错提醒】
• 恒成立、存在性搞反，最大值最小值用错；
• 换元之后 取值范围写错。
【例19】（26-27高一·北京丰台·期中）已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为.若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式19-1】（26-27高一·宁夏陕西·期中）若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________．
【变式19-2】（2026·河北保定·模拟预测）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式19-3】（2026高一·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________.
▌题型20 指数函数的实际应用
1. 【核心逻辑】
指数增长模型：， 初始量， 增长率；
指数衰减模型：， 衰减率； 为时间/周期。
2. 【解题步骤】
① 识别增长还是衰减，确定模型；
② 代入初始条件求出参数；
③ 代入时间求函数值；或者已知函数值反求时间。
3. 【易错提醒】
• 混淆增长与衰减，括号内写反；
• 的单位周期理解错误；
• 实际问题结果要符合现实意义，取合理数值。
【例20】（2026·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（ ）
A．3天 B．4天 C．5天 D．6天
【变式20-1】（2026高三·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（ ）
A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时
【变式20-2】（2026高一·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【变式20-3】（2026高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于102.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于105.8，则常数b的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
▌题型21 指数型函数性质的综合应用
1. 【核心逻辑】
函数形如 ， 是一次、二次、对勾函数；考察定义域、值域、单调性、最值。换元 ，先求 范围，再利用指数函数 性质求解。
2. 【解题步骤】
① 令内层 ，求 的值域；
② 根据底数 或 ，分析 单调性；
③ 得到原函数值域、最值；复合单调区间用同增异减。
3. 【易错提醒】
• 对勾函数求值域漏掉部分区间；
• 忽略内层函数自身定义域限制。
【例21】（26-27高一·广东东莞·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．为奇函数 D．函数在上单调递增
【变式21-1】（26-27高一·河南南阳·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象恒过点
B．当时，是偶函数
C．若的值域为，则
D．若，则在上单调递增
【变式21-2】（26-27高三·山东济南·阶段检测）（多选）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．
C．的单调递减区间为 D．的值域
【变式21-3】（26-27高一·全国·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
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专题02 指数函数
▌题型01 指数函数的概念辨析
【例1】【答案】1
【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数，
则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是101．故答案为101．
【变式1-1】【答案】D
【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1，
由，A不满足要求，
由中前有负号，B不满足要求，
由中前系数不为1，C不满足要求，
而中且指数式的系数为1，D满足.
【变式1-2】【答案】ACD
【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断：
选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合；
选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合；
选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合；
选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合.
【变式1-3】【答案】①④⑦
【分析】由指数函数的定义逐一判断即可.
【详解】因为形如且的函数称为指数函数，
所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数.
▌题型02 利用指数函数概念求参
【例2】【答案】C
【分析】根据指数函数的概念，即可求解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得，满足，且.
【变式2-1】【答案】
【详解】函数是指数函数，且，
，
可得或舍去，
【变式2-2】【答案】B
【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值．
【详解】函数是指数函数，可得，解得．
【变式2-3】【答案】A
【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值.
【详解】因为函数是指数函数，所以且，
即且，解得.
故选：A.
▌题型03 求指数函数的解析式或值
【例3】【答案】
【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值.
【详解】由题知，即，，，.
【变式3-1】【答案】/
【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解.
【详解】设的图象过点，
解得．
【变式3-2】【答案】A
【分析】运用代入法进行求解即可.
【详解】因为函数且的图象过点，
所以，或舍去，
故.
【变式3-3】【答案】3
【分析】将点代入函数解析式计算即可求解.
【详解】因为指数函数的图象经过点，
所以，解得.
故答案为：3
▌题型04 含指数函数的分段函数求值
【例4】【答案】
【详解】，
，
．
【变式4-1】【答案】D
【分析】应用分段函数解析式求解函数值.
【详解】函数，则.
故选：D.
【变式4-2】【答案】
【分析】根据解析式代入求解即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：
【变式4-3】【答案】7
【分析】代值计算即可.
【详解】由.
故答案为：7
▌题型05 指数型函数的定义域问题
【例5】【答案】BC
【分析】根据同一函数的对应法则和定义域均相同，依次判断各项是否为同一函数即可.
【详解】A，的定义域为，的定义域为，不是同一函数，不符合；
B，与定义域和对应关系均相同，是同一函数，符合；
C，，的定义域、对应关系、值域都相同，是同一函数，符合；
D，，定义域不同，不是同一函数，不符合.
故选：BC
【变式5-1】【答案】(1)定义域为，值域为.
(2)定义域为，值域为
【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可.
（2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可.
【详解】（1）由，得，
函数的定义域为．
，
．的值域为．
（2）函数的定义域为．
．
故的值域为．
【变式5-2】【答案】C
【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式.
【详解】根据题意，函数，
则函数，即，
所以.
故选：C
【变式5-3】【答案】
【详解】由题意可得且，解得且，
故定义域为.
▌题型06 指数型函数的值域问题
【例6】【答案】
【分析】根据指数函数的性质结合反比例函数的性质求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以，
所以的值域为.
故答案为：.
【变式6-1】【答案】A
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】由指数函数的性质可得，所以，
即函数的值域是
【变式6-2】（26-27高一·广东广州·期中）函数的最小值是_____．
【答案】/
【详解】令，，则.
该二次函数开口向上，对称轴为，满足，
将代入函数，得，故最小值为.
【变式6-3】【答案】A
【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ，
当时，一次函数的斜率，
函数单调递减，最大值为，
当时 ，故值域为 ，，，
所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数，
值域不为，不符合题意.
当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ，
时，一次函数斜率，函数单调递减，
最大值为 ，当时 ，故值域为 ，
若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足，
由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得.
综上所述，的取值范围是.
▌题型07 指数型函数的恒过定点问题
【例7】【答案】
【详解】令，则.故，所以恒过定点，即.
【变式7-1】【答案】
【分析】利用指数函数恒过的性质，令指数部分为0求出对应x值，再计算函数值即可得到定点坐标.
【详解】对于函数，令, 解得,
将代入函数表达式： ，
这说明，无论取何满足条件的值，当时，函数值恒为，
因此函数图象恒过定点.
【变式7-2】【答案】 9
【分析】由过定点，又，得，解得，即可算出定点的坐标，把点坐标代入，利用“”的妙用和基本不等式即可求出答案.
【详解】由恒过定点，对于，有，则，
解得，即点的坐标为，
因点也在一次函数的图象上，则，
又，则得，，
由，
当且仅当时，即，时等号成立，
所以取得最小值为109.
【变式7-3】【答案】
【详解】由于，
当时，，
所以函数恒过定点.
▌题型08 根据指数函数的图象判断底数大小
【例8】【答案】(1)
(2)越大
【分析】（1）（2）根据直线与指数函数图象交点的纵坐标即可判断，
【详解】（1）不妨取，则三个指数函数，，对应的函数值分别为，
根据图象可知
（2）当，指数函数对应的函数值为其底数，故指数函数的底数越大，它的图象与直线的交点的纵坐标越大.
【变式8-1】【答案】D
【分析】作直线，根据图象得出答案.
【详解】设曲线C1，C2，C3，C4对应解析式的底数为，作直线，如下图所示
由图可知，，即曲线C1，C2，C3，C4，依次为，，，
故选：D
【变式8-2】【答案】
【分析】根据指数函数图像与底数的关系判断C1，C2，C3，C4对应的函数的底数.
【详解】由底数变化引起指数函数图像变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．
则C2的底数C1的底数1C4的底数C3的底数，而< <<π，
故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.
故答案为：，，π，
【变式8-3】【答案】
【分析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律，在轴右侧，底大图高，在轴左侧，底大图低，从而可求得答案
【详解】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4的底数＜C3的底数．
因为
所以图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是，，，，
故答案为：，，，，
▌题型09 指数型函数图像识别
【例9】【答案】AC
【分析】首先判断出为偶函数，再对分类讨论即可.
【详解】函数的定义域为，且，
则是偶函数，故D错误；
，
当时，在上单调递增，且，故A正确，B错误；
当时，在上单调递减，且，故C正确．
【变式9-1】【答案】A
【分析】通过判断函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定最终选项.
【详解】由，得，故函数的定义域为 ，关于原点对称，因为 ，
所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除选项 B、D；
当 时，，，即 ， 所以 ，排除选项 C.
【变式9-2】【答案】CD
【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合；
当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合．
【变式9-3】【答案】A
【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断；
【详解】设，
的定义域为，
且，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D，
又，
当时，，，，，即，排除C，
在上单调递减，排除B．
▌题型10 根据指数函数图像求参数取值范围
【例10】【答案】C
【分析】先将函数变形为指数型函数，结合指数函数的单调性与图像平移规律，根据“图像不经过第一象限”的约束条件推导参数和的取值范围．
【详解】，
当时，指数函数单调递增，图像会经过第一象限，不合题意；
所以只有，此时必过点，
要使图像不经过第一象限，则，
所以当，时，的图像不经过第一象限．
【变式10-1】【答案】B
【分析】按分类讨论，结合指数函数的性质判断.
【详解】时，，此时无论取何值，函数均会经过第一象限；
时，由于经过定点，且时，，
此时函数向下平移至少一个单位可使其不经过第一象限，如图所示，即.
【变式10-2】【答案】B
【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值.
【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，，
令，则，即，则，
【变式10-3】【答案】D
【详解】由图象可知，函数为减函数，所以，
，
因为，所以，所以.
▌题型11 指数函数图像的应用
【例11】【答案】C
【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围.
【详解】由题意知函数的图象如下图所示：
如图与函数的图象有且仅有两个交点，
所以.
【变式11-1】【答案】D
【详解】对于A，如图所示：
由时，则与矛盾，故A错误；
选项B，如图所示：
由时，则与矛盾，故B错误；
对于C，如图所示：
由时，，但是此时，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
若时，有，则，无法确定，
如图所示：
由，则，即，
由，所以，故D正确.
【变式11-2】【答案】AC
【分析】在同一坐标系中作出函数，的草图，数形结合，判断各选项的正确性.
【详解】在同一坐标系中作出函数，的草图如下：
对A：由图可知，函数与的图象仅有，两个公共点，故A正确；
对B：由图可知，不等式的解集为，故B错误；
对C：由图可知，不等式的解集为，故C正确；
对D：由图可知，当和时，，无最大值，故D错误.
故选：AC
【变式11-3】【答案】B
【分析】由的图象和的图象的交点可求的解集.
【详解】的解集即的解集，
也就是的图象在的图象的下方的点的横坐标的全体，
而的图象和的图象如图所示：
由图可得的解集为，
故选：B.
▌题型12 判断指数型函数的单调性
【例12】【答案】D
【分析】根据可分三种情况讨论：，根据指数函数的单调性分析出每一种情况下的大小关系.
【详解】当时，代入等式得，整理得，解得，此时，即时等式成立；
当时，因为单调递增，所以，即，
由于底数，所以；
当时，因为单调递增，所以，即，
由于底数，所以；
故 的大小关系无法确定.
【变式12-1】【答案】C
【详解】对于A，指数函数是上的减函数，所以在区间上单调递减，不符合题意；
对于B，，根据二次函数的图象可知在区间上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于C，幂函数在区间上单调递增，符合题意；
对于D，对勾函数在区间上单调递减，在上单调递增，不符合题意.
【变式12-2】【答案】B
【分析】分别求出两个命题成立时的取值范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】设命题：幂函数在单调递增，当为真命题时，，
命题：指数函数 在上单调递增，当为真命题时，，
判断充分性：若成立即，取，此时指数函数 在上单调递减，
即不成立，充分性不成立.
判断必要性：若成立即，则命题成立，必要性成立.
综上所述，是的必要不充分条件.
【变式12-3】【答案】D
【详解】对于A，根据幂函数的图象和性质可得，在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，故A错误；
对于B，由指数函数图象和性质可得，为减函数，故B错误；
对于C，由二次函数图象和性质可得，在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，由幂函数的图象和性质可得为增函数，故D正确.
▌题型13 求指数型函数的单调区间
【例13】【答案】
【分析】本题为复合函数单调性求解问题，需先确定函数定义域，再依据复合函数“同增异减”的判定规则，逐层分析各层函数的单调性，最终结合定义域取交集得到目标单调递减区间.
【详解】即 ，解得或，因此原函数的定义域为，
令，，则，
外层在定义域上为单调递减函数；
中间层在定义域上为单调递增函数；
内层，开口向上，对称轴为，因此该函数在上单调递减，在上单调递增；
因此原函数的单调递减区间为.
【变式13-1】【答案】
【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是.
【变式13-2】【答案】(1)的减区间为，增区间为
(2)
【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域.
【详解】（1），
在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上单调递减，
所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为.
（2）令，则，
则，即的值域为.
【变式13-3】【答案】B
【详解】设，则，
是指数函数，且在上单调递增，
是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．.
▌题型14 比较指数幂的大小
【例14】【答案】B
【详解】 令，该函数在定义域上单调递增，
因为，故，即；
令，该函数在上单调递减，
因为，故，即，
综上可得.
【变式14-1】【答案】C
【详解】因为函数的底数，所以在上单调递增，
因为，所以，即；
因为函数的底数满足，因此在上单调递减，
因为，所以，即.
【变式14-2】【答案】B
【详解】因为指数函数在上单调递增，且，
所以，即.
因为，且，
所以.
综上所述，.
【变式14-3】【答案】B
【详解】， 在单调递减，
，
， 在单调递增，
，
， 在单调递增，，
，
综上：.
▌题型15 解指数型不等式
【例15】【答案】
【分析】将转化为，再考虑函数单调性，进一步转化为，求解该不等式即可.
【详解】由，可得，
因为在定义域单调增，
所以等价于，
，即，
解得.
【变式15-1】【答案】C
【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得.
【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数．
因为，所以在上单调递增，
由，可得，即．
因为在上单调递增，所以，解得，
故不等式的解集为．
【变式15-2】【答案】
【分析】先移项化简不等式，结合指数函数的值域判断不等式无实解，进而得到解集.
【详解】依题意，与对任意实数，均有矛盾，所以原不等式的解集是.
【变式15-3】【答案】C
【分析】构造，利用其单调性解不等式求参数范围.
【详解】由，得，
构造函数，即
因为、是R上的增函数，则是R上的增函数，
所以，整理得，解得或，
即的取值范围是.
▌题型16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围
【例16】【答案】D
【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围.
【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增，
要让整体在上单调，只需保证在上单调即可，
令，则函数开口向上，对称轴为，
单调递减区间是，单调递增区间是，
在上单调，只需满足对称轴不在内部，
即：或，解得或，
故的取值范围.
【变式16-1】【答案】2
【详解】设，
因为函数的对称轴为，其单调递增区间为，
且函数为上增函数，
则依题意可得，解得.
【变式16-2】【答案】A
【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解．
【详解】令，由于底数 ，
所以指数函数在上单调递减，
因此的单调性与的单调性相反，
要使在上单调递减，
需使在区间上单调递增，
二次函数开口向上，对称轴为，
要使在区间上单调递增，
需满足对称轴在区间的左侧，
所以．
【变式16-3】【答案】
【详解】由题意得，，得，
故实数的取值范围是.
▌题型17 指数型函数的奇偶性问题
【例17】【答案】C
【分析】先化简函数表达式，再依据奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数单调性规律判断单调性即可确定选项
【详解】根据题意， ，定义域为，关于原点对称
对任意，有 ，
因此为奇函数，排除B、D选项；
因为为上的增函数，故为上的增函数，且恒成立；
所以，为上的减函数，为上的增函数；
所以，为上的增函数，排除A选项，
所以，为奇函数，且为上的增函数.
【变式17-1】【答案】C
【分析】先利用上奇函数满足求出参数，再结合的奇函数性质和时的解析式计算得到.
【详解】已知是定义在上的奇函数，满足，
即，解得，经检验符合题意，
已知是上的奇函数，因此满足，即，
当时，，所以，
因此，即.
【变式17-2】【答案】0
【详解】因为函数是上的奇函数，所以在处有定义，
可得，得到，解得，
当时，得到，，
可得，此时函数是奇函数，符合题意.
【变式17-3】【答案】1
【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为对定义域内的任意恒成立，即可求解.
【详解】由题意可得对定义域内的任意恒成立，故，因此，
化简可得：对定义域内的任意恒成立，
由于是变化的，因此，故.
▌题型18 指数型函数的最值问题
【例18】【答案】
【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可．
【详解】设，，它是增函数，且，，
，它在上递增，在上递减，
因此在上递增，在上递减，
∴．
【变式18-1】【答案】
【分析】通过判断函数在区间上的单调性，确定函数在区间上的最小值.
【详解】设，则.
因为函数是增函数，是增函数，所以函数是增函数.
所以函数在区间上的最小值为.
故答案为：.
【变式18-2】【答案】或
【分析】通过换元法令将指数型函数转化为二次函数，结合指数函数的单调性，讨论与两种情况即可求解.
【详解】令，则
当时，在区间上单调递增，故，
函数在区间上单调递增，，
解得 或（舍）；
当时，在区间上单调递减，故，
函数在区间上单调递增，，
解得 或（舍）；
综上，实数的值为或.
【变式18-3】【答案】
【分析】根据指数函数的性质，分类讨论函数值情况，根据最值定义，求解不等式即可.
【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增，
因此此时函数最大值为，当时，函数为，
若，则函数在上单调递增，
此时函数不存在最大值，
当时，函数在上单调递减，
则此时，取不到最大值，
此时若该函数有最大值，应有，解得.
▌题型19 指数函数的恒成立和存在问题
【例19】【答案】B
【分析】结合题意对变量范围合理讨论，进而得到，再利用分离参数法求解参数范围即可.
【详解】由题意得，且恒成立，
即或至少有一个成立，
不妨令，则，解得，
此时无需对做限制即可满足题意，
当时，令，则，化简得，
可得或，令，，
当时，，由一次函数性质得在上单调递增，
得到，即，
当时，由一次函数性质得在上单调递增，无最大值，与题意不符，
综上可得，的取值范围是，故B正确.
【变式19-1】【答案】
【详解】设，则，所以问题转化为，恒成立．
因为 在上单调递减，所以 所以．
【变式19-2】【答案】C
【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答.
【详解】函数，
令函数，即，
，故是奇函数，
因为是上的增函数，
所以是上的减函数，是上的减函数，
因此是上的减函数，也是上的减函数，
将代入不等式，
即，化简可得，
因为是奇函数，所以，
代入可得，
因为是减函数，，所以，
令，，故，，
是对勾函数，在上单调递增，
因此当时，，当时，，
即，则，
在上有解，即大于在上的下确界，
因此实数的取值范围是.
【变式19-3】【答案】
【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可.
【详解】，即.
令，由可得，则对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
所以，即.
令，易知在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以在上的最大值为.
所以，因为函数为增函数，当时，，
因此.即实数的取值范围为.
▌题型20 指数函数的实际应用
【例20】【答案】B
【分析】列出不等式，验证选项即可.
【详解】由题意，，整理得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，又，所以.
故选：B
【变式20-1】【答案】B
【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案.
【详解】由题意得，即，其中，所以，
当时，.
故选：B
【变式20-2】【答案】C
【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍．
【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍，
故，即，即．
24天后该植物的长度是，即为原来的倍，
又，
所以24天后该植物的长度是原来的倍．
方法2 设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是，
24天后，该植物的长度是，
即24天后该植物的长度是原来的倍．
故选：C
【变式20-3】【答案】A
【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出.
【详解】由题意得，当时，①，
当时，②，
②-①得，，解得，负值舍去，
所以，解得.
故选：A.
▌题型21 指数型函数性质的综合应用
【例21】【答案】AD
【分析】先对给定函数做代数变形，再结合指数函数的基本性质，依次从定义域、值域、奇偶性、单调性四个维度判断每个选项的正误.
【详解】对于A，因为对任意，，所以，
故函数的定义域为，选项A正确；
对于B，，，
所以的值域为，选项B错误；
对于C，，则，
所以不是奇函数，选项C错误；
对于D，，且，
则，
所以函数在上单调递增，选项D正确.
【变式21-1】【答案】AC
【分析】选项A，代入直接计算，验证是否恒等于;
选项B，当时化简为，检验是否成立;
选项C，的值域为等价于最小值为，即有实根，转化为判别式求解;
选项D，时开口向下，分析在上的分段单调性，结合外层的递增性判断.
【详解】选项A，，与无关，故A正确；
选项B，当时，，取得，，不满足偶函数定义，故B错误；
选项C，令，则，由于恒成立，，
要使值域恰为，需能取到，即有实根，
当时，有解；
当时，，即.综上，故C正确；
选项D，时开口向下，对称轴，且，有两个零点，
在上，且单调递减，递减，故递减;
在上，且单调递减，递增，故递增，
因此在上先减后增，并非单调递增，故D错误.
【变式21-2】【答案】ABD
【分析】由函数解析式求定义域判断选项A；利用奇函数的性质求的值判断选项B；求复合函数单调区间判断选项C；结合函数单调性和奇偶性求出值域判断选项D.
【详解】A选项，由得，所以的定义域为，A选项正确；
B选项， 因为函数是定义域为的奇函数，所以，
即，解得，
则有，函数定义域为，
，
所以函数为奇函数，符合题意，B选项正确；
C选项，当时，，且在上递增，则在上递减，
所以在上递减，又是奇函数，
所以的单调递减区间为和，C选项错误；
D选项，由选项B可知，，当时，，则，
所以，又是奇函数，当时，，
所以的值域，D选项正确.
【变式21-3】【答案】BCD
【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D.
【详解】由题意可得：函数的定义域为，
对于选项A：因为，，
即，函数不是偶函数，故A错误；
对于选项B：因为，
所以函数是奇函数，故B正确；
对于选项C：函数在上单调递增，
则函数在上是增函数，故C正确；
对于选项D：因为，则，可得，
即，所以的值域为，故D正确.
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