第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元测试·强化卷）高一数学沪教版必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．幂函数的图象过点，则实数____________． 2．函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 3．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 4．函数的定义域是_______. 5．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，则函数的图像不经过第______象限. 6．若幂函数的图像不经过原点，则的值为__________. 7．若则不等式的解集为___________． 8．函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 9．方程的解集为___________． 10．函数，的最小值为_________． 11．已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 12．定义表示不大于的最大整数，例如．已知，，．若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为___________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（   ） 参考时间轴： A．战国 B．汉朝 C．唐朝 D．宋朝 14．若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 16．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B．中只有一个元素 C．中有两个元素 D．中有无穷多个元素 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知函数的定义域是集合，集合. (1)当，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 18．（14分）已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 19．（14分）已知函数的图象经过点和，幂函数过点. (1)求和的值及的解析式； (2)解关于的方程. 20．（18分）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 21．（18分）设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的． (1)证明：区间不是加法封闭的； (2)若区间是加法封闭的，求实数的取值范围； (3)设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元自测·强化卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 一 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C A C B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由得，解得， 故函数的定义域为， 当时，， 所以.……（7分） （2）若是的必要条件，则， 又，， 故，解得， 故实数的取值范围为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）令，当时原不等式可转化为， ，，解得或. ，所以或，解得或. 即.……（7分） （2）由题意知，即不等式恒成立. ，，当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由题意得，，，得， 设幂函数，则，得，，故；……（7分） （2）由（1）知，，， 则化为， 则， 因在上单调递增，则，即， 得或（舍），得.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）根据题意，设， 又每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半，所以， 解得，则， 当，解得， 所以该化石距今约有年历史；……（9分） （2）由于碳14含量的测量结果可能存在的误差， 设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为， 无误差时对应衰减时间为， 则①，②，③， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， 所以误差最大为83年．……（18分） 21．（18分） 【详解】(1)取，，但， 所以不满足对于任意的，，有， 所以区间不是加法封闭的；……（6分） （2）因为区间是加法封闭的，对于任意的，，都有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是；……（12分） （3）要使函数有意义， 则， 所以函数的定义域为集合， 因为是乘法封闭的， 所以对于任意的，，有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．幂函数的图象过点，则实数____________． 【答案】 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得： ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 2．函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 3．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．函数的定义域是_______. 【答案】 【详解】由题可得：，解得：，所以函数的定义域是 故答案为： 5．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，则函数的图像不经过第______象限. 【答案】一 【详解】由题可得方程的两根为1和2， 根据韦达定理，得， 所以函数为，相当于（单调递减且经过一、二象限）向下平移两个单位（经过二、三、四象限）， 因此图象不经过第一象限. 故答案为：一. 6．若幂函数的图像不经过原点，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，则，不符合题意，故舍去； 当时定义域为，函数图像不经过原点，符合题意； 综上可得. 故答案为： 7．若则不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】， 当时，，显然不成立， 当时，，显然不成立， 所以不等式的解集为空集. 故答案为： 8．函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由可得，解得， 即函数的图象与轴的交点为，作出该函数的图象如下图所示： 要使得函数的图象不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 9．方程的解集为___________． 【答案】 【详解】令，则原方程变为， 当时，，解得，舍去； 当时，，即该式恒成立， ，由指数函数的单调性可知； 当时，，解得，舍去， 综上，方程的解集为. 故答案为：. 10．函数，的最小值为_________． 【答案】 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 11．已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 12．定义表示不大于的最大整数，例如．已知，，．若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】设，则，且， 则， 由于，，所以为和的加权平均数， 所以的取值范围是， 若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，等价于且恒成立， 由于恒成立， 则等价于恒成立， 即且， 即，, 当时，，满足，但不满足，舍去， 当时，，不满足，舍去， 当时，，不满足，舍去， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，但不满足，舍去 当时，，满足，但不满足，舍去， 当时，，不满足， 综上，，则的取值范围为 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（   ） 参考时间轴： A．战国 B．汉朝 C．唐朝 D．宋朝 【答案】C 【详解】由题意可得当时，， 即， 解得， 所以， 由， 可得， 所以， 解得， 又， 可推断该文物属于唐朝. 14．若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A：考虑幂函数在上单调递增， 因，，可以得到，故A正确； B：考虑指数函数，在时单调递增， 因，可以得到，故B不正确； C：考虑对数函数，当，时单调递增， 由，可以得到，故C不正确； D：由， 因为实数，而实数， 所以，则，即，故D不正确. 故选：A 15．已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可得，，， 则，故A正确； 则，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 当时，，满足，故D可能成立； 故选：C． 16．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B．中只有一个元素 C．中有两个元素 D．中有无穷多个元素 【答案】B 【详解】根据对数函数的定义域可知：，. 由可得， 则有， 展开整理得：， 则得，即， 故有，解得，. 因此方程仅有一组正实数解，所以集合中仅有一个元素. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知函数的定义域是集合，集合. (1)当，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由得，解得， 故函数的定义域为， 当时，， 所以.……（7分） （2）若是的必要条件，则， 又，， 故，解得， 故实数的取值范围为.……（14分） 18．（14分）已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，当时原不等式可转化为， ，，解得或. ，所以或，解得或. 即.……（7分） （2）由题意知，即不等式恒成立. ，，当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围.……（14分） 19．（14分）已知函数的图象经过点和，幂函数过点. (1)求和的值及的解析式； (2)解关于的方程. 【详解】（1）由题意得，，，得， 设幂函数，则，得，，故；……（7分） （2）由（1）知，，， 则化为， 则， 因在上单调递增，则，即， 得或（舍），得.……（14分） 20．（18分）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 【详解】（1）根据题意，设， 又每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半，所以， 解得，则， 当，解得， 所以该化石距今约有年历史；……（9分） （2）由于碳14含量的测量结果可能存在的误差， 设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为， 无误差时对应衰减时间为， 则①，②，③， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， 所以误差最大为83年．……（18分） 21．（18分）设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的． (1)证明：区间不是加法封闭的； (2)若区间是加法封闭的，求实数的取值范围； (3)设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围． 【详解】(1)取，，但， 所以不满足对于任意的，，有， 所以区间不是加法封闭的；……（6分） （2）因为区间是加法封闭的，对于任意的，，都有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是；……（12分） （3）要使函数有意义， 则， 所以函数的定义域为集合， 因为是乘法封闭的， 所以对于任意的，，有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是.……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $