精品解析：湖北荆门市龙泉中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

龙泉中学2025～2026学年第一学期 高一年级期中考试 数　学　试　题 全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 化简的结果是（ ） A. x B. C. 1 D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 ，则函数 的图象关于原点 对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中是真命题的为（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “或”是“”的充要条件 D. “集合”是“”的充分不必要条件 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数 且 的图象恒过定点 B. 关于 的不等式 的解集为 ，若 且 ，则实数 的取值范围为 或 C. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 D. 若 ，，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围为 11. 若存在函数，使得函数满足，则称是“变量函数”.已知函数，，，若是“变量函数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为__________ 13. 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是_________． 14. 定义，其中表示中较大的数．设，，函数．若，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 已知函数 . （1）若 的解集为 ，求 ， 的值； （2）若 ，求不等式 的解集. 17. 已知函数对任意的实数都有，且当时，有． （1）求证：在上为增函数； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 当前机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.在2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人+”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，拟投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前 年，生产及设备维护成本共 万元，每年电池销售收入为6700万元.设使用该批智能机器人后，前 年的总盈利额为 万元. （1）写出 关于 的函数关系式，并指出 的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4900万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 19. 已知函数，. （1）若函数是奇函数，求实数m的值； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （3）当时，，求函数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙泉中学2025～2026学年第一学期 高一年级期中考试 数　学　试　题 全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】原命题为全称命题，其否定需将全称量词改为存在量词，且否定结论. 所以命题的否定是. 2. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数，， 可得函数与的对应法则不同，所以不是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，由函数有意义，满足，解得， 即函数的定义域为， 又由函数有意义，满足，解得或， 所以函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数和的定义域都是， 且和的对应法则也相同，所以和是同一函数，所以C正确； 对于D，由与的对应法则不同，所以与不是同一函数，所以D不符合题意. 3. 化简的结果是（ ） A. x B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将指数转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可求解. 【详解】， 故选：A 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得的定义域为，结合解析式及根式性质求其定义域. 【详解】由题设，对于有，则，即的定义域为， 所以，对于有， 所以的定义域为. 故选：B 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的解析式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 6. 已知函数 ，则函数 的图象关于原点 对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式求解出其关于原点对称的函数解析式，再对照图形选出正确答案即可. 【详解】设函数关于原点对称图像上任意一点的坐标为，其关于原点的对称点在函数图像上，即， 所以，所以时，，所以选项A正确. 7. 已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性得到，再解不等式组即得解. 【详解】解：由题得. 因为在上单调递减，并且， 所以，所以或. 故选：D 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分析得，其中，不等式等价转化为，通过分析的单调性和奇偶性可得结果. 【详解】由题意得，函数， 令，则， 由得， ∴，即. ∵，在上为增函数，在上为减函数， ∴在上为增函数， ∵定义域为，且， ∴是上的奇函数，故. ∴由得，，解得或， ∴实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中是真命题的为（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “或”是“”的充要条件 D. “集合”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误； 对于B 选项，不能得到，反之能够得到，故正确； 对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误； 对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数 且 的图象恒过定点 B. 关于 的不等式 的解集为 ，若 且 ，则实数 的取值范围为 或 C. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 D. 若 ，，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质可以判断选项A；将代入不等式即可判断B；根据可得，解不等式即可判断C；，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A: 根据指数函数的性质， 时，， 即函数图象恒过定点，选项 A错误； 对于B: 将代入不等式得，解得或； 将代入不等式得，解得， 另外时，成立，综上可得，或，选项B正确； 对于C: 根据可得，， 即，解得，当且仅当时取等号，选项C正确； 对于D: 根据可得，， 当且仅当即时取等号， 所以原不等式恒成立问题转化为：，解得， 所以实数得取值范围为，选项D正确. 11. 若存在函数，使得函数满足，则称是“变量函数”.已知函数，，，若是“变量函数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，令可判断A；根据一元二次不等式恒成立的条件可判断BD，利用配方法可判断C. 【详解】由题意可知在上恒成立，令得， 即，故A正确； 由可得，代入不等式组中整理得， 所以，故B错误； 由可得，所以，所以的最小值为，故C正确； 若恒成立，即恒成立， 所以有，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先求得函数的定义域为，结合函数为单调递性和复合函数的单调性的求解方法，即可求解. 【详解】由题意，令，解得或， 故函数的定义域为，且， 又由函数为单调递增函数， 根据复合函数的单调性，可得函数的单调递减区间为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，以及二次函数的性质，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 13. 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式． 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得．又因为，所以或． 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，满足题意． 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得． 当时，，，为奇函数， 不满足图象关于轴对称，舍去． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 14. 定义，其中表示中较大的数．设，，函数．若，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义，对参数进行分类讨论，分别求出分段函数各段解析式，进而判断函数单调性，再根据不等式，求出参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当时，解得． 当时，即，解得或． 所以当时，． 当时，，可得 当时，，可得． 当时，，可得． 可得，因为在上单调递增， 在上单调递增，且函数在处连续， 因此在上单调递增，要使，则，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可. 【小问1详解】 当时，，∴， 或， ∴； 【小问2详解】 若，则 ①时，即，即，满足： ②时，则满足，或，解得 综上可得，实数a的取值范围为 16. 已知函数 . （1）若 的解集为 ，求 ， 的值； （2）若 ，求不等式 的解集. 【答案】（1），； （2）当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，先判断二次函数开口方向，确定对应一元二次方程的两根，再利用根与系数的关系列方程组求解参数； （2）先代入对二次式因式分解，以二次项系数作为分类依据，然后讨论转化为一次不等式，再讨论、，时继续比较两根与的大小，最后依次写出不同情况下不等式的解集即可. 【小问1详解】 由题意知 ，且 ， 是方程 的两根； 由根与系数的关系得 ，； 解得 ，. 【小问2详解】 当 时，； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 17. 已知函数对任意的实数都有，且当时，有． （1）求证：在上为增函数； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，令，，可整理得到，由此可得结论； （2）将恒成立的不等式化为，令可求得，利用单调性可得，令，由二次函数最值求法可求得的取值范围. 【小问1详解】 设， 令，，， 则； ，，， 在上为增函数. 【小问2详解】 由题意得：， ， 令，则，解得：， 为上的增函数，，， 令，设，，， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数单调性的证明、函数不等式恒成立问题；求解恒成立问题的关键是能够利用函数单调性将恒成立的不等式转化为自变量大小关系，进而可采用分离变量的方法求得变量的取值范围. 18. 当前机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.在2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人+”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，拟投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前 年，生产及设备维护成本共 万元，每年电池销售收入为6700万元.设使用该批智能机器人后，前 年的总盈利额为 万元. （1）写出 关于 的函数关系式，并指出 的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4900万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】（1），. （2）方案一：，当 时 取得最大值 ； 此时总收益为 （万元）； 方案二：平均盈利额 ； 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，总收益为 （万元）； 因为 ，所以方案二更合理． 【解析】 【小问1详解】 由题意得 ，即 ，. 【小问2详解】 略 19. 已知函数，. （1）若函数是奇函数，求实数m的值； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （3）当时，，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； 【小问2详解】 当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； 【小问3详解】 由题，， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $